Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів
In this paper, linear object yt=a1y1+...anyn+b1u1+...bmym+δ is considered. The aim is to estimate the object parameters with an assumption that they are changing linearly: ai=ai,0+ai,1t (i=1,2,...,n), bj=bj,0+bj,1t (j=1,2,...,m), δ=δ0+δ1t, parameters ai,0, ai,1 (i=1,2,...,n), bj,0, bj,1 (j=1,2,...,m...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2021
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/237815 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302748469755904 |
|---|---|
| author | Spectorsky, Igor |
| author_facet | Spectorsky, Igor |
| author_sort | Spectorsky, Igor |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-06-20T14:19:48Z |
| description | In this paper, linear object yt=a1y1+...anyn+b1u1+...bmym+δ is considered. The aim is to estimate the object parameters with an assumption that they are changing linearly: ai=ai,0+ai,1t (i=1,2,...,n), bj=bj,0+bj,1t (j=1,2,...,m), δ=δ0+δ1t, parameters ai,0, ai,1 (i=1,2,...,n), bj,0, bj,1 (j=1,2,...,m), δ0, δ1 are assumed to be constants (almost constants during long time). For this object, the recursive least square (RLS) method is generalized. Provided examples show that the obtained RLS generalization gives higher precision (in comparison with the classical RLS method) for a case when parameters change with constant (almost constant) speed during long time. When parameters change unpredictably, the precision of the proposed RLS generalization is worse then the precision of the classical method, but it is still high. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.4.11 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:27:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
І.Я. Спекторський, 2021
138 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 4
УДК 62.50, 65.012.122
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.4.11
РЕКУРЕНТНИЙ МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ:
ОЦІНЮВАННЯ ЗМІННИХ ПАРАМЕТРІВ
І.Я. СПЕКТОРСЬКИЙ
Анотація. Розглянуто лінійний об’єкт 1111 ubyayay nnt
mmub . Метою є оцінювання параметрів об’єкта за припущення, що
вони змінюються лінійно за часом: taaa iii 1,0, ),,2,1( ni , ib
tbb ii 1,0, ),,2,1( mj , t10 , параметри 0,ia , 1,ia ),,2,1( ni ,
1,0, , ii bb ),,2,1( mj , 10, вважаються сталими (майже не змінюються
протягом тривалого часу). Для цього об’єкта отримано узагальнення рекурент-
ного методу найменших квадратів (РМНК). Наведені прикладі показують, що
отримане узагальнення РМНК точніше за класичне для об’єктів, параметри
яких змінюються зі сталою або майже сталою швидкістю протягом тривалого
часу. У випадку непередбачуваної зміни параметрів наведена схема РМНК
дещо гірша за класичну, однак забезпечує високу точність оцінювання.
Ключові слова: рекурентний метод найменших квадратів, РМНК, оцінювання.
ВСТУП
Одним з основних об’єктів теорії керування є лінійна дискретна модель
mtmtntntt ububyayay 1111 , (1)
де mn bbaa ,,,,, 11 — параметри об’єкта; ty — вихідний сигнал;
tu — сигнал керування; 0t — дискретний час ( }0{0 ). Про
керування об’єктом (1) ідеться у працях [1–3].
У реальних системах параметри об’єкта (1) невідомі і, окрім того,
із часом змінюються, тому для керування об’єктом (1) параметри
mn bbaa ,,,,, 11 треба оцінювати у реальному часі. Одним з найпошире-
ніших методів динамічної оцінки параметрів mn bbaa ,,,,, 11 є рекурен-
тний метод найменших квадратів (РМНК) з експоненційним «забуванням»
застарілих даних (див., напр., [1–3]):
,)(
;
);ˆ(ˆˆ
111
11
1
1
1111
NT
NNN
NN
T
N
NN
N
N
T
NNNNN
P
XKIP
XPX
XP
K
XyK
(2)
для спостережень від 0t , то N (з рекурентним переходом за процедурою
(2) до 10 Nt ), де T
111 ),,,,,( mNNnNNN uuyyX — вектор
Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 4 139
вимірюваних даних на кроці N ; T
11 )ˆ,,ˆ,ˆ,,ˆ(ˆ
mnN bbaa — вектор оцінок
параметрів за спостереженнями від 0t до N ; NP — додатно визначена
матриця розмірності )()( mnmn (пов’язана з коваріацією вектора по-
милок оцінювання з ваговими коефіцієнтами за спостереженнями від 0t
до N ); — коефіцієнт експоненційного забування (зазвичай обирають в
діапазоні 0,19,0 ); за початкові значення, якщо немає даних про значення
параметрів, можна брати mnIP 0 ( 1000 ), )0,,0(ˆ
0 .
Мета роботи: узагальнити РМНК для параметрів, які змінюються лі-
нійно за часом:
taaa iii 1,0, ( ni 1 ), tbbb jjj 1,0, ( mj 1 ), 0t ,
де параметри 1,0,1,0, ,,, jjii bbaa ( ni 1 , mj 1 ) підлягають оціню-
ванню за рекурентною процедурою. Такий підхід може забезпечити високу
точність оцінювання, якщо параметри mn bbaa ,,,,, 11 змінюються плавно,
тобто якщо параметри 1,,0,,1,,0,, ,,, tjtjtiti bbaa ( ni 1 , mj 1 ) залиша-
ються майже незмінними протягом тривалого часу.
НЕРЕКУРЕНТНЕ ОЦІНЮВАННЯ
Розглянемо лінійний об’єкт
mtmtntntt ububyayay 1111 , (3)
де taaa iii 1,0, ( ni 1 ), tbbb jjj 1,0, ( mj 1 ), 0t ; початкові
значення ty вважаються відомими.
Аналогічно класичній процедурі РМНК уведемо до розгляду вектор
вимірюваних даних
T
11 ),,,,,( mttnttt uuyyX
та вектор оцінок параметрів
T
1,0,1,10,11,0,1,10,1 )ˆ,ˆ,,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,,ˆ,ˆ(ˆ
mmnn bbbbaaaa .
Точність оцінювання параметрів за спостереженнями на кроці t визна-
чає «нев’язка» ˆT
tttt QXye ,
де mn
t
t
t
t
t
Q
mn
t
)(2
100000000
001000000
000010000
000000100
000000001
.
І.Я. Спекторський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 4 140
Зокрема, якщо оцінки параметрів у векторі ̂ збігаються з реальними пара-
метрами 1,0,1,0, ,,, jjii bbaa ( ni 1 , mj 1 ), рівняння об’єкта (3) визначає
нульову нев’язку: 0te .
Зауваження 1. Матрицю tQ можна зобразити через кронекеровський
добуток: )1( tIQ mnt .
Нехай за об’єктом (3) спостерігають протягом )(21 mnN кроків,
від Nt до 0 . Для оцінювання параметрів виберемо критерій з експонен-
ційним забуванням:
N
t
t
tN
N eJ
0
2 , (4)
де коефіцієнт експоненційного забування ]1,0( для систем зі змінними
параметрами рекомендовано обирати в діапазоні 0,19,0 (див. напр., [1–3]).
Підставивши вираз для нев’язки ˆT
tttt QXye у критерій (4), з умови іс-
нування екстремуму 0
ˆ ˆˆ
Nd
dJ отримаємо рівняння для вектора оптима-
льних (щодо критерію NJ ) оцінок параметрів:
ttNt
N
t
t
tN
t
N
t
tt
tN QXQXQXy T
0
T
0
T ̂
,
або з урахуванням очевидної рівності ttNNttNtt XQQXQX TTTTT ˆ)ˆ(ˆ маємо
ttttN
N
t
tN
t
N
t
tt
tN QXXQQXy TTT
00
T ̂
,
звідки після транспонування обох частин дістаємо:
Ntttt
N
t
tN
N
t
ttt
tN QXXQXQy
ˆTT
00
T . (5)
Перепишемо рівняння (5), увівши до розгляду матриці
)( T
0
T
0 NNN XQXQ і
1000
000
000
000
1
N
N
N та вектор
Ny
y
Y
0
, отримуємо рівняння
NNNNNNN Y ˆT ,
звідки за невиродженої матриці T
NNN (для чого необхідна умова
)(21 mnN ) дістаємо явний (нерекурентний) вираз для вектора оцінок
параметрів:
Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 4 141
NNNNNNN Y 1T )(ˆ .
Увівши до розгляду матрицю 1T )( NNNNP ( )(21 mnN ),
перепишемо отриману рівність у вигляді:
NNNNN YP ̂ . (6)
Нерекурентне оцінювання за співвідношенням (6) хоча і можливе, але
потребує великих обчислювальних ресурсів за потреби обертання матриці
T
NNN , розмірність якої ( )1()1( NN з кожним кроком збільшується.
РЕКУРЕНТНЕ ОЦІНЮВАННЯ
Аналогічно класичній процедурі РМНК побудуємо рекурентну процедуру
обчислення вектора N̂ , основною складовою частиною якої є рекурентне
обчислення матриці NP ( mnN 1 ):
1
TT
1
0
11T
1111 )( tttt
N
t
tN
NNNN QXXQP
.)( 1
1
T
11
T
1
T
NNNNNNN QXXQ (7)
Для ефективного обчислення 1NP за відомою NP , аналогічно побудові
класичної процедури РМНК, застосуємо відому (див., напр., [4]) матричну
тотожність Вудбурі або Шермана–Моррісона–Вудбурі, яку для зручності
наведемо як допоміжну лему.
Лема 1. Нехай A , C , U , V — матриці розмірності 11 nn , 22 nn ,
21 nn , 12 nn відповідно, матриці A , C і UVAC 11 — невироджені.
Тоді матриця UCVA невироджена і справджується тотожність
111111 )( VAUVACUAAUCVA . (8)
Доведення. Помножимо UCVA зліва на VAUVACUAA )( 1111
(права частина рівності (8)):
))()(( 11111 VAUVACUAAUCVA
11111 )()(
1
VAUVACUAUCVAUCVAIn
11111 ))((
1
VAUVACUUCVAUUCVAIn
111111 ))((
1
VAUVACUVACUCUCVAIn
.
11
11
nn IUCVAUCVAI
Таким чином, матриця VAUVACUAA )( 1111 є правою, а отже, і
двосторонньою оберненою до UCVA , що завершує доведення леми.
Зауваження 2. Інший шлях доведення тотожності (8) наведено у праці [4].
І.Я. Спекторський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 4 142
Нехай матриця T
NNN невироджена (тобто 1T )( NNNNP іс-
нує) та 01 1
T
1
1
1
T
1 NNNNN QXPQX . Тоді, застосовуючи лему 1, зі спів-
відношення (7) отримуємо рекурентну формулу для обчислення NP :
NNNNNNNNNNNNN PQXXQPQXXQPPP 1
T
1
11
1
T
1
1
1
T
11
T
1
11
1 )1(
.)( 1
T
1
1
1
T
11
T
11
T
1
11
NNNNNNNNNNNN PQXXQPQXXQPP
Тепер можемо вивести рекурентну формулу для вектора оцінки пара-
метрів N̂ :
)(ˆ
11
T
1111111 NNNNNNNNNNNN yXQYPYP
))(( 1
T
1
1
1
T
11
T
11
T
1
11
NNNNNNNNNNNN PQXXQPQXXQPP
11
T
1
1
11
T
1
ˆ)( NNNNNNNNNNN yXQPyXQY
NNNNNNNNNNN QXXQPQXXQP ˆ)( 1
T
1
1
1
T
11
T
11
T
1
11
T
11
T
1
1
1
T
11
T
11
T
1
1 )( NNNNNNNNNNNNNN yXQPQXXQPQXXQP
1
T
11
T
1
1
T
11
T
1
11
T
1
1
ˆ
ˆ
NNNNN
NNNNNN
NNNNN
XQPQX
QXXQP
yXQP
1
T
11
T
1
11
T
11
T
11
T
1
1 )()(
NNNNN
NNNNNNNNN
XQPQX
yXQPQXXQP
1
T
11
T
1
11
T
1
1ˆ
NNNNN
NNNNN
XQPQX
yXQP
1
T
11
T
1
11
T
1
1
T
11
T
1
1
T
11
T
1 ˆ
ˆ
NNNNN
NNNN
N
NNNNN
NNNNNN
XQPQX
yXQP
XQPQX
QXXQP
1
T
11
T
1
1
T
111
T
1
1
T
11
T
1
1
T
11
T
1 )ˆ(ˆ
ˆ
NNNNN
NNNNNNN
N
NNNNN
NNNNNN
XQPQX
QXyXQP
XQPQX
QXXQP
(зазначимо, що вираз 1
T
11
T
1 NNNNN XQPQX , який міститься у знамен-
никах дробів, є скаляром).
За аналогією до класичної процедури РМНК уведемо вектор коригу-
вання
1
T
11
T
1
1
T
1
1
NNNNN
NNN
N
XQPQX
XQP
K ,
що спрощує вигляд рекурентних формул для матриці NP і вектора оцінок
параметрів N̂ :
);ˆ(ˆˆ
1
T
1111 NNNNNNN QXyK
.)(
1
1
T
111 NNNNnN PQXKIP
Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 4 143
Сформулюємо отриманий результат у вигляді теореми.
Теорема. Нехай матриця T
NNN невироджена та
01 1
T
1
1
1
T
1 NNNNN QXPQX . Тоді для вектора оцінки параметрів справ-
джуються такі рекурентні співвідношення:
;
1
T
11
T
1
1
T
1
1
NNNNN
NNN
N
XQPQX
XQP
K
;)( 1
T
11
1
1 NNNNnN PQXKIP
).ˆ(ˆˆ
1
T
1111 NNNNNNN QXyK (9)
Зауваження 3. Аналогічно класичній процедурі РМНК отриманий ре-
зультат легко розширити на об’єкт зі зсувом
mtmtntntt ububyayay 1111 ,
розширивши визначення вектора вимірюваних даних
T
11 )1,,,,,,( mttnttt uuyyX
та вектора оцінок параметрів
T
101,0,1,10,11,0,1,10,1 )ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,,ˆ,ˆ(ˆ mmnn bbbbaaaa .
Зазначимо, що через збільшення кількості параметрів для коректної ро-
боти схеми (9) необхідною є умова )1(21 mnN .
Приклад 1. Розглянемо об’єкт 324 2111 tttt uuyay , де параметр
1a змінюється «пилоподібно» з періодом 200 (рис. 1). Сигнал керування tu
змінюється імпульсно (меандрами) з періодом 5 та амплітудою 10 (рис. 2).
Початковими значеннями об’єкта є 30 y , 0211 uuy . Коефіці-
єнт експоненційного забування 9,0 , початковим вектором оцінок пара-
метрів є нульовий вектор, 80 1000IP .
1a
100 3002000
0,1
400
0,2
t
Рис. 1. Пилоподібна зміна параметра
tu
t50
-10
10
10
Рис. 2. Імпульсна зміна керування
І.Я. Спекторський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 4 144
Точність оцінювання параметрів природно відслідковувати величиною
2
1
2
1
2 )ˆ()ˆ()ˆ(
n
j
jj
n
i
iit bbaa
(для класичної схеми (2) ˆ , однак схема (9) передбачає подвійну
кількість параметрів).
Згідно зі спостереженнями до 1000t (у табл. 1 наведено вибіркові
значення похибок оцінювання до 400t ), оцінювання параметрів за схе-
мою РМНК (2) відчутно точніша за класичну схему РМНК (2) приблизно від
35–40% до кінця кожної ділянки лінійності (кроки 40–100, 140–200, 240–300
і т. д), дає меншу точність приблизно від початку до 20% кожної ділянки
лінійності (кроки 10–20, 104–120, 204–220 і т. д) і приблизно зіставна за то-
чністю із класичною приблизно від 20% до 35–40% кожної ділянки лінійно-
сті (кроки 20–40, 120–140, 220–240 і т. д).
Т а б л и ц я 1
t 8 9 10 11 … 99 100 101 102 103 104 105 106 107 … 120 121
t за
схемою
(9)
4·
10
-3
8·
10
-4
1·
10
-3
6·
10
-4
…
8·
10
-8
8·
10
-8
2·
10
-3
2·
10
-2
1·
10
-2
5·
10
-2
4·
10
-2
5·
10
-2
4·
10
-2
…
1·
10
-1
2·
10
-2
t за
схемою
(2) 3·
10
-2
1·
10
-2
1·
10
-2
4·
10
-2
…
1·
10
-1
1·
10
-1
4·
10
-2
3·
10
-2
2·
10
-2
2·
10
-2
1·
10
-2
2·
10
-3
2·
10
-3
…
5·
10
-2
3·
10
-2
t 122 123 124 125 126 … 140 141 … 200 201 202 203 204 205 … 226
t за
схемою
(2)
7·
10
-2
4·
10
-2
2·
10
-2
2·
10
-2
2·
10
-2
…
1·
10
-2
6·
10
-3
…
3·
10
-5
2·
10
-3
2·
10
-2
1·
10
-2
6·
10
-2
4·
10
-2
…
2·
10
-2
t за
схемою
(2)
9·
10
-2
6·
10
-2
1·
10
-2
1·
10
-2
6·
10
-2
…
4·
10
-2
5·
10
-2
…
4·
10
-2
2·
10
-2
6·
10
-2
4·
10
-2
1·
10
-2
1·
10
-2
…
2·
10
-2
t 227 228 229 230 … 235 … 300 301 302 303 304 305 … 337 … 400
t за
схемою
(2)
5·
10
-2
3·
10
-2
2·
10
-2
1·
10
-2
…
3·
10
-2
…
2·
10
-5
2·
10
-3
2·
10
-2
1·
10
-2
5·
10
-2
4·
10
-2
…
4·
10
-2
…
7·
10
-5
t за
схемою
(2)
5·
10
-2
3·
10
-2
3·
10
-2
2·
10
-2
…
7·
10
-2
…
3·
10
-2
4·
10
-2
9·
10
-2
7·
10
-2
3·
10
-2
3·
10
-2
…
9·
10
-2
…
8·
10
-2
Нагадаємо, що, через умову )1(21 mnN рекурентна схема (2)
працює для заданого об’єкта коректно не раніше 8)121(2 -го кроку.
Значення tPTrace , яке є «зваженою» сумою дисперсій похибок оціню-
вання (для класичної схеми РМНК див., напр., [2]), швидко спадає до зна-
Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 4 145
чення близько 0,97 на 22-му кроці, після чого поступово зростає до значення
близько 1413 для 1000t . Значення tPTrace під час оцінювання за класич-
ною схемою швидко спадає до значення близько 0,13 на 20-му кроці і далі
коливається у межах близько 0,11–0,14.
Приклад 2. Розглянемо об’єкт
324 2111 tttt uuyay ,
де параметр
1000
2
cos5,01
t
a змінюється синусоїдально з періодом 1000
та зсувом за фазою на
2
(рис. 1). Сигнал керування tu змінюється імпульс-
но (меандрами) з періодом 5 та амплітудою 10 (рис. 3). Початковими зна-
ченнями об’єкта є 30 y , 0211 uuy . Коефіцієнт експоненційного
забування 9,0 , початковим вектором оцінок параметрів є нульовий век-
тор, 80 1000IP .
Згідно зі спостереженнями до 1000t (табл. 1), оцінювання параметрів
за схемою РМНК (2) відчутно точніша за класичну схему РМНК (2) на
ділянках, де похідна 1a протягом при-
наймні 20 попередніх кроків змінюва-
лася повільно. Загалом на інтервалі
100010 t оцінювання за схемою
РМНК (9) давала більшу похибку порів-
няно з класичною схемою РМНК (2)
лише на 20 кроках: t 81, 523, 530, 533,
538, 543, 548, 563, 568, 582, 947, 982,
983, 987–992, 1000.
Т а б л и ц я 2
t 10 11 12 13 … 80 81 82 … 522 523 524 … 581 582 583 …
t за
схемою
(2) 6·
10
-4
9·
10
-4
5 ·
10
-3
4 ·
10
-3
…
9·
10
-3
2·
10
-2
2 ·
10
-2
…
8·
10
-1
3·
10
-1
3 ·
10
-1
…
7 ·
10
-2
4·
10
-2
8 ·
10
-2
…
t за
схемою
(2) 1·
10
-3
4 ·
10
-3
1 ·
10
-2
1 ·
10
-2
…
3·
10
-2
2·
10
-2
1 ·
10
-1
…
1
3 ·
10
-1
9 ·
10
-1
…
2 ·
10
-1
3·
10
-2
3 ·
10
-1
…
t 800 … 850 … 900 … 945 946 947 948 949 950 … 981 982 … 1000
t за
схемою
(2) 1·
10
-3
…
3·
10
-3
…
2·
10
-2
…
4·
10
-2
5 ·
10
-3
3 ·
10
-2
3 ·
10
-2
7 ·
10
-3
5 ·
10
-3
…
1·
10
-2
2 ·
10
-2
…
5 ·
10
-2
t за
схемою
(2) 6·
10
-2
…
5·
10
-2
…
2·
10
-1
…
2·
10
-1
1 ·
10
-1
3 ·
10
-2
4 ·
10
-2
4 ·
10
-2
5 ·
10
-2
…
6·
10
-2
1 ·
10
-2
…
5 ·
10
-2
t
5000
0,5
1000
-0,5
a1
Рис. 3. Синусоїдальна зміна параметра
І.Я. Спекторський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 4 146
Значення tPTrace швидко спадає до значення близько 0,95 на 20-му
кроці, далі зростає зі сплеском до більш ніж 140000 на кроках 450–600 і,
трохи коливаючись, поступово спадає до значення близько 1618 для
1000t (рис. 4). Схожою є поведінка tPTrace під час оцінювання за класи-
чною схемою: воно швидко спадає до значення близько 0,15 на 20-му кроці,
далі зростає до приблизно 346 на
520-му кроці, і швидко спадає —
менше 1 на 586-му кроці і до
приблизно 0,14 на 1000-му кроці
(рис. 5).
Приклад 3. Розглянемо
об’єкт 2111 24 tttt uuyay
3 , де параметр 1a на кожному
кроці змінюється як випадкова
величина, рівномірно розподіле-
на в інтервалі ]51.0,49.0[ . Си-
гнал керування tu змінюється
імпульсно (меандрами) з пері-
одом 5 та амплітудою 10 (рис. 2).
Початковими значеннями об’єкта
є 30 y , 0211 uuy . Кое-
фіцієнт експоненційного забу-
вання 9,0 , початковим векто-
ром оцінок параметрів є нульовий вектор, 80 1000IP .
Згідно зі спостереженнями до 100t оцінювання параметрів за схемою
РМНК (9) дещо гірше, але зіставне з класичної схемою РМНК (2). Так, на
інтервалі 10010 t похибка оцінювання t змінюється приблизно від
0,005 до 0,15 за оцінювання за схемою РМНК (9) та від 0,005 до 0,07 для
оцінювання за класичною схемою РМНК (2).
Значення tPTrace швидко спадає до значення близько 1,03 на 14-му
кроці, після чого поступово зростає до значення близько 12,3 для 100t .
Значення tPTrace під час оцінювання за класичною схемою швидко спадає
до значення близько 0,16 на 10-му кроці і коливається у межах близько
0,11–0,20.
ВИСНОВКИ
1. Класична схема РМНК узагальнена для лінійних об’єктів, параметри
як змінюються лінійно за часом (теорема).
2. На ділянках, де параметри змінюються лінійно або близько до
лінійного, схема оцінювання суттєво точніша за класичну (приклади 1 і 2).
3. У випадку непередбачуваної зміни параметра (приклад 3) схема
оцінювання дещо гірша за класичну.
4. Напрямом подальших досліджень може бути апроксимація функцій
зміни параметрів поліномами вищих степенів або тригонометричними
функціями.
Рис. 4. Оцінювання за схемою (9)
tPTrace
t
500 0
1,
5·
10
5
1000
0
tPTrace
500 0
0
350
1000
Рис. 5. Оцінювання за схемою (2)
Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 4 147
ЛІТЕРАТУРА
1. В.Д. Романенко, Методи автоматизації прогресивних технологій. Київ: Вища шк.,
1995, 519 с.
2. Р. Изерман, Цифровые системы управления. Москва: Мир, 1984, 541 с.
3. Адаптивные фильтры: пер. с англ.; под ред. К.Ф.Н. Коуэна и П.М. Гранта. Москва:
Мир, 1988, 392 с.
4. Nicholas J. Higham, Accuracy and stability of numerical algorithms. Philadelphia: Soci-
ety for Industrial and Applied Mathematics, 2002, 680 p.
Надійшла 02.09.2021
INFORMATION ON THE ARTICLE
Igor Ya. Spectorsky, ORCID: 0000-0003-4863-7986, Educational and Scientific Complex
“Institute for Applied System Analysis” of the National Technical University of Ukraine
“Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail: i.spectorsky@gmail.com.
РЕКУРРЕНТНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ: ОЦЕНИВАНИЕ
МЕНЯЮЩИХСЯ ПАРАМЕТРОВ / И.Я. Спекторский
Аннотация. Рассмотрен линейный объект 1111 ubyayay nnt
mmub . Целью является оценивание параметров объекта в предположе-
нии, что они меняются линейно: taaa iii 1,0, ),,2,1( ni , tbbb iii 1,0,
),,2,1( mj , t10 ,, параметры 0,ia , 1,ia ),,2,1( ni , 1,0, , ii bb
),,2,1( mj , 10, предполагаются постоянными (практически не меняющи-
мися в течение длительного промежутка времени). Для этого объекта получено
обобщение рекуррентного метода наименьших квадратов (РМНК). Приведен-
ные примеры показывают, что полученное обобщение РМНК точнее классиче-
ской схемы для объектов, параметры которых меняются с постоянной или поч-
ти постоянной скоростью в течение длительного промежутка времени. В случае
непредсказуемого изменения параметров приведенная схема РМНК несколько
хуже классической, однако обеспечивает высокую точность оценивания.
Ключевые слова: рекуррентный метод наименьших квадратов, РМНК, оце-
нивание.
RECURRENT LEAST SQUARE METHOD FOR ESTIMATION OF VARYING
PARAMETERS / I.Ya. Spectorsky
Abstract. In this paper, linear object mmnnt ububyayay 1111 is
considered. The aim is to estimate the object parameters with an assumption that
they are changing linearly: taaa iii 1,0, ),,2,1( ni , tbbb iii 1,0,
),,2,1( mj , t10 , parameters 0,ia , 1,ia ),,2,1( ni , 1,0, , ii bb
),,2,1( mj , 10, are assumed to be constants (almost constants during long
time). For this object, the recursive least square (RLS) method is generalized. Pro-
vided examples show that the obtained RLS generalization gives higher precision (in
comparison with the classical RLS method) for a case when parameters change with
constant (almost constant) speed during long time. When parameters change unpre-
dictably, the precision of the proposed RLS generalization is worse then the preci-
sion of the classical method, but it is still high.
Keywords: recursive less square methods, RLS, estimating.
REFERENCES
1. V.D. Romanenko, Methods of automation of advanced technologies. Kyiv: Higher
School, 1995, 519 p.
2. R. Iserman, Digital control systems. Moscow: Mir, 1984, 541 p.
3. Adaptive filters; ed. K.F.N. Cowen and P.M. Grant. Moscow: Mir, 1988, 392 p.
4. Nicholas J. Higham, Accuracy and stability of numerical algorithms. Philadelphia: Soci-
ety for Industrial and Applied Mathematics, 2002, 680 p.
|
| id | journaliasakpiua-article-237815 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:27:21Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/b0/bc9650f1a67dc72928201214d8379fb0.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2378152022-06-20T14:19:48Z Recurrent least square method for estimation of varying parameters Рекуррентный метод наименьших квадратов: оценивание меняющихся параметров Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів Spectorsky, Igor рекурентний метод найменших квадратів РМНК оцінювання рекуррентный метод наименьших квадратов РМНК оценивание recursive less square methods RLS estimating In this paper, linear object yt=a1y1+...anyn+b1u1+...bmym+δ is considered. The aim is to estimate the object parameters with an assumption that they are changing linearly: ai=ai,0+ai,1t (i=1,2,...,n), bj=bj,0+bj,1t (j=1,2,...,m), δ=δ0+δ1t, parameters ai,0, ai,1 (i=1,2,...,n), bj,0, bj,1 (j=1,2,...,m), δ0, δ1 are assumed to be constants (almost constants during long time). For this object, the recursive least square (RLS) method is generalized. Provided examples show that the obtained RLS generalization gives higher precision (in comparison with the classical RLS method) for a case when parameters change with constant (almost constant) speed during long time. When parameters change unpredictably, the precision of the proposed RLS generalization is worse then the precision of the classical method, but it is still high. Рассмотрен линейный объект yt=a1y1+...anyn+b1u1+...bmym+δ. Целью является оценивание параметров объекта в предположении, что они меняются линейно: ai=ai,0+ai,1t (i=1,2,...,n), bj=bj,0+bj,1t (j=1,2,...,m), δ=δ0+δ1t, параметры ai,0, ai,1 (i=1,2,...,n), bj,0, bj,1 (j=1,2,...,m), δ0, δ1 предполагаются постоянными (практически не меняющимися в течение длительного промежутка времени). Для этого объекта получено обобщение рекуррентного метода наименьших квадратов (РМНК). Приведенные примеры показывают, что полученное обобщение РМНК точнее классической схемы для объектов, параметры которых меняются с постоянной или почти постоянной скоростью в течение длительного промежутка времени. В случае непредсказуемого изменения параметров приведенная схема РМНК несколько хуже классической, однако обеспечивает высокую точность оценивания. Розглянуто лінійний об’єкт yt=a1y1+...anyn+b1u1+...bmym+δ. Метою є оцінювання параметрів об’єкта за припущення, що вони змінюються лінійно за часом: ai=ai,0+ai,1t (i=1,2,...,n), bj=bj,0+bj,1t (j=1,2,...,m), δ=δ0+δ1t, параметри ai,0, ai,1 (i=1,2,...,n), bj,0, bj,1 (j=1,2,...,m), δ0, δ1 вважаються сталими (майже не змінюються протягом тривалого часу). Для цього об’єкта отримано узагальнення рекурентного методу найменших квадратів (РМНК). Наведені прикладі показують, що отримане узагальнення РМНК точніше за класичне для об’єктів, параметри яких змінюються зі сталою або майже сталою швидкістю протягом тривалого часу. У випадку непередбачуваної зміни параметрів наведена схема РМНК дещо гірша за класичну, однак забезпечує високу точність оцінювання. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2021-12-22 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/237815 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.4.11 System research and information technologies; No. 4 (2021); 138-147 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2021); 138-147 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2021); 138-147 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/237815/249651 |
| spellingShingle | рекурентний метод найменших квадратів РМНК оцінювання Spectorsky, Igor Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів |
| title | Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів |
| title_alt | Recurrent least square method for estimation of varying parameters Рекуррентный метод наименьших квадратов: оценивание меняющихся параметров |
| title_full | Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів |
| title_fullStr | Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів |
| title_full_unstemmed | Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів |
| title_short | Рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів |
| title_sort | рекурентний метод найменших квадратів: оцінювання змінних параметрів |
| topic | рекурентний метод найменших квадратів РМНК оцінювання |
| topic_facet | рекурентний метод найменших квадратів РМНК оцінювання рекуррентный метод наименьших квадратов РМНК оценивание recursive less square methods RLS estimating |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/237815 |
| work_keys_str_mv | AT spectorskyigor recurrentleastsquaremethodforestimationofvaryingparameters AT spectorskyigor rekurrentnyjmetodnaimenʹšihkvadratovocenivaniemenâûŝihsâparametrov AT spectorskyigor rekurentnijmetodnajmenšihkvadratívocínûvannâzmínnihparametrív |