Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів, один з яких містить приповерхневу виїмку еліптичного перерізу
On the basis of a mathematical model, the problem of compression of two elastic transversely isotropic half-spaces, one of which contains a shallow near-surface groove of an elliptical section, is considered. The solution to the problem is obtained using the Elliott representation for a transversely...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2022
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/259272 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334426479820801 |
|---|---|
| author | Kirilyuk, Vitaly Levchuk, Olga Gavrilenko, Valeriy |
| author_facet | Kirilyuk, Vitaly Levchuk, Olga Gavrilenko, Valeriy |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Vitaly Kirilyuk",
"institution": "Інститут механіки імені С.П.Тимошенка НАН України, Київ"
},
{
"author": "Olga Levchuk",
"institution": "Інститут механіки імені С.П.Тимошенка НАН України, Київ"
},
{
"author": "Valeriy Gavrilenko",
"institution": "Національний транспортний унiверситет, Київ"
}
] |
| author_sort | Kirilyuk, Vitaly |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-06-21T10:27:50Z |
| description | On the basis of a mathematical model, the problem of compression of two elastic transversely isotropic half-spaces, one of which contains a shallow near-surface groove of an elliptical section, is considered. The solution to the problem is obtained using the Elliott representation for a transversely isotropic body in terms of harmonic functions, classical harmonic potentials and reducing the boundary value problem to considering an integro-differential equation with an unknown domain of integration. As a special case, the obtained analytical expressions yield the basic parameters of the contact of transversely isotropic half-spaces in the presence of an axisymmetric groove in one of them, as well as the parameters of the contact interaction of two elastic isotropic half-spaces, one of which contains an elliptical cross-section groove. Numerical results are obtained, the influence of elastic properties of half-spaces, geometrical parameters of groove and loading on contact interaction and closing of the gap between bodies is studied. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2022.1.09 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:27:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, В.В. Гавриленко, 2022
110 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2022, № 1
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 539.3
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2022.1.09
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ КОНТАКТНОЇ
ВЗАЄМОДІЇ ДВОХ ПРУЖНИХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-
ІЗОТРОПНИХ ПІВПРОСТОРІВ, ОДИН З ЯКИХ МІСТИТЬ
ПРИПОВЕРХНЕВУ ВИЇМКУ ЕЛІПТИЧНОГО ПЕРЕРІЗУ
В.С. КИРИЛЮК, О.І. ЛЕВЧУК, В.В. ГАВРИЛЕНКО
Анотація. На основі математичної моделі розглянуто задачу про стискання
двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів, один з яких містить
похилу приповерхневу виїмку еліптичного перерізу. Розв’язок задачі отримано
за допомогою подання Еліота для трансверсально-ізотропного тіла через гар-
монічні функції, класичних гармонічних потенціалів та зведення граничної за-
дачі до розгляду інтегро-диференціального рівняння з невідомою областю ін-
тегрування. Як частинний випадок зі знайдених аналітичних виразів
випливають основні параметри контакту трансверсально-ізотропних півпрос-
торів за наявності в одному з них виїмки вісесиметричної форми, а також па-
раметри контактної взаємодії двох пружних ізотропних півпросторів, один
з ких містить виїмку еліптичного перерізу. Отримано числові результати,
вивчено вплив пружних властивостей півпросторів, геометричних параметрів
виїмки та навантаження на контактну взаємодію та закриття зазору між тілами.
Ключові слова: математичне моделювання, трансверсально-ізотропний пів-
простір, приповерхнева виїмка, еліптичний переріз, параметри контактної вза-
ємодії.
ВСТУП
Під час проектування елементів конструкцій широко застосовуються біма-
теріали, складові яких мають різні пружні властивості, у тому числі анізот-
ропні. Це стимулює дослідження і аналіз розподілу напружень у пружних
тілах з біматеріалів поблизу концентраторів напружень, а також у разі їх
контактної взаємодії. Водночас розв’язання просторових задач теорії пруж-
ності для анізотропних тіл ускладнюється, оскільки у цьому випадку необ-
хідно розв’язувати граничну задачу для системи рівнянь рівноваги анізотроп-
ного тіла, яка має суттєво більш складну структуру (порівняно з
відповідною системою рівнянь для ізотропного пружного тіла).
Для трансверсально-ізотропних пружних та електропружних тіл з кон-
центраторами напружень з більшою глибиною досліджено двовимірні задачі
[9, 16, 17, 27]. Подання загальних розв’язків систем рівнянь рівноваги у три-
вимірній постановці для трансверсально-ізотропних пружних та електро-
Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2022, № 1 111
пружних тіл через гармонічні функції запропоновано у працях [11] і [24, 28]
відповідно. Цікаві результати досліджень напруженого стану у просторових
задачах для трансверсально-ізотропних пружних та електропружних тіл
отримано у працях [1, 3, 4–6, 8, 10–12, 15, 18, 22, 23, 26] та [2, 7, 19, 20, 24, 29].
Відзначимо, що задачі контактної взаємодії для двох пружних ізотроп-
них півпросторів за стискання через наявність між півпросторами включень
чи похилої приповерхневої виїмки еліптичного перерізу досліджувались
у працях [14, 21, 25]. Але задача контактної взаємодії для двох пружних
трансверсально-ізотропних півпросторів за наявності в одному з них припо-
верхневої виїмки еліптичного перерізу не вивчалась.
У цій роботі за допомогою математичного моделювання на основі
строгої моделі досліджено контактну взаємодію двох пружних трансвесаль-
но-ізотропних півпросторів, один з яких містить приповерхневу виїмку еліп-
тичного перерізу, під час стискання. У постановці задачі припускається, що
поверхня поділу двох пружних тіл розташована у площині ізотропії транс-
версально-ізотропних матеріалів. Також вважається, що між тілами відбува-
ється гладкий (без тертя) контакт. За допомогою подання розв’язку рівнянь
рівноваги для трансвесально-ізотропного тіла через гармонічні функції (по-
дання Еліота) і подальшого зведення задачі до розгляду інтегро-
диференціального рівняння отримано аналітичний розв’язок задачі. Знайде-
но основні параметри контактної взаємодії трансверсально-ізотропних
пружних півпросторів (за наявності в одному з них приповерхневої виїмки
еліптичного перерізу) під час стискання. Як частинний випадок з отриманих
виразів випливають параметри контактної взаємодії двох трансверсально-
ізотропних пружних півпросторів за наявності в одному з них виїмки круго-
вого перерізу, а також параметри контакту двох ізотропних пружних пів-
просторів, один з яких містить виїмку еліптичного перерізу.
Постановка задачі. Розглянемо математичну модель, на основі якої
вивчимо контактну взаємодію трансверсально-ізотропних пружних півпрос-
торів, один з яких (тіло 2) містить приповерхневу виїмку еліптичного пере-
різу (рис. 1). Припускаємо, що форма виїмки описується таким виразом:
),(0 yxf
.1//,0
,)),max((,1//,)//1(
2
0
22
0
2
000
2
0
22
0
22/32
0
22
0
2
0
byax
bahbyaxbyaxh
(1)
x
y
0
0
Рис. 1. Контактна взаємодія трансверсально-ізотропних пружних півпросторів,
один з яких містить приповерхневу виїмку еліптичного перерізу
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, В.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2022, № 1 112
Розглядаючи задачу, будемо вважати, що площина контактy пружних
трансверсально-ізотропних півпросторів розташована у площині ізотропії
обох трансверсально-ізотропних матеріалів. Припускаємо, що до контакту-
ючих тіл прикладено стискальні зусилля p і між тілами відбувається глад-
кий (без тертя) контакт. За наявності виїмки контакт між тілами здійснюєть-
ся не по всій площині 0z , а по деякій її частині 1// 2222 byax , де
ba, — невідомі параметри ділянки еліптичної форми (рис. 1), які залежать
від значення стискальних зусиль p , геометрії початкової виїмки (описуєть-
ся параметрами 00 , ba і 0h ), пружних властивостей обох трансверсально-
ізотропних матеріалів півпросторів. Припускаємо, що у процесі деформу-
вання виїмка набуває вигляду, який можна описати у вигляді
.1//,0
,)),(max(,1//,)//1(
),(
222
0
2
0
222
0
22/32222
byax
bahbyaxbyaxh
yxf
На поверхні поділу (у площині 0z ) отримуємо такі граничні умови:
0)( i
zz , 1// 2222 byax ;
1//),,( 2222
0
)2()1( byaxyxfuu zz )2,1( i ;
0)()( i
zy
i
zx , 0z ; 1//, 2222)2()1( byaxzzzz )2,1( i . (2)
У граничних умовах (2) індекси 1 і 2 відповідають першому та другому
пружним півпросторам, а також використовується функція, що описується
виразом (1).
Припускаємо, що площина 0z (рис. 1), яка обмежує два півпростори,
є площиною ізотропії обох трансверсально-ізотропних матеріалів, тобто вісь
z0 є віссю симетрії для цих матеріалів. Також вважаємо, що у площині кон-
тактної взаємодії 0z виконуються умови гладкого (без тертя) контакту
пружних тіл. Розміри ділянки розшарування двох пружних півпросторів
(рис. 1) невідомі і визначаються з розв’язку задачі. Параметри контактної
взаємодії пружних тіл залежать від значення стискальних зусиль p , пруж-
них властивостей обох трансверсально-ізотропних матеріалів півпросторів і
геометричних параметрів виїмки.
Виразимо напружений стан у трансверсально-ізотропних півпросторах
суперпозицією двох станів, перший з яких — стискання вздовж осі симетрії
матеріалів z0 , тобто pzz , а для визначення другого стану суперпозиції
(збуреного стану) на поверхні півпростору 0z отримуємо відповідні гра-
ничні умови.
Розглядаючи задачу, припускаємо, що в разі деформування півпросто-
рів форма виїмки описується неперервно-диференційованою функцією
),( yxf , яка задовольняє умови:
Syx
x
yxf
x
yxf
),(1
),(
,1
),(
21
; (3)
z
Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2022, № 1 113
Syx
x
yxf
x
yxf
yxf
),(0
),(
,0
),(
,0),(
21
.
У формулах (3) S — поверхня виїмки. Із віддаленням від ділянки кон-
такту виконуються умови на нескінченності для трансверсально-ізотропних
півпросторів:
0,,,,, yzyyxzxyxxzz p , якщо z .
Основні рівняння і співвідношення. Статичні рівняння теорії пруж-
ності для трансверсально-ізотропного тіла у переміщеннях набувають
вигляду [4, 11]:
2
2
442
2
12112
2
11 )(
2
1
z
u
c
y
u
cc
x
u
c xxx
0)()(
2
1
44131211
z
u
cc
y
u
cc
x
zy ;
2
2
442
2
112
2
1211 )(
2
1
z
u
c
y
u
c
x
u
cc yyy
0)()(
2
1
44131211
z
u
cc
x
u
cc
y
zx ;
0)( 44132
2
332
2
2
2
44
y
u
x
u
z
cc
z
u
c
x
u
y
u
c yxzzz , (4)
де 4433131211 ,,,, ccccc — незалежні пружні сталі трансверсально-
ізотропного матеріалу.
Розв’язок системи рівнянь (4) [11] можна виразити через три потенціа-
льні функції i ( i =1,2,3):
yxxux /// 321 ;
xyyuy /// 321 ;
zmzmuz // 2211 , (5)
де 321 ,, — функції, що входять до формул (5), задовольняють рів-
няння
,0)///( 222222 jj zyx (6)
а також 211211443 ,);/(2 ccc — корені квадратного рівняння:
0])([ 4433
2
44131133
2
44
2
4411 ccccccccc ; (7)
).2,1(
)(
4433
4413
4413
4411
j
cc
cc
cc
cc
m
j
jj
j (8)
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, В.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2022, № 1 114
Увівши позначення )3,2,1(2/1 jzz jj з використанням виразів
(6)–(8), легко встановити, що функції ),,,(),,,( 2211 zyxzyx ),,( 33 zyx
будуть гармонічними функціями у відповідній системі координат ),,( izyx .
Надалі скористаємось виразами
1
4413
44111
11
cc
cc
mk ; 1
4413
44211
22
cc
cc
mk ;
)1(44 jj mca ).2,1( j (9)
Метод розв’язання. Потенціальні функції ),,( ii zyx у поданні (5) для
збуреного стану візьмемо, використовуючи класичні потенціали, у вигляді
),,()(
i
k
i zyx
,
)()(
)(
)()(
)(
2
1 0
22
2
2
1
22
2
2
1
)*(*
S S ii
k
i
zyx
Sdr
zyx
Sdh
(10)
де
2/322
2
22
1121 )//1(),( bahh , 2/32
0
2
2
2
0
2
1021 )//1(),( bahr ;
1S і 0S — еліптичні ділянки, значення індексу 1k відповідає першому
півпростору, значення 2k – другому півпростору. Також покладемо
функцію 0)(
3 k . Сталі )(** k
i у формулах (10) визначимо так: спочатку
знайдемо значення )*(k
j )2,1,( kj із системи рівнянь
1))1(( )()(
44
2
1
)(*
k
j
k
j
k
j kc ; 0/))1(( )()()(
44
2
1
)(*
k
j
k
j
k
j
k
j kc , k=1, 2, (11)
а потім
*)*()(** / Mk
j
k
j , де )2()2(
2
1
)2(*)1()1(
2
1
)1(** // jj
j
jjj
j
j kkM
.
У наведених виразах використано позначення (9). Відзначимо, що по-
тенціали вигляду (10) використовувались у дослідженні контактної взаємо-
дії двох пружних ізотропних півпросторів, один з яких містив виїмку еліп-
тичного перерізу [30]. За такого вибору )*(k
j задовольняються граничні
умови по дотичних напруженнях уздовж всієї поверхні поділу, по перемі-
щеннях, а також справджується рівність нормальних напружень поза виїм-
кою. Невідомими залишаються ba, — значення півосей ділянки контакту
еліптичної форми; 1h — максимальна висота проміжку (зазору) в результаті
контакту двох трансверсально-ізотропних пружних півпросторів, один з
яких містить виїмку. Значення цих параметрів визначимо з розв’язку конта-
ктної задачі.
За допомогою потенціальних функцій ),,()(
i
k
i zyx згідно з виразами
(10), (11), задовольняючи граничні умови, що залишилися, отримуємо інтег-
ро-диференціальне рівняння
Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2022, № 1 115
1
22
2
2
1
2
2
2
2
)()(
)(
S izyx
Sdh
yx
pM
zyx
Sdr
yx S i
*
22
2
2
1
2
2
2
2
2
)()(
)(
0
, 1),( Syx ; (12)
)2()2(
2
1
)2(*)1()1(
2
1
)1(** // jj
j
jjj
j
j kkM
,
де
2/322
2
22
1121 )//1(),( bahh ,
2/32
0
2
2
2
0
2
1021 )//1(),( bahr .
Після проведення диференціювання у (12) скористаємося значеннями
двовимірних інтегралів по еліптичній ділянці [30]. У результаті маємо
1
2
20
2
1002
2
2
2 )(
4
1
S
xBxA
x
Sdh
yx
, Sx , (13)
де
21 ddSd ; 0
4
0
2
0000 4/3 fberak ; 00 hr ;
)](/)1()([ 00
2
0000 eKfeeEkA ; )]()()12([ 000
2
000 eKfeEekB ;
)( 0
2
0
2
00
*
0 eEbekpM ; 2
00 1 ef ; 2
0
2
00 /1 bae .
У наведених виразах )( 0eK , )( 0eE є повними еліптичними інтегралами
першого та другого роду.
Припускаючи, що ділянка контакту 1S у формулах (13) має форму
еліпса з невідомими поки півосями ba, , розшукуємо висоту зазору між
контактуючими тілами у вигляді 2/322
2
22
1 )//1()( bxaxxh . Скорис-
тавшись значеннями інтегралів по еліптичній ділянці [31], отримуємо
2
20
2
100
2
2
2
1 xBxAaBxAx ,
де
)(22 eEbke , )](/)1()([ 2 eKfeeEkA , )]()()12[( 2 efKeEekB ,
21 ef , )4/(3 42 fbehk , 22 /1 bae .
Прирівнюючи коефіцієнти за однакових структурних складових, знахо-
димо
00 1 Naa ; 00 1 Nbb ; 2/3
00 1 Nrh ;
00
2
00
*
0 3/12 eErebpMN . (14)
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, В.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2022, № 1 116
Відзначимо, що із формул (14) можна визначити значення стискальних
зусиль p , за якого виїмка між пружними тілами повністю заповнюється ма-
теріалом. Видно, що при 10 N значення півосей ba, та максимальної ви-
соти виїмки 1h дорівнюють нулю. Отже, якщо
2
00
*
00*
12
)(3
ebM
eEr
pp
, ви-
їмка еліптичного перерізу у пружному півпросторі повністю зникає
(заповнюється матеріалом). Як частинний випадок зі знайдених аналітич-
них виразів для виїмки еліптичного перерізу випливають результати для ви-
їмки вісесиметричної форми.
Таким чином, з виразів (14) за відомими розмірами початкової виїмки
(параметри 0a , 0b і 0h ) та значення стискальних зусиль p , десяти незалеж-
них пружних сталих двох трансверсально-ізотропних матеріалів півпросто-
рів (входять через величину *M ) знаходимо значення півосей ділянки кон-
такту ba, і максимальну висоту виїмки.
Перетворимо у виразі *M кожний доданок, що залежить від властивос-
тей трансверсально-ізотропного матеріалу відповідного півпростору. Після
елементарних операцій дістаємо
)1()1()(
1
/
144
1
244
2
21
2
1
*
mc
m
mc
m
vv
k jj
j
j
)()(
)()(
1321113111
4413
2/1
2
2/1
1
44
11
cccc
cc
c
c
. (15)
У результаті подальших перетворень виразу (15) (з використанням тео-
реми Вієта для коренів квадратного рівняння (7) ) маємо
3311441344
2
133311
44
2
133311
11
2
1
* 22
)(
/ cccccccc
cccc
c
k jj
j
j . (16)
Отриманий вираз (16) дозволяє знаходити шукане значення безпосеред-
нім підставлянням у нього пружних сталих трансверсально-ізотропного ма-
теріалу, не знайшовши заздалегідь коренів квадратного рівняння (7).
У випадку абсолютно жорсткої основи з еліптичною виїмкою маємо
)1()1(
2
1
)1(** / jj
j
j kM
. (17)
У виразі (17) залишився тільки перший доданок з двох складових. Під
час наступного граничного переходу від трансверсально-ізотропного до
пружного ізотропного матеріалу півпростору отримуємо
1;;;2 21441311 ccc ;
.
1
)(2
2
IsoA
За допомогою перетворень можна показати, що з виразів (12), (14) ви-
пливають результати роботи [30] для контактної взаємодії двох пружних
Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2022, № 1 117
ізотропних півпросторів (один — з виїмкою еліптичного перерізу) як час-
тинний випадок.
Розглянемо частинний випадок попередньої задачі — виїмку кругового
перерізу. Спрямувавши ексцентриситет еліпса до нуля, отримуємо, що
,,00 baba а зі знайдених виразів (15) маємо
)3/(4 00
*
0 rbpMN ;
0
*
0
0 3
4
1
r
Mbp
bb
; ,
3
4
1
2/3
0
*
0
01
r
Mbp
hh (18)
де )2()2(
2
1
)2(*)1()1(
2
1
)1(** // jj
j
jjj
j
j kkM
.
Із виразів (18) за відомими розмірами початкової вісесиметричної виїм-
ки (параметри b і 0h ), значеннями стискальних зусиль p , десяти незалеж-
них пружних сталих для двох трансверсально-ізотропних пружних матеріа-
лів (входять через величину *M ) визначаємо радіус контакту a і
максимальну висоту зазору 1h (після контактної взаємодії). Також з рівності
нулю виразу a знаходимо значення сили стиснення
*
0*
4
3
bM
h
p
, за якого
виїмка у півпросторі повністю заповнюється матеріалом. Отже, під час
стиснення *pp приповерхнева виїмка в результаті контактної взаємодії
повністю зникає.
Відзначимо, що під час розгляду частинного випадку задачі — випадку
приповерхневої виїмки кругового перерізу, з’являється можливість викори-
стання альтернативного алгоритму розв’язання задачі, пов’язаного із засто-
суванням парних інтегральних рівнянь (алгоритм 2 у праці [2]).
Аналіз результатів числових досліджень. На рис. 2, 3 зображено за-
лежності радіуса і висоти вісесиметричного зазору (частинного випадку за-
зору еліптичного перерізу) між пружними трансверсально-ізотропними пів-
просторами від діючих навантажень. У розрахунках використано значення
пружних сталих із праці [13], наведені у таблиці, де номер матеріалу відпо-
відає номеру кривої на рис. 2, 3.
Властивості матеріалів
Номер
матеріалу Матеріал c11, ГПа c33, ГПа c44, ГПа c12, ГПа c13, ГПа
1 Be 292,3 336,4 162,5 26,7 14,0
2 Co 307,0 358,1 78,3 165,0 103,0
3 Hf 181,1 196,9 55,7 77,2 66,1
4 ZnO 209,7 210,9 42,5 121,1 105,1
5 Zr 143,4 164,8 32,0 72,8 65,3
На рисунках використано позначення *
1p , яке обчислювалось для мате-
ріалу 1 з наведеної таблиці за допомогою виразу )3/(4 0
*
0
* rpNap . Пока-
зано зміну радіуса і висоти зазору за навантаження, які залежать також від
десяти пружних сталих двох трансверсально-ізотропних матеріалів (реалізу-
ється за допомогою величини *N ).
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, В.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2022, № 1 118
Виїмка повністю заповнюється матеріалом, якщо
*
0
0*
4
3
Na
h
pp
. Для
значень навантажень *pp утворюється новий зазор. Для розрахунків
пружні властивості обох півпросторів вибирались однаковими (відповідно
до наведеного номера у таблиці).
Зміну геометричних параметрів зазору для еліптичної у перерізі виїмки
за навантаження зображено на рис. 4, 5, на яких лінії 1, 2, 3 відповідають
a/a0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,2 0,4 0,6 0,8 *
1p
1
2
34
5
Рис. 2. Зміна радіуса виїмки за навантаження
0,2 0,4 0,6 0,8 *
1p
a/a0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
Рис. 4. Зміна розмірів перерізу еліптичної виїмки за навантаження
h/h0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,2 0,4 0,6 0,8 *
1p
1
2
3
4
5
Рис. 3. Зміна висоти виїмки за навантаження
Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2022, № 1 119
значенням ексцентриситету еліпса е= 0,1; 0,2; 0,4. Використано позначення
)4.0*(p , яке відповідало значенню навантажень, що закривають виїмку, якщо
е= 0,4.
ВИСНОВОК
У роботі за допомогою математичної моделі отримано аналітичний
розв’язок задачі про контактну взаємодію складної системи, що складається
з двох трансверсально-ізотропних пружних півпросторів (за наявності похи-
лої приповерхневої виїмки еліптичного перерізу в одному з них), під час
стискання. Виконано числові розрахунки, досліджено вплив геометричних
розмірів виїмки та властивостей пружних трансверсально-ізотропних
матеріалів півпросторів на параметри контактної взаємодії.
ЛІТЕРАТУРА
1. В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко, та М.Б. Вітер, “Моделювання кон-
тактної взаємодії нагрітого плоского жорсткого еліптичного штампу з трансве-
рсально-ізотропним півпростором”, Системні дослідження та інформаційні
технології, № 3, c. 138–148, 2020. doi: 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.3.10.
2. В.С. Кирилюк и О.И. Левчук, “Моделирование контактного взаимодействия
пьезоэлектрического полупространства и упругой изотропной основы с
приповерхностной выемкой кругового сечения”, Системні дослідження та
інформаційні технології, № 4, c.120–132, 2016.
3. В.С. Кирилюк и О.І. Левчук, “Моделювання контактної взаємодії двох
трансверсально-ізотропних пружних півпросторів за наявності жорсткого
дископодібного включення між ними і тиску на ділянці розшарування”,
Системні дослідження та інформаційні технології, № 1, с.107–119, 2020. doi:
10.20535/SRIT.2308-8893.2020.1.10.
4. Ю.Н. Подильчук, Граничные задачи статики упругих тел. Киев: Наук. думка,
1984, 304 с.
5. Ю.Н. Подильчук, “Точные аналитические решения пространственных гранич-
ных задач статики трансверсально-изотропного тела канонической формы (об-
зор)”, Прикл. механика, 33, № 10, c. 3–30, 1997.
0,2 0,4 0,6 0,8 )4,0(*
1p
h/h0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
Рис. 5. Зміна висоти еліптичної виїмки за навантаження
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, В.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2022, № 1 120
6. F.M. Borodich, B.A. Galanov, L.M. Keer, and M.M. Suarez-Alvarez, “The JKR-type
adhesive contact problems for transversely isotropic elastic solids”, Mechanics of
Materials, 75, pp. 34–44, 2014.
7. Y.S. Chai and I.I. Argatov, “Local tangential contact of elastically similar, trans-
versely isotropic elastic bodies”, Meccanica, 53, no. 11-12, pp. 3137–3143, 2018.
8. W.Q. Chen, J. Zhu, and X.Y. Li, “General solutions for elasticity of transversely iso-
tropic materials with thermal and other effects: A review”, J. Thermal Stresses, 42,
no. 1, pp. 90–106, 2019.
9. L. Dai, W. Guo, and X. Wang, “Stress concentration at an elliptic hole in trans-
versely isotropic piezoelectric solids”, Int. J. Solids and Struct., 43, no. 6,
pp. 1818–1831, 2006.
10. D.B. Davtyan and D.A. Pozharskii, “Action of an elliptic punch on a transversally
isotropic half-space”, Mechanics of Solids, 49, no. 5, pp. 578–586, 2014.
11. H.A. Elliott and N.F. Mott, “Three-dimensional stress distributions in hexagonal
aeolotropic crystals”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical So-
ciety, 44, no. 4, pp. 522–533, 1948.
12. V.I. Fabrikant, “Contact problem for an arbitrarily oriented transversely isotropic
half-space”, Acta Mechanca, 228, no. 4, pp. 1541–1560, 2017.
13. L.B. Freund and S. Suresh, Thin Film Materials. Cambridge: Cambridge University
Press, 2003, 802 p.
14. G.M.L. Gladwell, “On Inclusions at a Bi-Material Elastic Interface”, Journal of
Elasticity, 54, no. 1, pp. 27–41, 1999.
15. P.F. Hou, W.H. Zhang, and J.-Y. Chen, “Three-dimensional exact solutions of ho-
mogeneous transversely isotropic coated structures under spherical contact”, Int. J.
Solids Structures, 161, pp. 136–173, 2019.
16. S.A. Kaloerov and A.A. Samodurov, “Problem of Electromagnetoviscoelasticity
for Multiply Connected Plates”, International Applied Mechanics, 51, no. 6,
pp. 623–639, 2015.
17. S.A. Kaloerov, “Determining the intensity factors for stresses, electric-flux density,
and electric-field strength in multiply connected electroelastic anisotropic media”,
Int. Appl. Mech., 43, no. 6, pp. 631–637, 2007.
18. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “On stressed state of transversely isotropic medium
with an arbitraly orientated spheroidal void or penny-shaped crack under internal
pressure”, Strength of Materials, 37, no. 5, pp. 480–488, 2005.
19. V.S. Kirilyuk, “Elastic state of a transversely isotropic piezoelectric body with an
arbitrarily oriented elliptic crack”, Int. Appl. Mech., 44, no. 2, pp. 150–157, 2008.
20. V.S. Kirilyuk, “Stress state of a piezoceramic body with a plane crack opened by a
rigid inclusion”, Int. Appl. Mech., 44, no. 7, pp. 757–768, 2008.
21. A. Kotousov, L.B. Neto, and A. Khanna, “On a rigid inclusion pressed between two
elastic half spaces”, Mechanics of Materials, 68, no. 1, pp. 38–44, 2014.
22. R. Kumar and V. Gupta, “Green’s function for transversely isotropic thermoelastic
diffusion bimaterials”, Journal of Thermal Stresses, 37, no. 10, pp. 1201–1229,
2014.
23. F. Marmo, F. Toraldo, and L. Rosati, “Analytical formulas and design charts for
transversely isotropic half-spaces subject to linearly distributed pressures”, Mec-
canica, 51, no. 11, pp. 2909–2928, 2016.
24. Yu.N. Podil’chuk, “Representation of the general solution of statics equations of the
electroelasticity of a transversally isotropic piezoceramic body in terms of harmonic
functions”, International Applied Mechanics, 34, no. 7, pp. 623–628, 1998.
25. A.P.S. Selvadurai, “A unilateral contact problem for a rigid disc inclusion embedded
between two dissimilar elastic half-spaces”, Q. J. Mech. Appl. Math., no. 3,
pp. 493–509, 1994.
Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2022, № 1 121
26. Yu.V. Tokovyy and C.C. Ma, “Three-Dimensional Elastic Analysis of Transversely-
Isotropic Composites”, Journal of Mechanics, 33, no. 6, pp. 821–830, 2018.
27. Y.J. Wang, C.F. Gao, and H.P. Song, “The anti-plane solution for the edge cracks
originating from an arbitrary hole in a piezoelectric material”, Mechanics Research
Communications, vol. 65, pp. 17–23, 2015.
28. Z.K. Wang and B.L. Zheng, “The general solution of three-dimension problems in
piezoelectric media”, Int. J. Solids Structures, 32, no. 1, pp. 105–115, 1995.
29. M.H. Zhao, Y.B. Pan, C.Y. Fan, and G.T. Xu, “Extended displacement discontinuity
method for analysis of cracks in 2D piezoelectricsemiconductors”, International
Journal of Solids and Structures, vol. 94–95, pp. 50–59, 2016.
30. Г.С. Кіт та Р.М. Мартиняк, “Просторові контактні задачі для пружного
півпростору і жорсткої основи з поверхневими виїмками”, Мат. методи та
фіз.-мех. поля, 42, № 6, c. 7–11, 1999.
31. М.В. Хай, Двумерные интегральные уравнения ньютоновского потенциала и
их приложения. Киев: Наук. думка, 1993, 256 с.
Надійшла 31.05.2021
INFORMATION ON THE ARTICLE
Vitaly S. Kirilyuk, ORCID: 0000-0002-8513-0378, S.P. Timoshenko Insitute of
mechanics of NAS of Ukraine, e-mail: kirilyuk_v@ukr.net.
Olga I. Levchuk, ORCID: 0000-0002-6514-6225, S.P. Timoshenko Institute of
mechanics of NAS of Ukraine, e-mail: 2013levchuk@gmail.com
Valeriy V. Gavrilenko, ORCID: 0000-0001-9682-4204, National Transport University,
Ukraine, e-mail: v_gavr@ukr.net
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНОГО ВЗАИМО-
ДЕЙСТВИЯ ДВУХ УПРУГИХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ
ПОЛУПРОСТРАНСТВ, ОДНО ИЗ КОТОРЫХ СОДЕРЖИТ ПРИПОВЕРХ-
НОСТНУЮ ВЫЕМКУ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ / В.С. Кирилюк,
О.И. Левчук, В.В. Гавриленко
Аннотация. На основе математической модели рассмотрена задача о сжатия
двух упругих трансверсально-изотропных полупространств, одно из которых
содержит пологую приповерхностных выемку эллиптического сечения. Реше-
ние задачи получено с помощью представления Эллиота для трансверсально-
изотропного тела через гармонические функции, классических гармонических
потенциалов и сведения краевой задачи к рассмотрению интегро-
дифференциального уравнения с неизвестной областью интегрирования. Как
частный случай из найденных аналитических выражений вытекают основные
параметры контакта трансверсально-изотропных полупространств при нали-
чии в одном из них выемки осесимметричной формы, а также параметры кон-
тактного взаимодействия двух упругих изотропных полупространств, одно из
которых содержит выемку эллиптического сечения. Получены численные ре-
зультаты, изучено влияние упругих свойств полупространств, геометрических
параметров выемки и погрузки на контактное взаимодействие и закрытия за-
зора между телами.
Ключевые слова: математическое моделирование, трансверсально-изотропные
полупространства, приповерхностная выемка, эллиптического сечения, пара-
метры контактного взаимодействия.
MATHEMATICAL MODELING OF THE CONTACT INTERACTION OF TWO
ELASTIC TRANSVERSELY ISOTROPIC HALF-SPACES, ONE OF WHICH
CONTAINS A NEAR-SURFACE GROOVE OF AN ELLIPTICAL SECTION /
V.S. Kirilyuk, O.I. Levchuk, V.V. Gavrilenko
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, В.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2022, № 1 122
Abstract. On the basis of a mathematical model, the problem of compression of two
elastic transversely isotropic half-spaces, one of which contains a shallow near-
surface groove of an elliptical section, is considered. The solution to the problem is
obtained using the Elliott representation for a transversely isotropic body in terms of
harmonic functions, classical harmonic potentials and reducing the boundary value
problem to considering an integro-differential equation with an unknown domain of
integration. As a special case, the obtained analytical expressions yield the basic pa-
rameters of the contact of transversely isotropic half-spaces in the presence of an ax-
isymmetric groove in one of them, as well as the parameters of the contact interac-
tion of two elastic isotropic half-spaces, one of which contains an elliptical cross-
section groove. Numerical results are obtained, the influence of elastic properties of
half-spaces, geometrical parameters of groove and loading on contact interaction
and closing of the gap between bodies is studied.
Keywords: mathematical modeling, transversely isotropic half-space, near-surface
groove, elliptical section, parameters of contact interaction.
REFERENCES
1. V.S. Kirilyuk, O.I. Levchuk, O.V. Gavrilenko, and M.B. Viter, “Simulation of con-
tact interaction of a heated flat rigid elliptical stamp with a transversely isotropic
half-space”, System research and information technologies, no. 3, pp.138–148, 2020.
doi: 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.3.10.
2. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “Modeling of contact interaction of piezoelectric
half-space and elastic isotropic base with surface groove of circle section”, System
research and information technologies, no. 4, pp. 120–132, 2016.
3. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “Simulation of the contact interaction of two trans-
versely isotropic spring half-spaces for the presence of a hard disk-like inclusion be-
tween them and pressure on the stratification area”, System research and information
technologies, no. 1, pp. 107–119, 2020. doi: 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.1.10.
4. Yu.N. Podil’chuk, Boundary value problems of statics of elastic bodies. Kyiv: Nauk.
dumka, 1984, 304 p.
5. Yu.N. Podil’chuk, “Exact analytical solutions of spatial boundary value problems of
statics of a transversely isotropic body of canonical form (Review)”, Int. Appl.
Mech., 33, no. 10, pp. 3–30, 1997.
6. F.M. Borodich, B.A. Galanov, L.M. Keer, and M.M. Suarez-Alvarez, “The JKR-type
adhesive contact problems for transversely isotropic elastic solids”, Mechanics of
Materials, 75, pp. 34–44, 2014.
7. Y.S. Chai and I.I. Argatov, “Local tangential contact of elastically similar, trans-
versely isotropic elastic bodies”, Meccanica, 53, no. 11-12, pp. 3137–3143, 2018.
8. W.Q. Chen, J. Zhu, and X.Y. Li, “General solutions for elasticity of transversely iso-
tropic materials with thermal and other effects: A review”, J. Thermal Stresses, 42,
no. 1, pp. 90–106, 2019.
9. L. Dai, W. Guo, and X. Wang, “Stress concentration at an elliptic hole in transversely
isotropic piezoelectric solids”, Int. J. Solids and Struct., 43, no. 6, pp. 1818–1831, 2006.
10. D.B. Davtyan and D.A. Pozharskii, “Action of an elliptic punch on a transversally
isotropic half-space”, Mechanics of Solids, 49, no. 5, pp. 578–586, 2014.
11. H.A. Elliott and N.F. Mott, “Three-dimensional stress distributions in hexagonal
aeolotropic crystals”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical So-
ciety, 44, no. 4, pp. 522–533, 1948.
12. V.I. Fabrikant, “Contact problem for an arbitrarily oriented transversely isotropic
half-space”, Acta Mechanca, 228, no. 4, pp. 1541–1560, 2017.
13. L.B. Freund and S. Suresh, Thin Film Materials. Cambridge: Cambridge University
Press, 2003, 802 p.
Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2022, № 1 123
14. G.M.L. Gladwell, “On Inclusions at a Bi-Material Elastic Interface”, Journal of
Elasticity, 54, no. 1, pp. 27–41, 1999.
15. P.F. Hou, W.H. Zhang, and J.-Y. Chen, “Three-dimensional exact solutions of ho-
mogeneous transversely isotropic coated structures under spherical contact”, Int. J.
Solids Structures, 161, pp. 136–173, 2019.
16. S.A. Kaloerov and A.A. Samodurov, “Problem of Electromagnetoviscoelasticity
for Multiply Connected Plates”, International Applied Mechanics, 51, no. 6, pp.
623–639, 2015.
17. S.A. Kaloerov, “Determining the intensity factors for stresses, electric-flux density,
and electric-field strength in multiply connected electroelastic anisotropic media”,
Int. Appl. Mech., 43, no. 6, pp. 631–637, 2007.
18. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “On stressed state of transversely isotropic medium
with an arbitraly orientated spheroidal void or penny-shaped crack under internal
pressure”, Strength of Materials, 37, no. 5, pp. 480–488, 2005.
19. V.S. Kirilyuk, “Elastic state of a transversely isotropic piezoelectric body with an
arbitrarily oriented elliptic crack”, Int. Appl. Mech., 44, no. 2, pp. 150–157, 2008.
20. V.S. Kirilyuk, “Stress state of a piezoceramic body with a plane crack opened by a
rigid inclusion”, Int. Appl. Mech., 44, no. 7, pp. 757–768, 2008.
21. A. Kotousov, L.B. Neto, and A. Khanna, “On a rigid inclusion pressed between two
elastic half spaces”, Mechanics of Materials, 68, no. 1, pp. 38–44, 2014.
22. R. Kumar and V. Gupta, “Green’s function for transversely isotropic thermoelastic
diffusion bimaterials”, Journal of Thermal Stresses, 37, no. 10, pp. 1201–1229,
2014.
23. F. Marmo, F. Toraldo, and L. Rosati, “Analytical formulas and design charts for
transversely isotropic half-spaces subject to linearly distributed pressures”,
Meccanica, 51, no. 11, pp. 2909–2928, 2016.
24. Yu.N. Podil’chuk, “Representation of the general solution of statics equations of the
electroelasticity of a transversally isotropic piezoceramic body in terms of harmonic
functions”, International Applied Mechanics, 34, no. 7, pp. 623–628, 1998.
25. A.P.S. Selvadurai, “A unilateral contact problem for a rigid disc inclusion embedded
between two dissimilar elastic half-spaces”, Q. J. Mech. Appl. Math., no. 3,
pp. 493–509, 1994.
26. Yu.V. Tokovyy and C.C. Ma, “Three-Dimensional Elastic Analysis of Transversely-
Isotropic Composites”, Journal of Mechanics, 33, no. 6, pp. 821–830, 2018.
27. Y.J. Wang, C.F. Gao, and H.P. Song, “The anti-plane solution for the edge cracks
originating from an arbitrary hole in a piezoelectric material”, Mechanics Research
Communications, 65, pp. 17–23, 2015.
28. Z.K. Wang and B.L. Zheng, “The general solution of three-dimension problems in
piezoelectric media”, Int. J. Solids Structures, 32, no. 1, pp. 105–115, 1995.
29. M.H. Zhao, Y.B. Pan, C.Y. Fan, and G.T. Xu, “Extended displacement discontinuity
method for analysis of cracks in 2D piezoelectricsemiconductors”, International
Journal of Solids and Structures, vol. 94–95, pp. 50–59, 2016.
30. G.S. Keith and R.M. Martyniak, “Spatial contact problems for an elastic half-space
and a rigid base with surface recesses”, Math. methods and physical and mechanical
fields, 42, no. 6, pp. 7–11, 1999.
31. M.V. Hai, Two-dimensional integral equations of Newtonian potential and their ap-
plications. Kiev: Naukova dumka, 1993, 256 p.
|
| id | journaliasakpiua-article-259272 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:27:53Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/54/1dfd788b317ae630fe27d50e23deb454.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2592722022-06-21T10:27:50Z Mathematical modeling of the contact interaction of two elastic transversely isotropic half-spaces, one of which contains a near-surface groove of an elliptical section Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих трансверсально-изотропных полупространств, одно из которых содержит приповерхностную выемку эллиптического сечения Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів, один з яких містить приповерхневу виїмку еліптичного перерізу Kirilyuk, Vitaly Levchuk, Olga Gavrilenko, Valeriy mathematical modeling transversely isotropic half-space near-surface groove elliptical section parameters of contact interaction математическое моделирование трансверсально-изотропные полупространства приповерхностная выемка эллиптического сечения параметры контактного взаимодействия математичне моделювання трансверсально-ізотропний півпростір приповерхнева виїмка еліптичний переріз параметри контактної взаємодії On the basis of a mathematical model, the problem of compression of two elastic transversely isotropic half-spaces, one of which contains a shallow near-surface groove of an elliptical section, is considered. The solution to the problem is obtained using the Elliott representation for a transversely isotropic body in terms of harmonic functions, classical harmonic potentials and reducing the boundary value problem to considering an integro-differential equation with an unknown domain of integration. As a special case, the obtained analytical expressions yield the basic parameters of the contact of transversely isotropic half-spaces in the presence of an axisymmetric groove in one of them, as well as the parameters of the contact interaction of two elastic isotropic half-spaces, one of which contains an elliptical cross-section groove. Numerical results are obtained, the influence of elastic properties of half-spaces, geometrical parameters of groove and loading on contact interaction and closing of the gap between bodies is studied. На основе математической модели рассмотрена задача о сжатия двух упругих трансверсально-изотропных полупространств, одно из которых содержит пологую приповерхностных выемку эллиптического сечения. Решение задачи получено с помощью представления Эллиота для трансверсально-изотропного тела через гармонические функции, классических гармонических потенциалов и сведения краевой задачи к рассмотрению интегро-дифференциального уравнения с неизвестной областью интегрирования. Как частный случай из найденных аналитических выражений вытекают основные параметры контакта трансверсально-изотропных полупространств при наличии в одном из них выемки осесимметричной формы, а также параметры контактного взаимодействия двух упругих изотропных полупространств, одно из которых содержит выемку эллиптического сечения. Получены численные результаты, изучено влияние упругих свойств полупространств, геометрических параметров выемки и погрузки на контактное взаимодействие и закрытия зазора между телами. На основі математичної моделі розглянуто задачу про стискання двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів, один з яких містить похилу приповерхневу виїмку еліптичного перерізу. Розв’язок задачі отримано за допомогою подання Еліота для трансверсально-ізотропного тіла через гармонічні функції, класичних гармонічних потенціалів та зведення граничної задачі до розгляду інтегро-диференціального рівняння з невідомою областю інтегрування. Як частинний випадок зі знайдених аналітичних виразів випливають основні параметри контакту трансверсально-ізотропних півпросторів за наявності в одному з них виїмки вісесиметричної форми, а також параметри контактної взаємодії двох пружних ізотропних півпросторів, один з яких містить виїмку еліптичного перерізу. Отримано числові результати, вивчено вплив пружних властивостей півпросторів, геометричних параметрів виїмки та навантаження на контактну взаємодію та закриття зазору між тілами. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2022-04-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/259272 10.20535/SRIT.2308-8893.2022.1.09 System research and information technologies; No. 1 (2022); 110-123 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2022); 110-123 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2022); 110-123 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/259272/255907 |
| spellingShingle | математичне моделювання трансверсально-ізотропний півпростір приповерхнева виїмка еліптичний переріз параметри контактної взаємодії Kirilyuk, Vitaly Levchuk, Olga Gavrilenko, Valeriy Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів, один з яких містить приповерхневу виїмку еліптичного перерізу |
| title | Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів, один з яких містить приповерхневу виїмку еліптичного перерізу |
| title_alt | Mathematical modeling of the contact interaction of two elastic transversely isotropic half-spaces, one of which contains a near-surface groove of an elliptical section Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих трансверсально-изотропных полупространств, одно из которых содержит приповерхностную выемку эллиптического сечения |
| title_full | Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів, один з яких містить приповерхневу виїмку еліптичного перерізу |
| title_fullStr | Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів, один з яких містить приповерхневу виїмку еліптичного перерізу |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів, один з яких містить приповерхневу виїмку еліптичного перерізу |
| title_short | Математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів, один з яких містить приповерхневу виїмку еліптичного перерізу |
| title_sort | математичне моделювання контактної взаємодії двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів, один з яких містить приповерхневу виїмку еліптичного перерізу |
| topic | математичне моделювання трансверсально-ізотропний півпростір приповерхнева виїмка еліптичний переріз параметри контактної взаємодії |
| topic_facet | mathematical modeling transversely isotropic half-space near-surface groove elliptical section parameters of contact interaction математическое моделирование трансверсально-изотропные полупространства приповерхностная выемка эллиптического сечения параметры контактного взаимодействия математичне моделювання трансверсально-ізотропний півпростір приповерхнева виїмка еліптичний переріз параметри контактної взаємодії |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/259272 |
| work_keys_str_mv | AT kirilyukvitaly mathematicalmodelingofthecontactinteractionoftwoelastictransverselyisotropichalfspacesoneofwhichcontainsanearsurfacegrooveofanellipticalsection AT levchukolga mathematicalmodelingofthecontactinteractionoftwoelastictransverselyisotropichalfspacesoneofwhichcontainsanearsurfacegrooveofanellipticalsection AT gavrilenkovaleriy mathematicalmodelingofthecontactinteractionoftwoelastictransverselyisotropichalfspacesoneofwhichcontainsanearsurfacegrooveofanellipticalsection AT kirilyukvitaly matematičeskoemodelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâdvuhuprugihtransversalʹnoizotropnyhpoluprostranstvodnoizkotoryhsoderžitpripoverhnostnuûvyemkuélliptičeskogosečeniâ AT levchukolga matematičeskoemodelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâdvuhuprugihtransversalʹnoizotropnyhpoluprostranstvodnoizkotoryhsoderžitpripoverhnostnuûvyemkuélliptičeskogosečeniâ AT gavrilenkovaleriy matematičeskoemodelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâdvuhuprugihtransversalʹnoizotropnyhpoluprostranstvodnoizkotoryhsoderžitpripoverhnostnuûvyemkuélliptičeskogosečeniâ AT kirilyukvitaly matematičnemodelûvannâkontaktnoívzaêmodíídvohpružnihtransversalʹnoízotropnihpívprostorívodinzâkihmístitʹpripoverhnevuviímkuelíptičnogopererízu AT levchukolga matematičnemodelûvannâkontaktnoívzaêmodíídvohpružnihtransversalʹnoízotropnihpívprostorívodinzâkihmístitʹpripoverhnevuviímkuelíptičnogopererízu AT gavrilenkovaleriy matematičnemodelûvannâkontaktnoívzaêmodíídvohpružnihtransversalʹnoízotropnihpívprostorívodinzâkihmístitʹpripoverhnevuviímkuelíptičnogopererízu |