Оптимальні оцінки імпульсної дії в задачі практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом
The practical stability of differential inclusions with multivalued impulse impact is studied. The properties of optimal estimations of impulse function for systems with impulse impact are justified: for nonlinear differential inclusions the optimality criterion of impulse estimate is proved. In the...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2013
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/43902 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866301495101620224 |
|---|---|
| author | Linder, Ia. M. Pichkur, V. V. |
| author_facet | Linder, Ia. M. Pichkur, V. V. |
| author_sort | Linder, Ia. M. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:16:01Z |
| description | The practical stability of differential inclusions with multivalued impulse impact is studied. The properties of optimal estimations of impulse function for systems with impulse impact are justified: for nonlinear differential inclusions the optimality criterion of impulse estimate is proved. In the case of linear differential inclusion with linear impulse impact which satisfies separation condition, the analytical expression for the evaluation of the optimal impulse, which provides practical stability of the system at a given time interval is obtained. The results are algorithmic oriented. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:18:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Я.М. Ліндер, В.В. Пічкур, 2013
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 69
УДК 517.929.4
ОПТИМАЛЬНІ ОЦІНКИ ІМПУЛЬСНОЇ ДІЇ В ЗАДАЧІ ПРАК-
ТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ВКЛЮЧЕНЬ
З ІМПУЛЬСНИМ ВПЛИВОМ
Я.М. ЛІНДЕР, В.В. ПІЧКУР
Вивчається практична стійкість диференціальних включень із багатозначними
імпульсними впливами. Обґрунтовано властивості оптимальних оцінок імпульс-
них впливів диференціальних включень: для нелінійних диференціальних
включень доведено критерій оптимальності оцінки імпульсних впливів. У ви-
падку лінійного диференціального включення з лінійними відображеннями ім-
пульсного впливу, які задовольняють умові поділу, одержано аналітичний ви-
раз для знаходження оптимальної оцінки імпульсних впливів, яка забезпечує
практичну стійкість системи на заданому часовому інтервалі. Результати ма-
ють алгоритмічну спрямованість.
ВСТУП
Системи, на які впливають короткочасні, але істотні зовнішні сили, доціль-
но описувати диференціальними рівняннями з імпульсним впливом. У робо-
тах [1–4] вивчаються питання існування, єдиності, продовжуваності, непе-
рервної залежності розв’язків від початкових умов, а також стійкості систем
із імпульсним впливом. Задачі практичної стійкості диференціальних рів-
нянь із імпульсною дією розглядаються в [5]. У роботах [5–8] побудовано
критерії практичної стійкості таких систем, одержано алгоритми для знахо-
дження екстремальних областей початкових умов та їх оптимальних оцінок.
Також у [2] розглядаються властивості розв’язків лінійних диференціальних
рівнянь із імпульсним впливом, досліджується стійкість таких систем.
За умови постійних збурень права частина системи диференціальних
рівнянь набуває багатозначного характеру [1, 9–11]. Задачі, пов’язані з ди-
ференціальними включеннями з імпульсним впливом, зараз інтенсивно до-
сліджуються. У [1,4] розглядаються питання існування, неперервної залеж-
ності від початкових умов та імпульсних впливів, продовжуваності
розв’язків диференціальних включень із імпульсним впливом. У [7] вивча-
ються властивості максимальної множини початкових умов для сильної та
слабкої стійкості диференціальних включень, наведено методи апроксимації
таких множин.
У статті обґрунтовуються властивості оптимальних оцінок багатознач-
них функцій імпульсної дії, за яких має місце внутрішня сильна стійкість
диференціальних включень із імпульсним впливом. У випадку лінійних ди-
ференціальних включень із лінійними за фазовими змінними імпульсними
впливами та за умови поділу одержано формули для обчислення оптималь-
них оцінок у аналітичному вигляді.
Будемо використовувати такі позначення: T — знак транспонування;
|||| ⋅ — евклідова норма в nR ; )(comp nR — сукупність усіх непорожніх
Я.М. Ліндер, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 70
компактних множин із nR ; )(comp nR — сукупність усіх непорожніх опук-
лих компактів із nR ; )(),( +− xfxf — відповідно ліва та права границі функ-
ції f в точці 1R∈x ; Aint — внутрішність, A∂ — границя множини A ;
1}=||:||{= xxS nR∈ — одинична сфера; }||||:{=)( εε ≤−∈ axxaK nR —
замкнена куля радіусу ε з центром у точці ;a (0)= ε
ε KAA + —
ε -розширення множини ;A ||||inf=),( xaAa
Ax
−
∈
ρ — відстань від точки a
до множини ;A ),(sup=),( BaBA
Aa
ρβ
∈
— напівметрика Хаусдорфа між мно-
жинами A та B ; )},(),,({max=),( ABBABA ββα — метрика Хаусдорфа;
0}))(,(inflim:{=)(suplim =Φ∈Φ
→→
txxt
t
n
t
ρ
ττ
R — верхня топологічна границя
відображення ;Φ )(FΓ — графік відображення ;F )(FΔ — трубка відо-
браження .F
ВЛАСТИВОСТІ ОЦІНОК ІМПУЛЬСНОЇ ДІЇ У ВИПАДКУ НЕЛІНІЙНИХ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ВКЛЮЧЕНЬ З ІМПУЛЬСНИМ ВПЛИВОМ
Розглянемо диференціальне включення з імпульсним впливом вигляду
,=,=},{1,2,...,),,[),,( 001 TtNittxF
dt
dx
Niii ττττ ∈∈∈ − (1)
1},{1,2,...,),),(()( −∈∈ − NixGx iii λττ (2)
де nx R∈ — вектор фазових координат, ,),( Dtx ∈ D — область в .1+nR
Крім того, для будь-якого }{1,2,..., Ni∈ відображення )(conv: n
i DF R→
задовольняє основним умовам на ,D тобто множина його значень непорож-
ня, обмежена, замкнена і опукла, а саме відображення напівнеперервне зверху
за t [9]. Також існують неперервні додатні функції )(tLi такі, що
||||)()),(),,(( vutLtvFtuF iii −≤α , якщо .),(),,( Dtvtu ∈ За будь-якого фік-
сованого 0>λ відображення )(conv:),()( nn
ii GG RR →⋅= λλ неперервні,
.1}{1,2,..., −∈ Ni Крім того, задана компактна множина nG R⊂ початко-
вих значень у момент часу .0t
Означення 1. Відображення )(λiG назвемо строго монотонними, якщо
для кожного 1}{1,2,...,),( −∈ NiGi λ справджуються умови:
• при імпульсних впливах ,(0)= ii GG 1}{1,2,..., −∈ Ni диференціальне
включення, (1), (2) є },),(,{ 0 TttG Φ -стійким;
• для будь-яких 21 < λλ знайдеться таке ,0>r що для всіх nx R∈ ви-
конується ),()),(( 21 λλ xGxG i
r
i ⊂ (строга монотонність);
Оптимальні оцінки імпульсної дії в задачі практичної стійкості диференціальних включень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 71
• для кожного 0>λ та довільного 0>ε існують 0>0,> 21 λλ такі,
що для всіх nx R∈ виконується ),(),(),( 21 λλλ xGxGxG iii ⊂⊂ та
,)),((),( 2
ελλ xGxG ii ⊂ ελλ )),((),( 1xGxG ii ⊂ (неперервність);
• знайдеться 0>h таке, що для кожного 0>λ існує ,0>1λ при яко-
му для всіх nx R∈ виконується включення .),()),(( 1λλ xGxG i
h
i ⊂
Задача полягає у знаходженні такого значення *λ , за якого диференціаль-
не включення (1), (2) є },),(,{ 0 TttG Φ -стійким та разом із цим для довільного
*> λλ практична },),(,{ 0 TttG Φ -стійкість вже не виконується. Таке значен-
ня *λ називається оптимальною оцінкою імпульсного впливу в задачі прак-
тичної стійкості (1), (2). Під практичною стійкістю будемо розуміти внутрі-
шню сильну практичну стійкість [7].
Позначимо ),,( 00 txtX множину досяжності диференціального вклю-
чення (1), (2), що відповідає початковій умові 00 =)( xtx . Іншими словами,
),,(=),,( 0000 txtxtxtX U , де об’єднання здійснюється за всіма розв’язками
диференціального включення (1), (2) за умови 00 )( xtx = . На кожному відріз-
ку ,],[ 1 ii ττ − }{1,2,..., Ni∈ введемо відображення ,),,(=),,(~
0000 txtXtxtX i
,),[ 1 iit ττ −∈ і ),,(suplim=),,(~
0000 txtXtxX
it
ii
τ
τ
→
. Аналогічно введемо ві-
дображення )(=)(~ tti ΦΦ , ),[ 1 iit ττ −∈ і )(suplim=)(~ t
it
ii ΦΦ
→τ
τ . Розглянемо
також позначення ),,,(~
00 λε txtX i — множина досяжності диференціального
відображення (1), (2) на інтервалі ],[ 1 iit ττ −∈ , що визначається відображен-
нями імпульсної дії ,))(( ελkG }{1,2,..., Nk∈ й початковою умовою
00 )( xtx = .
Лема 1. Є справедливим включення
}.{2,3,...,],,[),,,,(~int),,,(~
10000 NittutXtutX kkii ∈∈⊆ +ττλλ ε
Доведення. Доведемо включення ітеративним методом, починаючи з ча-
сового інтервалу .],[ 21 ττ У точці 1τ маємо:
⊆)),,,,(~(=),,,(~
*001110012 λλτλτ tuXGtuX
).,,,(~int=)),,,,(~(int 001200111 λτλλτ εε tuXtuXG⊆
Виходячи з властивостей розв’язків диференціальних включень [7],
,)()( tMtM BA ⊆ .int BA⊆ Тут )(tM A — множина досяжності диферен-
ціального включення ),(2 txF
dt
dx
∈ на інтервалі ],[ 21 ττ з початковим мо-
ментом часу 1τ й початковою множиною .nA R⊆ Отже, ⊆),,,(~
*002 λtutX
Я.М. Ліндер, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 72
,),,,(~int 002 λε tutX⊆ ],[ 21 ττ∈t та це включення, зокрема, виконується
в момент часу 2τ . Далі,
⊆)),,,,(~(=),,,(~
002220023 λλτλτ tuXGtuX
).,,,(~int=)),,,,(~(int 002300221 λτλλτ εεε tuXtuXG⊆
Продовжуючи міркування, послідовно доводимо включення на всіх інтерва-
лах до ],[ 1 NN ττ − включно. Лему доведено.
Наслідок. В умовах леми 1 для }{2,3,...,],,[ 1 Nit ii ∈∈ − ττ наявні оцінки
),,,(~)),,,(~( 00
)(
00 λλ εε tutXtutX i
r
i
i ⊆ , тобто
,)()),,,(~),,,,(~( 0000 ελλβ ε
iii rtutXtutX ≥
де )(εir — деякі неперервні функції.
Доведення. З леми 1 та з компактності )(~
⋅iX випливає, що на інтервалі
}{2,3,...,],,[ 1 Nit ii ∈∈ − ττ можна визначити додатну неперервну функцію
),( tri ε таку, що .),,,(~)),,,(~( 00
),(
00 λλ εε tutXtutX i
tr
i
i ⊆ На компакті функція
),( tri ε досягає свого мінімуму за ,t отже справедливим є включення
.),,,(~)),,,(~( 00
)(
00 λλ εε tutXtutX i
r
i
i ⊆ Наслідок доведено.
Теорема 1. Значення *λ є оптимальною оцінкою імпульсного впливу
для },),(,{ 00 TttG Φ -стійкості нульового розв’язку диференціального вклю-
чення (1), (2), тоді й тільки тоді, коли для кожного }{1,2,...,,0 NiGx ∈∈ ви-
конується )~()),(~( *0 ii xX ΦΓ⊆Γ λ та існує ,0 Gu ∈ }{2,3,..., Ni∈ таке, що
∅≠ΦΔ∩Δ )~()),(~( *0 ii uX λ .
Доведення. Необхідність. За означенням 1, для всіх ][0, *λλ ∈ наявне
співвідношення )~()),(~( *0 ii xX ΦΓ⊆Γ λ для всіх .0 Gx ∈ Припустимо, що
∅ΦΔ∩Δ =)~()),(~( *0 ii xX λ для кожного .}{2,3,..., Ni∈ Згідно теореми 4 [1]
існує 0>ε таке, що для кожного }{2,3,..., Ni∈ справджується
.)~()),(~( *0 ii xX ΦΓ⊆Γ λε Виберемо ,> *λμ для якого ,)()( * μλ ii GG ⊂
.))(()( *
ελμ ii GG ⊂ Отже, ,)~()),(~( 0 ii xX ΦΓ⊆Γ μ а це суперечить означен-
ню оптимального імпульсного впливу .)( *λiG
Достатність. З умов теореми випливає ∩Δ∈ )),(~(),( *0* λxXtz i
,)~( iΦΔ∩ причому .0* tt ≠ Оскільки ,)~()),(~( *0 ii xX ΦΓ⊆Γ λ то існує послі-
довність ,),(),( *tztz kk → )~(),( ikk tz ΦΓ∉ 1,2,...=k . Зафіксуємо довільне
*> λλ . Оскільки для деякого 0>r справджується включення ⊂r
i xG )),(( *λ
),( λxGi⊂ для всіх nx R∈ , то ,)),,,(~(),,,(~ ),(
00*00
trs
i
r
i tutXtutX λλ ⊆
,}{2,3,..., Ni∈ де 0>),( trs — неперервна функція. При цьому
Оптимальні оцінки імпульсної дії в задачі практичної стійкості диференціальних включень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 73
.),,,(~ ),(
*00*
*trsr
i ztutX ⊇λ Отже ми можемо вибрати 0>δ таке, що
}],[],[:),{()),,,(~( 1**
),(
*00
*
ii
trsr
i ttttztutX ττδδλ −∩+−∈⊃Γ . Тоді
⊃Γ⊃Γ )),,,(~()),(~( *000 λλ tutXxX r
ii
.=}],[],[:),{( 1**
),( * Ittttz ii
trs ττδδ −∩+−∈⊃
Множина I є околом точки .z Тому існує номер 0>K такий, що
Itz kk ∈),( при .> Kk Отже, )~()),(~( 0 ii xX ΦΓ⊆/Γ λ . Теорему доведено.
ОЦІНКИ ІМПУЛЬСНОЇ ДІЇ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ
ВКЛЮЧЕНЬ З ІМПУЛЬСНИМ ВПЛИВОМ
Розглянемо лінійне диференціальне включення
,=,=},{1,2,...,),,[),()( 001 TtNittUxtA
dt
dx
Niiii ττττ ∈∈+∈ − (3)
1},{1,2,...,),()()( −∈+∈ −+ NiVxBx iiii λττ (4)
де ),(tAi ,nn
iB ×∈R ,),[ 1 iit ττ −∈ )(conv:)( n
iV RR →+λ — строго моно-
тонні відображення у сенсі означення 1. Крім того, )(tAi — неперервні на
),( 1 ii ττ − , iB — невироджені матриці. Позначимо ∫
−
Θ
t
i
iii dssUsttQ
1
)(),(=)(
τ
,
де ),( stiΘ — фундаментальна матриця системи ,)(= xtA
dt
dx
i нормована
в точці s, інтеграл розглядаємо у сенсі Аумана [11]. Крім того, задана
компактна опукла множина G початкових значень у момент часу 0t .
Розглянемо багатозначне відображення )t(: ΦΦ at , яке задає фазові
обмеження. Відображення )(: tt Φ→Φ компактозначне та напівнеперервне
зверху на інтервалах }{1,2,...,),,[ 1 Nit ii ∈∈ − ττ , його графік .)( D⊂ΦΓ
Нехай при 0=λ має місце },),(,{ 0 TttG Φ -стійкість диференціального
включення (3), (4). Ми будемо шукати максимальне значення параметру ,λ
яке забезпечуватиме практичну стійкість включення (3), (4). Припустимо,
що відображення )(conv:)( n
iV RR →+λ задовольняють умову поділу, тоб-
то
iii WPV +λλ =)( ,
де )(conv, n
ii WP R∈ — опуклі компакти для всіх .1}{1,2,..., −∈ Ni Тоді
на інтервалі ],[ 0 Tt множина досяжності матиме вигляд =),,( 00 xttX
)()()( 0 tMtMxtH wp ++= λ , де
Я.М. Ліндер, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 74
,),(),(=)( 11j
1=2=
1 −−
−
− ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ΘΘ ∏∑ kjjj
k
ij
i
k
ii
p PBttM τττ
),())((),(),(=)( 11111j
1=2=
1 tQWQBBttM ikkkkjjj
k
ij
i
k
ii
w ++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ΘΘ −−−−−
−
− ∏∑ ττττ
).,[,),(),(=)( 11j
1
1=
iijjj
ij
ii tBttH τττττ −−
−
∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ΘΘ ∏
На кожному відрізку }{1,2,...,],,[ 1 Niii ∈− ττ введемо відображення
),,(=),,(~
0000 txtXtxtX i , ),[ 1 iit ττ −∈ ,
та
.),,(suplim=),,(~
0000 txtXtxX
it
ii
τ
τ
→
Аналогічно розглянемо багатозначні функції )(=)(~ tti ΦΦ , ),[ 1 iit ττ −∈ та
)(suplim=)(~ t
it
ii ΦΦ
→τ
τ . Тоді ,)()()(=),,( 000 tMtMxtHtxtX w
i
p
iii ++α де
)(=)( tHtHi , )(=)( tMtM pp
i , )(=)( tMtM ww
i , для всіх ,),[ 1 iit ττ −∈
а )(lim=)( tHH
it
ii −→τ
τ , )(lim=)( tMM p
t
i
p
i
i
−→τ
τ , .)(lim=)( tMM w
t
i
w
i
i
−→τ
τ
За теоремою 1 оцінка *λ оптимальна тоді й тільки тоді, коли для всіх
}{1,2,..., Ni∈ , ],[ 1 iit ττ −∈ , ,0 Gx ∈ S∈ψ маємо нерівність
)),(~()),(()),(()( 0 ψψψλψ tctMctMcxtH i
w
i
p
ii
T Φ≤++ (5)
та існують }{1,2,..., Nj∈ , ],[ 1 ii τττ −∈ , Gy ∈0 , S∈ξ такі, що
).),(~(=)),(()),(()( 0 ξτξτξτλτξ j
w
j
p
jj
T cMcMcyH Φ++ (6)
Тоді з (5), (6) випливає
.
)),((
)),(()()),(~(
minminmin= 0
'
],[
},{1,2,...,
*
1
0 ψ
ψψψ
λ
ψ
ττ
tMc
tMcxtHtc
p
i
w
ii
T
i
S
t
NiGx
ii
−−Φ
∈
∈
∈∈
−
При цьому 'S є множиною всіх таких S∈ψ , за яких чисельник ви-
разу (7) є невід’ємним. Оскільки =−−
∈∈
)(max=))((min 00
00
ψψ T
i
Gx
i
T
Gx
HxxtH
),( ψT
iHGc−= , то
.
)),((
)),((),()),(~(
minminmin=
'],[}{1,2,...,
*
1 ψ
ψψψ
λ
ψττ tMc
tMcHGctc
p
i
w
i
T
ii
StNi ii
−−Φ
∈∈∈ −
(7)
Оптимальні оцінки імпульсної дії в задачі практичної стійкості диференціальних включень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 75
Умова (7) означає, що незбурений розв’язок включення (3), (4) при
],0[ *λλ ∈ },),(,{ 0 TttG Φ — стійкий.
Приклад. Нехай (0)= 1KPi , }0{=iW для всіх .1}{1,2,..., −∈ Ni Крім
того, нехай (0)= 1KUi для всіх 1}{1,2,..., −∈ Ni , ),0()( )(trKt =Φ
],[ 0 TtCr ∈ , ,0>r )0(pKG = , 0>p . Тоді
||)(||=)),(( ψψ Tp ttMc Ξ , де ,),(),(=)( 1j
1=2=
1 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ΘΘΞ −
−
− ∏∑ jjj
k
ij
i
k
ii Btt τττ
,||),(||||)(||=)),(( 1 ψτψψ T
ii
Tw tttMc −Θ+ϒ
),,(),(),(=)( 21111j
1=2=
1 −−−−−
−
− Θ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ΘΘϒ ∏∑ kkkkjjj
k
ij
i
k
ii BBtt τττττ
.
||)(
||),(||||)(||||||||||)(
minminmin= 1
'],[}{1,2,...,
*
1 ψ
ψτψψψ
λ
ψττ T
T
ii
TT
i
StNi t
ttHptr
ii Ξ
Θ−ϒ−− −
∈∈∈ − ||
ВИСНОВКИ
Дослідження багатьох динамічних процесів приводить нас до задачі аналізу
динамічних систем, у яких присутня невизначеність у правій частині та на
які у фіксовані моменти часу діють короткочасові, але суттєві за силою по-
штовхи. Такі моделі можна описати у вигляді диференціальних включень
із імпульсним впливом. Крім того, у практичних задачах часто існують об-
меження, яким мають задовольняти фазові змінні у кожен момент часу, от-
же виникає задача практичної стійкості. Якщо відображення імпульсної дії
диференціального включення параметричні, то постає задача знаходження
множини параметрів імпульсних впливів, у силу яких траєкторії системи
залишаються всередині фазових обмежень. Проблеми відшукання оптималь-
них імпульсних впливів практичної стійкості диференціальних включень з ім-
пульсною дією можуть виникати, наприклад, у задачі захоплення заряджених
частинок у процес прискорення.
У цій роботі проаналізовано властивості оптимальних оцінок імпульс-
них впливів, за яких виконуються умови практичної стійкості диференціаль-
них включень з імпульсною дією. У випадку лінійних диференціальних
включень із лінійними відображеннями імпульсного впливу, що задоволь-
няють умові поділу, у статті було знайдено явний вираз для знаходження
оптимальної оцінки імпульсних впливів диференціального включення, на
основі якого можна побудувати чисельний алгоритм.
ЛІТЕРАТУРА
1. Перестюк Н.А., Плотников В.А, Самойленко А.М., Скрипник Н.В. Импульсные
дифференциальные уравнения с многозначной и разрывной правой частью. —
К.: Институт математики НАН Украины, 2007. — 428 с.
Я.М. Ліндер, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 76
2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульс-
ным воздействием. — К.: Выща школа, 1987. — 286 с.
3. Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of impulsive differential
equations. — World scientific, 1989. — 273 с.
4. Benchora M., Henderson J. Impulsive differential equations and inclusions. — Con-
temporary Mathematics and its applications, vol. 2. — Hindawi Publishing Cor-
poration, 2006. — 366 c.
5. Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Критерії практичної стійкості для динамічних
систем з імпульсним впливом // Вісник. Кібернетика. — 2002. — Вип. 3. —
С. 35–37.
6. Гаращенко Ф.Г., Хитько И.В. Максимальные по включению множества прак-
тической устойчивости импульсных систем // Кибернетика и вычислитель-
ная техника. — 2004. — Вып. 142. — С. 65–72.
7. Башняков О.М., Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Практична стійкість, оцінки та
оптимізація. — К.: Видавничо-поліграфічний центр «Київський
університет», 2008. — 383 с.
8. Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Структурно-параметрическая оп-
тимизация и устойчивость динамики пучков. — Київ: Наук. думка,
1985. — 304 с.
9. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями
и дифференциальные включения. — М.: Физматлит, 2003. — С. 265–288.
10. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. — Boston: Birkhauser, 1990. —
460 c.
11. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого ана-
лиза. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с.
Надійшла 19.03.2012
|
| id | journaliasakpiua-article-43902 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:18:55Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/38/0642c8dc25fad0a1eae85b7193d45938.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-439022018-03-30T15:16:01Z Optimal estimations of impulse influence in practical stability of differential inclusions with impulse impact Оптимальные оценки импульсного воздействия в задаче практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным влиянием Оптимальні оцінки імпульсної дії в задачі практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом Linder, Ia. M. Pichkur, V. V. The practical stability of differential inclusions with multivalued impulse impact is studied. The properties of optimal estimations of impulse function for systems with impulse impact are justified: for nonlinear differential inclusions the optimality criterion of impulse estimate is proved. In the case of linear differential inclusion with linear impulse impact which satisfies separation condition, the analytical expression for the evaluation of the optimal impulse, which provides practical stability of the system at a given time interval is obtained. The results are algorithmic oriented. Изучается практическая устойчивость дифференциальных включений с многозначными импульсными воздействиями. Обоснованы свойства оптимальных оценок импульсных воздействий дифференциальных включений: для нелинейных дифференциальных включений доказан критерий оптимальности оценки импульсных воздействий. В случае линейного дифференциального включения с линейными отображениями импульсного воздействия, которые удовлетворяют условию разделения, получено аналитическое выражение для нахождения оптимальной оценки импульсных воздействий, которая обеспечивает практическую устойчивость системы на заданном временном интервале. Результаты имеют алгоритмическую направленность. Вивчається практична стійкість диференціальних включень із багатозначними імпульсними впливами. Обґрунтовано властивості оптимальних оцінок імпульсних впливів диференціальних включень: для нелінійних диференціальних включень доведено критерій оптимальності оцінки імпульсних впливів. У випадку лінійного диференціального включення з лінійними відображеннями імпульсного впливу, які задовольняють умові поділу, одержано аналітичний вираз для знаходження оптимальної оцінки імпульсних впливів, яка забезпечує практичну стійкість системи на заданому часовому інтервалі. Результати мають алгоритмічну спрямованість. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2013-09-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/43902 System research and information technologies; No. 3 (2013); 69-76 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2013); 69-76 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2013); 69-76 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/43902/40177 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Linder, Ia. M. Pichkur, V. V. Оптимальні оцінки імпульсної дії в задачі практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом |
| title | Оптимальні оцінки імпульсної дії в задачі практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом |
| title_alt | Optimal estimations of impulse influence in practical stability of differential inclusions with impulse impact Оптимальные оценки импульсного воздействия в задаче практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным влиянием |
| title_full | Оптимальні оцінки імпульсної дії в задачі практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом |
| title_fullStr | Оптимальні оцінки імпульсної дії в задачі практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом |
| title_full_unstemmed | Оптимальні оцінки імпульсної дії в задачі практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом |
| title_short | Оптимальні оцінки імпульсної дії в задачі практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом |
| title_sort | оптимальні оцінки імпульсної дії в задачі практичної стійкості диференціальних включень з імпульсним впливом |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/43902 |
| work_keys_str_mv | AT linderiam optimalestimationsofimpulseinfluenceinpracticalstabilityofdifferentialinclusionswithimpulseimpact AT pichkurvv optimalestimationsofimpulseinfluenceinpracticalstabilityofdifferentialinclusionswithimpulseimpact AT linderiam optimalʹnyeocenkiimpulʹsnogovozdejstviâvzadačepraktičeskojustojčivostidifferencialʹnyhvklûčenijsimpulʹsnymvliâniem AT pichkurvv optimalʹnyeocenkiimpulʹsnogovozdejstviâvzadačepraktičeskojustojčivostidifferencialʹnyhvklûčenijsimpulʹsnymvliâniem AT linderiam optimalʹníocínkiímpulʹsnoídíívzadačípraktičnoístíjkostídiferencíalʹnihvklûčenʹzímpulʹsnimvplivom AT pichkurvv optimalʹníocínkiímpulʹsnoídíívzadačípraktičnoístíjkostídiferencíalʹnihvklûčenʹzímpulʹsnimvplivom |