Типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів неідеальних динамічних систем
Some applied nonlinear, non-ideal dynamic systems of the fifth order, which are used to describe the oscillations of spherical pendulums and in hydrodynamics, are considered. Maximal attractors, both regular and chaotic, of such systems are constructed. Various bifurcations of maximal attractors are...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2022
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/262018 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334426458849280 |
|---|---|
| author | Shvets, Aleksandr |
| author_facet | Shvets, Aleksandr |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Aleksandr Shvets",
"institution": "Національний технічний університет України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
}
] |
| author_sort | Shvets, Aleksandr |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-05-21T20:04:38Z |
| description | Some applied nonlinear, non-ideal dynamic systems of the fifth order, which are used to describe the oscillations of spherical pendulums and in hydrodynamics, are considered. Maximal attractors, both regular and chaotic, of such systems are constructed. Various bifurcations of maximal attractors are discussed. The transition to deterministic chaos is established for maximal attractors in typical Feigenbaum and Manneville–Pomeau scenarios. The implementation of the generalized alternation scenario for chaotic maximum attractors of such systems is investigated. A sign of the implementation of the scenario of generalized alternation has been revealed. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2022.4.11 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:27:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
О.Ю. Швець, 2022
Системні дослідження та інформаційні технології, 2022, № 4 141
УДК 517.9:534.1
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2022.4.11
ТИПОВІ ТА УЗАГАЛЬНЕНІ ПЕРЕХОДИ ДО
ДЕТЕРМІНОВАНОГО ХАОСУ НЕТИПОВИХ АТРАКТОРІВ
НЕІДЕАЛЬНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ
О.Ю. ШВЕЦЬ
Анотація. Розглянуто деякі прикладні нелінійні неідеальні динамічні системи
п’ятого порядку, які застосовуються для опису коливань сферичних маятників
та у гідродинаміці. Побудовано максимальні атрактори, як регулярні, так і
хаотичні, таких систем. Обговорено різноманітні біфуркації максимальних
атракторів. Установлено перехід до детермінованого хаосу для максимальних
атракторів за типовими сценаріями Фейгенбаума та Манневілля–Помо.
Досліджено імплементацію сценарію узагальненої переміжності для хаотич-
них максимальних атракторів таких систем. Виявлено ознаку реалізації
сценарію узагальненої переміжності.
Ключові слова: неідеальна динамічна система, регулярний максимальний атрак-
тор, хаотичний максимальний атрактор, переміжність типова та узагальнена.
ВСТУП
Під час дослідження динамічних систем великий інтерес викликають питан-
ня виникнення хаотичних граничних множин у таких системах. Тобто ви-
никнення усталених режимів динамічної поведінки, за яких поведінка
детермінованої динамічної системи стає у деякому сенсі непередбачуваною.
Причому ця непередбачуваність залежить виключно від внутрішніх власти-
востей динамічної системи, а не від тих чи інших зовнішніх хаотичних
збуджень цієї системи. Якщо динамічна система є дисипативною, то гра-
ничними множинами будуть атрактори різних типів. Причому такі множини
можуть бути як регулярними (положення рівноваги, граничні цикли,
інваріантні тори), так і хаотичними. Перший хаотичний атрактор був побу-
дований у знаменитій праці Лоренца 1963 р. [1] і надалі отримав назву «ме-
телик Лоренца».
Із плином часу було розроблено понятійну базу для класифікації різних
типів хаотичних атракторів. Натепер розглядаються гіперболічні, квазіхао-
тичні, приховані, самозбуджені, рідкісні хаотичні атрактори [2–4].
Усі перелічені атрактори є ізольованими граничними множинами. Тоб-
то, якщо , — два різні атрактори, то
,0),(inf
yx
y
x
(1)
де — деяка метрика, як правило, евклідова, у фазовому просторі
динамічної системи.
Однак, крім існування таких «типових» атракторів, у деяких динаміч-
них системах існують граничні множини, які не задовольняють умову ізо-
льованості (1). Граничні множини такої динамічної системи можна
О.Ю. Швець
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2022, № 4 142
об’єднати у сім’ї за спільними властивостями, серед яких неізольованість і
спільний спектр ляпуновських характеристичних показників (ЛХП). Серед
інших такі сім’ї можуть ще й мати властивість «притягання» до себе інших
траєкторій (яка виокремлює атрактор серед інших граничних множин у ви-
падку її ізольованості). У випадку сім’ї властивість «притягання» буде вияв-
лятись у вигляді, що кожна траєкторія з деякої відкритої множини прямує не
до всієї сім’ї граничних множин як такої, а до деякого її представника. Такі
сім’ї утворюють так звані максимальні атрактори, означення яких наведено
у працях [5, 6]. Зауважимо, що максимальні атрактори не є атракторами у
класичному сенсі.
ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ ТА МЕТА РОБОТИ
Чільне місце серед динамічних систем займають неідеальні системи або
системи з обмеженим збудженням. Уперше такі системи були розглянуті
Зоммерфельдом на початку ХХ ст. [7]. Але як усталений науковий напрям
теорія систем з обмеженим збудженням утворилася після публікації
монографії Кононенка [8], у якій він увів чітку аксіоматику та побудував
математичні моделі для широкого кола завдань. Теорія систем з обмеженим
збудженням досліджує взаємодію коливальних систем з джерелами збуд-
ження їх коливань. У межах цієї теорії передбачається, що джерела збуд-
ження коливань мають потужність, порівнянну до потужності, споживаної
коливальним навантаженням. У цьому випадку робота джерела енергії за-
лежить від режиму коливального навантаження і вплив джерела не може
бути виражений у вигляді заданої явної функції часу. Тоді як у
традиційному математичному моделюванні коливальної системи розгляда-
ються ідеалізовані джерела збудження необмеженої потужності.
У багатьох випадках «ідеальний» підхід в корені хибний, що на прак-
тиці призводить до грубих помилок в описі динаміки як коливальної систе-
ми, так і джерела збудження [9–15].
Відкриття детермінованого хаосу стимулювало появу нового напряму в
теорії систем з обмеженим збудженням, пов’язаного з пошуком хаотичних
режимів взаємодії коливальних систем з джерелами збудження. Особливий
інтерес становлять ті хаотичні режими, поява яких зумовлена нелінійною
взаємодією коливальної системи з джерелом збудження, а не з їх автоном-
ними властивостями. У публікаціях [16, 17] описано виникнення хаотич-
них усталених режимів у низці детермінованих неідеальних динамічних си-
стем. У цих системах хаос принципово неможливий без урахування
взаємодії коливної системи з джерелом збудження її коливань.
Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь:
2442512
2
5
2
4
2
2
2
131
1 2)()(
2
yyyyyyByyyyy
A
yCy
d
dy
;
1542511
2
5
2
4
2
2
2
132
2 2)()(
2
yyyyyyByyyyy
A
yCy
d
dy
;
3
1 2 4 5 3
dy
D y y y y Ey F
d
; (2)
5142515
2
5
2
4
2
2
2
134
4 2)()(
2
yyyyyyByyyyy
A
yCy
d
dy
;
Типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2022, № 4 143
4242514
2
5
2
4
2
2
2
135
5 2)()(
2
yyyyyyByyyyy
A
yCy
d
dy
.
Це нормальна нелінійна система диференціальних рівнянь п’ятого по-
рядку. Тут 54321 ,, , , yyyyy — фазові змінні; — безрозмірний час;
FEDCBA , , , ,, — деякі параметри. Система рівнянь (2) має достатньо
широке застосування у математичному моделюванні систем з обмеженим, за
Зоммерфельдом–Кононенком, збудженням.
Так, якщо
4
3
,
4
1
BA , ця система описує коливання сферичного
маятника, точка опори якого збуджується по вертикалі електродвигуном
обмеженої потужності. У цьому випадку фазові змінні 5421 ,, , yyyy визна-
чають положення маятника у просторі, а фазова змінна 3y визначає швид-
кість обертання вала електродвигуна. Відповідно параметри FEDC , ,, зале-
жать від довжини і власної частоти маятника, рушійного моменту
електродвигуна, внутрішнього моменту сил опору обертанню ротора елект-
родвигуна, коефіцієнта демпфування, кута нахилу статичної характеристики
електродвигуна тощо. Детальне виведення системи рівнянь (2) для випадку
сферичного маятника з обмеженим збудженням виконано у праці [18].
Систему рівнянь (2) можна використовувати також для опису коливань
вільної поверхні рідини циліндричного бака частково заповненого рідиною,
платформа якого збуджується по вертикалі електродвигуном обмеженої по-
тужності. У загальному випадку система «бак з рідиною – електродвигун»
достатньо складна нескінченно вимірна динамічна система. Але у частин-
ному випадку параметричного резонансу система п’ятого порядку (2) дозво-
ляє з високою точністю описати коливання вільної поверхні рідини. Звичай-
но фізичний зміст фазових координат і параметрів значно відрізняється від
випадку сферичного маятника. Так у випадку системи «бак з рідиною – еле-
ктродвигун» фазові змінні 21 , yy і 54, yy — коефіцієнти розкладу амплітуд
коливань вільної поверхні рідини, відповідно за першою і другою основни-
ми домінантними модами; фазова змінна 3y пропорційна швидкості обер-
тання вала електродвигуна; C — коефіцієнт сил в’язкого демпфуван-
ня; D — коефіцієнт пропорційності вібраційного моменту; E — кут нахилу
статичної характеристики електродвигуна. Параметри A і B є константами,
які залежать від радіуса бака і висоти налитої в нього рідини. Детальні по-
яснення з приводу обґрунтування математичної моделі системи «бак з ріди-
ною – електродвигун» та обчислення параметрів цієї системи наведено у
працях [19, 20].
Метою роботи є побудова максимальних атракторів системи (2) та до-
слідження різноманітних біфуркацій такого типу атракторів.
МЕТОДИКА ВИКОНАННЯ ЧИСЛОВИХ РОЗРАХУНКІВ І ОСНОВНІ
ЧИСЛОВІ РЕЗУЛЬТАТИ
Система диференціальних рівнянь (2) суттєво нелінійна, тому знаходження
її розв’язків та дослідження динамічної поведінки цієї системи, у загально-
му випадку, можна проводити тільки числовими методами. Опис деяких
з таких методів наведено у працях [21, 22], а методику їх застосування сто-
совно систем з обмеженим збудженням роз’яснено у працях [23, 24].
О.Ю. Швець
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2022, № 4 144
Передусім відзначимо, що положення рівноваги системи рівнянь (2)
проаналізовано у праці [25]. Коротко нагадаємо результати цієї роботи. Сис-
тема (2) має єдине ізольоване положення рівноваги:
.0, 0, 0 , 0, 0 54321 yy
E
F
yyy (3)
Достатні умови асимптотичної стійкості за Ляпуновим такого поло-
ження рівноваги можуть бути отримані за допомогою теореми Л’єнара–
Шіпара [26]. Крім одного ізольованого положення рівноваги система (2) має
нескінченну кількість неізольованих положень рівноваги. Ці положення рів-
новаги утворюють замкнені лінії у фазовому просторі. Кожна точка цих
особливих ліній буде положенням рівноваги. Якщо положення рівноваги
ізольоване, положення рівноваги (3) є асимптотично стійким, то воно буде
єдиним традиційним атрактором системи. Усі інші, можливі, граничні мно-
жини не будуть атракторами у традиційному сенсі цього терміна.
Для з’ясування можливого вигляду граничних множин системи (2) про-
ведемо числові дослідження її динамічної поведінки. Спочатку розглянемо
випадок, коли ця система описує нелінійну взаємодію бака з рідиною й еле-
ктродвигуна. Для виконання числових розрахунків покладемо:
. 6.0, 6.4, 8.0, 531.1, 56.0 FDCBA (4)
Параметр E (кут нахилу статичної характеристики електродвигуна)
розглядатимемо як біфуркаційний. Будемо досліджувати поведінку системи,
якщо .75.12.2 E За таких вибраних значень параметрів у системі ви-
никають надзвичайно цікаві граничні множини, які мають такі загальні
властивості. Кожна з таких множин являє собою деяку сім’ю нескінченної
кількості траєкторій у фазовому просторі системи (2). Ці траєкторії
неізольовані одна від одної, при цьому вони не мають спільних точок і не є
положеннями рівноваги. Траєкторії сім’ї мають властивості «притягання»,
що споріднює таку сім’ю з атрактором. У той же час неізольованість
траєкторій сім’ї вказує на те, що такі сім’ї траєкторій не є атракторами у
традиційному сенсі поняття «атрактор». Причому зауважимо, що такі
граничні множини можуть бути як регулярними, так і хаотичними [25].
Розглянемо деякі конкретні приклади таких сімей. Припустімо, що
792.1E . У цьому випадку виникає гранична множина, яка складається з
нескінченної кількості замкнених траєкторій (циклів), усі з яких існують
одночасно. Усі цикли розташовані як завгодно близько один до одного, тоб-
то не ізольовані. Однак такі цикли не мають точок дотику або перетину.
Кожна така замкнена траєкторія сама по собі є граничною множиною. Це
зумовлено тим, що майже будь-яка траєкторія, яка починається в деякій до-
статньо великій області фазового простору, прямує до одного з циклів сім’ї.
Але жоден із циклів не є атрактором у традиційному розумінні цього термі-
на. Отже, кожен із цих циклів не є граничним. Крім того, кожен окремий
цикл має один і той же період, однаковий спектр ЛХП. Старший ляпуновсь-
кий показник для всіх циклів сім’ї дорівнює нулю. Переріз Пуанкаре кожно-
го з циклів складається з однакової скінченної кількості точок.
На рис. 1 побудовано проекції фазового портрета трьох представників
такої сім’ї траєкторій, які нанесено відтінками чорного кольору. Такі
граничні множини [5, 6] називаються максимальними атракторами. Отже, на
рис. 1 зображено представники періодичного максимального атрактора.
Типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2022, № 4 145
Великий інтерес становлять біфуркації максимальних атракторів, зок-
рема переходи від регулярних максимальних атракторів до хаотичних мак-
симальних атракторів. Для традиційних атракторів такі послідовності
біфуркацій переходу від регулярного атрактора до хаотичного атрактора
називаються сценаріями переходу до хаосу. Двома основними сценаріями
таких переходів є сценарій Фейгенбаума [27, 28] та сценарій Манневілля–
Помо [29, 30]. Останнім часом виявлено нові сценарії переходів до хаосу,
які узагальнюють уже відомі сценарії [31, 32]. Виявляється подібні
послідовності біфуркацій притаманні і максимальним атракторам.
На рис. 2, a побудовано фазопараметричну характеристику (біфуркаційне
дерево) для одного з представників максимальних атракторів системи (2)
за значень параметрів за формулами (4). Зауважимо, що такі
фазопараметричні характеристики для будь-якого представника максималь-
ного атрактора якісно подібні і відрізняються тільки несуттєвими
кількісними відмінностями. Маємо типове біфуркаційне дерево. Окремим
гілкам цього біфуркаційного дерева відповідають періодичні граничні мно-
жини, а густо чорним — хаотичні граничні множини. Можна побачити точ-
ки розгалуження гілок біфуркаційного дерева, які вказують на можливі типи
різних біфуркацій.
Для більш детального вивчення можливих біфуркацій на рис. 2, б по-
будовано збільшений фрагмент біфуркаційного дерева, який дозволяє
ідентифікувати тип біфуркацій. Чітко можна бачити точки розгалуження
Рис. 1. Проекції фазових портретів, якщо )(792.1 aE і )(781.1 бE .
y3 y3
y2 y2
y1 y1
а б
Рис. 2. Фазопараметрична характеристика системи
y1 y1
E Ea б
О.Ю. Швець
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2022, № 4 146
окремих гілок біфуркаційного дерева, із проходженням яких
спостерігаються біфуркації подвоєння періодів циклів, що утворюють мак-
симальний атрактор. Так, якщо 792.1E , максимальний атрактор
складається з нескінченної кількості циклів, кожний з яких має порівняно
просту однотактну структуру. Зі збільшенням значень біфуркаційного пара-
метра E починається каскад біфуркацій подвоєння періодів циклів сімей.
На рис. 1, б та на рис. 3, а побудовано періодичні максимальні атракто-
ри, які виникають після першої та другої біфуркацій подвоєння періоду. Як і
раніше відтінками чорного кольору зображено по три представники від-
повідних періодичних максимальних атракторів. Із кожною біфуркацією
вдвічі збільшується тактність усіх циклів максимального атрактора. Спочат-
ку вони стають двотактними, а потім — чотиритактними. Усі цикли мають
нульовий старший ляпуновський показник. Також після кожної біфуркації
подвоюється кількість точок у перетинах Пуанкаре. Такий нескінченний
каскад біфуркацій подвоєння періоду завершується виникненням хаотично-
го максимального атрактора, якщо 776.1E .
Побудовані проекції трьох представників нескінченної сім’ї неперіоди-
чних траєкторій виниклого хаотичного максимального атрактора показано
на рис. 3. Про виникнення хаотичної граничної множини свідчить поява до-
датного старшого ляпуновського показника у всіх траєкторій, які утворю-
ють максимальний атрактор. Виникла сім’я містить нескінченну кількість
хаотичних траєкторій. Відомо, що традиційний хаотичний атрактор склада-
ється із нескінченної кількості нестійких траєкторій. На перший погляд ця
сім’я являє собою об’єднання нескінченної кількості хаотичних атракторів.
Проте кожен член сім’ї не є атрактором у традиційному сенсі. Тут, як і ра-
ніше, для визначення такого об’єднання можна запропонувати поняття мак-
симального атрактора [5, 6]. Усі траєкторії максимального хаотичного
атрактора мають однаковий спектр ляпуновських характеристичних показ-
ників, старший з яких додатний. Отже, як і для традиційних атракторів, мож-
на вводити поняття спектра ЛХП максимального атрактора в цілому, а не
якоїсь його окремої траєкторії. Перетини Пуанкаре кожної з траєкторій сім’ї
є структурно подібні хаотичні множини, що складаються із нескінченної
кількості точок.
Таким чином, перехід до хаосу для максимальних атракторів відбува-
ється через нескінченний каскад біфуркацій подвоєння періодів циклів. Та-
Рис. 3. Проекції фазових портретів, якщо 7845,1E (a) і 776.1E (б)
y3
y3
y2 y2
y1 y1
a б
Типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2022, № 4 147
кий сценарій для традиційних атракторів називається сценарієм Фейгенбау-
ма [27, 28]. Отже, попри те, що максимальні атрактори не є атракторами у
класичному розумінні цього поняття, перехід до хаосу для максимальних
атракторів може здійснюватися за природною аналогією типового сценарію
Фейгенбаума.
Із подальшим зростанням біфуркаційного параметра E спостерігається
перехід від хаотичного максимального атрактора одного типу до хаотичного
атрактора максимального іншого типу. Такий перехід типу «хаос–хаос»
відбувається за сценарієм узагальненої переміжності. Цей, порівняно новий,
сценарій є узагальненням типового сценарію переміжності Манневілля–
Помо [29, 30]. Різні варіанти сценарію узагальненої переміжності описано у
працях [31, 32]. Зазначимо, що сценарій узагальненої переміжності спочатку
був виявлений для традиційних атракторів. Але цей нетиповий сценарій
реалізується також для максимальних атракторів.
Ознакою можливої реалізації узагальненої переміжності послуговує ви-
гляд біфуркаційного дерева в околі точки 775.1E (див. рис. 2 (б)). Після
проходження цієї точки в бік зростання біфуркаційного параметра E значно
збільшується площа густо чорної ділянки на біфуркаційному дереві. Це
свідчить про виникнення у системі (2) хаотичного атрактора нового типу.
На рис. 4, a побудовано проекції фазових портретів трьох представни-
ків хаотичного максимального атрактора іншого типу, який існує у системі
(2), якщо 774.1E . Перехід до такого хаотичного максимального атрак-
тора відбувається за сценарієм узагальненої переміжності [32]. Для ілюстра-
ції імплементації такого сценарію побудовано розподіли інваріантної міри
для двох типів хаотичних максимальних атракторів. Рис. 4, в побудований,
якщо 776.1E , а рис. 4, г — якщо 774.1E . Після проходження точки
біфуркації зі зростанням параметра E хаотичний максимальний атрактор,
зображений на рис. 3, б, зникає і в системі виникає новий хаотичний макси-
мальний атрактор, зображений на рис. 4, a. Рух траєкторій по новому хаоти-
чному атрактор включає дві фази, груболамінарну та турбулентну. Грубо-
ламінарній фазі на рис. 4, г відповідає більш темна ділянка, яка за формою
нагадує зниклий хаотичний атрактор. Турбулентній фазі переміжності від-
повідають більш світлі ділянки на рис. 4, г. Чергування фаз груболамінарна
– турбулентна повторюється незліченну кількість разів. Час переходу із гру-
боламінарної фази у турбулентну і знову назад у груболамінарну неперед-
бачуваний. Такий перехід відбувається на всіх траєкторіях сім’ї, яка утво-
рює хаотичний максимальний атрактор за одного і того ж значення
біфуркаційного параметра.
Імплементацію сценарію узагальненої переміжності можна виявити,
аналізуючи перетини Пуанкаре. На рис. 4, б побудовані перерізи Пуанкаре
представників хаотичного максимального атрактора, якщо 776.1E (сірі
точки) і 774.1E (чорні точки більшого розміру). В обох випадках пере-
тини утворюють квазістрічкові хаотичні множини. Локалізація
квазістрічкової множини представника хаотичного максимального атрак-
тора за 776.1E збігається з локалізацією перетину Пуанкаре
відповідного груболамінарній фазі представника хаотичного максимального
атрактора за 774.1E (чотири ділянки на цьому рисунку, на яких сірі
точки розташовуються посеред чорних). Чорні точки на рис. 4, б відповіда-
ють турбулентній фазі максимального аттрактора, за 774.1E .
О.Ю. Швець
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2022, № 4 148
На завершення розглянемо реалізацію ще одного типового сценарію
переходу до хаосу, а саме переміжності [29, 30], для нетипових максималь-
них атракторів. Цей розгляд, для різноманітності, проведемо в іншому вікні
періодичності 88.189.1 E біфуркаційного дерева. У малому правому
півоколі точки 89.1E у системі (2) існує періодичний максимальний ат-
рактор (сім’я циклів). Проекцію розподілу природної інваріантної міри по-
будовано для одного з представників максимального періодичного атракто-
ра за 886.1E (рис. 5, a). Цикли цього атрактора мають більш складну
структуру на відміну від розглянутих вище. Якщо 89.1E , сім’я циклів
зникає і в системі виникає хаотичний максимальний атрактор. Виникнення
хаосу відбувається за одну жорстку біфуркацію. На рис. 5, б показано прое-
кцію розподілу природної інваріантної міри, побудовану за значення
Рис. 5. Розподіли природної інваріантної міри за значень )(886.1 aE і 89.1E (б)
y3 y3
y1 y1a б
y3
y2
y1
y2
y1
a б
y3 y3
y1 y1
y3
в г
Рис. 4. Проекції фазових портретів, якщо 774.1E (а); перерізи Пуанкаре (б);
розподіли природної інваріантної міри, якщо 776.1E (в) і 774.1E (г)
Типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2022, № 4 149
89.1E . Порівняльний аналіз розподілів (рис. 5) наочно свідчить про ви-
никнення хаосу через переміжність за Манневіллем–Помо. На рис. 5, б
можна помітити більш жирно прокреслені лінії, які за формою нагадують
контури зниклого граничного циклу. Це ламінарна фаза переміжності.
Більш світлі ділянки всередині цього рисунка є турбулентною фазою пере-
міжності. Як зазначалося, перехід «цикл–хаос» відбувається за значення
89.1E для всієї сім’ї циклів періодичного максимального атрактора.
Усі числові розрахунки виконано за значень параметрів, що відповіда-
ють системі «бак з рідиною–електродвигун». Але подібні типи максималь-
них атракторів і сценарії переходу до хаосу характерні і для системи «сфе-
ричний маятник–електродвигун». Деякі результати для біфуркацій по
іншому параметру частково отримано у праці [25].
ВИСНОВКИ
У роботі проаналізовано перехід до детермінованого хаосу в деяких важли-
вих для застосувань неідеальних динамічних системах. Основними гранич-
ними множинами розглянутих систем будуть максимальні атрактори. Уста-
новлено, що незважаючи на те, що максимальні атрактори не є атракторами
у традиційному розумінні цього терміна, перехід до хаосу для максималь-
них атракторів відбувається за типовими і нетиповими сценаріями, описа-
ними для традиційних атракторів.
ЛІТЕРАТУРА
1. E.N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow,” J. Atmos. Sci., 20, pp. 130–141, 1963.
Available: https://doi.org/10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2
2. Handbook of Applications of Chaos Theory; Edited By C.H. Skiadas and Char. Skiadas.
Chapman and Hall/CRC, 2016, 952 p.
3. G. Leonov and N. Kuznetsov, Nonlinear mathematical models of phase-locked loops.
Stability and Oscillations. Cambridge Scientific Publisher, Cambridge, 2014.
4. N. Kuznetsov, “Hidden attractors in fundamental problems and engineering models,”
Lect. Notes Electr. Eng., 4, pp. 13–25, 2016.
5. J. Milnor, “On the concept of attractor,” Commun. Math. Phys., 99, pp. 177–195, 1985.
Available: https://doi.org/10.1007/BF01212280
6. V.S. Anishchenko and T.E. Vadivasova, Lectures on Nonlinear Dynamics. Research
Center Regular and Chaotic Dynamics, 2011, 516 p.
7. A. Sommerfeld, “Beitrage zum dynamischen Ausbau der Festigkeitslehre,” Physi-
kalische Zeitschrift, 3, pp. 266–271, 1902.
8. V.O. Kononenko, Vibrating system with a limited power-supply. London: Iliffe, 1969, 236 p.
9. T.S. Krasnopolskaya, “Acoustic chaos caused by the Sommerfeld effect,” J. Fluids
Struct., 8(6), 803–815, 1994. doi: 10.1016/s0889-9746(94)90300-x
10. T.S. Krasnopolskaya and G.J.F. van Heijst, “Wave pattern formation in a fluid annulas
with a vibrating inner shell,” Journal of Fluid Mechanics, vol. 328, pp. 229–252, 1996.
Available: https://doi.org/10.1017/S0022112096008701
11. M.F. Dimentberg et al., “Dynamics of an Unbalanced Shaft Interacting with a Limited
Power Supply,” Nonlinear Dynamics, 13, pp. 171–187, 1997.
12. M. Dimentberg and C. Bucher, “Combinational parametric resonance under imperfectly
periodic excitation,” J. Sound Vibr., 331(19), pp. 4373–4378, 2009. doi:
10.1016/j.jsv.2012.04.025
13. R.F. Ganiev and T.S. Krasnopolskaya, “The Scientific Heritage of V.O. Kononenko: The
Sommerfeld–Kononenko Effect,” Journal of Machinery Manufacture and Reliability,
47(5), pp. 389–398, 2018. Available: https://doi.org/10.3103/S1052618818050047
14. A.A. Alifov, “About mixed forced, parametric and self-oscillations by limited excitation
and delayed elasticity,” PNRPU Mechanics Bulletin, 3, pp. 12–19, 2020.
15. S. Manikandan and P. Kokil, “Stability analysis of network-controlled generator excita-
tion system with interval time-varying delays,” Automatika, 62(1), pp. 65–75, 2021. doi:
10.1080/00051144.2020.1860390
О.Ю. Швець
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2022, № 4 150
16. A. Shvets and S. Donetskyi, “Transition to deterministic chaos in some electroelastic sys-
tems,” Springer Proceedings in Complexity, pp. 257–264, 2019. DOI 10.1007/978-3-
030-15297-0_23.
17. E.D. Pechuk et al., “Influence of the Heart Rate on Dynamics of Cardiorespiratory System,”
Springer Proceedings in Complexity, pp. 211–216, 2020. doi: 10.1007/978-3-030-39515-5_17
18. T.S. Krasnopol’skaya and A.Yu. Shvets, “Chaotic oscillations of a spherical pendulum as an
example of interaction with energy source,” Int. Appl. Mech., 28(10), pp. 669–674, 1992.
19. T.S. Krasnopol’skaya and A.Y. Shvets, “Parametric resonance in the system: Liquid in
tanks +electric motor,” Int. Appl. Mech., 29(9), pp. 722–730, 1993.
20. T.S. Krasnopolskaya and А.Yu. Shvets, “Chaotic surface waves in limited power—supply cy-
lindrical tank vibrations,” J. Fluids Struct., 8(1), pp. 1–18, 1994. doi: 10.1006/jfls.1994.1001
21. S.P. Kuznetsov, Dynamic Chaos. M.: Fizmatlit, 2006, 292 p.
22. T.S. Krasnopolskaya and A.Yu. Shvets, Regular and chaotic dynamics of systems with limited
excitation. M.: Research Center Regular and Chaotic Dynamics, 2008, 280 p.
23. А.Yu. Shvets and T.S. Krasnopolskaya, “Hyperchaos in piezoceramic systems with lim-
ited power supply,” Solid Mechanics and its Applications, 6, pp. 313–322, 2008. doi:
10.1007/978-1-4020-6744-0_27
24. A.Yu. Shvets, “Deterministic chaos of a spherical pendulum under limited excitation,”
Ukr. Math. J., 59, pp. 602–614, 2007. doi: 10.1007/s11253-007-0039-7
25. A. Shvets and S. Donetskyi, “New Types of Limit Sets in the Dynamic System “Spheri-
cal Pendulum—Electric Motor,” Advanced Structured Materials, 157, pp. 443–455,
2021. Available: https://doi.org/10.1007/978-3-030-75890-5_25
26. A. Li’enard and M.H. Chipart, “Sur le signe de la partie r’eelle des racines d’une quation
alg’ebrique,” J. Math. Pures Appl., 10 (4), pp. 291–346, 1914.
27. M.J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations,” J. Stat.
Phys., 19(1), pp. 25–52, 1978. Available: https://doi.org/10.1007/BF01020332
28. M.J. Feigenbaum, “The universal metric properties of nonlinear transformations,” J. Stat.
Phys., 21(6), pp. 669–706, 1979.
29. P. Manneville and Y. Pomeau, “Different ways to turbulence in dissipative dynamical
systems,” Physica D. Nonlinear Phenom., 1(2), pp. 219–226, 1980.
30. Y. Pomeau and P. Manneville, “Intermittent transition to turbulence in dissipative dy-
namical systems,” Comm. Math. Phys., 74(2), pp. 189–197, 1980. Available:
https://doi.org/10.1007/BF01197757
31. A.Yu. Shvets and V.A. Sirenko, “Scenarios of transitions to hyperchaos in nonideal oscil-
lating systems,” J. Math. Sci., 243(2), pp. 338–346, 2019. doi: 10.1007/s10958-019-04543-z
32. A. Shvets, “Overview of Scenarios of Transition to Chaos in Nonideal Dynamic Sys-
tems,” Springer Proceedings in Complexity, pp. 853–864, 2021. Available:
https://doi.org/10.1007/978-3-030-70795-8_59
Надійшла 27.07.2022
INFORMATION ON THE ARTICLE
Aleksandr Yu. Shvets, ORCID: 0000-0003-0330-5136, National Technical University of Ukraine
“Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail: aleksandrshvetskpi@gmail.com
TYPICAL AND GENERALIZED TRANSITIONS TO DETERMINISTIC CHAOS FOR
ATYPICAL ATTRACTORS OF NON-IDEAL DYNAMIC SYSTEMS / A.Yu. Shvets
Abstract. Some applied nonlinear, non-ideal dynamic systems of the fifth order,
which are used to describe the oscillations of spherical pendulums and in hydrody-
namics, are considered. Maximal attractors, both regular and chaotic, of such systems are
constructed. Various bifurcations of maximal attractors are discussed. The transition to
deterministic chaos is established for maximal attractors in typical Feigenbaum and Man-
neville–Pomeau scenarios. The implementation of the generalized alternation scenario
for chaotic maximum attractors of such systems is investigated. A sign of the implemen-
tation of the scenario of generalized alternation has been revealed.
Keywords: non-ideal dynamic system, regular maximal attractor, chaotic maximal
attractor, typical and generalized intermittency.
|
| id | journaliasakpiua-article-262018 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:27:56Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/96/e37b3cd2361c769ac5ec42d157d46696.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2620182023-05-21T20:04:38Z Typical and generalized transitions to deterministic chaos for atypical attractors of non-ideal dynamic systems Типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів неідеальних динамічних систем Shvets, Aleksandr non-ideal dynamic system regular maximal attractor chaotic maximal attractor typical and generalized intermittency неідеальна динамічна система регулярний максимальний атрактор хаотичний максимальний атрактор переміжність типова та узагальнена Some applied nonlinear, non-ideal dynamic systems of the fifth order, which are used to describe the oscillations of spherical pendulums and in hydrodynamics, are considered. Maximal attractors, both regular and chaotic, of such systems are constructed. Various bifurcations of maximal attractors are discussed. The transition to deterministic chaos is established for maximal attractors in typical Feigenbaum and Manneville–Pomeau scenarios. The implementation of the generalized alternation scenario for chaotic maximum attractors of such systems is investigated. A sign of the implementation of the scenario of generalized alternation has been revealed. Розглянуто деякі прикладні нелінійні неідеальні динамічні системи п’ятого порядку, які застосовуються для опису коливань сферичних маятників та у гідродинаміці. Побудовано максимальні атрактори, як регулярні, так і хаотичні, таких систем. Обговорено різноманітні біфуркації максимальних атракторів. Установлено перехід до детермінованого хаосу для максимальних атракторів за типовими сценаріями Фейгенбаума та Манневілля–Помо. Досліджено імплементацію сценарію узагальненої переміжності для хаотичних максимальних атракторів таких систем. Виявлено ознаку реалізації сценарію узагальненої переміжності. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2022-12-27 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/262018 10.20535/SRIT.2308-8893.2022.4.11 System research and information technologies; No. 4 (2022); 141-150 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2022); 141-150 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2022); 141-150 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/262018/270324 |
| spellingShingle | неідеальна динамічна система регулярний максимальний атрактор хаотичний максимальний атрактор переміжність типова та узагальнена Shvets, Aleksandr Типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів неідеальних динамічних систем |
| title | Типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів неідеальних динамічних систем |
| title_alt | Typical and generalized transitions to deterministic chaos for atypical attractors of non-ideal dynamic systems |
| title_full | Типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів неідеальних динамічних систем |
| title_fullStr | Типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів неідеальних динамічних систем |
| title_full_unstemmed | Типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів неідеальних динамічних систем |
| title_short | Типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів неідеальних динамічних систем |
| title_sort | типові та узагальнені переходи до детермінованого хаосу нетипових атракторів неідеальних динамічних систем |
| topic | неідеальна динамічна система регулярний максимальний атрактор хаотичний максимальний атрактор переміжність типова та узагальнена |
| topic_facet | non-ideal dynamic system regular maximal attractor chaotic maximal attractor typical and generalized intermittency неідеальна динамічна система регулярний максимальний атрактор хаотичний максимальний атрактор переміжність типова та узагальнена |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/262018 |
| work_keys_str_mv | AT shvetsaleksandr typicalandgeneralizedtransitionstodeterministicchaosforatypicalattractorsofnonidealdynamicsystems AT shvetsaleksandr tipovítauzagalʹneníperehodidodetermínovanogohaosunetipovihatraktorívneídealʹnihdinamíčnihsistem |