Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних коливальних систем
This study proposes a numerical-analytical method that allows us to simplify the model, which is obtained on the basis of the single observable variable of an object under the study, and which may be overparameterized. As a model, we consider a system of ordinary differential equations with polynomi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2021
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/244616 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334419930415104 |
|---|---|
| author | Gorodetskyi, Viktor Osadchuk, Mykola |
| author_facet | Gorodetskyi, Viktor Osadchuk, Mykola |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Viktor Gorodetskyi",
"institution": "Інститут енергозбереження та енергоменеджменту Національного технічного університету України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
},
{
"author": "Mykola Osadchuk",
"institution": "Інститут енергозбереження та енергоменеджменту Національного технічного університету України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
}
] |
| author_sort | Gorodetskyi, Viktor |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-02-09T17:33:09Z |
| description | This study proposes a numerical-analytical method that allows us to simplify the model, which is obtained on the basis of the single observable variable of an object under the study, and which may be overparameterized. As a model, we consider a system of ordinary differential equations with polynomial right-hand sides. To solve this problem, the so-called differential model is used, that is, a system in which unknown variables are replaced by derivatives of the observed variable, and which is derived on the basis of a system under the study so that the observed variables of these systems coincide. The method of simplification of a system under the study is based on the fact that using a numerical method, a simpler differential model can be obtained. Next, an analytical transition from a simplified differential model to a simplified original system is performed. In this case, the time series error remains within given limits even for systems with deterministic chaos, despite their high sensitivity to the initial conditions. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.3.11 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:27:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.Г. Городецький, М.П. Осадчук, 2021
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 135
УДК 517.925
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.3.11
РОЗВ’ЯЗАННЯ ПРОБЛЕМИ НАДЛИШКОВОСТІ
МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ДЕЯКИХ НЕЛІНІЙНИХ
КОЛИВАЛЬНИХ СИСТЕМ
В.Г. ГОРОДЕЦЬКИЙ, М.П. ОСАДЧУК
Анотація. Запропоновано числово-аналітичний метод, що дозволяє спростити
модель, отриману на основі єдиної спостережуваної змінної досліджуваного
об’єкта, яка, можливо, має надлишковість. Як таку модель розглянуто систему
звичайних диференціальних рівнянь з поліноміальними правими частинами.
Для розв’язання поставленої задачі використано так звану диференціальну мо-
дель, тобто систему, у якій невідомі змінні замінюються похідними спостере-
жуваної змінної і яка виводиться на основі досліджуваної системи таким чи-
ном, щоб спостережувані змінні цих систем збігалися. Метод спрощення
досліджуваної системи ґрунтується на тому, щоб з часового ряду за допомо-
гою числового методу можна отримати диференціальну модель, яка простіша
за диференціальну модель досліджуваної системи. Виконано аналітичний пе-
рехід від спрощеної диференціальної моделі до спрощеної оригінальної систе-
ми. Похибка реалізації спостережуваної змінної залишалася в заданих межах
навіть для систем з детермінованим хаосом, незважаючи на їх високу чутли-
вість до початкових умов.
Ключові слова: часовий ряд, оригінальна система, диференціальна модель,
числовий метод, аналітичний метод.
ВСТУП
Ідентифікація нелінійних систем за недостатньої інформації про об’єкт —
одна з поширених проблем у теорії моделювання [1–3]. До таких проблем
можна віднести задачу ідентифікації моделі у вигляді системи звичайних
диференціальних рівнянь (ЗДР) за єдиною спостережуваною змінною [4–7].
Якщо розглядати як об’єкт дослідження нелінійні коливальні системи, то
особливо складною ця задача виявляється за хаотичного режиму коливань
через залежність динаміки таких систем від початкових умов [8–10]. Такий
тип моделей поширений, наприклад, для опису природних явищ [11, 12],
великої кількості коливальних хімічних реакцій [10, 13], процесів у біології
[14, 15], епідеміології [16], різних технічних систем [17–19].
Для ідентифікації нелінійних моделей застосовують різноманітні, пере-
важно числові, методи [20]. Отримана таким чином система ЗДР деякого
порядку може мати надлишковість щодо її структури [21, 22], тобто мати
більше складових у правих частинах рівнянь, ніж необхідно для відтворення
часового ряду із заданою точністю. Як зазначалося у праці [22],
«...динамічні характеристики моделі погіршуються, якщо структура моделі
надто складна».
Деякі числові методи дозволяють отримати модель, яка досить точно
апроксимує часовий ряд і яка має всі можливі степені змінних не вищі від
В.Г. Городецький, М.П. Осадчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 136
заданого. Наприклад, у дослідженні [10] отримано модель у вигляді трьох
звичайних диференціальних рівнянь з поліноміальними правими частинами,
яка містить 52 коефіцієнти. Як наслідок модель з такою великою кількістю
коефіцієнтів має формальний характер, тобто не має фізичного змісту. Вод-
ночас простіші рівняння легше аналізувати, і їх можна використовувати для
отримання моделі, що відображує фізику процесу.
Важливими є також розмір та складність моделі, якщо її використову-
ють для регулювання деякого технологічного процесу, причому параметри
цієї моделі обчислюються неперервно в режимі реального часу [23]. Очеви-
дно, що час ідентифікації та, як наслідок, запізнення такого регулювання
залежатимуть від складності моделі.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Мета дослідження — запропонувати числово-аналітичний метод, що дозво-
ляє спростити модель, яка отримана на основі єдиної спостережуваної змін-
ної досліджуваного об’єкта і, можливо, має надлишковість. Будемо вважати
модель надлишковою, якщо кількість складових у правих частинах її рів-
нянь більша за мінімально необхідну для того, щоб модель могла згенерува-
ти спостережувану змінну із заданою точністю.
Розглянемо систему
),,...,(
...
),,...,(
1
111
nnn
n
xxpx
xxpx
(1)
де ip — поліноми, ni ,...,1 . Відповідно до праці [24] будемо називати сис-
тему (1) оригінальною системою (ОС). Нехай система (1) була отримана за
ідентифікації деякого об’єкта за єдиною спостережуваною змінною )(1 tx і
має у правих частинах рівнянь 1K доданків, частина з яких може бути над-
лишковою. Таку ОС називатимемо надлишковою оригінальною системою
(НОС). Нехай також існує система виду
),,...,(
...
),,...,(
1
111
nnn
n
uuqu
uuqu
(2)
де iq — поліноми. При цьому ОС (2) є окремим випадком ОС (1) і містить
2K коефіцієнтів, причому 12 KK . Таку ОС будемо називати спрощеною
оригінальною системою (СОС).
Запропонований далі метод застосуємо до систем вигляду (1) з параме-
трами, які забезпечують режим детермінованого хаосу, що ускладнює по-
ставлену задачу порівняно з регулярним режимом. Критерієм адекватності
моделі (2) будемо вважати її здатність генерувати хаотичні усталені коли-
вання, близькі до усталених коливань НОС. Тобто СОС повинна мати атрак-
тор з динамічними характеристиками, близькими до атрактора НОС. Для
Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 137
кількісної оцінки такої близькості доцільно застосовувати критерії, які за-
стосовують у дослідженні хаотичних систем [25, 26]. Такими критеріями
можуть бути, наприклад, величина старшого показника Ляпунова та еквіва-
лентність відображення Пуанкаре для двох порівнюваних систем.
Також припускаємо, що ОС (2) може неточно відтворювати часовий
ряд НОС, тобто )()( 11 txtu , а розбіжність між часовими рядами можна ви-
разити через відносне середньоквадратичне відхилення (ВСКВ):
1
0
2
1
1
0
2
11
1
1
m
j
m
j
tjx
m
tjxtju
m
, (3)
де m — кількість точок часового ряду; t — крок дискретизації часового
ряду. Тому, не обмежуючись тільки згаданими критеріями близькості хао-
тичних моделей, виконаємо перевірку умови )()( 11 txtu за допомогою
ВСКВ (3).
ЧИСЛОВО-АНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД
Уведемо запропонований у праці [6] допоміжний тип систем, які застосову-
ватимуться для розв’язання поставленої задачі.
Означення. Будемо називати систему ЗДР диференціальною моделлю
(ДМ) для системи (1) за змінною )(1 tx , якщо вона має вигляд
,),,(),,(,,...,, 1113221 nDnNnnn yyPyyPyyyyyyy (4)
де NP та DP — поліноми. При цьому для систем (1) і (4) виконуються умови:
)()( 11 txty ; (5)
кожний коефіцієнт ДМ можна аналітично виразити через коефіцієнти ОС [6, 24].
Коефіцієнти ДМ можна визначити не тільки аналітично, але й число-
вим методом із часового ряду. В основу числового методу покладено запро-
понований підхід [6], який дає змогу за значеннями спостережуваної змінної
із часового ряду складати алгебричні рівняння, невідомими в яких будуть
коефіцієнти ДМ.
Запропонований у праці [6] підхід полягає в такому. Нехай в загально-
му випадку ДМ має 1Q коефіцієнтів kN ( 1,...,1 Qk ). Тоді для їх обчислен-
ня виконується вибірка значень 1Q точок часового ряду з деяким кроком
( tl , де ,...2,1l ) і складається система лінійних алгебричних рівнянь
(СЛАР), яка розв’язується щодо коефіцієнтів ДМ. Оскільки mQ 1 , то для
одного і того самого значення складаються декілька СЛАР, які
відповідають різним наборам точок. Далі, на основі множини розв’язків різ-
них СЛАР, для кожного kN за цими СЛАР визначається його середнє зна-
В.Г. Городецький, М.П. Осадчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 138
чення kN та середньоквадратичне відхилення )( kN від середнього. Отри-
мане таким чином значення kN береться як коефіцієнт kN . Складання
декількох СЛАР потрібне для визначення )( kN , яке буде використовува-
тись для ідентифікації структури спрощеної моделі.
Відповідно до праць [27, 28] ОС, що мають однакові спостережувані
змінні, також мають однакові ДМ. Якщо ж допустити наближену рівність
)()( 11 txtu , то можна використати більш просту ДМ, ніж ДМ, що відповідає
НОС. При цьому більш простій ДМ може відповідати ОС, простіша за НОС.
Для реалізації такого підходу можна запропонувати таку послідовність
дій:
1. За часовим рядом спостережуваної змінної НОС виконати реконст-
рукцію ДМ числовим методом, викладеним вище, або аналогічним. Під час
виконання числової реконструкції, крім власне значень коефіцієнтів ДМ,
обчислюється і їх показник значущості [29], який визначається за формулою
)( k
k
k N
N
. (6)
Величина значущості використовується для виявлення того, які з кое-
фіцієнтів наявні (або відсутні) у рівняннях ДМ. Коефіцієнтам, що наявні у
ДМ, відповідають вищі значення k .
2. Використовуючи величини значущості коефіцієнтів ДМ, спростити
її структуру.
3. Якщо аналітичні співвідношення не дозволяють отримати структуру
ДМ, отриману в пункті 2 числовим методом, то її потрібно звести у відпові-
дність до структури ДМ, яку можна отримати аналітично. А саме, необхідно
додати або видалити з ДМ коефіцієнт незалежно від його значущості, обчи-
сленої в пункті 2, інакше аналітичний перехід від ОС до ДМ стане неможли-
вим. Тобто неможливо буде отримати співвідношення, що зв’язують коефі-
цієнти ДМ та ОС.
4. Зменшувати кількість коефіцієнтів ДМ та ОС, повторюючи пункти
1–3, поки (3) перебуває в допустимих межах.
Для спрощеної ДМ виконати аналітичний перехід до ОС, яку можна
використовувати як СОС.
РЕЗУЛЬТАТИ
Запропонований підхід застосовано до НОС
,
,
,
2
29328
2
27
316215
2
1433221103
2
27316215
2
14221102
2
14221101
xcxxcxc
xxcxxcxcxcxcxccx
xbxxbxxbxbxbxbbx
xaxaxaax
(7)
яку отримано у праці [26] як реконструкцію за однією спостережуваною
змінною системи Лоренца [12] методом «Ansatz library». Цій спостере-
Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 139
жуваній змінній в системі (7) відповідає змінна )(1 tx , а змінні )(2 tx і )(3 tx
системи (7) у загальному випадку відрізняються від змінних системи Ло-
ренца. Тому для розв’язання задачі отримання СОС критерієм адекватності
моделі буде точність відтворення нею саме змінної )(1 tx . Коефіцієнти НОС
мають такі значення:
,799,10 a ,605,221 a ,650,212 a ;001,04 a
,961,00 b ,300,01 b ,617,112 b ,100,04 b
,104,05 b ,160,06 b ;026,07 b
,811,130 c ,518,151 c ,494,32 c ,552,23 c ,373,04 c
,445,15 c ,153,06 c ,748,37 c ,006,08 c 001,09 c .
Для порівняння, система Лоренца з використанням позначень (7) мати-
ме вигляд
.
,
,
215333
31622112
22111
xxcxcx
xxbxbxbx
xaxax
(8)
Для НОС (7) аналітично отримано ДМ вигляду
.)()
(
11
8
1412
6
140
7
139
2
2
4
138
2
5
137
6
136
3
2
2
135
2
2
3
1343
4
133
2
4
132
5
131
4
230
3
212632
2
124
2
2
2
123
3
2
1222
3
121
4
1203
2
217
3
21632114
2
21133
2
1122
2
111
3
110
2
39328
2
27
316215
2
1433221103
32
21
yDyN+yyN+yN+yyN
yyNyNyyNyyNyyN
yyNyNyNvyyNyyyNyyN
yyNyyNyNyyNyNyyyN
yyNyyNyyNyNyNyyNyN
yyNyyNyNyNyNyNN=y
,y=y
,y=y
(9)
Відповідно до запропонованої вище процедури, систему (7) розв’язано
методом Рунге–Кутта на інтервалі часу 20 с. Часовий ряд спостережуваної
)(1 tx містив 10000 точок. Для числової реконструкції ДМ застосовувався
числовий метод, викладений вище. Оскільки ДМ (9) має в останньому рів-
нянні дробово-раціональну функцію, то для визначення її коефіцієнтів не-
обхідно зафіксувати один з них. У цьому випадку це 11 D . Прийнятним
відхиленням значення )(1 ty від )(1 tx , що визначалося за формулою (3), бу-
ло %5 .
У результаті виконання числової реконструкції знайдено значення кое-
фіцієнтів ДМ (9), наведені в табл. 1, яким відповідає %29,0 . Разом з
отриманими середніми значеннями коефіцієнтів kN у табл. 1 наведено їх
значущість k , визначену за формулою (6).
В.Г. Городецький, М.П. Осадчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 140
Т а б л и ц я 1 . Коефіцієнти ДМ (9), отримані числовим методом
Коефіцієнт
ДМ kN k
Коефіцієнт
ДМ kN k
0N -0,015226564 0,532і
21N -0,99497109 934,852
1N 0,17971228 0,991
22N -1,4098766·10-4 1,089
2N -0,10248562 8,401
23N -0,027604776 384,615
3N 1,223774·10-3 0,691
24N -1,9606118·10-5 0,802
4N 722,34366 4736,900
26N 9,0433824·10-7 0,083
5N -29,687355 881,519
30N -1,9951926·10-7 0,335
6N -13,682629 6536,069
31N 4,6607558·10-4 0,619
7N 11,020315 4576,373 32N 7,1082154·10-5 0,544
8N 1,0063809 4933,494 33N 4,5985287·10-6 0,245
9N
2,7394538·10-4 20,231
34N -3,9544143·10-7 0,036
10N
0,036173508 1,140
35N -2,3034099·10-7 0,276
11N
-4,9147299·10-3 0,549
36N -1,5965374·10-5 0,206
12N
1,9873338·10-4 0,430
37N
1,9134588·10-6 0,123
13N
-7,8276573·10-4 0,820
38N 4,489668·10-7 0,938
14N
2,0339801·10-3 15,768
39N 3,04058·10-6 0,291
16N
-1,1853874·10-3 15,952
40N -7,1599273·10-8 0,235
17N
1,6361104·10-8 2,293·10-3
41N -3,2676237·10-8 0,303
20N -10,096385 1865,244 1D 1 -
За величинами значущості в табл. 1 можна припустити, які з коефіцієн-
тів ДМ дорівнюють нулю. На початку було прийнято рішення вважати ну-
льовими коефіцієнти зі значущістю 1k . У результаті числової реконст-
рукції спрощеної системи отримано значення коефіцієнтів ДМ (результат 1 з
табл. 2, наведені тільки значення ненульових коефіцієнтів); ВСКВ склало
%77,0 .
Т а б л и ц я 2 . Проміжні результати спрощення структури ДМ (9)
Результат 1 Результат 2 Результат 3 Коефіцієнт
ДМ kN k kN k kN k
2N
-0,090952501 1,203 0 - 0 -
4N
723,13973 337,453 718,74982 216,771 719,37258 206,100
5N
-29,766964 90,480 -29,279985 61,880 -29,219917 40,956
6N
-13,695687 340,931 -13,61807 285,083 -13,630099 260,810
7N
11,017883 555,829 11,000604 212,843 11,006899 198,225
Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 141
Продовження табл. 2
Результат 1 Результат 2 Результат 3 Коефіцієнт
ДМ
kN k kN k kN k
8N 1,0068978 312,910 1,0009097 190,190 1,0015468 170,560
9N 3,4511117·10-4 1,562 0 - 0 -
10N 0,091031772 1,547 0 - 0 -
13N 0 - 0 - 1,5857221·10-3 0,462
14N 1,8445206·10-3 5,507 1,828734·10-3 3,319 1,703134·10-3 2,225
16N -1,1764194·10-3 5,368 -1,1980193·10-3 3,306 -1,2326086·10-3 1,969
20N -10,109763 355,360 -10,040425 237,932 -10,0472 222,016
21N -0,99361513 222,726 -1,0005051 135,850 -1,0003238 109,904
22N -1,1860769·10-4 0,731 0 - 0 -
23N -0,027561882 87,347 -0,027714621 23,786 -0,027802232 24,354
1D 1 - 1 - 1 -
Як можна бачити, похибка відтворення часового ряду зросла, але ще
порівняно невелика, що не перешкоджає подальшому спрощенню структури
ДМ. Тому на даному етапі було прийнято рішення вважати рівними нулю
коефіцієнти з 2k . У результаті реконструкції після спрощення отримано
коефіцієнти ДМ, наведені в табл. 2 як результат 2, для якого ВСКВ склало
%82,2 .
Оскільки кінцева мета дослідження — отримання саме ОС (а не ДМ) з
меншою кількістю коефіцієнтів, то перехід від ДМ до такої ОС можна вико-
нати на основі аналітичних співвідношень між їх коефіцієнтами. Повністю
ці співвідношення подано у праці [30]. У цій роботі через їх великий обсяг,
вони не наводяться в повному обсязі, але нижче продемонстровано прикла-
ди застосування деяких з них.
Очевидно, що для переходу від диференціальної моделі до оригінальної
системи ДМ, які отримані числовим методом і аналітично, повинні мати од-
накову структуру. Оскільки структура ДМ, що відповідає результату 2
з табл. 2, отримана числовим методом, значно простіша за структуру, що
відповідає табл. 1, то необхідно дорівняти до нуля коефіцієнти ОС (7) таким
чином, щоб решта її ненульових коефіцієнтів через співвідношення, що
зв’язують коефіцієнти ОС та ДМ, дозволяла перейти до структури ДМ, яка
відповідає результату 2 з табл. 2. Наприклад, відповідно до цього результату
маємо, порівняно з табл. 1: 38353330241793 NNNNNNNN
04140 NN . Оскільки у виразах для цих коефіцієнтів ДМ [30] множни-
ком є коефіцієнт ОС 9c , то можна припустити, що в ОС 09 c .
Утім коефіцієнт ДМ
.06
3
21 baD (10)
Як наслідок, в ОС 02 a , 06 b . У результаті подібного аналізу от-
римано ОС
В.Г. Городецький, М.П. Осадчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 142
,
,
,
2
27215
2
14333
2
2731622112
221
xcxxcxcxcx
xbxxbxbxbx
xax
(11)
якій відповідає ДМ
)(
(
,
,
11
2
2
2
1232
3
121
4
120
3
21632114
2
2113328
2
27316215
2
143
32
21
yDyyNyyNyNyNyyyN
yyNyyNyNyyNyyNyNy
yy
yy
(12)
зі структурою, що найбільше наближена до структури ДМ, що була отрима-
на числовим методом (результат 2 з табл. 2). Зв’язок між коефіцієнтами сис-
тем (11) і (12) подано співвідношеннями:
,),(,, 2273226322531
2
24 baNcbaNcbaNcbaN
,,,2, 46
2
2207167143713 cbaNbNbNcbN
.,, 218762356221 aDNcbNcbaN (13)
Як можна бачити, у системі (12) є коефіцієнт 13N , який раніше (резуль-
тат 2 з табл. 2) вважався відсутнім в ДМ. Тому виконано повторну числову
реконструкцію для структури з додаванням цього коефіцієнта (результат 3 з
табл. 2), для якої ВСКВ склало %45,2 .
Слід зазначити, що для коефіцієнтів ДМ 14N і 16N зі співвідношення
(13) можна вивести співвідношення
1614 2NN , (14)
яке не виконується для значень цих самих коефіцієнтів, отриманих число-
вим методом (результат 3 з табл. 2). Для виконання умови (14) у співвідно-
шення (13) підставлялися різні значення 7b , обчислювалися 14N і 16N , які
разом з 118 DN вважалися відомими для виконання числової рекон-
струкції ДМ. У результаті за умови 0014,07 b отримано найменше
%41,2 . Уточнені коефіцієнти ДМ наведено в табл. 3. Подальше змен-
шення кількості коефіцієнтів ОС зумовило збільшення %5 . Тому на
цьому кроці спрощення структури завершено.
Далі визначено числові значення коефіцієнтів СОС. Для їх однозначно-
го визначення з урахуванням виразу (10) і 11 D взято 126 ab . На
підставі значень коефіцієнтів ДМ з табл. 3 отримано значення коефіцієнтів
СОС (11):
12 a , 5896502273,7837731 b , 10,9893522 b , 16 b , 0014,07 b ,
2,6247213 c , 10,0400044 c , 1,00064945 c , 30,027392927 c .
Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 143
Графіки спостережуваних
змінних НОС (7) і СОС (11) зо-
бражено на рис. 1. Можна бачи-
ти, що на початку інтервалу, що
розглядається, часові ря-
ди візуально збігаються. Швид-
ке розходження кривих пояс-
нюється тим, що ДМ, які
відповідають НОС і СОС, ма-
ють різні структури і збіг часо-
вих рядів їх спостережуваних
змінних можливий тільки на-
ближено. Цей ефект під-
силюється завдяки хаотичному
характеру обох систем.
Для кількісної оцінки сту-
пеня збігу часових рядів, на до-
дачу до , використовувалася
також величина часу збігу ct ,
тобто часу, впродовж якого часові ряди НОС )(1 tx і СОС )('1 tx
відрізняються не більше, ніж на :
})(')(,:{max 11 xxtttc . (15)
Тут і надалі було прийнято 315,3 , що складає 10% від діапазону
зміни значень досліджуваного часового ряду НОС. Для кривих рис. 1
3,7ct с, а значення ВСКВ %128,12 .
Т а б л и ц я 3 . Коефіцієнти ДМ (12)
Коефіцієнт ДМ kN k
4N 718,60602 67,334
5N -29,178146 39,184
6N -13,614073 101,198
7N 10,989352 94,219
8N 1 -
13N -1,8357897·10-3 0,073
14N 0,0028 -
16N -0,0014 -
20N -10,040004 77,889
21N -1,0006494 67,769
23N -0,027392923 7,412
1D 1 -
x 1
t
Рис. 1. Часові ряди )(1 tx для НОС (7) і СОС (11)
В.Г. Городецький, М.П. Осадчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 144
Порівняно невелика величина ct , визначена за виразом (15), а також
значна величина (3) пояснюються тим, що НОС (7) і СОС (11) мають різні
ДМ з різними спостережуваними )(1 ty . Тому за аналітичного переходу від
різних ДМ до ОС можна отримати різні значення )(1 tx , )(2 tx і )(3 tx . Це
стосується зокрема і початкових умов )0(1x , )0(2x і )0(3x . Оскільки хаоти-
чні системи мають високу чутливість до початкових умов, то це зумовлює
збільшення розходження часових рядів )(1 tx НОС і СОС. Тобто можна при-
пустити, що належна зміна початкових умов )0(2x і )0(3x , порівняно з об-
численими аналітично, зумовить збільшення ct і зменшення . Тому в око-
лі аналітично розрахованих початкових умов виконано пошук початкової
точки фазової траєкторії, яка забезпечує максимальне значення ct .
У результаті отримано початкові умови, для яких часові ряди збігають-
ся впродовж 20ct с (рис. 2), а %3,32 . Цей приклад показує, що підви-
щення якості реконструкції можливе також за рахунок зміни початкових
умов. Якщо для розв’язання деякої задачі потрібен максимально точний збіг
часових рядів, то цей прийом може виявитися достатньо ефективним, як по-
казано вище. Детально ця проблема у роботі не розглядається.
Фазові портрети системи Лоренца (8), НОС (7) і СОС (11) зображено на
рис. 3. Як можна бачити з рисунка, фазові портрети систем розрізняються,
оскільки НОС (7) і СОС (11) наближено відтворюють часовий ряд )(1 tx сис-
теми Лоренца (8), але часові ряди змінних )(2 tx і )(3 tx цих трьох систем
відрізняються. Водночас існує взаємно однозначне перетворення координат
НОС і ДМ (або СОС і ДМ), засноване на (5) і яке може бути виражене аналі-
тично. Оскільки координати ДМ являють собою спостережувану змінну та її
похідні, а спостережувані змінні НОС і СОС наближено збігаються, то
x 1
t
Рис. 2. Часові ряди 1( )x t для НОС (7) та СОС (11) зі зміненими початковими умовами
Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 145
координати ДМ (9) і (12) також наближено збігаються. Таким чином, можна
отримати наближену відповідність між змінними НОС і СОС, якщо послі-
довно виконати перетворення координат для систем НОС (7) – ДМ (9) – ДМ
(12) – СОС (11).
Для порівняння систем (7), (8), (11) виконано кількісну оцінку їх дина-
міки за допомогою обчислення старшого показника Ляпунова [31]. Для сис-
теми Лоренца (8) він склав 0,99911 , для системи (7) – 0,86242 і для
системи (11) – 0,91453 .
Розглянуто точкові відображення для цих самих систем (рис. 4). Відо-
браження побудовано для змінної 3x як залежність значення 1p -го локаль-
ного максимуму 1pM від попереднього локального максимуму pM ана-
Рис. 3. Часові ряди )(1 tx для НОС (7) і СОС (11) зі зміненими початковими умовами
x 2
x 2
x 2
x1 x1
x1
x1 x1 x1
x1 x1
x1
(8)
(7)
(11)
M
p+
1
(8
)
M
p+
1
(7
)
M
p+
1
(1
1)
Mp Mp Mp
Рис. 4. Точкові відображення для системи Лоренца (8), НОС (7) і СОС (11)
В.Г. Городецький, М.П. Осадчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 146
логічно до праць [26] і [12]. Як можна бачити з рис. 4, точкове відображення
для системи (11) має характер, аналогічний до системи Лоренца (8), у якому
точки розташовані вздовж ліній. Система (7) має більш розмите відобра-
ження. Ці графіки, як і значення показників Ляпунова, свідчать про близь-
кість властивостей динамічних систем.
ВИСНОВКИ
Запропонований метод дозволяє розв’язати проблему надлишковості моделі
у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь з поліноміальними
правими частинами. Метод дозволяє вибрати найбільш компактну структу-
ру, що містить найменшу кількість складових. При цьому похибка відтво-
рення спостережуваної змінної залишається в заданих межах навіть для сис-
тем з детермінованим хаосом, попри їх високу чутливість до початкових
умов. У розглянутому прикладі вдалося зменшити кількість коефіцієнтів у
правих частинах рівнянь з 21 до 9. Можливість використання спрощеної си-
стеми замість надлишкової підтверджується не тільки схожістю їх фазових
портретів, але і близькістю часових рядів спостережуваних змінних.
Спрощення системи ЗДР запропонованим методом виконується за два
етапи і досягається вилученням з рівнянь складових, які мало впливають на
часовий ряд. Спочатку за допомогою показника значущості спрощується
ДМ зі збереженням точності відтворення часового ряду в заданих межах.
Потім на основі аналітичних співвідношень виконується перехід від більш
простої ДМ до більш простої ОС. У загальному випадку на основі однієї ДМ
можна отримати декілька варіантів структури СОС. Завдяки цьому дослід-
ник може обирати модель не тільки на основі точності відтворення часового
ряду, але і за іншими критеріями, наприклад, виходячи з фізичних мірку-
вань.
Метод доцільно застосовувати у випадку, коли дослідник має модель,
яка описує деякий фізичний процес і яка може мати надлишкові складові в
рівняннях.
ЛІТЕРАТУРА
1. T. Bohlin, Practical grey-box process identification: Theory and applications. Lon-
don: Springer-Verlag, 2006, 351 p.
2. X. Hong, R.J. Mitchell, S. Chen, C.J. Harris, K. Li, and G.W. Irwin, “Model selec-
tion approaches for non-linear system identification: a review”, International Jour-
nal of Systems Science, 39, no. 10, pp. 925–946, 2008.
3. S. Chen, S.A. Billings, and W. Luo, “Orthogonal Least Squares Methods and their
Applications to Nonlinear System Identification”, International Journal of Control,
50, pp. 1873–1896, 1989.
4. J. Cremers and A. Hübler, “Construction of differential equations from experimental
data”, Naturforsch, 42 (a), pp. 797–802, 1987.
5. J.L. Breeden and A. Hübler, “Reconstructing equations of motion from experimental
data with unobserved variables”, Phys. Rev. A, 42, pp. 5817–5826, 1990.
6. G. Gouesbet, “Reconstruction of the vector fields of continuous dynamical systems
from numerical scalar time series”, Phys. Rev. A, 43, pp. 5321–5331, 1991.
7. U. Parlitz, “Estimating Model Parameters from Time Series by Autosynchroniza-
tion”, Physical review letters, 76, no. 8, pp. 1232–1235, 1996.
Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 3 147
8. G. Rowlands and J.C. Sprott, “Extraction of dynamical equations from chaotic data”,
Physica D, 58, pp. 251–259, 1992.
9. G.L. Baker, J.P. Gollub, and J.A. Blackburn, “Inverting chaos: Extracting system pa-
rameters from experimental data”, Chaos, 6, no. 4, pp. 528–533, 1996.
10. C. Letellier, L.Le. Sceller, E. Maréchal, P. Dutertre, B. Maheu, and G. Gouesbet,
“Global vector field reconstruction from a chaotic experimental signal in copper
electrodissolution”, Physical review E, 51, pp. 4262–4266, 1995.
11. G.K. Vallis, “Conceptual models of El Niño and southern oscillations”, Journal of
geophysical research, 93, no. 11, pp. 13979–13991, 1988.
12. E.N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, J. Atmos. Sci., 20, pp. 130–141,
1963.
13. D. Gurel and O. Gurel, Oscillations in chemical reactions. Springer, 1983, 124 p.
14. I.-C. Chou and E.O. Voit, “Recent developments in parameter estimation and struc-
ture identification of biochemical and genomic systems”, Mathematical Biosciences,
219, pp. 57–83, 2009.
15. S. Mangiarotti, L. Drapeau, and C. Letellier, “Two chaotic global models for cereal
crops cycles observed from satellite in northern Morocco”, Chaos, 24, 023130, 2014.
16. S. Mangiarotti, M. Peyre, and M. Huc, “A chaotic model for the epidemic of Ebola
virus disease in West Africa (2013–2016)”, Chaos, 26, 113112, 2016.
17. L.F.P. Franca and H.I. Weber, ”Experimental and numerical study of a new reso-
nance hammer drilling model with drift”, Chaos, Solitons and Fractals, 21,
pp.789–801, 2004.
18. C. Liu, D. Qin, J. Wei, and Y. Liao, “Investigation of nonlinear characteristics of the
motor-gear transmission system by trajectory-based stability preserving dimension
reduction methodology”, Nonlinear Dyn., 94, pp. 1835–1850, 2018.
19. W. Horbelt, J. Timmer, M.J. Bünner, R. Meucci, and M. Ciofini, “Dynamical model-
ling of measured time series from a Q-switched CO2 laser”, Chaos, Solitons and
Fractals, 17, pp. 397–404, 2003.
20. L.A. Aguirre and C. Letellier, “Modeling nonlinear dynamics and chaos: A review”,
Mathematical Problems in Engineering, 238960, 2009.
21. L.A. Aguirre and S.A. Billings, “Dynamical effects of overparametrization in non-
linear models”, Physica D, 80, pp. 26–40, 1995.
22. E.M.A.M. Mendes and S.A. Billings, “On overparametrization of nonlinear discrete
systems”, International Journal of Bifurcation and Chaos, 8, no. 3, pp. 535–556,
1998.
23. G. Olsson and G. Piani, Computer systems for automation and control; 2nd edition.
Prentice Hall International (UK) Ltd., London, 1998, 497 p.
24. G. Gouesbet, “Reconstruction of standard and inverse vector fields equivalent to the
Rössler system”, Phys. Rev. A, 44, pp. 6264–6280, 1991.
25. J. Maquet, C. Letellier, and L.A. Aguirre, “Scalar modeling and analysis of a 3D bi-
ochemical reaction model”, Journal of theoretical biology, 228, pp. 421–430, 2004.
26. C. Lainscsek, C. Letellier, and F. Schürrer, “Ansatz library for global modeling with
a structure selection”, Phys. Rev. E, 64, 016206, pp. 1–15, 2001.
27. C. Lainscsek, “A class of Lorenz-like systems”, Chaos, 22, 013126, 2012.
28. V. Gorodetskyi and M. Osadchuk, “Analytic reconstruction of some dynamical sys-
tems”, Phys. Lett. A, 377, pp. 703–713, 2013.
29. C. Lainscsek, C. Letellier, and I. Gorodnitsky, “Global modeling of the Rössler sys-
tem from the z-variable”, Phys. Lett. A, 314, pp. 409–427, 2003.
30. V. Gorodetskyi and M. Osadchuk, “Simplification of a reconstructed model”, Inter-
national Journal of Dynamics and Control, 7 (4), pp. 1213–1224, 2019.
31. J.C. Sprott, Elegant chaos. Algebraically simple chaotic flows. Singapore: World
Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2010, 285 p.
Надійшла 15.02.2021
В.Г. Городецький, М.П. Осадчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 3 148
INFORMATION ON THE ARTICLE
Viktor G. Gorodetskyi, ORCID: 0000-0003-4642-3060, Institute of Energy Saving and
Energy Management of the National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv
Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail: v.gorodetskyi@ukr.net
Mykola P. Osadchuk, ORCID: 0000-0002-3409-9315, Institute of Energy Saving and
Energy Management of the National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv
Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail: 13717421@ukr.net
РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ИЗБЫТОЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ / В.Г. Городец-
кий, Н.П. Осадчук
Аннотация. Предложен численно-аналитический метод, позволяющий упрос-
тить модель, полученную на основе единственной наблюдаемой переменной
исследуемого объекта, и которая, возможно, имеет избыточность. В качестве
такой модели рассмотрена система обыкновенных дифференциальных уравне-
ний с полиномиальными правыми частями. Для решения поставленной задачи
использована так называемая дифференциальная модель, т.е. система, в кото-
рой неизвестные переменные заменяются производными наблюдаемой пере-
менной, и которая выводится на основе исследуемой системы таким образом,
чтобы наблюдаемые переменные этих систем совпадали. Метод упрощения
исследуемой системы основан на том, чтобы по временному ряду с помощью
численного метода можно получить дифференциальную модель, которая про-
ще дифференциальной модели исследуемой системы. Выполнен аналитичес-
кий переход от упрощенной дифференциальной модели к упрощенной ориги-
нальной системе. Погрешность реализации наблюдаемой переменной
оставалась в заданных пределах даже для систем с детерминированным хао-
сом, несмотря на их высокую чувствительность к начальным условиям.
Ключевые слова: временной ряд, оригинальная система, дифференциальная
модель, численный метод, аналитический метод.
SOLVING THE PROBLEM OF MATHEMATICAL MODELS OVERPARA-
METERIZATION FOR SOME NONLINEAR OSCILLATING SYSTEMS /
V.G. Gorodetskyi, M.P. Osadchuk
Abstract. This study proposes a numerical-analytical method that allows us to
simplify the model, which is obtained on the basis of the single observable variable
of an object under the study, and which may be overparameterized. As a model, we
consider a system of ordinary differential equations with polynomial right-hand
sides. To solve this problem, the so-called differential model is used, that is, a
system in which unknown variables are replaced by derivatives of the observed
variable, and which is derived on the basis of a system under the study so that the
observed variables of these systems coincide. The method of simplification of a
system under the study is based on the fact that using a numerical method, a simpler
differential model can be obtained. Next, an analytical transition from a simplified
differential model to a simplified original system is performed. In this case, the time
series error remains within given limits even for systems with deterministic chaos,
despite their high sensitivity to the initial conditions.
Keywords: time series, original system, differential model, numerical method,
analytical method.
|
| id | journaliasakpiua-article-244616 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:27:37Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/97/a4bf48d3cf7dcac68647ea98218dce97.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2446162022-02-09T17:33:09Z Solving the problem of mathematical models overparameterization for some nonlinear oscillating systems Решение проблемы избыточности математических моделей некоторых нелинейных колебательных систем Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних коливальних систем Gorodetskyi, Viktor Osadchuk, Mykola временной ряд оригинальная система дифференциальная модель численный метод аналитический метод часовий ряд оригінальна система диференціальна модель числовий метод аналітичний метод time series original system differential model numerical method analytical method This study proposes a numerical-analytical method that allows us to simplify the model, which is obtained on the basis of the single observable variable of an object under the study, and which may be overparameterized. As a model, we consider a system of ordinary differential equations with polynomial right-hand sides. To solve this problem, the so-called differential model is used, that is, a system in which unknown variables are replaced by derivatives of the observed variable, and which is derived on the basis of a system under the study so that the observed variables of these systems coincide. The method of simplification of a system under the study is based on the fact that using a numerical method, a simpler differential model can be obtained. Next, an analytical transition from a simplified differential model to a simplified original system is performed. In this case, the time series error remains within given limits even for systems with deterministic chaos, despite their high sensitivity to the initial conditions. Предложен численно-аналитический метод, позволяющий упростить модель, полученную на основе единственной наблюдаемой переменной исследуемого объекта, и которая, возможно, имеет избыточность. В качестве такой модели рассмотрена система обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями. Для решения поставленной задачи использована так называемая дифференциальная модель, т.е. система, в которой неизвестные переменные заменяются производными наблюдаемой переменной, и которая выводится на основе исследуемой системы таким образом, чтобы наблюдаемые переменные этих систем совпадали. Метод упрощения исследуемой системы основан на том, чтобы по временному ряду с помощью численного метода можно получить дифференциальную модель, которая проще дифференциальной модели исследуемой системы. Выполнен аналитический переход от упрощенной дифференциальной модели к упрощенной оригинальной системе. Погрешность реализации наблюдаемой переменной оставалась в заданных пределах даже для систем с детерминированным хаосом, несмотря на их высокую чувствительность к начальным условиям. Запропоновано числово-аналітичний метод, що дозволяє спростити модель, отриману на основі єдиної спостережуваної змінної досліджуваного об’єкта, яка, можливо, має надлишковість. Як таку модель розглянуто систему звичайних диференціальних рівнянь з поліноміальними правими частинами. Для розв’язання поставленої задачі використано так звану диференціальну модель, тобто систему, у якій невідомі змінні замінюються похідними спостережуваної змінної і яка виводиться на основі досліджуваної системи таким чином, щоб спостережувані змінні цих систем збігалися. Метод спрощення досліджуваної системи ґрунтується на тому, щоб з часового ряду за допомогою числового методу можна отримати диференціальну модель, яка простіша за диференціальну модель досліджуваної системи. Виконано аналітичний перехід від спрощеної диференціальної моделі до спрощеної оригінальної системи. Похибка реалізації спостережуваної змінної залишалася в заданих межах навіть для систем з детермінованим хаосом, незважаючи на їх високу чутливість до початкових умов. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2021-09-30 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/244616 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.3.11 System research and information technologies; No. 3 (2021); 135-148 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2021); 135-148 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2021); 135-148 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/244616/242429 |
| spellingShingle | часовий ряд оригінальна система диференціальна модель числовий метод аналітичний метод Gorodetskyi, Viktor Osadchuk, Mykola Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних коливальних систем |
| title | Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних коливальних систем |
| title_alt | Solving the problem of mathematical models overparameterization for some nonlinear oscillating systems Решение проблемы избыточности математических моделей некоторых нелинейных колебательных систем |
| title_full | Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних коливальних систем |
| title_fullStr | Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних коливальних систем |
| title_full_unstemmed | Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних коливальних систем |
| title_short | Розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних коливальних систем |
| title_sort | розв’язання проблеми надлишковості математичних моделей деяких нелінійних коливальних систем |
| topic | часовий ряд оригінальна система диференціальна модель числовий метод аналітичний метод |
| topic_facet | временной ряд оригинальная система дифференциальная модель численный метод аналитический метод часовий ряд оригінальна система диференціальна модель числовий метод аналітичний метод time series original system differential model numerical method analytical method |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/244616 |
| work_keys_str_mv | AT gorodetskyiviktor solvingtheproblemofmathematicalmodelsoverparameterizationforsomenonlinearoscillatingsystems AT osadchukmykola solvingtheproblemofmathematicalmodelsoverparameterizationforsomenonlinearoscillatingsystems AT gorodetskyiviktor rešenieproblemyizbytočnostimatematičeskihmodelejnekotoryhnelinejnyhkolebatelʹnyhsistem AT osadchukmykola rešenieproblemyizbytočnostimatematičeskihmodelejnekotoryhnelinejnyhkolebatelʹnyhsistem AT gorodetskyiviktor rozvâzannâprobleminadliškovostímatematičnihmodelejdeâkihnelíníjnihkolivalʹnihsistem AT osadchukmykola rozvâzannâprobleminadliškovostímatematičnihmodelejdeâkihnelíníjnihkolivalʹnihsistem |