Альтернативний підхід до побудови поверхневого інтеграла по поверхні довільної корозмірності в Rn
In this paper, the surface integral over a surface of an arbitrary codimension in Rn is constructed using an alternative approach. Surface measures are built with an infinitesimal procedure using a set of pairwise commuting vector fields that have global fluxes and are transversal to the given surfa...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2014
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/33309 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334221864894464 |
|---|---|
| author | Potapenko, A. Yu. |
| author_facet | Potapenko, A. Yu. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "A. Yu. Potapenko",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Potapenko, A. Yu. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2014-12-22T16:35:13Z |
| description | In this paper, the surface integral over a surface of an arbitrary codimension in Rn is constructed using an alternative approach. Surface measures are built with an infinitesimal procedure using a set of pairwise commuting vector fields that have global fluxes and are transversal to the given surface. Densities of the constructed measures with respect to the classical one are found and, based upon the comparative analysis, it is concluded that constructed measures present a generalization of the classical surface measures. It is deemed to be reasonable to generalize this approach to surfaces of finite codimensions in infinite-dimensional spaces. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:17:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
А.Ю. Потапенко, 2014
112 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 3
УДК 517.3
АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ
ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА ПО ПОВЕРХНОСТИ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОРАЗМЕРНОСТИ В nR
А.Ю. ПОТАПЕНКО
Проведено построение поверхностного интеграла по поверхности произволь-
ной коразмерности в nR при помощи альтернативного подхода. Поверхност-
ные меры построены при помощи инфинитезимальной процедуры с использо-
ванием набора попарно коммутирующих векторных полей, имеющих
глобальные потоки и являющихся трансверсальными к данной поверхности.
Найдены плотности полученных мер относительно классической и на основа-
нии проведенного сравнительного анализа заключено, что полученные меры
представляют собой обобщение классических поверхностных мер. Представ-
ляется целесообразным обобщение данного подхода на случай поверхностей
конечной коразмерности в бесконечномерных пространствах.
ВВЕДЕНИЕ
Первой работой, в которой было начато исследование поверхностных мер
в бесконечномерном пространстве, является классическая работа А.В. Ско-
рохода «Интегрирование в гильбертовом пространстве», 1975г. [1]. Этой
тематике так же посвящен большой цикл работ А.В. Угланова (в частности,
[2]), который разработал построение поверхностных мер на поверхностях
конечной коразмерности в бесконечномерных пространствах. Однако этот
подход оказался технически слишком сложный.
В данной работе предложено построение поверхностного интеграла по
поверхности произвольной коразмерности в nR методом, отличным от
классического, как первый шаг к решению описанной проблемы.
КЛАССИЧЕСКИЙ ПОДХОД
Рассмотрим обобщение классического подхода ([3], с. 250) к построению
поверхностного интеграла в 3R на поверхности произвольной коразмерно-
сти в nR .
Пусть гладкая поверхность задана параметрически:
,),,,(),..,( 2121 mnmnmn RDuuuuuurS
где
D — квадрируемая, ,)(1 DCr
ранг .)( mnr
Альтернативный подход к построению поверхностного интеграла по поверхности …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 3 113
Рассмотрим разбиение hT пространства mnR на mn -мерные кубы
со стороной .h Поскольку из квадрируемости области следует ее ограни-
ченность, то замкнутая область D окажется покрыта конечным количест-
вом таких кубов. Пронумеруем все непустые пересечения этих кубов
с замкнутой областью D и обозначим их как ,iE .,,2,1 0ii Тогда:
.},:{ hii TQDQEE
Образует покрытие замкнутой области .D
Рассмотрим множества iE — полные замкнутые кубы, которые при-
надлежат области .D Совокупность всех таких множеств обозначим как
.)( D Пусть iP — одна из его вершин. Тогда при переходе от вершины iP
к соседним вершинам радиус-вектор ),,,( 21 mnuuur с точностью до бес-
конечно малых более высокого порядка, чем ,h изменится на ,hri где
,
ii
u
r
r
поскольку:
).(),,,(),..,,,( 2121 hohruuuuruhuuur i
mnimni
При определении площади поверхности будем заменять образы квадра-
тов )( DEi на прямолинейные параллелепипеды, которые построены на
векторах .hri Найдем его объем. Обозначим его как :i
mn
PmnPmni hrrrhrhrhr
ii
),,,(),,,( 2121
,),,,( 21 iPmn Errr
i
так как известно, что объем параллелепипеда, натянутого на вектора
,,,1 kvv равен
,),,,( 21 kvvv
где
kkk
k
k
vvvv
vvvv
vvv
,,
,,
,..,
1
111
21
— граммиан.
Функции ir непрерывны на замкнутой квадрируемой области ,D а по-
тому
D
mnk
DrE
i
h
durvvvrr
i
.),,,,(lim 2121
)(0
Этот предел и будем называть площадью поверхности .)(S Соответствен-
но, поверхностный интеграл определяется следующим образом:
.))(,),(),(())(()( 21
D
mn
S
duururururgdxxg (1)
А.Ю. Потапенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 3 114
АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ ПОДХОД
Рассмотрим альтернативный подход к построению поверхностного интегра-
ла. Идея данного подхода предложена Богданским Ю.В. [4].
Гладкая поверхность, как и в классическом подходе, задана параметри-
чески:
,),,,(),,,( 2121 mnmnmn RDuuuuuurS
где
,)(1 DCr
ранг .)( mnr
Пусть mXX ,,1 — коммутирующие гладкие векторные поля в ,nR
трансверсальные к .S
Определение. Назовем поверхностным интегралом функции )(xg
вдоль векторных полей mXX ,,1 по поверхности S следующий предел:
,
,,
)(
lim~)(
10 m
F
T
S
X TT
dxxg
dxg T
где
),,( 1 mTTT ; ;...
];0[
1
1
Tt
m
ttT
i
m
SF
i
t — векторный поток поля .iX
Докажем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть )()( SCxg , где S — -окрестность .S Тогда:
,)(,),()),((,)),(())((~)( 11
D
mnm
S
X duurururXurXurgdxg (*)
где .
ii
u
r
r
Доказательство. Обозначив
mt
t
t
1
, xxt m
tt m
...),( 1
1
,
имеем:
u
t
d
uuttD
xxD
urtggdx
DTT
mn
m
n
F mT ;0...;0
1
1
1
1
),,,,,(
),,(
)))(,((
D TT
t
m
urturtgdtdu
;0...;0 1
1
)),(,((det)))(,((
Альтернативный подход к построению поверхностного интеграла по поверхности …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 3 115
)))(,(,)),(,()),(,(, 1 urturturt mnm uut
(теорема о среднем)
D
tm ururgTT )),(,((det)))(,((...
11
,)))(,(,)),(,()),(,(, 1 duururur mnm uut
где
];0[...];0[),,,,,( 1
1
1 m
mn
m TTuuTT ,
тогда
D
utt
m
F
ururururg
TT
dxxg
m
T )),(,()),(,(,)),(,((det)))(,((
...
)(
11
1
)),(,0((det))(()))(,(,
1
0 ururgduur t
D
T
u mn
.))(,0(,)),(,0()),(,0(, 1 duururur mnm uut
Как известно, потоки коммутирующих векторных полей коммутируют
([5], с. 36):
.:;,};,,1{,
122121 xxRxRttmji i
t
j
t
j
t
i
t
n
Следовательно, справедливы следующие равенства:
)())(,0( urur ,
))(()(......))(,0(
0
111
111
urXur
t
ur i
t
m
t
i
t
i
tt
i
t
i
t miiii
.
Учитывая эти равенства, имеем:
)))(,0(,)),(,0()),(,0(,,)(,0(det 11
urururur mnm uutt
),,,,,(det 11 mnm rrXX ,
где
))(( urXX ii , )(urr ii .
Обозначим .),,,,,( 11 mnm rrXXA Тогда:
,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
1
111
1
111
1
111
1
111
*
mnmnmn
mn
nmn
m
mnm
n
mmm
m
rrrr
rrrr
rXrX
rXrX
XrXr
XrXr
XXXX
XXXX
AA
А.Ю. Потапенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 3 116
а потому:
),,,,,()(det)(det 11
*2
mnm rrXXAAA
)),0(,),,0(),,0(,),,0((det 11
rrrr mnm uutt
.),,,,,()(det 11 mnm rrXXA
То есть, справедлива формула (*).
Теорема доказана.
Если добавить требование нормальности полей mXX ,,1 по отноше-
нию к поверхности ,S то справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Если, помимо требований теоремы 1, выполняется условие
нормальности полей mXX ,,1 по отношению к поверхности ,S тогда:
,))(,),(()))((,)),((())((~)( 11
D
mnm
S
X duurururXurXurgdxg (**)
где
.
ii
u
r
r
Доказательство.
Согласно теореме 1, имеет место формула (*). Рассмотрим кривую
:),,,,,,()( 111 Suusuurs mnii
i
)()( urs
ds
d
i
us
i
i
— касательный к S вектор,
а значит, поскольку ))(( urX j — нормаль, то:
.0, ji Xr
Следовательно,
)(,),()),((,)),(( 11 urururXurX mnm
mnmnmn
mn
nmn
m
mnm
n
mmm
m
rrrr
rrrr
rXrX
rXrX
XrXr
XrXr
XXXX
XXXX
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
1
111
1
111
1
111
1
111
mnmnmn
mn
mmn
mnm
mmm
m
rrrr
rrrr
XXXX
XXXX
,,
,,
0
0
,,
,,
1
111
)(
)(
1
111
Альтернативный подход к построению поверхностного интеграла по поверхности …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 3 117
),,(),,( 11 mnm rrXX .
Итак, справедлива формула (**). Теорема доказана.
Если, к тому же, выполняется условие ортонормированности полей
mXX ,,1 на поверхности :S
1. 1)(: xXSx i
2. ,0)(),(:, xXxXjiSx ji
то справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Если, помимо требований теоремы 2, выполняется условие
ортонормированности полей mXX ,,1 на поверхности ,S тогда
D
mn
S
X duurururgdxg )(,),()(~)( 1 .
Доказательство.
Согласно теореме 2, имеет место формула (**).
Однако, учитывая ортонормированность полей mXX ,,1 на поверхно-
сти ,S имеем:
.))(()),(( ijji urXurX
Следовательно
,1)(det
,,
,,
))((,)),((
1
111
1 mm
mmm
m
m I
XXXX
XXXX
urXurX
а потому
.))(,),(())((~)( 1
D
mn
S
X duurururgdxg
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Учитывая формулу (1) и теоремы 1–3, можно сформулировать следующие
следствия.
Следствие 1. Если выполняются условия теоремы 1, тогда:
X
~
и
))(,),((
)(,),()),((,)),((~
1
11
urur
urururXurX
d
d
mn
mnmX
.
Следствие 2. Если выполняется условие нормальности полей
mXX ,,1 по отношению к поверхности ,S тогда
X
~
и
.)))((,)),(((
~
1 urXurX
d
d
m
X
А.Ю. Потапенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 3 118
Следствие 3. Если, помимо условий следствия 2, выполняется условие
ортонормированности полей mXX ,,1 на поверхности ,S тогда
.~ X
ВЫВОДЫ
Как видно из следствий 1–3, приведенный альтернативный подход к по-
строению поверхностного интеграла в конечномерном пространстве на ос-
новании векторных полей согласуется с классическим подходом, а, следова-
тельно, имеет смысл рассматривать его обобщение на случай поверхностей
конечной коразмерности в бесконечномерных пространствах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. — М.: Наука,
1975. — 232 с.
2. Угланов А.В. Поверхностные интегралы в пространствах Фреше // Мат. сбор-
ник. — 1998. — 189, № 11. — С. 139–157.
3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в двух томах) // Учебник для
студентов университетов и вузов. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. II. —
584 с.
4. Богданский Ю.В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и форму-
ла Гаусса-Остроградского // Український математичний журнал, 2012. —
64, № 10. — С. 1299–1313.
5. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. — М.: Мир,
1971. — 343 с.
Поступила 12.03.2013
Статья опубликована под редакцией автора.
|
| id | journaliasakpiua-article-33309 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:17:56Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/17/bf9d6557b380253d9b949a09349ab017.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-333092014-12-22T16:35:13Z An alternative approach to constructing the surface integral over a surface of an arbitrary codimension in Rn Альтернативный подход к построению поверхностного интеграла по поверхности произвольной коразмерности в Rn Альтернативний підхід до побудови поверхневого інтеграла по поверхні довільної корозмірності в Rn Potapenko, A. Yu. In this paper, the surface integral over a surface of an arbitrary codimension in Rn is constructed using an alternative approach. Surface measures are built with an infinitesimal procedure using a set of pairwise commuting vector fields that have global fluxes and are transversal to the given surface. Densities of the constructed measures with respect to the classical one are found and, based upon the comparative analysis, it is concluded that constructed measures present a generalization of the classical surface measures. It is deemed to be reasonable to generalize this approach to surfaces of finite codimensions in infinite-dimensional spaces. Проведено построение поверхностного интеграла по поверхности произвольной коразмерности в Rn при помощи альтернативного подхода. Поверхностные меры построены при помощи инфинитезимальной процедуры с использованием набора попарно коммутирующих векторных полей, имеющих глобальные потоки и являющихся трансверсальными к данной поверхности. Найдены плотности полученных мер относительно классической и на основании проведенного сравнительного анализа заключено, что полученные меры представляют собой обобщение классических поверхностных мер. Представляется целесообразным обобщение данного подхода на случай поверхностей конечной коразмерности в бесконечномерных пространствах.Проведено построение поверхностного интеграла по поверхности произвольной коразмерности в при помощи альтернативного подхода. Поверхностные меры построены при помощи инфинитезимальной процедуры с использованием набора попарно коммутирующих векторных полей, имеющих глобальные потоки и являющихся трансверсальными к данной поверхности. Найдены плотности полученных мер относительно классической и на основании проведенного сравнительного анализа заключено, что полученные меры представляют собой обобщение классических поверхностных мер. Представляется целесообразным обобщение данного подхода на случай поверхностей конечной коразмерности в бесконечномерных пространствах. Проведено побудову поверхневого інтеграла по поверхні довільної корозмірності в Rn за допомогою альтернативного підходу. Поверхневі міри побудовано за допомогою інфінітезимальної процедури з використанням набору попарно комутуючих векторних полів, що мають глобальні потоки та є трансверсальними до цієї поверхні. Знайдено щільності отриманих мір по відношенню до класичної та на основі порівняльного аналізу зроблено висновок, що отримані міри являють собою узагальнення класичних поверхневих мір. Уявляється доцільним узагальнення цього підходу на випадок поверхонь скінченної корозмірності в нескінченновимірних просторах. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2014-09-30 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/33309 System research and information technologies; No. 3 (2014); 112-118 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2014); 112-118 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2014); 112-118 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/33309/29870 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Potapenko, A. Yu. Альтернативний підхід до побудови поверхневого інтеграла по поверхні довільної корозмірності в Rn |
| title | Альтернативний підхід до побудови поверхневого інтеграла по поверхні довільної корозмірності в Rn |
| title_alt | An alternative approach to constructing the surface integral over a surface of an arbitrary codimension in Rn Альтернативный подход к построению поверхностного интеграла по поверхности произвольной коразмерности в Rn |
| title_full | Альтернативний підхід до побудови поверхневого інтеграла по поверхні довільної корозмірності в Rn |
| title_fullStr | Альтернативний підхід до побудови поверхневого інтеграла по поверхні довільної корозмірності в Rn |
| title_full_unstemmed | Альтернативний підхід до побудови поверхневого інтеграла по поверхні довільної корозмірності в Rn |
| title_short | Альтернативний підхід до побудови поверхневого інтеграла по поверхні довільної корозмірності в Rn |
| title_sort | альтернативний підхід до побудови поверхневого інтеграла по поверхні довільної корозмірності в rn |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/33309 |
| work_keys_str_mv | AT potapenkoayu analternativeapproachtoconstructingthesurfaceintegraloverasurfaceofanarbitrarycodimensioninrn AT potapenkoayu alʹternativnyjpodhodkpostroeniûpoverhnostnogointegralapopoverhnostiproizvolʹnojkorazmernostivrn AT potapenkoayu alʹternativnijpídhíddopobudovipoverhnevogoíntegralapopoverhnídovílʹnoíkorozmírnostívrn AT potapenkoayu alternativeapproachtoconstructingthesurfaceintegraloverasurfaceofanarbitrarycodimensioninrn |