Забезпечення стійкості імпульсних процесів у когнітивних картах на основі моделей у просторі станів
The problem of correspondence between cognitive maps and models of the process dynamics in the states space, and also the control of a cognitive map in order to ensure its stability were considered. The method of transition from a state-space model to the cognitive map is proposed. It is shown how i...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2014
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/33504 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334221749551104 |
|---|---|
| author | Romanenko, V. D. Milyavskiy, Yu. L. |
| author_facet | Romanenko, V. D. Milyavskiy, Yu. L. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. D. Romanenko",
"institution": null
},
{
"author": "Yu. L. Milyavskiy",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Romanenko, V. D. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2014-12-22T16:20:12Z |
| description | The problem of correspondence between cognitive maps and models of the process dynamics in the states space, and also the control of a cognitive map in order to ensure its stability were considered. The method of transition from a state-space model to the cognitive map is proposed. It is shown how including of the state controller can be reflected in the corresponding cognitive map. We also discuss the case when state vector is unobservable and Luenberger observer is used. It is proved that in some cases from asymptotic stability of the state-space model absolute stability of the cognitive map implies. The method of inverse transition from a cognitive map to the state space is proposed. Stabilizing method for unstable cognitive maps using state control is obtained. The practical example demonstrating application of the proposed methods is discussed. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:17:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский, 2014
26 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1
TIДC
ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ ПРОБЛЕМИ
ІНТЕЛЕКТУАЛЬНИХ СИСТЕМ ПІДТРИМКИ
ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 62-50
ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ
ПРОЦЕССОВ В КОГНИТИВНЫХ КАРТАХ НА ОСНОВЕ
МОДЕЛЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
В.Д. РОМАНЕНКО, Ю.Л. МИЛЯВСКИЙ
Рассмотрен вопрос о соответствии между когнитивными картами и моделями
динамики процесса в пространстве состояний, а также об управлении когни-
тивной картой с целью обеспечения ее устойчивости. Предложен метод пе-
рехода от модели в пространстве состояний к когнитивной карте. Показано,
каким образом введение регулятора состояния может быть отражено
в соответствующей когнитивной карте. Также рассмотрен случай, когда век-
тор состояния неизмеряем и применяется наблюдатель Люенбергера. Доказано
в каких случаях из асимптотической устойчивости модели в пространстве со-
стояний следует абсолютная устойчивость когнитивной карты. Предложен
также способ обратного перехода от когнитивной карты к пространству со-
стояний. В результате получен способ стабилизации неустойчивой когнитив-
ной модели с помощью введения управления на основе регулятора состояния.
Рассмотрен практический пример, демонстрирующий практическое примене-
ние предложенных методов.
ВВЕДЕНИЕ
Одним из подходов к решению сложноструктурированных слабоформали-
зируемых задач является когнитивное моделирование, в основе которого
лежит понятие когнитивной карты. Согласно [1, 2], когнитивная карта —
это ориентированный граф, вершины (узлы) которого отражают некоторые
факторы (понятия, сущности, концепты), а ребра — связи между этими фак-
торами. Аксельрод [1] использовал эту методологию преимущественно в пси-
хологии (отсюда и название), а Робертс [2] в основном развивал математиче-
ский аппарат теории графов для решения социально-экономических задач.
Первым предложенным вариантом когнитивной карты являлся знаковый
орграф, в котором знак «плюс» над ребром из вершины А в вершину Б озна-
чает, что увеличение значения в вершине А ведет к увеличению значения
в вершине Б, а знак «минус» означает, что увеличение в А ведет к уменьше-
нию в Б. Для нас более интересным является случай взвешенного орграфа,
предложенного также Робертсом [2], когда над ребрами надписываются не
знаки, а числа, характеризирующие степень влияния фактора А на фактор Б.
Обеспечение устойчивости импульсных процессов в когнитивных картах на основе моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 27
В настоящее время зарубежные ученые уделяют много внимания изу-
чению нечетких когнитивных карт и других многочисленных модификаций
[5, 6]. Модификации включают в себя функциональные когнитивные карты
(над ребрами надписываются не числа, а функции), динамические когни-
тивные карты, карты с запаздываниями и многие другие. В работах россий-
ских исследователей Г.В. Гореловой, З.К. Авдеевой, Н.А. Абрамовой,
С.В. Ковриги, В.И. Максимова, А.А. Кулинича и прочих [3, 7, 8] рассматри-
ваются более общие задачи когнитивного моделирования, связанные не
только с анализом имеющихся когнитивных карт, а и с общей методологией
построения когнитивных моделей. Не ставя здесь задачу подробного обзора
всех достижений в этой области, следует отметить, что большинство иссле-
дований посвящено построению, моделированию, анализу, применению
когнитивных карт, но задача стабилизации и управления в когнитивном мо-
делировании остается, в принципе, нерешенной. Также ранее не предпри-
нимались попытки установления взаимосвязей между когнитивными моде-
лями и классическими моделями и методами теории управления.
Цель работы — установление взаимосвязей между когнитивными кар-
тами и моделями в пространстве состояний, а также построения алгоритма
управления когнитивной картой на основе методов теории управления.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Введем некоторые обозначения, которые будут использоваться в данной
статье. Пусть когнитивная модель задана взвешенным ориентированным
графом ,, >< WZ где Z — множество из n вершин (факторов) с числовыми
значениями в каждой вершине, W — множество ориентированных ребер
с весами. Для единообразия будем обозначать также через )(kZ вектор зна-
чений ,,...,1),( nikzi = во всех вершинах в момент времени ,k через W —
матрицу смежности с весами связей, ,,...,1,,...,1, njniwij == — вес связи
ребра, исходящего из вершины ix в вершину .jx В [2] Робертс рассматри-
вает «правило изменения значений параметров вершин», т.е. математиче-
ское выражение степени влияния изменения одного фактора на другой.
Наиболее распространенное (но не единственное) правило изменения значе-
ний параметров вершин формулируется в виде разностного уравнения пер-
вого порядка в приращениях [2, 3, 4]:
),()1(
1
kzwkz j
n
j
jii Δ=+Δ ∑
=
(1)
где .,...,1),1()()( nikzkzkz iii =−−=Δ В векторной форме (1) можно запи-
сать как
)()1( kZWkZ TΔ=+Δ . (2)
В дальнейшем мы будем использовать именно это правило. Отметим,
что в правой части равенства (1) может находиться слагаемое с ),(kziΔ т.е.
в графе возможны петли (приращение в данной вершине может зависеть от
приращения в этой же вершине на предыдущем шаге).
В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1 28
Одним из важнейших понятий при анализе когнитивных карт является
понятие устойчивости. Существует много определений и критериев устой-
чивости когнитивных моделей. Мы будем использовать следующие наибо-
лее общие и простые определения [2]. Вершина iZ называется импульсно
устойчивой, если последовательность ,...}2,1,0|:)({| =Δ kkZi ограничена
при импульсном процессе (1), определяемом произвольным набором на-
чальных значений и импульсов (приращений). Вершина iZ называется аб-
солютно устойчивой, если последовательность ,...}2,1,0:|)({| =kkZi огра-
ничена при произвольном импульсном процессе (1). Когнитивная карта
называется импульсно (абсолютно) устойчивой, если все ее вершины им-
пульсно (абсолютно) устойчивы.
ПЕРЕХОД ОТ МОДЕЛИ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
СОСТОЯНИЙ К МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ КОГНИТИВНОЙ КАРТЫ
Рассмотрим для начала простейшую двумерную модель динамики процесса
в пространстве состояний:
),()()()1( 12121111 kugkxfkxfkx ++=+
),()()()1( 22221212 kugkxfkxfkx ++=+ (3)
).()()( 2211 kxckxcky +=
Покажем каким образом ее можно представить в виде когнитивной
карты, описываемой моделью (1). Во-первых, отметим, что модель не изме-
нится, если записать ее в приращениях (естественно, при условии соответ-
ствующего выбора начальных значений):
),()()()1( 12121111 kugkxfkxfkx Δ+Δ+Δ=+Δ
),()()()1( 22221212 kugkxfkxfkx Δ+Δ+Δ=+Δ (4)
).()()( 2211 kxckxcky Δ+Δ=Δ
Основное отличие модели (4) от модели (1) заключается в том, что в (1)
невозможно отобразить мгновенные связи — уравнение измерения в (4).
Преобразуем (4) следующим образом: запишем уравнение измерения на
один шаг вперед, а потом подставим в него уравнения состояния. Получим
),()()()1( 12121111 kugkxfkxfkx Δ+Δ+Δ=+Δ
),()()()1( 22221212 kugkxfkxfkx Δ+Δ+Δ=+Δ (5)
).()()()()()()1( 221122221221212111 kugcgckxfcfckxfcfcky Δ++Δ++Δ+=+Δ
Пусть .)( 21
TyxxuZ = Тут и далее будем предполагать именно та-
кую нумерацию вершин в графе: сначала вершины управления, затем со-
стояния и потом наблюдения. Представим (5) в форме (2). В результате по-
лучим когнитивную карту, показанную на рис. 1, с такой весовой матрицей
смежности:
Обеспечение устойчивости импульсных процессов в когнитивных картах на основе моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 29
.
0000
0
0
0
2221212212
2121112111
221121
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
fcfcff
fcfcff
gcgcgg
W (6)
Абсолютная устойчивость графа, заданного матрицей (6), достигается,
когда все ее собственные числа по модулю меньше единицы [2]. Раскрывая
),(det 4 WzI − где 4I — единичная матрица четвертого порядка, легко уви-
деть, что матрица W имеет два нулевых собственных числа, а остальные
два — это собственные числа матрицы ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2212
2111
ff
ff
. Следовательно, абсо-
лютная устойчивость когнитивной карты обеспечивается асимптотической
устойчивостью системы в пространстве состояний.
Покажем, что произвольную модель динамики в пространстве состояний
можно представить в виде когнитивной модели. Пусть модель имеет вид
).()(),()()1( kCXkYkGUkFXkX =+=+ (7)
Теорема 1. Динамика процесса в пространстве состояний (7) может
быть представлена в виде когнитивной карты с весовой матрицей смежно-
сти ,W где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
0
000
CFCG
FGW T . (8)
Доказательство. Запишем (7) в приращениях переменных:
),()(),()()1( kXCkYkUGkXFkX Δ=ΔΔ+Δ=+Δ
где
).1()()(),1()()(),1()()( −−=Δ−−=Δ−−=Δ kYkYkYkUkUkUkXkXkX
Запишем уравнение измерения на один шаг квантования вперед и под-
ставим в него правую часть уравнения состояния, после чего получим
).()()1(),()()1( kUCGkXCFkYkUGkXFkX Δ+Δ=+ΔΔ+Δ=+Δ (9)
Непосредственные вычисления позволяют убедиться, что для того,
чтобы полученное выражение (9) было эквивалентно (7), достаточно поло-
жить
1x 2x
y
u
1g
12f
2g
222121 fcfc +212111 fcfc +
22f 11f
21f
2211 gcgc +
Рис. 1. Пример когнитивной карты
В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1 30
,)0(,)0( 000 CXYYXX ===
,0)1(,)()1(,)0( 000 =Δ+−=Δ= UGUXIFXUU ),1()1( XCY Δ=Δ
где 000 ,, YUX — начальные значения в модели (7). Предполагается, что на
систему в дальнейшем не действуют внешние импульсы, в том числе управ-
ленческие, т.е. 0)( 0 ≥∀= kUkU или иначе .00)( >∀=Δ kkU Случай, ко-
гда управление формируется в замкнутой системе, будет рассмотрен ниже.
Пусть в когнитивной карте количество вершин равно количеству пере-
менных, в зависимости от принадлежности к векторам YUX ,, будем назы-
вать их вершинами состояния, управления и наблюдения соответственно.
Коэффициенты матрицы G являются весами ребер, ведущих от управляю-
щих вершин к вершинам состояний. Коэффициенты матрицы F присваи-
ваются ребрам, связывающим вершины состояний между собой (диагональ-
ные элементы — веса петель). От вершин состояния к вершинам
наблюдения ведут ребра с весами из коэффициентов матрицы ,CF а от
вершин управления к вершинам наблюдения — из коэффициентов матрицы
.CG Поскольку система разомкнута, и динамика вектора управления не оп-
ределена системой (7), у вершин управления нет входящих ребер, т.е. соот-
ветствующие столбцы матрицы смежности нулевые. Тогда
.
)(
)(
)(
0
0
000
)1(
)1(
)1(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+Δ
+Δ
+Δ
kY
kX
kU
CFCG
FG
kY
kX
kU
Таким образом, исходя из (2), матрица смежности удовлетворяет (8).
Теорема доказана.
Покажем в общем случае соответствие между собственными числами
матрицы состояния и корнями характеристического полинома когнитивной
карты.
Теорема 2. Все ненулевые собственные числа когнитивной карты, опи-
сываемой (8), равны собственным числам матрицы состояния модели (7).
Доказательство. Рассмотрим
y
x
u
n
n
n
T
nn
zICFCG
FzIG
zI
WzIWzI
−−
−−=−=− 0
00
)(det)(det ,
где нижний индекс при I означает размерность единичной матрицы,
yxu nnn ,, — размерности векторов управления, состояния, наблюдения
соответственно, yxu nnnn ++= . Будем раскрывать определитель сначала
по строкам сверху вниз и получим
y
xu
n
nn
n zICF
FzI
zWzI −
−
=−
0
)(det .
Затем будем раскрывать определитель по столбцам справа и получим
)(det)(det FzIzWzI yu nn
n −=− + . Итак, корни характеристического полино-
ма матрицы смежности (ее собственные числа) включают в себя ноль (крат-
Обеспечение устойчивости импульсных процессов в когнитивных картах на основе моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 31
ности yu nn + ) и корни полинома ),(det FzI − т.е. собственные числа мат-
рицы состояния F модели (7). Теорема доказана.
Следствие 1. Если собственные числа матрицы F по модулю меньше
единицы (т.е. модель (7) асимптотически устойчива), то когнитивная мо-
дель, определяемая матрицей смежности (8), будет абсолютно устойчивой.
Доказательство. Когнитивная модель абсолютно устойчива, если все
собственные числа матрицы смежности по модулю меньше единицы. А из
теории управления известно, что модель (7) асимптотически устойчива тогда
и только тогда, когда собственные числа матрицы состояния по модулю
меньше единицы. Отсюда и из теоремы 2 получим требуемое утверждение.
ПЕРЕХОД ОТ МОДЕЛИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ С РЕГУЛЯТОРОМ СО-
СТОЯНИЯ К МОДЕЛИ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ В ВИДЕ КОГНИТИВНОЙ КАРТЫ
Самым простым способом стабилизации динамической модели, заданной
в пространстве состояний, является регулятор состояния. Рассмотрим, ка-
ким образом систему с регулятором состояния (при некоторой заданной
матрице усиления регулятора) можно представить в виде когнитивной кар-
ты. Продолжим предыдущий пример, добавив к (3) уравнение регулятора
состояния:
),()()()1( 12121111 kugkxfkxfkx ++=+
),()()()1( 22221212 kugkxfkxfkx ++=+ (10)
).()()(),()()( 22112211 kxKkxKkukxckxcky −−=+=
После перехода к приращениям необходимо «избавиться» от мгновен-
ного взаимодействия в регуляторе, не изменяя при этом динамики системы.
Запишем уравнение регулятора на один шаг квантования вперед и подста-
вим в правую часть уравнения состояния. После преобразований будем
иметь:
),()()()1( 12121111 kugkxfkxfkx Δ+Δ+Δ=+Δ
),()()()1( 22221212 kugkxfkxfkx Δ+Δ+Δ=+Δ
+Δ++Δ+=+Δ )()()()()1( 22221211212111 kxfcfckxfcfcky
),()( 2211 kugcgc Δ++ (11)
−Δ+−Δ+−=+Δ )()()()()1( 22221211212111 kxfKfKkxfKfKku
).()( 2211 kugKgK Δ+−
Матрица смежности имеет вид:
.
0000
)(
)(
)(
2221212212222121
2121112111212111
2211212211
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++−
++−
++−
=
fcfcfffKfK
fcfcfffKfK
gcgcgggKgK
W (12)
Получим когнитивную карту с управлением (рис. 2).
В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1 32
Найдем характеристическое уравнение этой модели (промежуточные
преобразования опущены):
+−−++=− )(()(det 22112211
22
4 ffgKgKzzzWzI
).112222112112122121122211 fgKfgKfgKfgKffff −−++−+ (13)
Итак, уравнение (13) имеет два нулевых корня, а остальные два корня
можно разместить желаемым образом, выбирая соответственно 21, KK
(метод синтеза регулятора по желаемому размещению полюсов). В данном
случае это легко сделать с помощью теоремы Виета, а именно — пусть же-
лаемые полюса замкнутой системы равны 21, zz , тогда
),( 2122112211 zzffgKgK +−=−−+
.21112222112112122121122211 zzfgKfgKfgKfgKffff =−−++−
Из системы с двух уравнений с двумя неизвестными несложно найти
коэффициенты 21, KK (если она совместна).
Для сравнения найдем характеристическое уравнение замкнутого кон-
тура системы (10):
( ) =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− 21
2
1
2221
1211
2det KK
g
g
ff
ff
zI
++−+−−++= 12212112221122112211
2 )( fgKffffffgKgKzz
.112222112112 fgKfgKfgK −−+
Итак, с учетом двух нулевых корней, получаем, что абсолютная устой-
чивость когнитивной карты с управлением обеспечивается асимптотической
устойчивостью замкнутой системы с регулятором состояния. Таким обра-
зом, можно выбирать коэффициенты усиления 21, KK так, чтобы когни-
тивная карта была устойчивой, что эквивалентно синтезу регулятора по за-
данному размещению полюсов замкнутой системы [9].
В общем случае, пусть замкнутая система с регулятором по состоянию
имеет вид
),()()1( kGUkFXkX +=+ ),()( kCXkY = ).()( kKXkU −= (14)
1x 2x
y
u
1g
12f
2g
1 12 2 22c f c f+1 11 2 21c f c f+
22f 11f
21f
)( 212111 fKfK +− )( 222121 fKfK +−
2211 gcgc + )( 2211 gKgK +−
Рис. 2. Пример когнитивной карты с управлением
Обеспечение устойчивости импульсных процессов в когнитивных картах на основе моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 33
Теорема 3. Динамика замкнутой системы в пространстве состояний
(14) может быть представлена в виде когнитивной карты с весовой матрицей
смежности ,W где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −−
=
0
0
0
CFCG
FG
KFKG
W T . (15)
Доказательство. Уравнения состояния и наблюдения эквивалентно
преобразуются к виду (9). Для преобразования уравнения регулятора запи-
шем его на один шаг вперед и, подставив в него правую часть (9), получим
),()()1( kUGkXFkX Δ+Δ=+Δ
),()()1( kUCGkXCFkY Δ+Δ=+Δ (16)
),()()1( kUKGkXKFkU Δ−Δ−=+Δ
где
,)0(,)0( 000 CXYYXX ===
),1()1(),0()()1(,)0( 00 XKUGUXIFXKXU Δ−=Δ+−=Δ−=
).1()1( XCY Δ=Δ
Эти условия необходимы для эквивалентности динамики (16) и (14).
Итак, введение в модель в пространстве состояний (7) управляющего
воздействия ведет к появлению дополнительных ребер в когнитивной карте.
А именно: от вершин состояния к вершинам управления идут ребра с веса-
ми, определяющимися коэффициентами матрицы KF, а вершины управле-
ния соединяются ребрами с коэфициентами матрицы KG.
.
)(
)(
)(
0
0
0
)1(
)1(
)1(
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
Δ
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −−
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+Δ
+Δ
+Δ
kY
kX
kU
CFCG
FG
KFKG
kY
kX
kU
На основании (2) следует, что матрица смежности удовлетворяет (15).
Теорема доказана.
Следствие 2. Если собственные числа матрицы GKF − по модулю
меньше единицы (т.е. замкнутая система (14) асимптотически устойчива), то
когнитивная модель, заданная матрицей смежности (15), будет абсолютно
устойчивой.
Доказательство. Как известно из теории управления, модель в про-
странстве состояний (14) будет асимптотически устойчивой, если собствен-
ные числа матрицы GKF − по модулю меньше единицы, поскольку, под-
ставив закон управления в уравнение состояния, получим уравнение
замкнутой системы ).()()1( kXGKFkX −=+ Если система (14) устойчива,
все входящие в нее переменные будут ограничены. С другой стороны,
согласно теореме 3, когнитивная модель (15) имеет в точности ту же дина-
мику, что и модель в пространстве состояний (14), т.е. все ее переменные
также будут ограничены, а это и есть определение абсолютной устойчиво-
сти когнитивной карты.
Следствие 3. Если система в пространстве состояний (7) стабилизи-
руема, то эквивалентная ей когнитивная модель (8) также стабилизируема
В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1 34
в том смысле, что возможно обеспечить ее абсолютную устойчивость путем
приведения ее к виду (15).
Доказательство. Система в пространстве состояний (7) стабилизируе-
ма, если существует такая матрица ,K при которой замкнутая система (14)
будет устойчивой [10]. Поскольку системы (14) и (15) эквивалентны соглас-
но теореме 3, а устойчивость (14) влечет за собой абсолютную устойчивость
(15) согласно следствию 2, то из стабилизируемости (14) следует стабилизи-
руемость (15).
УПРАВЛЕНИЕ В КОГНИТИВНОЙ МОДЕЛИ С НАБЛЮДАТЕЛЕМ
СОСТОЯНИЯ
Для синтеза управления приведенным выше способом необходимо, чтобы
все вершины состояния были измеряемы. Это не всегда так. В теории
управления в случае ненаблюдаемости вектора состояния вводят наблюда-
тель Люенбергера [9], а для управления используют оцененные с его помо-
щью значения. Покажем, каким образом эту методику можно применить
в когнитивном моделировании (в предположении о наличии необходимых
свойств стабилизируемости и обнаруживаемости [10]).
Запишем систему с наблюдателем и регулятором в пространстве со-
стояний:
),()(),()()1( kCXkYkGUkFXkX =+=+
),(ˆ)()),(ˆ)(()()(ˆ)1(ˆ kXKkUkXCkYLkGUkXFkX −=−++=+ (17)
где )(ˆ kX — вектор оценок состояния, L — матрица наблюдателя Люенбер-
гера, выбираемая из соображений устойчивости контура оценивания,
а именно таким образом, чтобы корни полинома )(det LCF − были по мо-
дулю меньше единицы. Преобразуем (17) к следующему виду:
),()()1( kGUkFXkX +=+
),()()1( kCGUkCFXkY +=+
),()()(ˆ)()1(ˆ kLYkGUkXLCFkX ++−=+ (18)
).()()(ˆ)()1( kKLYkKGUkXLCFKkU −−−−=+
Для того, чтобы представить (18) в виде когнитивной карты, необходи-
мо ввести дополнительные вершины — вершины оценок ).(ˆ kX Это увели-
чивает размерность карты, но позволяет сформировать обратные связи по
управлению в случае неизмеряемости вершин состояния. Переходя, как
обычно, к приращениям переменных, с учетом соответственного выбора
начальных значений для оценок и управлений, в итоге получим:
.
)(
)(ˆ
)(
)(
00
0
00
)(0
)1(
)1(ˆ
)1(
)1(
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
Δ
Δ
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−−−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+Δ
+Δ
+Δ
+Δ
kY
kX
kX
kU
CFCG
LLCFG
FG
KLLCFKKG
kY
kX
kX
kU
Обеспечение устойчивости импульсных процессов в когнитивных картах на основе моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 35
Следовательно, в данном случае
.
00
0
00
)(0
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−−−
=
CFCG
LLCFG
FG
KLLCFKKG
W T (19)
Проиллюстрируем такой подход на предыдущем примере (10). Введем
наблюдатель Люенбергера:
),()()()1( 12121111 kugkxfkxfkx ++=+
),()()()1( 22221212 kugkxfkxfkx ++=+
),()()( 2211 kxckxcky +=
)),(ˆ)(ˆ)(()()(ˆ)(ˆ)1(ˆ 2211112121111 kxckxckyLkugkxfkxfkx −−+++=+
)),(ˆ)(ˆ)(()()(ˆ)(ˆ)1(ˆ 2211222221212 kxckxckyLkugkxfkxfkx −−+++=+
).(ˆ)(ˆ)( 2211 kxKkxKku −−=
Запишем уравнение динамики вершин когнитивной карты:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+Δ
+Δ
+Δ
+Δ
+Δ
+Δ
)(
)(ˆ
)(ˆ
)(
)(
)(
)1(
)1(ˆ
)1(ˆ
)1(
)1(
)1(
2
1
2
1
2
1
2
1
ky
kx
kx
kx
kx
ku
W
ky
kx
kx
kx
kx
ku
T ,
где
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
+
+
−−
−−
+
+−
+
++
+−
−−
+
++
+−
−−
+
+−
=
000
00
00
000
000
)
(00)
(
222
121
212
111
22
11
2222221212
1121211111
22212
12111
22
11
222
211
222
121
122
111
212
111
22
11
fc
fc
fc
fc
gc
gc
LLcfLcfg
LLcfLcfg
ffg
ffg
LK
LK
cLK
cLK
fK
fK
cLK
cLK
fK
fK
gK
gK
W T .
ПЕРЕХОД ОТ КОГНИТИВНОЙ МОДЕЛИ К МОДЕЛИ В ПРОСТРАНСТВЕ
СОСТОЯНИЙ
В большинстве практических ситуаций, когда процесс описывается когни-
тивной моделью (на основе когнитивной карты), для исследования им-
пульсных процессов необходимо выполнить переход к модели в простран-
стве состояний. Это позволит применить для решения задачи стабилизации
В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1 36
импульсного процесса в когнитивной модели известные методы современ-
ной теории управления, а затем перейти обратно к когнитивной карте с по-
мощью вышеописанных методов.
Рассмотрим определенный класс когнитивных карт, для которых такой
переход легко осуществим. Пусть среди множества вершин Z можно выде-
лить непустое подмножество вершин ,U которые не имеют входящих ребер
(являются истоками) и, при этом, с точки зрения предметной области, могут
рассматриваться как такие, которыми можно управлять, т.е. значения кото-
рых могут изменяться лицом, принимающим решения. Это требует вмеша-
тельства человека — эксперта, что, впрочем, является нормальной практи-
кой в когнитивном моделировании, поскольку сама когнитивная карта
также строится при участии эксперта. Если такое подмножество U сущест-
вует, задача перехода от когнитивной карты к модели в пространстве со-
стояний решаема. Если такого подмножества не существует, можно постро-
ить модель свободного движения без управляющего воздействия (типа
)()1( kFXkX =+ ), однако в целях стабилизации системы такая модель не
представляется полезной.
Итак, пусть U существует. Обозначим остальные вершины через X
и упорядочим вершины так, чтобы вначале шли вершины из U (назовем их
управляющими), а затем из X (назовем их вершинами состояния). По-
скольку управляющие вершины являются истоками, при таком упорядочи-
вании матрицу смежности можно записать в следующем блочном виде:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= FGW T 00 . (20)
Тогда на основе (2) динамику процесса можно представить так:
).()()1( kUGkXFkX Δ+Δ=+Δ (21)
Поскольку переход от модели в приращениях к модели в абсолютных
величинах неоднозначен, мы не будем вводить дополнительные предполо-
жения о начальных значениях, а вместо этого положим, что приращения
в вершинах модели сами по себе являются переменными в пространстве со-
стояний. Это вполне естественно, если учесть, что обычно в когнитивном
моделировании рассматриваются именно импульсы, т.е. приращения, а не
абсолютные величины, и потому управлять непосредственно приращениями
(как в вершинах управления, так и состояния) оказывается удобно. К тому
же, в таком случае не требуются те дополнительные ограничения на началь-
ные значения, которые мы вводили при доказательстве предыдущих теорем,
поскольку вместо моделей (7), (14), (17) мы будем сразу же иметь соответ-
ственные модели в приращениях. Заметим, что все остальные выкладки из
предыдущих подразделов останутся практически без изменений, поэтому
мы не будем их повторять.
Итак, (21) — это уравнение состояния, описывающее когнитивную мо-
дель с матрицей смежности (20). Уравнение измерения нужно не всегда.
В частности, если мы строим управление по состоянию на основе теоре-
мы 3, то уравнение измерения не нужно. Легко убедиться, что его, как и со-
ответственные части матрицы смежности графа, можно просто удалить из
доказательства теоремы и ее следствий. Но в случае ненаблюдаемости части
Обеспечение устойчивости импульсных процессов в когнитивных картах на основе моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 37
вершин состояния для управления необходимо применить наблюдатель
Люенбергера и теорему 4, для чего уравнение измерения необходимо. Как
и в случае с выбором вершин управления, здесь необходимо вмешательство
человека — эксперта, который установит, какие именно вершины из множе-
ства X являются наблюдаемыми. Обозначим их подмножество через Y
(мощностью yn ) и перенумеруем вершины так, чтобы они следовали в век-
торе X вначале (для удобства). Тогда с учетом (21) полная модель в про-
странстве состояний будет иметь вид:
),()(),()()1( kXCkYkUGkXFkX Δ=ΔΔ+Δ=+Δ (22)
где ,)( 0
ynIC = 0 — нулевая матрица размерности )( yxy nnn −× .
Если использовать уравнения (22), полученные описанным образом,
в качестве первых двух уравнений системы (17) (отождествив XΔ с ,X YΔ
с ,Y UΔ с U ), можно построить регулятор с наблюдателем по описанному
способу и перейти обратно к когнитивной модели. При этом, кроме допол-
нительных вершин оценок ,X̂ формально появятся новые вершины, соот-
ветствующие искусственно введенным переменным .Y Этого можно избе-
жать, перестроив модель для случая матрицы C специального вида, а также
применив наблюдатель пониженного порядка вместо полного, но это уже
выходит за рамки данной статьи. Здесь же важно подчеркнуть, что предло-
женный метод позволяет перейти от когнитивной модели к модели в про-
странстве состояний и обратно, применив к системе один из методов синте-
за регулятора состояния.
Теорема 4. Когнитивная карта с матрицей смежности (20) может быть
эквивалентно представлена моделью (22) в пространстве состояний. При
этом если собственные числа матрицы F в модели (22) по модулю меньше
единицы (система (22) асимптотически устойчива), то соответственная ког-
нитивная модель, определяемая матрицей смежности (20), будет импульсно
устойчивой.
Доказательство. Выше уже была доказана эквивалентность динамики
систем (22) и (20). Из устойчивости системы (22) следует, что все ее пере-
менные ограничены. По построению переменные (22) являются импульсами
(приращениями) в когнитивной модели с матрицей смежности (20), а огра-
ниченность последовательности импульсов является определением им-
пульсной устойчивости когнитивной карты, что завершает доказательство.
По аналогии с теоремой 2 и ее следствиями также доказывается, что
если в стабилизируемую систему (21) или (22) ввести управление
),()( kXKkU Δ−=Δ то полученная когнитивная карта (без учета несущест-
венных здесь вершин измерения) будет иметь матрицу смежности
.⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−= FG
KFKGW T (23)
В таком случае импульсная устойчивость полученной когнитивной
карты гарантируется тем, что собственные числа матрицы GKF − по моду-
лю меньше единицы.
В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1 38
ПРАКТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР
Рассмотрим когнитивную карту для анализа кадровой политики в морском
флоте (рис. 3), приведенную в классической работе [2].
Все вершины (рис. 3) считаются измеряемыми, поэтому уравнение из-
мерения в данном случае не имеет смысла, и мы не будем вводить дополни-
тельных вершин измерения. Матрица смежности имеет вид:
.
3013,01000
02,00011,02,00
1,05,00002,000
1,01,01,0111,000
01,003,03,01,000
0002,03,0010
0002,03,0010
11,002,05,001,03
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
−−
−−
=W
Собственные числа матрицы W таковы: –3,00; –2,97; 0,78 i31,0± ; –0,15;
0,79; 0,26; 0. Итак, данная когнитивная карта неустойчива, т.к. матрица
смежности имеет два собственных числа, по модулю больших единицы.
В этом можно убедиться, например, промоделировав подачу единичного
импульса на все вершины.
Поскольку в данной карте нет вершин–истоков, невозможно сразу
применить методику, описанную в предыдущем разделе. Введем новую вер-
Рис. 3. Когнитивная карта для анализа кадровой политики на флоте, где: 1 — жало-
вание, рацион, пособия; 2 — состояние окружающей среды; 3 — возможности по-
вышения квалификации; 4 — удовлетворенность работой; 5 — степень постоян-
ства кадров; 6 — военнослужащие; 7 — сохранность оборудования; 8 — общий
бюджет для личного состава
Обеспечение устойчивости импульсных процессов в когнитивных картах на основе моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 39
шину, являющуюся управлением ,U а именно «выделение государственных
средств на нужды кадрового состава флота». Положим, что этот фактор
(обозначим его через «0») непосредственно влияет только на одну из восьми
вершин, а именно на вершину 1 (жалование, рацион, пособия). Пусть соот-
ветствующий весовой коэффициент равен единице. В таком случае матрица
смежности расширенной карты принимает вид:
.
3013,010000
02,00011,02,000
1,05,00002,0000
1,01,01,0111,0000
01,003,03,01,0000
0002,03,00100
0002,03,00100
11,002,05,001,030
000000010
1
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
−−
−−
=W
По вышеописанной методике получаем в уравнении (21):
.)00000001(, TT GWF ==
Система является управляемой, поскольку GFGFFGG 32(rank
.8)7654 =GFGFGFGF Тогда в зависимости от выбора желаемых по-
люсов замкнутой системы можно получить различные значения матрицы
регулятора K и соответственно различные устойчивые переходные процес-
сы. Например, можно оставить без изменения устойчивые полюса и потре-
бовать следующий вектор собственных значений матрицы GKF − (а соот-
ветственно и матрицы (23), как показано в теореме 4): –0,5; –0,6; 0,78± 0,31i;
–0,15; 0,79; 0,26; 0. В этом случае получим такую матрицу усиления:
).5,89520,00410,19840,14960136,00064,00064,0874,4( −−=K
Матрица смежности замкнутой системы согласно (23) имеет вид:
.
3013,0100053,17
02,00011,02,0001,0
1,05,00002,00059,0
1,01,01,0111,00045,0
01,003,03,01,00004,0
0002,03,001002,0
0002,03,001002,0
11,002,05,001,035,20
0000000187,4
2
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
−
−−−
−−−
=W
Если с точки зрения практической реализации такое управление покажется
слишком сложным, его можно упростить, например, положив коэффициен-
ты, близкие к нулю, равными нулю:
В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1 40
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
−−−
−−−
=
3013,010005,17
02,00011,02,000
1,05,00002,0006,0
1,01,01,0111,0005,0
01,003,03,01,0000
0002,03,00100
0002,03,00100
11,002,05,001,035,20
000000019,4
2W
Полученная новая когнитивная карта с управлением показана на рис. 4.
Промоделируем импульсный процесс в целом, введя в когнитивную карту,
заданную (24), единичный импульс на все вершины состояния и начальный
импульс )1()1( XKU Δ−=Δ на вершину управления (при нулевых начальных
значениях). Графики стабилизации состояния и управления показаны
[0]
1
-
20 5
–0,5
0,6
17,5
4,9
Рис. 4. Когнитивная карта для анализа кадровой политики на флоте с управленим,
где: [0] — выделение государственных средств на нужды кадрового состава флота;
[1] — жалование, рацион, пособия; [2] — состояние окружающей среды; [3] —
возможности повышения квалификации; [4] — удовлетворенность работой; [5] —
степень постоянства кадров; [6] — военнослужащие; [7] — сохранность оборудо-
вания; [8] — общий бюджет для личного состава
Обеспечение устойчивости импульсных процессов в когнитивных картах на основе моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 41
на рис. 5. Абсолютные значения в вершинах на самом деле являются резуль-
татом определенной нормировки, поскольку нулевые начальные значе-
ния и единичные импульсы — математическая абстракция. Главный резуль-
тат проведенного моделирования заключается в том, что стабилизация
наступает достаточно быстро и переходной процесс имеет небольшую
амплитуду как по состоянию, так и по управлению. Таким образом, можно
утверждать, что предложенный в работе способ стабилизации неустойчивой
когнитивной карты показал приемлемые результаты на практическом при-
мере.
ВЫВОДЫ
В данной работе исследована взаимосвязь моделей динамики системы
в пространстве состояний и в форме когнитивных карт, а также изучен
вопрос обеспечения устойчивости когнитивной карты методами современ-
ной теории управления. Основные результаты исследования можно сформу-
лировать так:
• Показано, что модель в пространстве состояний (в том числе с регу-
лятором состояния в контуре обратной связи) может быть эквивалентно
представлена как когнитивная карта.
• Доказано, что из асимптотической устойчивости системы в про-
странстве состояний следует абсолютная устойчивость соответствующей
когнитивной модели. Этот вывод получен как для разомкнутой системы, так
и для замкнутой системы с регулятором состояния.
• Получен новый способ стабилизации систем, представленных в виде
когнитивных моделей, который заключается во введении обратных связей
u
Рис. 5. Результаты моделирования (1–8 — графики изменения вершин состояния;
u — график изменения вершины управления)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
1
2
3
4
5
6
7
8
uu
В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1 42
от вершин состояния к вершинам управления. В случае, если вершины со-
стояния неизмеряемы, предложен способ, основанный на наблюдателе со-
стояния.
• Приведен способ перехода от когнитивной модели к модели в про-
странстве состояний для определенного класса когнитивных карт. Это
позволяет стабилизировать процесс, представленный когнитивной моделью,
путем перехода к пространству состояний, введения регулятора состояния
и обратного перехода к когнитивной модели.
• С помощью предложенной методики решен практический пример
стабилизации когнитивной модели кадровой политики в морском флоте.
ЛИТЕРАТУРА
1. Axelrod R. The Structure of Decision: Cognitive Maps of Political Elites. — Prince-
ton University Press, 1976. — 404 р.
2. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социаль-
ным, биологическим и экологическим задачам. Пер. с англ. — М.: Наука,
1986. — 496 с.
3. Авдеева З.К., Коврига С.В., Макаренко Д.И., Максимов В.И. Когнитивный под-
ход в управлении // Проблемы управления. — 2002. — № 3. — С. 2–8.
4. Максимов В.И. Структурно-целевой анализ развития социально-экономических
ситуаций // Проблемы управления. — 2005. — № 3. — С. 30 – 38.
5. Kosko B. Fuzzy Cognitive Maps // International Journal of Man-Machine Studies. —
1986. — № 24. — Р. 65–75.
6. Aguilar J. A Survey about Fuzzy Cognitive Maps Papers // International Journal of
Computational Cognition. — 2005. — 3. — № 2. — P. 27–33.
7. Независимое экспертное обозрение. — 2012. — Вып. 4. — 85 с. — http://www.
sovschola.ru/sites/default/files/userfiles/NEO/Vol.4.rar.
8. Кулинич А.А. Когнитивные карты в поддержке принятия решений // Труды
Конгресса по интеллектуальным системам и информационным технологиям
«IS&IT’11». — М.: Физматлит, 2011. — В 4 т., т. 1. — С. 557 – 564.
9. Изерман Р. Цифровые системы управления. Пер. с англ. — М.: Мир, 1984. —
541 с.
10. Григорьев В.В., Лукьянова Г.В., Сергеев К.А. Анализ систем автоматического
управления: Учебное пособие. — СПб.: СПбГУ ИТМО, 2009. — 105 с.
Поступила 13.08.2013
|
| id | journaliasakpiua-article-33504 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:17:59Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/76/f995349f1a26867233e9d763f4fe4776.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-335042014-12-22T16:20:12Z Ensuring the sustainability of pulse processes in cognitive maps on the basis of the models in the states space Обеспечение устойчивости импульсных процессов в когнитивных картах на основе моделей в пространстве состояний Забезпечення стійкості імпульсних процесів у когнітивних картах на основі моделей у просторі станів Romanenko, V. D. Milyavskiy, Yu. L. The problem of correspondence between cognitive maps and models of the process dynamics in the states space, and also the control of a cognitive map in order to ensure its stability were considered. The method of transition from a state-space model to the cognitive map is proposed. It is shown how including of the state controller can be reflected in the corresponding cognitive map. We also discuss the case when state vector is unobservable and Luenberger observer is used. It is proved that in some cases from asymptotic stability of the state-space model absolute stability of the cognitive map implies. The method of inverse transition from a cognitive map to the state space is proposed. Stabilizing method for unstable cognitive maps using state control is obtained. The practical example demonstrating application of the proposed methods is discussed. Рассмотрен вопрос о соответствии между когнитивными картами и моделями динамики процесса в пространстве состояний, а также об управлении когнитивной картой с целью обеспечения ее устойчивости. Предложен метод перехода от модели в пространстве состояний к когнитивной карте. Показано, каким образом введение регулятора состояния может быть отражено в соответствующей когнитивной карте. Также рассмотрен случай, когда вектор состояния неизмеряем и применяется наблюдатель Люенбергера. Доказано в каких случаях из асимптотической устойчивости модели в пространстве состояний следует абсолютная устойчивость когнитивной карты. Предложен также способ обратного перехода от когнитивной карты к пространству состояний. В результате получен способ стабилизации неустойчивой когнитивной модели с помощью введения управления на основе регулятора состояния. Рассмотрен практический пример, демонстрирующий практическое применение предложенных методов. Розглянуто питання відповідності між когнітивними картами та моделями динаміки процесу у просторі станів, а також про управління когнітивною картою з метою забезпечення її стійкості. Запропоновано метод переходу від моделі у просторі стану до когнітивної карти. Показано, яким чином введення регулятора стану може бути відображено у відповідній когнітивній карті. Також розглянуто випадок, коли вектор стану невимірюваний і застосовується спостерігач Льюенбергера. Доведено у яких випадках із асимптотичної стійкості моделі у просторі станів випливає абсолютна стійкість когнітивної карти. Запропоновано також спосіб зворотного переходу від когнітивної карти до простору станів. У результаті отримано метод стабілізації нестійкої когнітивної моделі за допомогою введення керування на основі регулятора стану. Розглянуто практичний приклад, який демонструє застосування запропонованих методів. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2014-03-21 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/33504 System research and information technologies; No. 1 (2014); 26-42 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2014); 26-42 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2014); 26-42 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/33504/30050 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Romanenko, V. D. Milyavskiy, Yu. L. Забезпечення стійкості імпульсних процесів у когнітивних картах на основі моделей у просторі станів |
| title | Забезпечення стійкості імпульсних процесів у когнітивних картах на основі моделей у просторі станів |
| title_alt | Ensuring the sustainability of pulse processes in cognitive maps on the basis of the models in the states space Обеспечение устойчивости импульсных процессов в когнитивных картах на основе моделей в пространстве состояний |
| title_full | Забезпечення стійкості імпульсних процесів у когнітивних картах на основі моделей у просторі станів |
| title_fullStr | Забезпечення стійкості імпульсних процесів у когнітивних картах на основі моделей у просторі станів |
| title_full_unstemmed | Забезпечення стійкості імпульсних процесів у когнітивних картах на основі моделей у просторі станів |
| title_short | Забезпечення стійкості імпульсних процесів у когнітивних картах на основі моделей у просторі станів |
| title_sort | забезпечення стійкості імпульсних процесів у когнітивних картах на основі моделей у просторі станів |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/33504 |
| work_keys_str_mv | AT romanenkovd ensuringthesustainabilityofpulseprocessesincognitivemapsonthebasisofthemodelsinthestatesspace AT milyavskiyyul ensuringthesustainabilityofpulseprocessesincognitivemapsonthebasisofthemodelsinthestatesspace AT romanenkovd obespečenieustojčivostiimpulʹsnyhprocessovvkognitivnyhkartahnaosnovemodelejvprostranstvesostoânij AT milyavskiyyul obespečenieustojčivostiimpulʹsnyhprocessovvkognitivnyhkartahnaosnovemodelejvprostranstvesostoânij AT romanenkovd zabezpečennâstíjkostíímpulʹsnihprocesívukognítivnihkartahnaosnovímodelejuprostorístanív AT milyavskiyyul zabezpečennâstíjkostíímpulʹsnihprocesívukognítivnihkartahnaosnovímodelejuprostorístanív |