Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень за якісним критерієм
The method, allowed to correct the inconsistency of pairwise comparison matrix, which is obtained as a result of expert evaluation of alternatives decisions on quality criteria, and get the agreed valuation depending on the properties of the pairwise comparisons matrix. The statements about multipli...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2013
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/33943 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334226124210176 |
|---|---|
| author | Nedashkovskaya, N. I. |
| author_facet | Nedashkovskaya, N. I. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "N. I. Nedashkovskaya",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Nedashkovskaya, N. I. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2014-12-22T16:59:48Z |
| description | The method, allowed to correct the inconsistency of pairwise comparison matrix, which is obtained as a result of expert evaluation of alternatives decisions on quality criteria, and get the agreed valuation depending on the properties of the pairwise comparisons matrix. The statements about multiplicative and additive adjustment of pairwise comparison matrix without expert participation are formulated and proved. Unlike well-known methods with feedback with expert, proposed method of consistency adjustment without expert participation allows cut down expenses and save time. Proposed method also includes finding and adjustment of the most inconsistent and faulty elements (outliers) without expert participation. The proposed method can be used in decision-support systems when solving problems of choice, recourse allocation, decision alternatives estimation in terms of quantitative and qualitative decision criteria, scenario estimation and also in problems of planning and technological forecasting. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:18:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.І. Недашківська, 2013
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 4 67
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 517.9, 519.816
МЕТОД УЗГОДЖЕНИХ ПАРНИХ ПОРІВНЯНЬ
ПРИ ОЦІНЮВАННІ АЛЬТЕРНАТИВ РІШЕНЬ
ЗА ЯКІСНИМ КРИТЕРІЄМ
Н.І. НЕДАШКІВСЬКА
Запропоновано метод, що дозволяє коригувати неузгодженість матриці парних
порівнянь, яка отримана в результаті експертного оцінювання альтернатив рі-
шень за якісним критерієм та отримати узгоджені оцінки залежно від власти-
востей матриці парних порівнянь. Сформульовано та доведено твердження про
мультиплікативне та адитивне коригування матриці парних порівнянь без уча-
сті експерта. На відміну від відомих методів зі зворотнім зв’язком з експертом,
метод підвищення узгодженості без участі експерта призводять до економії
фінансових та часових ресурсів. Метод включає пошук та коригування без
участі експерта найбільш неузгоджених та помилкових елементів (викидів)
матриці парних порівнянь. Розроблений метод призначений для використання
в системах підтримки прийняття рішень під час розв’язання задач вибору, роз-
поділу ресурсів, оцінювання альтернатив рішень за множиною кількісних та
якісних критеріїв, оцінювання сценаріїв розвитку, в задачах планування та
технологічного передбачення.
ВСТУП
Методи парних порівнянь — одні з складових більшості сучасних методо-
логій підтримки прийняття рішень, таких як методології аналізу ієрархічних
структур критеріїв та альтернатив рішень [1–4], «лінія», «трикутник», «квад-
рат» [5], PROMETHEE [6]. Методи парних порівнянь використовуються для
розв’язання слабо структурованих задач оцінювання альтернатив рішень за
якісним критерієм із залученням експертних оцінок [7–10]. Зокрема, в мето-
дах аналізу ієрархій експерт попарно порівнює альтернативи у спеціальній
фундаментальній шкалі відносної важливості та в результаті будуються
матриці },...,1,|{ njidD ijnn ==× із властивостями ,0>ijd ./1 ijji dd =
Методи парних порівнянь спрямовані на відновлення коефіцієнтів від-
носної важливості (ваг) nRw +∈ , 11 =∑ =
n
i iw альтернатив рішень за якісним
критерієм із матриці парних порівнянь (МПП) nnD × . Розрахунок цих ваг
найчастіше заснований на ідеї мінімізації норми відхилень МПП nnD × від
деякої невідомої матриці ),/( ji wwC = яка в методах парних порівнянь
Н.І. Недашківська
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 4 68
вважається найкращою апроксимацією МПП nnD × . Матриця )/( ji wwC =
називається узгодженою або теоретичною. Традиційним є метод головного
вектору розрахунку ваг із МПП nnD × [2]. Залежно від вибору функції норми
матриці застосовуються також інші методи парних порівнянь: найменших
квадратів, зважених найменших квадратів, логарифмічних найменших квад-
ратів тощо [1].
Детальніше розглянемо поняття узгодженості, яке є одним із ключових
у методах парних порівнянь. Неузгодженість є проявом суперечності в оцін-
ках експертів і з’являється за необхідності порівняння більш ніж трьох
об’єктів. МПП називається порядково або ординально неузгодженою, якщо
kji aaa ,,∃ — трійка порівнюваних альтернатив, для якої має місце цикл
,ikji aaaa fff або в термінах елементів МПП виконується ∧> )1( ijd
)1()1( <∧>∧ ikjk dd . Кардинальною неузгодженістю (в подальшому просто
неузгодженістю) називається ,,, kji∃ таких, що kjikij ddd ≠ . Причинами не-
узгодженості вважаються помилки експертів під час висловлювання оцінок,
використання фундаментальної шкали відносної важливості [10], психологіч-
ні обмеження людини-експерта [5, 11]. Для оцінювання узгодженості МПП
розроблено декілька показників та критеріїв [1]. Один із критеріїв узгодже-
ності полягає в наступному: якщо показник узгодженості МПП не переви-
щує встановлене для нього порогове значення, то неузгодженість МПП
є допустимою; МПП узгоджена, якщо показник узгодженості дорівнює нулю.
Експертні оцінки без допустимої неузгодженості вважаються супереч-
ливими і, відповідно, не можуть бути використані під час прийняття рішен-
ня. Традиційний підхід до підвищення узгодженості експертної інформації —
це організація зворотного зв’язку з експертом, коли експерту для перегляду
повертаються вся недостатньо узгоджена МПП [5, 12] або її найбільш не-
узгоджені елементи [13]. Процедура перегляду повторюється до тих пір, ко-
ли не буде досягнуто допустимого рівня неузгодженості МПП. Розглядають
методи знаходження викидів — помилкових елементів МПП, які виникають
унаслідок неточного вводу оцінок або випадкових помилок [13]. Проте, вна-
слідок фінансових та часових обмежень, зворотній зв’язок із експертом не
завжди можливий.
Інший підхід — коригувати МПП, змінюючи її елементи за певними
алгоритмами без участі експерта так, щоб скоригована МПП була більш уз-
годженою. Недоліком методу, запропонованого в [11], є те, що коригування
МПП із певними властивостями призводить до викривлення наданої експер-
том інформації в МПП.
У цій роботі пропонуються метод та алгоритм узгоджених парних порів-
нянь у ході оцінювання альтернатив рішень за якісним критерієм, який до-
зволяє коригувати неузгодженість МПП, отримати допустимо неузгоджені
оцінки парних порівнянь альтернатив рішень, використовуючи наведені ви-
ще підходи залежно від властивостей МПП.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Нехай задана },...,1,|{ njidD ijnn ==× — МПП альтернатив рішень за якіс-
ним критерієм.
Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень критерієм
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 4 69
Необхідно побудувати допустимо неузгоджену МПП та розрахувати
ваги nRw +∈ , 11 =∑ =
n
i iw
альтернатив рішень.
Якщо експерт попарно порівнює альтернативи у шкалі відношень, то
говорять про мультиплікативні, а якщо в шкалі інтервалів — то про адитив-
ні парні порівняння. В подальшому в роботі розглянемо лише мультипліка-
тивні парні порівняння.
Мультиплікативною матрицею парних порівнянь (далі МПП) назива-
ється додатна, обернено симетрична МПП nnD × : ,0>ijd ./1 ijji dd = Силь-
но узгодженою (далі узгодженою) називається МПП nnD ×
)
, для якої вико-
нуються транзитивності: kjikij ddd
)))
= для nkji ,...,1,, =∀ . Слабо (порядково)
узгодженою називається МПП nnD ×
(
, для якої виконуються порядкові тран-
зитивності: )1()1()1( <⇒>∧> ikjkij ddd
(((
. В іншому випадку, якщо kji ,,∃
)1()1()1( <∧>∧> ikjkij ddd
(((
, то елемент ikd
(
слабо неузгодженої МПП нази-
ватимемо викидом.
Твердження. Якщо nnD × — узгоджена МПП, то nnD × — слабо узго-
джена.
Наступна МПП nnD ×1 узгоджена; nnD ×2 — неузгоджена; слабо узго-
джена; nnD ×3 не є слабо узгодженою:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=×
1312/1
3/113/16/1
1312/1
2621
1 44D ,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=×
1312/1
3/113/13/1
1312/1
2321
2 44D ,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=×
1312/1
3/113/16
1312/1
26/121
3 44D .
Для оцінювання рівня неузгодженості МПП nnD × використовуються
показники HCRGCICR ,, [1], trCI [14] та yk [5]. Допустима неузгодже-
ність МПП визначається наступними критеріями.
Критерій узгодженості 1: неузгодженість МПП nnD × є допустимою,
якщо porog)( CRDCR nn ≤× або porog)( GCIDGCI nn ≤× , або ≤× )( nnDHCR
porogHCR≤ , або porogtrtr )( CIDCI nn ≤× (залежно від того, який показник ви-
користовується), де porogtrporogporogporog ,,, CIHCRGCICR — порогові значен-
ня відповідних показників.
Критерій узгодженості 2: якщо ,)( 0TDk nny <× то МПП nnD × не містить
інформації, тобто, елементи МПП — інформаційний шум; якщо
),)(())(( 0 unnynny TDkTDk <∧≥ ×× то інформація в МПП є, проте вона недо-
статньо узгоджена; якщо ,)( unny TDk ≥× то неузгодженість МПП nnD × до-
пустима, де uTT ,0 — порогові значення, які визначаються, відповідно зі
спектру, що містить мінімальну кількість інформації та спектру допустимої
точності.
Н.І. Недашківська
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 4 70
ПОКАЗНИКИ УЗГОДЖЕНОСТІ МПП
Нехай ,ijijij cd ε= де jiij wwc /= — елемент узгодженої МПП, 0>ijε — ве-
личина збурення. Відношенням узгодженості МПП nnD × називається
),(/)()(
def
nMRCIDCIDCR nnnn ×× = де індекс узгодженості
def
)( =×nnDCI
)1/(1
1
def
−−= ∑ −
=
nn
i iλ — середнє значення не головних власних чисел nnD × із
знаком «–», )1/()()( max −−=× nnDCI nn λ , maxλ — головне власне число
,nnD × 0)( >nMRCI — індекс випадкової узгодженості — середнє значення
індексів узгодженості для випадковим чином заповнених МПП розмірності
3≥n (таблична величина).
Твердження 1. 0)( ≥×nnDCR та 0)( =×nnDCR тоді і тільки тоді, коли
nnD × узгоджена.
Геометричним індексом узгодженості називається
def
)( =×nnDGCI
),(./)(2def
nfdDS nn×= де ,))/(ln(ln)(
1 1
22 ∑ ∑= +=× −=
n
i
n
ij jiijnn vvdDS =)(. nfd
)1(2/)1( −−−= nnn — кількість ступенів свободи, вектор ваг nRv +∈ —
розв’язок задачі оптимізації min)(2 →×nnDS за обмежень ,1
1
=∏ =
n
i iv
.nRv +∈ Аналітичний розв’язок останньої задачі .
/1
1
nn
j iji dv ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛= ∏ =
Твердження 2. 0)( ≥×nnDGCI та 0)( =×nnDGCI тоді і тільки тоді, коли
nnD × узгоджена.
Гармонічним відношенням узгодженості називається
def
)( =×nnDHCR
)(/)(
def
nMRHCIDHCI nn×= , де ))1(/()1)()(()(
def
−+−=× nnnnsHMDHCI nn —
гармонічний індекс узгодженості, 1
1
1))(()( −
=
−∑= n
j jsnsHM — середнє
гармонічне величин ,
1∑ =
=
n
i ijj ds 0)( >nMRHCI — індекс випадкової узго-
дженості — середнє значення гармонічних індексів узгодженості для випад-
ковим чином заповнених МПП розмірності 3≥n (таблична величина).
Твердження 3. 0)( ≥×nnDHCR та 0)( =×nnDHCR тоді і тільки тоді, ко-
ли nnD × узгоджена.
Індексом узгодженості транзитивностей [14] називається
def
tr )( =×nnDCI
∑ =
Γ= NT
i iNT CI1
tr1
def
)(
— середнє значення індексів узгодженості )( i
trCI Γ всіх
різних транзитивностей МПП nnD × , якщо ,3>n ),(det)(
def
tr
nnnn DDCI ×× =
якщо 3=n та 0)(
def
tr =×nnDCI в іншому випадку, де )!3)!3/((! −= nnNT —
Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень критерієм
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 4 71
кількість різних транзитивностей МПП nnD × , якщо 3≥n . Транзитивність
Г — це слабкий порядок на множині з трьох альтернатив }.,,{ kji aaa
Твердження 4. 0)( ≥×nn
tr DCI та 0)( =×nn
tr DCI тоді і тільки тоді, коли
nnD × узгоджена.
Спектральним коефіцієнтом узгодженості [5] називається =× )( nny Dk
)),((min
,...,1
iy
ni
Rk
=
= де )( iy Rk — спектральний коефіцієнт узгодженості спектра
ваг iR альтернативи .ia
Твердження 5. 0)( ≥×nny Dk і 1)( =×nny Dk тоді і тільки тоді, коли
nnD × узгоджена.
МЕТОД РОЗРАХУНКУ УЗГОДЖЕНИХ ВАГ АЛЬТЕРНАТИВ РІШЕНЬ ЗА
ЯКІСНИМ КРИТЕРІЄМ
У роботі запропоновано метод розрахунку ваг альтернатив рішень за якіс-
ним критерієм, який складається з етапів оцінювання узгодженості та кори-
гування узгодженості МПП та етапу відновлення ваг з МПП. Особливості
цього методу полягають у наступному:
• використовується як традиційне поняття узгодженої МПП, так і нове
поняття слабо узгодженої МПП, що дозволяє коректно коригувати МПП
залежно від її властивостей;
• здійснюється оцінювання і коригування узгодженості за множиною
показників;
• методи знаходження найбільш неузгоджених та помилкових (вики-
дів) елементів МПП є складовою запропонованого методу;
• методи коригування МПП без участі експерта, залежно від властиво-
стей МПП є складовою запропонованого методу.
Структурну схему загального алгоритму методу зображено на рисунку.
Методи підвищення узгодженості МПП використовуються, якщо МПП
не є допустимо неузгодженою в сенсі наведених вище критеріїв узгоджено-
сті. Для таких МПП пропонуються два різних методи підвищення узгодже-
ності без участі експерта, залежно від того, чи володіє МПП додатковою
властивістю слабої узгодженості.
Якщо МПП є слабо узгодженою, то це означає, що всі її порядкові тран-
зитивності виконуються, але не виконуються сильні транзитивності, тобто
має місце ,ijkjikij ddd δ= де 0>ijδ — величина збурення. В цьому випадку
пропонується використовувати мультиплікативний або адитивний методи
коригування МПП без участі експерта (п.1).
Якщо МПП слабо неузгоджена, як, наприклад, наведена вище МПП
443 ×D , то її коригування за мультиплікативним або адитивним методами
призведе до зміни всіх елементів цієї МПП замість того, щоб знайти та змі-
нити лише один найбільш неузгоджений/помилковий елемент (викид). За
означенням у слабо неузгодженій МПП існує елемент, що порушує поряд-
Н.І. Недашківська
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 4 72
кову транзитивність на множині порівнюваних альтернатив. Такий елемент
може з’явитися, наприклад, якщо експерт, заповнюючи велику кількість
опитувальних форм, помилився під час введення в обернено симетричні по-
зиції МПП. Наприклад, в МПП 443 ×D викидом є .6/113 =d Більш того, для
443 ×D виконуються всі транзитивності в означенні сильної узгодженості,
крім однієї: 231213 ddd ≠ . Після зміни елементу 13d та присвоєння йому зна-
чення 6:13 =d (та обернено симетричному елементу 6/1:31 =d ) МПП 443 ×D
стає сильно узгодженою. Тому мультиплікативне або адитивне коригування
всіх елементів початкової МПП 443 ×D є неприйнятним, воно призводить до
викривлення наданої експертом інформації.
Таким чином, для коригування МПП, яка не має властивості слабої уз-
годженості, пропонується шукати її найбільш неузгоджений/ помилковий
елемент або викид (п. 2), а потім або повернути його експерту для перегля-
ду, або виконати його коригування без участі експерта (п. 3).
1. Коригування МПП без участі експерта для слабо узгоджених МПП
Складовою розробленого методу є мультиплікативний та адитивний методи
коригування МПП без участі експерта. В цих методах коригування, запро-
Рисунок. Структурна схема загального алгоритму методу
Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень критерієм
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 4 73
понованих у [11], узгодженість МПП вимірюється лише за показником .CR
У методах коригувань в цій роботі узгодженість вимірюється також за мно-
жиною показників HCRGC, та .trCI Ці методи базуються на сформульова-
них і доведених нижче узагальнених твердженнях 6 та 7.
Під час коригуванні МПП за описаними нижче мультиплікативним та
адитивним законами покращується узгодженість МПП за показником CR
[11]. Узагальнені твердження 6 та 7 показують, що за таких коригувань
покращується узгодженість МПП також за показниками HCRGCI , та .trCI
Твердження 6 (мультиплікативне коригування). Нехай ),( **
ijnn dD =×
α
α
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
* )(
j
i
ijij w
wdd — скоригована МПП, де )1,0(∈α — параметр коригу-
вання. Тоді ,* CICI ≤ ,* GCIGCI ≤ HCIHCI ≤* та ,tr*tr CICI ≤ де ,*CI
,*GCI *HCI та *trCI — відповідно традиційний, геометричний, гармоніч-
ний індекси узгодженості та індекс узгодженості транзитивностей скориго-
ваної МПП *
nnD × ; ,CI ,GCI HCI та trCI — індекси узгодженості початко-
вої МПП nnD × ; рівності ,* CICI = ,* GCIGCI = HCIHCI =* та tr*tr CICI =
виконуються тоді і тільки тоді, коли nnD × узгоджена.
Твердження 7 (адитивне коригування). Нехай )( **
ijnn dD =× — ско-
ригована МПП, де ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
j
i
ijij w
w
dd )1(* αα , якщо ji < та =*
ijd
,)1(
1−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+=
i
j
ji w
w
d αα якщо ,ji ≥ )1,0(∈α — параметр коригування.
Тоді ,* CICI ≤ ,* GCIGCI ≤ HCIHCI ≤* та ,tr*tr CICI ≤ де ,*CI ,*GCI
*HCI та *trCI — відповідно традиційний, геометричний та гармонічний
індекси узгодженості та індекс узгодженості транзитивностей скоригованої
МПП *
nnD × ; ,CI ,GCI HCI та trCI — індекси узгодженості початкової
МПП nnD × ; рівності ,* CICI = ,* GCIGCI = HCIHCI =* та tr*tr CICI =
виконуються тоді і тільки тоді, коли nnD × узгоджена.
Твердження 6 та 7 для показника CI доведено в [11]. Розглянемо дове-
дення тверджень 6 та 7 для показників ,GCI HCI та .trCI
Доведення твердження 6.
Покажемо, що твердження справджується за показником .GCI
.))/(ln(ln
)2()1(
2)( 1 1
2∑ ∑= +=× −
−−
= n
i
n
ij jiijnn wwd
nn
DGCI Нехай
ijijij wwde /= та 0))2)(1/((2 >−−= nnb при ,3≥n тоді =− GCIGCI *
.))(ln)((ln1 1
22*∑ ∑= +=
−= n
i
n
ij ijij eeb
Н.І. Недашківська
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 4 74
Оскільки ,)(
1
*
α
α
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
j
i
ijij w
wdd ),1,0(∈α то .)(/** α
ijijijij ewwde == Тоді
∑ ∑= +=
=+−=− n
i
n
ij ijijijij eeeebGCIGCI 1 1
*** ))ln)(lnln((ln
∑ ∑∑ ∑ = +== +=
+− ≤+−== n
i
n
ij ij
n
i
n
ij ijij ebeeb 1 1
2
1 1
11 0)(ln)1)(1(lnln αααα
при 0>b
та ).1,0(∈α
Таким чином, GCIGCI ≤*
та рівність GCIGCI =*
виконується тоді
й тільки тоді, коли 1=ije при nji ,...,1, =∀ , тобто коли nnD × узгоджена.
Покажемо, що твердження справджується за показником .HCI
)),1(/()1)()(()( −+−=× nnnnsHMDHCI nn
тоді
)),()(( ** sHMsHMbHCIHCI −=− де .0))1(/()1( >−+= nnnb
=−+≤= ∑∑ ==
− n
i jiij
n
i jiijj wwdwwds 11
1* )/)(1()/()( αααα
∑ =
−−+= n
i ijj sss 1
1)()1( αα (1)
при 1)( −= jj sw .
.)()(
1
1
1
1
1
1**
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=−
−
=
−
−
=
− ∑∑ n
j j
n
j j ssbnHCIHCI
Доведемо, що .0* ≤−HCIHCI Так як 0>js
та ,0* >js то для цього
достатньо показати виконання нерівності .0)()( 1
1*
1
1 ≤−∑∑ =
−
=
− n
j j
n
j j ss Ця
нерівність випливає з того, що для j∀ ,))()1(( 1
1*
j
n
i ijj ssss ≤−+= ∑ =
−αα
оскільки 1)()1( 1
1 ≤−+ ∑ =
−n
i isαα (доведення нерівності 1)(1
1 ≤∑ =
−n
i is
мож-
на знайти в [1]). Таким чином, .* HCIHCI ≤
HCIHCI =*
виконується, коли мають місце рівність у виразі (1) та
.1)(
1
1 =∑ =
−n
i is У виразі (1) рівність )/)(1()/()( 1
jiijjiij wwdwwd αααα −+=−
виконується тоді й тільки тоді, коли jiij wwd /=
при ,,...,1, nji =∀ тобто
коли nnD × узгоджена. Рівність 1)(1
1 =∑ =
−n
i is також виконується тоді й
тільки тоді, коли nnD × узгоджена [1].
Покажемо, що твердження справджується за показником .trCI Для
цього достатньо довести, що ),(det)()(det)( tr**tr
llll CICI Γ=Γ≤Γ=Γ де
Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень критерієм
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 4 75
.
1
1
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=Γ
kjki
jkji
ikij
l
dd
dd
dd
,2)/()/()(det −+=Γ jkijikikjkijl dddddd
,2))/(()/()det( * −+=Γ αα
jkijikikjkijl dddddd ).1,0(∈α
Оскільки x
x
x
x 11 +≤⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+
α
α має місце при 0>x та ),1,0(∈α маємо, що
),(det)(det *
ll Γ≤Γ що і треба було довести.
Функції
α
α ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+=
x
xy 1 та xxy 1+= приймають свої мінімальні значен-
ня в точці ,1=x а 1/ == ikjkij dddx nkji ,...,1,, =∀ має місце тоді й тільки
тоді, коли nnD × узгоджена. Таким чином, tr
1
*tr1*tr )( CICICI NT
i iNT ≤Γ= ∑ =
та
рівність trtr CICI =*
виконується тоді й тільки тоді, коли nnD × узгоджена.
Твердження 6 доведено. ■
Доведення твердження 7.
Покажемо, що твердження справджується за показником .GCI
∑ ∑= +=
=+−=− n
i
n
ij ijijijij eeeebGCIGCI 1 1
*** ))ln)(lnln((ln
,)/(ln)/ln(1 1
**∑ ∑= +=
= n
i
n
ij jiijijij eeeeb .0))2)(1/((2 >−−= nnb
)1(/** αα −+== ijijijij ewwde при ,ji <
,))1(( 1* −−+= αα jiij ee при ,ji ≥ ).1,0(∈α
ijijij eee ≤−+= )1(* αα при 1≥ije
та ijij ee ≥* при .10 ≤< ije (2)
ijijji eee ≥−+= −1* ))1(( αα при 10 ≤< ije
та ijij ee ≤* при .1≥ije (3)
Тому .0)/(ln)/(ln1 1
*** ≤=− ∑ ∑= +=
n
i
n
ij jiijijij eeeebGCIGCI
Нерівності (2) та (3) перетворюються на рівності, коли 1=ije
,,...,1, nji =∀ тобто коли nnD × узгоджена.
Покажемо, що твердження справджується за показником .HCI Треба
довести, що 0)()( 1
1*
1
1 ≤−∑∑ =
−
=
− n
j j
n
j j ss (див. доведення твердження 6), де
∑∑ =
−−
=
−++−+= n
ji ijji
j
i jiijj wwdwwds 11
1
* )/)1(()/)1(( αααα .
Н.І. Недашківська
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 4 76
Для цього використаємо допоміжну нерівність ≤−+ −1)/)1(( ijij wwd αα
jiij wwd /)1( αα −+≤ , яка доводиться з урахуванням того, що 2/1 ≥+ xx
при ,0>x де ./ ijij wwdx = Тоді
=−++−+≤ ∑∑ =
−
=
n
ji jiij
j
i jiijj wwdwwds )/)1(()/)1((11
* αααα
,))()1(()/)1(( 1
1
1 j
n
i ij
n
i jiij ssswwd ≤−+=−+= ∑∑ =
−
=
αααα
оскільки 1)()1( 1
1 ≤−+ ∑ =
−n
i isαα (доведення нерівності 1)(1
1 ≤∑ =
−n
i is
можна знайти в [1]). Таким чином, .* HCIHCI ≤
,* HCIHCI = виконується коли 2/1 =+ xx 1/ ==⇔ ijij wwdx та
.1)(1
1 =∑ =
−n
i is jiij wwd /=
при nji ,...,1, =∀ , коли nnD × узгоджена. Рів-
ність 1)(1
1 =∑ =
−n
i is також виконується тоді й тільки тоді, коли nnD × узго-
джена [1].
Покажемо, що твердження справджується за показником .trCI Треба
показати, що ,0)(
*trtr ≥− αCICI де ,2−+=
jkij
ik
ik
jkijtr
dd
d
d
dd
CI =)(* αtrCI
2
)()(
)(
)(
)()(
**
*
*
**
−+=
αα
α
α
αα
jkij
ik
ik
jkij
dd
d
d
dd
(п.3 доведення твердження 6), елемент
скоригованої МПП ,)1()(*
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
j
i
ijij w
w
dd ααα якщо ,ji < ).1,0(∈α
Використаємо метод AN розрахунку ваг: .)( 1−∑= k kii dw
Введемо наступні позначення: ,
)(
)()(
)( *
**
α
αα
α
ik
jkij
d
dd
x =
ik
jkij
d
dd
y = та роз-
глянемо функцію )(αxx = , )1,0(∈α . Ця функція монотонно зростає при
,1≥y монотонно спадає при 1≤y та ,1)0( ==αx .)1( yx ==α
Легко показати, що нерівність 0)(* <− αtrtr CICI не справджується для
жодних пар ),,( xy оскільки не виконується ні одна з систем нерівностей:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
<
≥
yx
yx
y
/1
,
,1
∨
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
>
≥
yx
yx
y
/1
,
,1
∨
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
<
<
yx
yx
y
/1
,
,1
∨
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
>
<
,/1
,
,1
yx
yx
y
отриманих у результаті розв’язання нерівності .0)(* <− αtrtr CICI
Розв’язком нерівності 0)(* ≥− αtrtr CICI , яку потрібно довести, є:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≥
≥
yx
yx
y
/1
,
,1
∨
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤
≥
yx
yx
y
/1
,
,1
∨
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≥
<
yx
yx
y
/1
,
,1
∨
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤
<
,/1
,
,1
yx
yx
y
Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень критерієм
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 4 77
де друга і третя з цих чотирьох умов виконуються.
Твердження 7 доведено. ■
2. Знаходження найбільш неузгодженого / помилкового елементу
в МПП
Розглянемо метод пошуку найбільш неузгоджених та помилкових елементів
МПП (викидів). У [13] метод пошуку викидів у МПП використовує лише
індекс узгодженості .CI У цій роботі використовується множина різних по-
казників узгодженості (ПУ). Метод базується на твердженнях 1–5, згідно
з якими на узгоджених МПП ПУ HCIGCICI ,, та trCI приймають свої мі-
німальні значення, а спектральний коефіцієнт узгодженості yk — своє мак-
симальне значення. Метод складається з наступних етапів:
1. Розрахунок МПП i
nnD )1()1( −×− , отриманої виключенням i -го рядка та
i -го стовпчика початкової МПП nnD × та показника узгодженості
)( )1()1(
i
nnDПУ −×− , .,...,1 ni =∀
2. Знаходження двох найменших значень показників узгодженості:
)(minarg )1()1(
,...,1
* i
nn
ni
DПУi −×−
=
= , )(minarg )1()1(
,,...,1
*
*
i
nn
iini
DПУj −×−
≠=
= , тоді елемент
** ji
d — найбільш неузгоджений/помилковий за ПУ HCRGCICR ,, та .trCI
Знаходження двох найбільших значень показників узгодженості:
,)(maxarg )1()1(
,...,1
* i
nny
ni
Dki −×−
=
= ,)(maxarg )1()1(
,,...,1
*
*
i
nny
iini
Dkj −×−
≠=
= тоді елемент
** ji
d — найбільш неузгоджений (помилковий) за спектральним показником yk .
Слід зазначити, що для збереження властивості оберненої симетрично-
сті МПП, після зміни елемента ** ji
d зміні підлягає також обернено симет-
ричний йому елемент **ij
d .
3. Коригування найбільш неузгодженого / помилкового елементу МПП
без участі експерта
Розглянемо },...,1,|{ njidD ijnn ==× — слабо неузгоджена МПП, для якої
відомо, що її елемент ** ji
d — викид і потребує коригування. Метод коригу-
вання викиду в цій МПП без участі експерта складається з етапів:
• Знаходження множини транзитивностей },,...,1,{ nkk =Γ=Γ що
включають ** ji
d : }.,,{ **** jikjkik ddd=Γ
• Розрахунок множини значень-кандидатів для ** ji
d за знайденими
транзитивностями: },...,1,{ ** nkddzZ
kjkik === та множини допоміжних
скоригованих МПП )},({ corcor k
ijk dD = де ij
k
ij dd =cor , якщо *,* jjii ≠≠ та
.cor
** k
k
ji
zd =
Н.І. Недашківська
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 4 78
• Вибір із множини значень-кандидатів Z значення *k
z , яке забезпе-
чує найкращу узгодженість скоригованої МПП:
)(minarg cor
,...,1
*
k
nk
DПУk
=
= за ПУ HCIGCICI ,, та ,trCI
)(maxarg cor
,...,1
*
ky
nk
Dkk
=
= за спектральним показником .yk
• Скориговане значення для заданого .*** kji
zd =
4. Відновлення ваг альтернатив рішень із МПП
Виконано етапи оцінювання узгодженості та коригування узгодженості
МПП і маємо },...,1,|{ njidD ijnn ==× — допустимо неузгоджену МПП аль-
тернатив рішень за якісним критерієм. Для розрахунку вектора ваг nRw +∈ ,
11 =∑ =
n
i iw
альтернатив рішень існують декілька методів [1], які призводять
до однакового вектору ваг, якщо МПП узгоджена:
• головного власного вектору, згідно з яким вектор ненормованих ваг
v — розв’язок рівняння vDv maxλ= , нормовані ваги ;/
1∑ =
=
n
j jii vvw
• геометричної середньої, згідно з яким ;)( /1
1
nn
j iji dv ∏ =
=
,/
1∑ =
=
n
j jii vvw
• арифметичної нормалізації, згідно з яким ,)( 1
1
−
=∑= n
j jii dv
./
1∑ =
=
n
j jii vvw
ЗАКЛЮЧЕННЯ
У роботі наведено запропонований метод розрахунку ваг альтернатив рі-
шень за якісним критерієм, який складається з етапів оцінювання та корект-
ного коригування узгодженості МПП залежно від її властивостей та етапу
відновлення ваг із МПП.
Сформульовано та доведено твердження про мультиплікативне та ади-
тивне коригування МПП без участі експерта, коли для вимірювання узго-
дженості використовуються декілька показників. Ці твердження показують,
що після вказаних коригувань покращується узгодженість не лише за показ-
ником ,CI а й за показниками HCIGCI , та .trCI Мультиплікативне та
адитивне коригування слід використовувати для слабо узгоджених МПП.
Сформульовано методи пошуку найбільш неузгоджених та помилкових
елементів МПП (викидів) за множиною показників узгодженості та коригу-
вання викидів без участі експерта. Ці методи слід використовувати, якщо
МПП не має властивості слабої узгодженості.
Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень критерієм
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 4 79
Застосування відомих методів підвищення узгодженості зі зворотнім
зв’язком з експертом не завжди можливе. У цій роботі методи дозволяють
коригувати МПП залежно від її властивостей без участі експерта і, як наслі-
док, економити фінансові та часові ресурси.
Метод та алгоритм, що розроблені в роботі, призначені для викорис-
тання в системах підтримки прийняття рішень при розв’язанні задач вибору,
розподілу ресурсів, оцінювання альтернатив рішень за множиною кількіс-
них та якісних критеріїв, оцінювання сценаріїв розвитку, в задачах плану-
вання та технологічного передбачення.
ЛІТЕРАТУРА
1. Панкратова Н.Д., Недашківська Н.І. Моделі і методи аналізу ієрархій: Теорія.
Застосування: Навчальний посібник. — К.: ІВЦ «Видавництво
«Політехніка», 2010. — 371 с.
2. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. — М.: Радио и связь,
1993. — 320 с.
3. Саати Т.Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналити-
ческие сети. Изд. 2-е. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — 360 с.
4. Ногин В.Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелиней-
ной свертки критериев // Журнал вычислительной математики и математи-
ческой физики. — 2004. — 44, № 7. — С. 1261–1270.
5. Тоценко В.Г. Методы и системы поддержки принятия решений. Алгоритмиче-
ский аспект. — К.: Наукова думка, 2002. — 381 с.
6. Macharis C., Springael J., Brucker K.D., Verbeke A. PROMETHEE and AHP: The de-
sign of operational synergies in multicriteria analysis. Strenhthening
PROMETHEE with ideas of AHP // European Journal of Operational Research. —
2004. — 153, № 2. — P. 307–317.
7. Дэвид Г. Метод парных сравнений. — М.: Статистика, 1978. — 144 с.
8. Ларичев О.И., Мошкович Е.М. Качественные методы принятия решений. — М.:
Наука, 1996. — 208 с.
9. Орлов А.И. Нечисловая статистика. — М.: МЗ-Пресс, 2004. — 513 с.
10. Жиляков Е.Г. Адаптивное определение относительных важностей объектов на
основе качественных парных сравнений // Экономика и математические ме-
тоды. — 2006. — 42, № 2. — С. 111–122.
11. Xu Z., Da Q. An approach to Improving Consistency of Fuzzy Preference Matrix //
Fuzzy Optimization and Decision Making. — 2003. — 2, № 1. — P. 3–12.
12. Тоценко В.Г. Групповые ранжирования с обратной связью с экспертнами и уче-
том их компетентности // Проблемы управления и информатики. — 2006. —
№ 5. — С. 92–99.
13. Lipovetsky S.,Conklin W.M. Robust estimation of priorities in the AHP // European
Journal of Operational Research. — 2002. — 137, № 1. — P.110–122.
14. Peláez J.I., Lamata M.T. A New Measure of Consistency for Positive Reciprocal
Matrices // Computers and Mathematics with Applications. — 2003. — 46. —
P. 1839–1845.
Надійшла 07.03.2013
|
| id | journaliasakpiua-article-33943 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:18:10Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/10/97f741960cef9b8910f13cf4e743d710.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-339432014-12-22T16:59:48Z Method of consistent pairwise comparisons while estimating decision alternatives by qualitative criterion Метод согласованных парных сравнений при оценивании альтернатив решений по качественному критерию Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень за якісним критерієм Nedashkovskaya, N. I. The method, allowed to correct the inconsistency of pairwise comparison matrix, which is obtained as a result of expert evaluation of alternatives decisions on quality criteria, and get the agreed valuation depending on the properties of the pairwise comparisons matrix. The statements about multiplicative and additive adjustment of pairwise comparison matrix without expert participation are formulated and proved. Unlike well-known methods with feedback with expert, proposed method of consistency adjustment without expert participation allows cut down expenses and save time. Proposed method also includes finding and adjustment of the most inconsistent and faulty elements (outliers) without expert participation. The proposed method can be used in decision-support systems when solving problems of choice, recourse allocation, decision alternatives estimation in terms of quantitative and qualitative decision criteria, scenario estimation and also in problems of planning and technological forecasting. Предложен метод, позволяющий корректировать несогласованность матрицы парных сравнений, которая получена в результате экспертного оценивания альтернатив решений по качественному критерию, и получить согласованные оценки в зависимости от свойств матрицы парных сравнений. Сформулированы и доказаны утверждения про мультипликативное и аддитивное корректирование матрицы парных сравнений без участия эксперта. В отличие от известных методов с обратной связью с экспертом, метод повышения согласованности без участия эксперта приводит к экономии финансовых и временных ресурсов. Метод включает поиск и корректирование без участия эксперта наиболее несогласованных и ошибочных элементов (выбросов) матрицы парных сравнений. Разработанный метод предназначен для использования в системах поддержки принятия решений при решении задач выбора, распределения ресурсов, оценивания альтернатив решений по множеству количественных и качественных критериев, оценивания сценариев развития, в задачах планирования и технологического предвидения. Запропоновано метод, що дозволяє коригувати неузгодженість матриці парних порівнянь, яка отримана в результаті експертного оцінювання альтернатив рішень за якісним критерієм та отримати узгоджені оцінки залежно від властивостей матриці парних порівнянь. Сформульовано та доведено твердження про мультиплікативне та адитивне коригування матриці парних порівнянь без участі експерта. На відміну від відомих методів зі зворотнім зв’язком з експертом, метод підвищення узгодженості без участі експерта призводять до економії фінансових та часових ресурсів. Метод включає пошук та коригування без участі експерта найбільш неузгоджених та помилкових елементів (викидів) матриці парних порівнянь. Розроблений метод призначений для використання в системах підтримки прийняття рішень під час розв’язання задач вибору, розподілу ресурсів, оцінювання альтернатив рішень за множиною кількісних та якісних критеріїв, оцінювання сценаріїв розвитку, в задачах планування та технологічного передбачення. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2013-12-16 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/33943 System research and information technologies; No. 4 (2013); 67-79 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2013); 67-79 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2013); 67-79 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/33943/30512 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Nedashkovskaya, N. I. Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень за якісним критерієм |
| title | Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень за якісним критерієм |
| title_alt | Method of consistent pairwise comparisons while estimating decision alternatives by qualitative criterion Метод согласованных парных сравнений при оценивании альтернатив решений по качественному критерию |
| title_full | Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень за якісним критерієм |
| title_fullStr | Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень за якісним критерієм |
| title_full_unstemmed | Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень за якісним критерієм |
| title_short | Метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень за якісним критерієм |
| title_sort | метод узгоджених парних порівнянь при оцінюванні альтернатив рішень за якісним критерієм |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/33943 |
| work_keys_str_mv | AT nedashkovskayani methodofconsistentpairwisecomparisonswhileestimatingdecisionalternativesbyqualitativecriterion AT nedashkovskayani metodsoglasovannyhparnyhsravnenijpriocenivaniialʹternativrešenijpokačestvennomukriteriû AT nedashkovskayani metoduzgodženihparnihporívnânʹpriocínûvanníalʹternativríšenʹzaâkísnimkriteríêm |