Алгоритм моделювання танення полярного льоду, внутрішнього руху Землі та виверження вулкану з 3 вимірним тензором інерції
This paper reports the result of an investigation of a hypothesis that the melting polar ice of Earth flowing down to the equatorial region causes volcano eruptions. We assumed a cube inside the spherical body of Earth, formulated a 3-dimensional inertia tensor of the cube, and then simulated the re...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Englisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/290473 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334438953680896 |
|---|---|
| author | Matsuki, Yoshio Bidyuk, Petro |
| author_facet | Matsuki, Yoshio Bidyuk, Petro |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Yoshio Matsuki",
"institution": "National University of Kyiv-Mohyla Academy, Kyiv"
},
{
"author": "Petro Bidyuk",
"institution": "Educational and Research Institute for Applied System Analysis of the National Technical University of Ukraine \"Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute\", Kyiv"
}
] |
| author_sort | Matsuki, Yoshio |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-11-07T22:19:24Z |
| description | This paper reports the result of an investigation of a hypothesis that the melting polar ice of Earth flowing down to the equatorial region causes volcano eruptions. We assumed a cube inside the spherical body of Earth, formulated a 3-dimensional inertia tensor of the cube, and then simulated the redistribution of the mass that is to be caused by the movement of melted ice on the Earth’s surface. Such mass distribution changes the inertia tensor of the cube. Then, the cube’s rotation inside Earth was simulated by multiplying the Euler angle matrix by the inertia tensor. Then, changes in the energy intensity and the angular momentum of the cube were calculated as coefficients of Hamiltonian equations of motion, which are made of the inertia tensor and sine and cosine curves of the rotation angles. The calculations show that the melted ice increases Earth’s internal energy intensity and angular momentum, possibly increasing volcano eruptions. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2023.3.09 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:28:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
Yoshio Matsuki, Petro Bidyuk, 2023
Системні дослідження та інформаційні технології, 2023, № 3 121
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
UDC 519.004.942
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2023.3.09
ALGORITHM FOR SIMULATING MELTING POLAR ICE,
EARTH INTERNAL MOVEMENT AND VOLCANO ERUPTION
WITH 3-DIMENSIONAL INERTIA TENSOR
YOSHIO MATSUKI, PETRO BIDYUK
Abstract. This paper reports the result of an investigation of a hypothesis that the
melting polar ice of Earth flowing down to the equatorial region causes volcano
eruptions. We assumed a cube inside the spherical body of Earth, formulated a
3-dimensional inertia tensor of the cube, and then simulated the redistribution of the
mass that is to be caused by the movement of melted ice on the Earth’s surface.
Such mass distribution changes the inertia tensor of the cube. Then, the cube’s rota-
tion inside Earth was simulated by multiplying the Euler angle matrix by the inertia
tensor. Then, changes in the energy intensity and the angular momentum of the cube
were calculated as coefficients of Hamiltonian equations of motion, which are made
of the inertia tensor and sine and cosine curves of the rotation angles. The calcula-
tions show that the melted ice increases Earth’s internal energy intensity and angular
momentum, possibly increasing volcano eruptions.
Keywords: inertia tensor, volcano eruption, mass distribution, Hamiltonian equation
of motion.
INTRODUCTION
The polar ice melts and flows to the Equatorial region by Earth’s centrifugal force
by its rotation (from Fig. 1 to Fig. 2), then Earth swells along the Equatorial re-
gion (Fig. 3). The mass balance of Earth changes, then its inertia tensor changes.
We assume that the change of the inertia tensor, which is caused by the redistribu-
tion of mass from the polar region to the equatorial region, excites the Earth’s in-
ternal energy and the angular momentum, causing volcano eruptions.
Fig. 1. Polar ice Fig. 2. Melting ice Fig. 3. Swell around Equator
Yoshio Matsuki, Petro Bidyuk
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2023, № 3 122
ALGORITHM OF THE SIMULATION
Equation (1) shows how to calculate inertia tensor of a solid body, r is a distance
between the centre of mass and each point of the body, V is the volume of the
body, α and β are suffixes that represent coordinates’ axis, and δ is Kronecker’s
delta:
dVrrrrρ=I
V
)()( 2
. (1)
Fig. 4 shows a spherical body in a 3-dimensional flat space. Inside of the
sphere, we put a cube, 3 sides of which are on x, y and z axis of a flat 3-
dimensional coordinate system. The cube’s mass is M, each side’s length is a, and
we set:
2Mab .
Applying (1) to this cube, the inertia tensor becomes:
b
b
b
b
b
b
b
b
b
=I
3
2
4
1
4
1
4
1
3
2
4
1
4
1
4
1
3
2
. (2)
The inertia tensor (2) of this cube is taken from the example shown at
end of the chapter 5.3 “The inertia tensor and the moment of inertia” in
page 94 of [1].
By rotating the spherical body around z-axis, (2) is multiplied by Euler angle D:
1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
=D .
Then we get:
Fig. 4. A spherical body in a 3-dimensional flat space
X
Y
Z
a
a
a
Algorithm for simulating melting polar ice, Earth internal movement and volcano …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2023, № 3 123
b
b
b
bb
b+b
bb
b+b
bb
bb
ID
3
2
4
1
4
1
cos
4
1
sin
4
1
cos
3
2
sin
4
1
cos
4
1
sin
3
2
sin
4
1
cos
4
1
sin
3
2
cos
4
1
sin
4
1
cos
3
2
. (3)
For calculating the energy intensity of the rotation, we take the diagonal
components of (3) to make a vector
b
b+b
b+b
=X
)3/2(
cos)3/2(sin)4/1(
sin)4/1(cos)3/2(
, (4)
while, for calculating the angular momentum of the rotation, we take non-
diagonal (y, x) and (x, y) components of (3) to make a vector
sin
3
2
cos
4
1
sin
3
2
cos
4
1
b
b+
=X . (5)
This re-formulation of the matrix to the vectors for energy intensity and for
angular momentum is explained from page 14 to page 21 of [2].
Then we make the Hamiltonian equation of motion:
XckT=H . (6)
Here, kT is a stress energy that reflects the energy intensity and angular mo-
mentum of the rotating body. In this simulation, we set it as a unity vector. And c
is a coefficient vector, which is to be calculated as energy intensity of the rotating
body or the angular momentum; Xc for energy intensity is
bC+b+bC+bC=Xc 2 3
2
cos
3
2
sin
4
1
+ sin
4
1
cos
3
2
10 ,
and for angular momentum it is
sin
3
2
cos
4
1
+ sin
3
2
cos
4
1
10 bbCb+bC=Xc .
Then, X’ is multiplied from the left side of (6), and we set it to be zero as
the boundary condition to make 0)( =XckTX'=HX' . Then, c will be calcu-
lated by transforming 0)( =XckTX'=HX' to ktX'=XcX' , and then to
ktX'=XcX' .
Here, X' is a transposed vector of X. 1)( XX' is an inverse matrix of )( XX' .
INPUT DATA FOR THE NUMERIC SIMULATION
We assign unity for b, therefore M and a become unity in (2) in order to simulate
the relative values and their changes of the energy intensity and angular momen-
Yoshio Matsuki, Petro Bidyuk
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2023, № 3 124
tum, not the absolute values. Then we deduct dydx, and dz from M in each of 3
directions in yx, and z -axis, as shown in (7) for the energy level and (8) for
angular momentum:
dzb
dy+b+b
dx+b+b
=X
3
2
cos
3
2
sin
4
1
sin
4
1
cos
3
2
; (7)
dy+b
dx+b+
=X
sin
3
2
cos
4
1
sin
3
2
cos
4
1
. (8)
First, we assign the value for zd , then calculate xd and yd by
1
1
1
1
1
dz
=
dza
=dy=dx , so that these can make the volume of the
cube to be unity. Then we simulate 4 cases by assigning 4 different sets of the
values of yx dd , and zd , which are shown in Table 1:
1
1
1
1
1
dz
=
dza
=dy=dx .
T a b l e 1 . Marginal changes, yx dd , and zd , of Earth’s mass, which are to be
reflected to the cubic
Marginal mass change Case 1 Case 2 Case 3 Case 4
dx 0 0.00503 0.0541 0.118
dy 0 0.00503 0.0541 0.118
dz 0 0.01 0.1 0.2
Here, the image of Case 1 is shown in Fig. 1, and Cases 2, 3 and 4 are in Fig. 3.
For (4), (5), (7) and (8), we use sine and cosine curves shown in Fig. 5.
Fig. 5. Sin and cos
1
2
1 — sin
2 — cos
time
si
n
,
c
o
s
Algorithm for simulating melting polar ice, Earth internal movement and volcano …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2023, № 3 125
RESULT
The result of the calculation of the coefficient vectors are shown in Table 2
and Fig. 6 for the energy intensity and in Table 3 and Fig. 7 for the angular
momentum. As the mass moves from the North Pole to the Equatorial region
the energy intensity becomes larger on z-axis and the angular momentum also
becomes larger on x-y plane. Fig. 8 shows the caricatured images of these cal-
culated results.
T a b l e 2 . Calculated coefficient vector for energy intensity
Energy intensity in Case 1, dz=0 Case 2, dz=0.01 Case 3, dz=0.1 Case 4, dz=0.2
x 3.053·10-16 - 6.94·10-17 - 2.08·10-16 - 7.49·10-16
y - 2.220·10-16 - 5.03·10-17 - 2.03·10-16 - 8.67·10-18
z 1.50 1.52 1.76 2.14
T a b l e 3 . Calculated coefficient vector for angular momentum
Angular momentum in Case 1, dz=0 Case 2, dz=0.01 Case 3, dz=0.1 Case 4, dz=0.2
x - 0.146 - 7.19·10-2 0.617 1.16
y 0.178 - 8.72·10-2 0.750 1.41
x
y
z
Fig. 6. Calculated energy intensity
x
y
Fig. 7. Calculated angular momentum
Fig. 8. Images of the simulation results
Yoshio Matsuki, Petro Bidyuk
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2023, № 3 126
CONCLUSIONS AND RECOMMENDATIONS
After the polar ice melting, the internal energy intensity of Earth becomes larger
on z-axis, and the angular momentum also becomes larger on x-y plane. This re-
sult suggests that the polar ice melting influences the Earth’s internal energy in-
tensity as well as the internal angular momentum, and larger. This result means a
possibility of volcano eruptions.
The simulated result should be compared to the observations on Earth, and
appropriate methodologies need to be developed for the comparison.
REFERENCES
1. Goldstein, C.P. Poole, and J.L. Safko, Classical Mechanics, 3rd Edition. Pearson
Education, Inc., 2002, pp. 646
2. Y. Matsuki and P.I. Bidyuk, A Course in Black Hole Simulation, LAP Lambert Aca-
demic Publishing, 2021, pp. 69.
Received 08.01.2023
INFORMATION ON THE ARTICLE
Petro I. Bidyuk, ORCID: 0000-0002-7421-3565, Educational and Research Institute for
Applied System Analysis of the National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky
Kyiv Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail: pbidyuke_00@ukr.net
Yoshio Matsuki, ORCID: 0000-0002-5917-8263, National University of Kyiv-Mohyla
Academy, Ukraine, e-mail: matsuki@wdc.org.ua
АЛГОРИТМ МОДЕЛЮВАННЯ ТАНЕННЯ ПОЛЯРНОГО ЛЬОДУ,
ВНУТРІШНЬОГО РУХУ ЗЕМЛІ ТА ВИВЕРЖЕННЯ ВУЛКАНУ З 3-ВИМІРНИМ
ТЕНЗОРОМ ІНЕРЦІЇ / Й. Мацукі, П.I. Бідюк
Анотація. Подано результати дослідження гіпотези про те, що танення поляр-
ного льоду Землі, що стікає до екваторіальної ділянки, викликає виверження
вулканів. Припустили, що всередині сферичного тіла Землі є куб, сформовано
тривимірний тензор інерції куба, потім змодельовано перерозподіл маси, який
буде спричинений рухом талого льоду на поверхні Землі. Такий розподіл мас
змінює тензор інерції куба. Змодельовано обертання куба всередині Землі
шляхом множення матриці кута Ейлера на тензор інерції. Зміни енергоємності
та моменту імпульсу куба розраховано як коефіцієнти гамільтонових рівнянь
руху, які складаються з тензора інерції та кривих синусів і косинусів кутів по-
вороту. Результати розрахунків показують, що талий лід збільшує
інтенсивність внутрішньої енергії Землі та кутовий момент, що означає мож-
ливе збільшення вивержень вулканів.
Ключові слова: тензор інерції, виверження вулкана, розподіл маси,
гамільтонове рівняння руху.
|
| id | journaliasakpiua-article-290473 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2025-07-17T10:28:23Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/9f/13513ac84d3c442a2151e081138fd29f.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2904732023-11-07T22:19:24Z Algorithm for simulating melting polar ice, Earth internal movement and volcano eruption with 3-dimensional inertia tensor Алгоритм моделювання танення полярного льоду, внутрішнього руху Землі та виверження вулкану з 3 вимірним тензором інерції Matsuki, Yoshio Bidyuk, Petro inertia tensor volcano eruption mass distribution Hamiltonian equation of motion тензор інерції виверження вулкана розподіл маси гамільтонове рівняння руху This paper reports the result of an investigation of a hypothesis that the melting polar ice of Earth flowing down to the equatorial region causes volcano eruptions. We assumed a cube inside the spherical body of Earth, formulated a 3-dimensional inertia tensor of the cube, and then simulated the redistribution of the mass that is to be caused by the movement of melted ice on the Earth’s surface. Such mass distribution changes the inertia tensor of the cube. Then, the cube’s rotation inside Earth was simulated by multiplying the Euler angle matrix by the inertia tensor. Then, changes in the energy intensity and the angular momentum of the cube were calculated as coefficients of Hamiltonian equations of motion, which are made of the inertia tensor and sine and cosine curves of the rotation angles. The calculations show that the melted ice increases Earth’s internal energy intensity and angular momentum, possibly increasing volcano eruptions. Подано результати дослідження гіпотези про те, що танення полярного льоду Землі, що стікає до екваторіальної ділянки, викликає виверження вулканів. Припустили, що всередині сферичного тіла Землі є куб, сформовано тривимірний тензор інерції куба, потім змодельовано перерозподіл маси, який буде спричинений рухом талого льоду на поверхні Землі. Такий розподіл мас змінює тензор інерції куба. Змодельовано обертання куба всередині Землі шляхом множення матриці кута Ейлера на тензор інерції. Зміни енергоємності та моменту імпульсу куба розраховано як коефіцієнти гамільтонових рівнянь руху, які складаються з тензора інерції та кривих синусів і косинусів кутів повороту. Результати розрахунків показують, що талий лід збільшує інтенсивність внутрішньої енергії Землі та кутовий момент, що означає можливе збільшення вивержень вулканів. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2023-09-29 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/290473 10.20535/SRIT.2308-8893.2023.3.09 System research and information technologies; No. 3 (2023); 121-126 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2023); 121-126 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2023); 121-126 2308-8893 1681-6048 en https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/290473/284060 |
| spellingShingle | тензор інерції виверження вулкана розподіл маси гамільтонове рівняння руху Matsuki, Yoshio Bidyuk, Petro Алгоритм моделювання танення полярного льоду, внутрішнього руху Землі та виверження вулкану з 3 вимірним тензором інерції |
| title | Алгоритм моделювання танення полярного льоду, внутрішнього руху Землі та виверження вулкану з 3 вимірним тензором інерції |
| title_alt | Algorithm for simulating melting polar ice, Earth internal movement and volcano eruption with 3-dimensional inertia tensor |
| title_full | Алгоритм моделювання танення полярного льоду, внутрішнього руху Землі та виверження вулкану з 3 вимірним тензором інерції |
| title_fullStr | Алгоритм моделювання танення полярного льоду, внутрішнього руху Землі та виверження вулкану з 3 вимірним тензором інерції |
| title_full_unstemmed | Алгоритм моделювання танення полярного льоду, внутрішнього руху Землі та виверження вулкану з 3 вимірним тензором інерції |
| title_short | Алгоритм моделювання танення полярного льоду, внутрішнього руху Землі та виверження вулкану з 3 вимірним тензором інерції |
| title_sort | алгоритм моделювання танення полярного льоду, внутрішнього руху землі та виверження вулкану з 3 вимірним тензором інерції |
| topic | тензор інерції виверження вулкана розподіл маси гамільтонове рівняння руху |
| topic_facet | inertia tensor volcano eruption mass distribution Hamiltonian equation of motion тензор інерції виверження вулкана розподіл маси гамільтонове рівняння руху |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/290473 |
| work_keys_str_mv | AT matsukiyoshio algorithmforsimulatingmeltingpolariceearthinternalmovementandvolcanoeruptionwith3dimensionalinertiatensor AT bidyukpetro algorithmforsimulatingmeltingpolariceearthinternalmovementandvolcanoeruptionwith3dimensionalinertiatensor AT matsukiyoshio algoritmmodelûvannâtanennâpolârnogolʹoduvnutríšnʹogoruhuzemlítaviveržennâvulkanuz3vimírnimtenzoromínercíí AT bidyukpetro algoritmmodelûvannâtanennâpolârnogolʹoduvnutríšnʹogoruhuzemlítaviveržennâvulkanuz3vimírnimtenzoromínercíí |