Узагальнення формули Троттера–Далецького для систем типу "реакція–дифузія"
An iterative method for constructing a solution to the Cauchy problem for a system of parabolic equations with a nonlinear potential has been proposed and substantiated. The method is based on the Trotter–Daletsky formula, generalized for a nonlinear perturbation of an elliptic operator. The idea of...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2021
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/252318 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866302800881778688 |
|---|---|
| author | Bondarenko, Viktor Kravchenko, Anna Sobko, Tetiana |
| author_facet | Bondarenko, Viktor Kravchenko, Anna Sobko, Tetiana |
| author_sort | Bondarenko, Viktor |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-06-20T14:19:48Z |
| description | An iterative method for constructing a solution to the Cauchy problem for a system of parabolic equations with a nonlinear potential has been proposed and substantiated. The method is based on the Trotter–Daletsky formula, generalized for a nonlinear perturbation of an elliptic operator. The idea of generalization is the construction of a composition of the semigroup generated by the Laplacian and the phase flow corresponding to a system of ordinary differential equations. A computational experiment performed for a two-dimensional system of semilinear parabolic equations of the “reaction–diffusion” type confirms estimates for the convergence of iterations established in the proof of this formula. Obtained results suggest the feasibility of an unconventional approach to modeling dynamic systems with distributed parameters. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.4.08 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:27:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.Г. Бондаренко, А.А. Кравченко, Т.А. Собко, 2021
102 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 4
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 517.956
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.4.08
ОБОБЩЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТРОТТЕРА–ДАЛЕЦКОГО
ДЛЯ CИСТЕМ ТИПА «РЕАКЦИЯ–ДИФФУЗИЯ»
В.Г. БОНДАРЕНКО, А.А. КРАВЧЕНКО, Т.А. СОБКО
Аннотация. Предложен и обоснован итерационный метод построения реше-
ния задачи Коши для системы параболических уравнений с нелинейным по-
тенциалом. Основой метода является формула Троттера–Далецкого, обоб-
щенная для нелинейного возмущения эллиптического оператора. Идея
обобщения — построение композиции полугруппы, порожденной лапласиа-
ном, и фазового потока, соответствующего системе обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. Установленные при доказательстве этой формулы оцен-
ки сходимости итераций подтверждены вычислительным экспериментом,
выполненным для двумерной системы полулинейных параболических уравне-
ний типа «реакция–диффузия». Полученные результаты позволяют предполо-
жить целесообразность нетрадиционного подхода к моделированию динами-
ческих систем с распределенными параметрами.
Ключевые слова: параболическое уравнение, полугруппа операторов, теория
возмущений.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Системы параболических уравнения типа «реакция–диффузия» используют-
ся как математическая модель при описании некоторых природных и техни-
ческих объектов. Такая система имеет вид
)(ufuL
t
u
iii
i
, Ni ,...,1 , (1)
где )),(),...,,((),( xtuxtuxtu Ni ; iL — эллиптический оператор второго порядка:
d
k k
ki
d
kj kj
jkii x
xb
xx
xaL )()( ,
,
2
, , dRx , матрицы )x()( , jkii axA
удовлетворяют неравенствам IxAi )( , 0 . Уравнения вида (1) клас-
сифицируются как полулинейные параболические уравнения. Свойства по-
лулинейных параболических систем приведены в работе [1]. В данной
работе (1) трактуется как возмущенная линейная параболическая система,
где iL , возмущением является )(uf . Для линейного возмущения
Buuf )( известен итерационный метод построения полугруппы )( BATe ,
соответствующей эволюционному уравнению
Обобщение формулы Троттера–Далецкого для систем типа «реакция–диффузия»
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 4 103
uBA
dt
du
)( .
Этот метод основан на формуле Троттера, которая в работе [2] приве-
дена в следующем виде:
n
B
n
T
A
n
T
n
BAT eee )(lim)(
, (2)
где
T
n
kT
n
T
,...,...,, — разбиение отрезка ],0[ T . Так как это соотношение
доказано одновременно и независимо Т. Троттером и Ю.Л. Далецким, в
дальнейшем (2) будем называть формулой Троттера–Далецкого.
Введем обозначения:
1) )),(),...,,((),( 1 atgatgatg N , ),...,( 1 Naaa — решение задачи Коши
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
),...,( 1 Ni
j ggf
dt
dg
, jNj aaag ),...,,0( 1 , aGatg t),( ,
где tG — фазовый поток векторного поля f ;
2) ),(z xt — решение задачи Коши невозмущенной линейной параболи-
ческой системы
i
i Lz
t
z
, )(),0( xxz ii , dyyxtpyxextz tL ),,()(φ))(φ(),( ;
3) )),(z,(),( xttgxtv , dyyxtpytgwxtw ),,())(φ,(),( — композиции
решений.
Отметим, что )(φ),0(),0( xxwxv .
Обозначим через )(tH , ];0[ St , нелинейную полугруппу, порожден-
ную генератором fL :
),())(φ)(( xtuxtH .
Тогда обобщение формулы (2) представляется в виде
,)(lim)( n
L
n
T
n
T
n
eGTH
(3)
или n
n
T
L
n
T
n
GeTH )(lim)(
, (4)
где сходимость понимается в норме пространства )( dRC .
Для скалярного уравнения соотношение (3) доказано в работе [3].
В данной работе представлены следующие результаты:
— доказана теорема сравнения для решений скалярного уравнения; по-
строены субрешения и суперрешения;
— для системы уравнений
)(ufu
t
u
ii
i
обобщена версия (3) формулы Троттера–Далецкого. Вычислительный эксперимент
подтверждает оценки сходимости соответствующей итерационной процедуры.
В.Г. Бондаренко, А.А. Кравченко, Т.А. Собко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 4 104
ТЕОРЕМА СРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЛЯРНОГО ПОЛУЛИНЕЙНОГО
УРАВНЕНИЯ
Построим оценки классического решения ),( xtu задачи Коши для одномер-
ного параболического уравнения
)(ufLu
t
u
, 0)(),0( xxu , ];0( St ,
d
Rx , (5)
где )),(()(tr 2 uxbuxALu ; коэффициенты эллиптического оператора L
ограничены и удовлетворяют условию Гельдера, что гарантирует существо-
вание фундаментального решения.
Пусть )x,(tz — решение задачи Коши для невозмущенного уравнения
Lz
t
z
, 0)(),0( xxz .
Для линейного возмущения uxcuf )()( , Mxcm )( , справедлива
двусторонняя оценка:
),(),(),( xtzextuxtze Mtmt .
Сходная оценка применима и для решения задачи (5), если sDxtu ),( ,
0)0( f , Mufm )( , sDu . Доказательство следует из линеаризации (5):
.)),(( uxtfLu
t
u
Рассмотрим задачу Коши для двух уравнений:
),()( 11
1 xtmufLu
t
u
, )( 22
2 ufLu
t
u
, 0t ,
d
Rx ,
),0(),0( 21 xuxu , .0),( xtm (6)
Приведенные ниже условия на функцию f гарантируют существование
классического решения задачи Коши.
Для линейной функции uxcuf )()( справедливо неравенство
),(),( 21 xtuxtu ,
d
Rx , 0t . (7)
Для нелинейного возмущения неравенство (7) справедливо при до-
полнительных условиях. Оно выполняется, если x , diam ,
),(),( 21 xtuxtu , x [1]. Сформулируем достаточное условие этого не-
равенства для задачи Коши.
Утверждение. Пусть функция )(uf в уравнениях (6) удовлетворяет ус-
ловию: Muf )(0 , sDu . Тогда для решений справедливо неравенство
),(),( 21 xtuxtu ,
d
Rx , ];0[ St .
Для доказательства рассмотрим разность ),(),(),( 21 xtuxtuxth , ко-
торая удовлетворяет задаче Коши
Обобщение формулы Троттера–Далецкого для систем типа «реакция–диффузия»
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 4 105
),()),(( xtmhxtfLh
t
h
, ];0[ St , 0),0( xh ,
и из условия на f следует, что 0),( xth .
Введенная выше композиция )),(,(),( xtztgxtv естественно возникает
в теоремах сравнения в качестве суб- или суперрешения задачи Коши (5) в
зависимости от направления выпуклости )(uf , sDu .
Теорема 1. Пусть в задаче (5) возмущение )(uf для sDu удовлетво-
ряет условиям:
0)( uf , 0)( uf , )(uf вогнута и ограничена.
Тогда ),(),( xtvxtu , ];0[ St ,
d
Rx .
Для выпуклой f при тех же условиях
),(),( xttxtv , ];0[ St ,
d
Rx .
Доказательство. Воспользуемся явным выражением для невязки
),( xtm функции ),( xtv , полученным в работе [3]:
))()()(,)((
)(
)(
)(
2
vfzfzzxA
zf
vf
vfLv
t
v
m
.`
Для вогнутой f производная f невозрастающая функция, из условия
0)( uf следует неравенство ),(),( xtzxtv , т.е. 0),( xtm , откуда и сле-
дует утверждение теоремы. Аналогично рассматривается вариант выпукло-
сти ,f при котором 0),( xtm .
Пример 1. Для задачи Коши uLu
t
u
, 0),0( xu , справедливо не-
равенство
2
),(
2
),(
xtz
t
xtu .
Пример 2. )1log()1(
uuLu
t
u
, 0),0( xu ; 1)1(),(
teaatg ,
).,(1)1),(( xtuxtz
te
Замечание. Для композиции )(),,())(,(),( t
tLGedyyxtpytrxtw
невязка
)),((),,()))(,(()( xtwfdyyxtpytrfwfLw
t
w
и ее знак также зависят от направления выпуклости )(uf . Так как
1),,( dyyxtp , то из неравенства Йенсена следует:
0 для выпуклой (сonvex) )(uf , 0 для вогнутой (concave ) )(uf ,
т.е. ),( xtw , также является суб- или суперрешением.
В.Г. Бондаренко, А.А. Кравченко, Т.А. Собко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 4 106
ФОРМУЛА ТРОТТЕРА–ДАЛЕЦКОГО ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим задачу Коши
)(ufu
t
u
jj
j
, )(φ),0( xxu , dRx , ];0[ St (8)
и обозначим sN Dxtuxtuxtu )),(),...,,((),( 1 классическое решение. Фун-
даментальная матрица решений невозмущенной линейной системы
IyxtpyxtP ),,(),,( ,
t
yx
tyxtp
n
4
||
exp)4(),,(
2
2 .
Условия на функцию f :
)(2
sDCf , и ее производные удовлетворяют оценкам:
M
f
k
j
ξ , 21121)ξ( IIMIIf , sDξ , (9)
где )ξ(f — билинейный симметричный оператор Ndd RRRf :)ξ( ,
kj
d
kj kj
i
i cb
f
bcf
1,
2
)ξ())ξ(( .
Условие на начальную функцию φ
2
2
),,()(φ cdyyxtpyi , ];0[ Tt . (10)
При этих условиях на векторное возмущение f существует классиче-
ское решение задачи Коши (8).
Для построения итерационной процедуры, соответствующей форму-
ле (3), введем следующие обозначения:
1. 110 ,...,, n — разбиение отрезка ];0[ T , ST :
n
T
k
n
T
kk )1(; ,
1
0
];0[
n
k
kT ;
n
T
kstt k ,
n
T
s 0 .
2. Определим функции:
dyyxspyxsz ),,()(φ),(0 , )),(,(),( 01 xszsgxsh ;
dyyxspy
n
T
hxsz ),,(,),( 11 , )),(,(, 12 xszsgx
n
T
sh
;
dyyxspy
n
T
khxsz kk ),,(,),( , )),(z,(,1 xssgx
n
T
ksh kk
;
1,...,0 nk ; )),0(z, 1 xchx
n
T
kh kkk
.
В терминах эволюционных операторов:
Обобщение формулы Троттера–Далецкого для систем типа «реакция–диффузия»
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 4 107
x
n
T
kheGx
n
T
ksh ksL
s
k ,,1 , )(φ)(),( xeGxTh n
L
n
T
n
T
n
.
3. Функцию ),( xth ];0[ Tt определим равенством:
),(),( 1 xthxth k , если
n
T
k
n
T
kt k )1(; .
Рассмотрим разность ),(),( xtuxth , где ),( xtu — решение задачи Ко-
ши (8), и обозначим
2
),(),(h),( xtuxtxt .
Для
n
T
kst
hxsx
n
T
ksux
n
T
kshxt kk ),(,,),( 1
2
1
.
Теорема 2. Пусть выполнены условия (9), (10). Тогда справедливо не-
равенство
2
3
,),(
n
T
Cx
n
T
xT n
.
Схема доказательства. Так как )),(),...,,((),(z 1 xtzxtzxt N удовле-
творяет системе j
j z
t
z
с начальными условиями ),0( xz , то функция
)),(z,(g),( xttxsh является решением задачи Коши
),()( xtmzfh
t
h
jjj
j
, ),0(z),0( xxh , (11)
где координаты ),( xtm j невязки:
lsi i
l
sl
j
i
s
jj
j
j x
z
aa
g
x
z
hfh
t
h
xtm
,,
2
)(),(
))()(,(
1
zzztg ii
d
i
j
),( xtzz .
Из уравнения (11) выводится неравенство для функции ),( xt
2
),()12( xtmMN
t
, Tt 0 .
Это неравенство для kt , ),(),( 1 xsxt k принимает форму
21
4
11 ),(m xtc
s
kkkk
, )12(4 MNc . (12)
Условия согласованности: ),0(, 21 xx
n
T kk
.
В свою очередь, из условий (9) следует оценка невязки
В.Г. Бондаренко, А.А. Кравченко, Т.А. Собко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 4 108
n
T
kM
k escxsm
)1(4
2
3
2
),(
, 2
123 )( dMcc . (13)
Фундаментальное решение линейного параболического уравнения
2
4 ),( xtmc
s
k
,
соответствующего неравенству (12), имеет вид ),,(4 yxtpe tc ; отсюда следует
неравенство:
y),,(),0(),( 11 4 dyxspyexs ksck
s
ksc dyyxspyted
0
2)( ),,(),(m4 . (14)
Положим
n
T
s и воспользуемся неравенством (13). Если для некото-
рого k априорно известна не зависящая от x оценка: 11 ,0 kk x , то из
неравенства (14) следует неравенство
)44(
3
3
311 44
3
,
kMMc
n
T
n
T
c
kk eT
n
c
ex
n
T
.
Усилим последнее неравенство, полагая )4,(max 4 McE :
2
)22(
3
3
311
3
,
k
kEE
n
T
n
T
E
kk eT
n
c
ex
n
T
. (15)
Пусть 0k ; тогда 01 , 2
2
3
3
31
3
,
n
T
E
eT
n
c
x
n
T
.
Рекуррентная процедура оценивания приводит к неравенству
n
T
Ek
k eT
n
c
kx
n
T )2(
3
3
31
3
)1(,
,
и для 1 nk справедлива оценка
3
2
,, T
n
c
xTx
n
Tn
.
Вывод. Доказано соотношение 0),(),(sup xTuxThn
x
, n , где
скорость сходимости определяется неравенством
2
3
φ)(φ T
n
C
THeG
n
L
n
T
n
T
, — норма в )( dRC . (16)
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В качестве примера для вычислительного эксперимента рассмотрим задачу
Коши для системы уравнений
Обобщение формулы Троттера–Далецкого для систем типа «реакция–диффузия»
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 4 109
)(
2
1 22
2
2
vuu
x
u
t
u
, uvv
x
v
t
v
2
2
,
)(
1
1
),0( 12
x
x
xu
, )(
)1(2
1
),0( 22
x
x
xv
. (17)
Решение задачи Коши для соответствующей системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
)(
2
1 22 rqq
t
q
, qrr
t
r
, aq )0( , br )0(
имеет вид
b
a
G
batr
batq
atg t),,(
),,(
),( ,
где
t
t
t
t
ebaba
e
ba
ebaba
e
batq
)()(2
)(
)()(2
)()(
;
t
t
t
t
ebaba
e
ba
ebaba
e
batr
)()(2
)(
)()(2
)()(
.
Целью вычислительного эксперимента является сравнение векторной
композиции )),(),,((),( xtkxthxth с решением задачи Коши (17) для
3,2,1t . Значения ),(),,( xtvxtu вычисляются с помощью метода конечных
разностей с использованием библиотеки python numpy, а также была ис-
пользована библиотека scipy.integrate для вычисления интегралов.
Композиция ),( xth строится двумя способами. Первый способ соответ-
ствует версии (3) формулы Троттера–Далецкого, второй — версии (4).
Первый способ )( tL
teGh .
Для ],1;0[,2,1,0, sjjst функции ),(1 xjsh j , ),(1 xjsk j
строятся по приведенной выше процедуре:
)),,(),,(,(),( 21
1 xszxszsqxjsh jjj )),,(),,(,(),( 21
1 xszxszsrxjsk jjj
где
dyyxtpyxsz ),,()(),( 1
0
1
,),,()(),( 2
0
2 dyyxtpyxsz
,),,(),1(),(1 dyyxtpyhxsz jj
.),,(),1(),(2 dyyxtpykxsz jj
Второй способ )( t
tLGeh .
Функции ]1;0[,2,1,0),,(),,( 11 sjxjskxjsh jj , строятся как
решения задачи Коши для уравнений
2
121
2
121
,
x
k
s
k
x
h
s
h jjjj
В.Г. Бондаренко, А.А. Кравченко, Т.А. Собко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 4 110
на интервалах }32{},21{},10{ 210 ttt , с такими на-
чальными условиями:
для 0j ))(),(,1(),0()),(),(,1(),0( 21
1
21
1 xxrxkxxqxh ;
для 1j )),1(),,1(,1(),1()),,1(),,1(,1(),1( 112112 xkxhrxkxkxhqxh ;
для 2j )),2(),,2(,1(),2()),,2(),,2(,1(),2( 223223 xkxhrxkxkxhqxh .
Например,
dyyxtpykyhqxsh ),,()),2(),,2(,1(),2( 223 .
Значения композиции ),(),,( 11 xtkxth jj получены с помощью библио-
теки python numpy и scipy.integrate. Результаты вычислений, визуализиро-
ванных с помощью пакета matplotlib, представлены графически на рис. 1–6.
Графики функций ),,( xju ),,( xjv 3,2,1j , показаны сплошной линией,
графики композиций — точкой-тире.
1
–20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
u(t,x)
h(t,x)
t=1,0
Рис. 1. ),1(),,1( 1 xhxu
Рис. 2. ),1(),,1( 1 xkxv
–20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
t=1,0
v(t,x)
k(t,x)
Обобщение формулы Троттера–Далецкого для систем типа «реакция–диффузия»
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 4 111
Результаты вычислений подтверждают оценку (16): погрешность при-
ближения возрастает как функция временного интервала длины T . Для
1T графики решений задачи Коши и композиций почти идентичны.
Рис. 3. ),2(),,2( 2 xhxu
–20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
t=2,0
u(t,x)
h(t,x)
Рис. 4. ),2(),,2( 2 xkxv
t=2,0
–20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
v(t,x)
k(t,x)
Рис. 5. ),3(),,3( 3 xhxu
–20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
1u(t,x)
h(t,x)
t=3,0
В.Г. Бондаренко, А.А. Кравченко, Т.А. Собко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 4 112
О КОНСТРУКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Пусть )0()( ttu — функция, принимающая значения в некотором норми-
рованном пространстве X , удовлетворяющая эволюционному уравнению
( )
du
u
dt
, (18)
где оператор XX : . Следуя общепринятой терминологии, назовем
уравнение (18) динамической системой, а функцию )(tu — характеристикой
этой динамической системы. Если NN RR : , т.е. ))(),...,(()( 1 tututu N , и
уравнение (18) представляется автономной системой обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений
),...,( 1 Ni
i uuf
dx
du
, (19)
то соответствующая динамическая система является объектом с сосредото-
ченными параметрами (ОСП).
Если же X — функциональное пространство, т.е.
)),(),...,,((),()( 1 xtuxtuxtutu N ,
где x — пространственная переменная, dRx и оператор содержит
дифференцирование по этой переменной, то динамическая система соответ-
ствует объекту с распределенными параметрами (ОРП). В этом случае урав-
нение (18) принимает вид
),...,,,...,,( 1 k
m
kNi
i uuuuxF
t
u
.
В частности, это может быть полулинейная система с эллиптическим
оператором второго порядка
NiuufuL
t
u
Niii
i ,...,1),,...,( 1
. (20)
Пусть ))(),...,(( 1 tutu N — характеристика ОСП, удовлетворяющая сис-
теме уравнений (19). Примерами таких объектов являются сообщество ви-
Рис. 6. ),3(),,3( 3 xkxv
–20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
t=3,0
v(t,x)
k(t,x)
Обобщение формулы Троттера–Далецкого для систем типа «реакция–диффузия»
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 4 113
дов особей в биологии, где )(tu j — плотность популяции j -го вида, а также
функционирование ряда технических систем.
Если же исследуемый объект, изначально описываемый системой (19),
трансформируется таким образом, что его характеристики зависят от про-
странственной переменной, то он переходит в класс объектов с распреде-
ленными параметрами. Примерами таких трансформаций являются мигра-
ция популяций по ареалу, или наличие «протяженности» объекта. При
таком переходе математической моделью ОРП традиционно постулируется
система уравнений (20) (при этом строгое обоснование, как правило, от-
сутствует) [5]. Иначе, введение пространственной переменной учитывается
диффузионным слагаемым Lu . Такой же подход (добавление в правую
часть (19) диффузионного слагаемого) применяется и в современных биоло-
гических исследованиях [6]. При этом решение системы (20) образует неко-
торую пространственную структуру. Но такому же свойству удовлетворяет
определенная выше векторная композиция, также претендующая на роль
модели. Другими словами, трансформацию ОСП в ОРП предлагается моде-
лировать не обязательно добавлением эллиптического оператора, а методом
композиции фазового потока и полугруппы (возможно, осуществляя разби-
ение временного интервала). Заметим, что для такой модели некоторые
свойства решений системы (19), соответствующей ОСП, сохраняются (на-
пример, наличие предельных циклов).
ВЫВОДЫ
В данной работе построены барьерные функции для решения задачи Коши
полулинейного параболического уравнения и доказана сходимость итераций
в обобщённой для нелинейного возмущения формуле Троттера–Далецкого.
Теоретические результаты подтверждены визуализацией численного мето-
да, что позволяет предложить корректировку традиционных математиче-
ских моделей систем с распределёнными параметрами.
ЛИТЕРАТУРА
1. A. Yagi, Abstract parabolic evolution equations and their applications. Springer, Berlin, 2010.
2. Дж. Голдстейн, Полугруппы линейных операторов и их приложения. Киев: Висш.
шк., 1989, 347с.
3. В.Г. Бондаренко, “Формула Троттера–Далецкого для нелинейного возмущения”,
Украинский математический журнал, 70, № 12, с. 1717–1722, 2018.
4. В.Г. Бондаренко и И.С. Маркевич, “Сходимость итераций в формуле Троттера–
Далецкого для нелинейного возмущения”, Системні дослідження та іформаційні
технології, № 3, c.118–125, 2019.
5. J.D. Murray, Mathematical Biology; vol. 1, 2. New York: Springer-Verlag, 2002.
6. Y.V. Tyutyunov, A.D. Zagrebneva, V.N. Govorukhin, and L.I. Titova, “Numerical study
of bifurcations occuring at fast timescale in a predator-prey model with inertial prey-
taxis”, in Advabced Mathematical Methods in Bioscience and Applications (eds. F. Bere-
zovskaya and B. Toni), Springer, Cham, 2019, pp. 221–239.
Поступила 25.08.2021
INFORMATION ON THE ARTICLE
Viktor G. Bondarenko, ORCID: 0000-0003-1663-4799, Institute for Applied System
Analysis of the National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytech-
nic Institute”, Ukraine, e-mail: bondarenvg@gmail.com
В.Г. Бондаренко, А.А. Кравченко, Т.А. Собко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 4 114
Anna A. Kravchenko, Institute for Applied System Analysis of the National Technical
University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail:
kravchenkoann1602@gmail.com
Tetiana O. Sobko, Institute for Applied System Analysis of the National Technical Uni-
versity of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail:
sobko65@gmail.com
УЗАГАЛЬНЕННЯ ФОРМУЛИ ТРОТТЕРА–ДАЛЕЦЬКОГО ДЛЯ
СИСТЕМ ТИПУ «РЕАКЦІЯ–ДИФУЗІЯ» / В.Г. Бондаренко, А.А. Кравче-
нко, Т.О. Собко
Анотація. Запропоновано й обґрунтовано ітераційний метод побудови
розв’язку задачі Коші для системи параболічних рівнянь з нелінійним потенці-
алом. Основою методу є формула Троттера–Далецького, узагальнена для нелі-
нійного збурення еліптичного оператора. Ідея узагальнення — побудова ком-
позиції півгрупи, породженої лапласіаном, і фазового потоку, відповідного
системі звичайних диференціальних рівнянь. Установлені у ході доведення ці-
єї формули оцінки збіжності ітерацій підтверджено обчислювальним експери-
ментом, виконаним для двовимірної системи напівлінійних параболічних рів-
нянь типу «реакція–дифузія». Отримані результати дозволяють припустити
доцільність нетрадиційного підходу до моделювання динамічних систем з роз-
поділеними параметрами.
Ключові слова: параболічне рівняння, півгрупа операторів, теорія збурень.
GENERALIZATION OF THE TROTTER–DALETSKY FORMULA FOR SYSTEMS
OF THE “REACTION–DIFFUSION” TYPE / V.G. Bondarenko, A.A. Kravchenko,
T.A. Sobko
Abstract. An iterative method for constructing a solution to the Cauchy problem for
a system of parabolic equations with a nonlinear potential has been proposed and
substantiated. The method is based on the Trotter–Daletsky formula, generalized for
a nonlinear perturbation of an elliptic operator. The idea of generalization is the
construction of a composition of the semigroup generated by the Laplacian and the
phase flow corresponding to a system of ordinary differential equations. A
computational experiment performed for a two-dimensional system of semilinear
parabolic equations of the “reaction–diffusion” type confirms estimates for the
convergence of iterations established in the proof of this formula. Obtained results
suggest the feasibility of an unconventional approach to modeling dynamic systems
with distributed parameters.
Keywords: parabolic equation, semigroup of operators, perturbation theory.
REFERENCES
1. A. Yagi, Abstract parabolic evolution equations and their applications. Springer, Berlin, 2010.
2. J.A. Goldstein, Semigroups of linear operators and applications. Kyiv: Vyshcha shkola,
1989, 347 с.
3. V.G. Bondarenko, “Trotter–Daletskii Formula for Nonlinear Disturbances”, Ukrainian
Mathematical Journal, 70, no.12, pp. 1978–1984, 2019.
4. V.G. Bondarenko and I.S. Markevych, “On the convergence of iterations in the Trotter–
Daletsky formula for nonlinear perturbation”, System Research and Information Tech-
nologies, no. 3, pp.118–125, 2019.
5. J.D. Murray, Mathematical Biology; vol. 1, 2. New York: Springer-Verlag, 2002.
6. Y.V. Tyutyunov, A.D. Zagrebneva, V.N. Govorukhin, and L.I. Titova, “Numerical study
of bifurcations occurring at fast timescale in a predator-prey model with inertial prey-
taxis”, in Advanced Mathematical Methods in Bioscience and Applications (eds. F. Bere-
zovskaya and B. Toni), Springer, Cham, 2019, pp. 221–239.
|
| id | journaliasakpiua-article-252318 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:27:46Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/a1/eb726ef43bcf71f05d06dff82b89aea1.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2523182022-06-20T14:19:48Z Generalization of the Trotter–Daletsky formula for systems of the "reaction–diffusion" type Обобщение формулы Троттера–Далецкого для систем типа "реакция–диффузия" Узагальнення формули Троттера–Далецького для систем типу "реакція–дифузія" Bondarenko, Viktor Kravchenko, Anna Sobko, Tetiana параболічне рівняння півгрупа операторів теорія збурень параболическое уравнение полугруппа операторов теория возмущений parabolic equation semigroup of operators perturbation theory An iterative method for constructing a solution to the Cauchy problem for a system of parabolic equations with a nonlinear potential has been proposed and substantiated. The method is based on the Trotter–Daletsky formula, generalized for a nonlinear perturbation of an elliptic operator. The idea of generalization is the construction of a composition of the semigroup generated by the Laplacian and the phase flow corresponding to a system of ordinary differential equations. A computational experiment performed for a two-dimensional system of semilinear parabolic equations of the “reaction–diffusion” type confirms estimates for the convergence of iterations established in the proof of this formula. Obtained results suggest the feasibility of an unconventional approach to modeling dynamic systems with distributed parameters. Предложен и обоснован итерационный метод построения решения задачи Коши для системы параболических уравнений с нелинейным потенциалом. Основой метода является формула Троттера–Далецкого, обобщенная для нелинейного возмущения эллиптического оператора. Идея обобщения — построение композиции полугруппы, порожденной лапласианом, и фазового потока, соответствующего системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Установленные при доказательстве этой формулы оценки сходимости итераций подтверждены вычислительным экспериментом, выполненным для двумерной системы полулинейных параболических уравнений типа “реакция–диффузия”. Полученные результаты позволяют предположить целесообразность нетрадиционного подхода к моделированию динамических систем с распределенными параметрами. Запропоновано й обґрунтовано ітераційний метод побудови розв’язку задачі Коші для системи параболічних рівнянь з нелінійним потенціалом. Основою методу є формула Троттера–Далецького, узагальнена для нелінійного збурення еліптичного оператора. Ідея узагальнення — побудова композиції півгрупи, породженої лапласіаном, і фазового потоку, відповідного системі звичайних диференціальних рівнянь. Установлені у ході доведення цієї формули оцінки збіжності ітерацій підтверджено обчислювальним експериментом, виконаним для двовимірної системи напівлінійних параболічних рівнянь типу “реакція–дифузія”. Отримані результати дозволяють припустити доцільність нетрадиційного підходу до моделювання динамічних систем з розподіленими параметрами. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2021-12-22 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/252318 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.4.08 System research and information technologies; No. 4 (2021); 102-114 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2021); 102-114 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2021); 102-114 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/252318/249617 |
| spellingShingle | параболічне рівняння півгрупа операторів теорія збурень Bondarenko, Viktor Kravchenko, Anna Sobko, Tetiana Узагальнення формули Троттера–Далецького для систем типу "реакція–дифузія" |
| title | Узагальнення формули Троттера–Далецького для систем типу "реакція–дифузія" |
| title_alt | Generalization of the Trotter–Daletsky formula for systems of the "reaction–diffusion" type Обобщение формулы Троттера–Далецкого для систем типа "реакция–диффузия" |
| title_full | Узагальнення формули Троттера–Далецького для систем типу "реакція–дифузія" |
| title_fullStr | Узагальнення формули Троттера–Далецького для систем типу "реакція–дифузія" |
| title_full_unstemmed | Узагальнення формули Троттера–Далецького для систем типу "реакція–дифузія" |
| title_short | Узагальнення формули Троттера–Далецького для систем типу "реакція–дифузія" |
| title_sort | узагальнення формули троттера–далецького для систем типу "реакція–дифузія" |
| topic | параболічне рівняння півгрупа операторів теорія збурень |
| topic_facet | параболічне рівняння півгрупа операторів теорія збурень параболическое уравнение полугруппа операторов теория возмущений parabolic equation semigroup of operators perturbation theory |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/252318 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkoviktor generalizationofthetrotterdaletskyformulaforsystemsofthequotreactiondiffusionquottype AT kravchenkoanna generalizationofthetrotterdaletskyformulaforsystemsofthequotreactiondiffusionquottype AT sobkotetiana generalizationofthetrotterdaletskyformulaforsystemsofthequotreactiondiffusionquottype AT bondarenkoviktor obobŝenieformulytrotteradaleckogodlâsistemtipaquotreakciâdiffuziâquot AT kravchenkoanna obobŝenieformulytrotteradaleckogodlâsistemtipaquotreakciâdiffuziâquot AT sobkotetiana obobŝenieformulytrotteradaleckogodlâsistemtipaquotreakciâdiffuziâquot AT bondarenkoviktor uzagalʹnennâformulitrotteradalecʹkogodlâsistemtipuquotreakcíâdifuzíâquot AT kravchenkoanna uzagalʹnennâformulitrotteradalecʹkogodlâsistemtipuquotreakcíâdifuzíâquot AT sobkotetiana uzagalʹnennâformulitrotteradalecʹkogodlâsistemtipuquotreakcíâdifuzíâquot |