Канонічний вид білінійної форми на парі просторів, що знаходяться у відношенні двоїстості
The linear spaces, which are in relation of duality: the bilinear functionals on pairs of dual spaces, which satisfy a certain condition of nondegeneracy, are studied. Duality theory clarifies certain properties of bilateral symmetry of linear spaces quite difficult to visualize, but absolutely fund...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2013
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/45845 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334242833268736 |
|---|---|
| author | Maltsev, A. Yu. |
| author_facet | Maltsev, A. Yu. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "A. Yu. Maltsev",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Maltsev, A. Yu. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:14:54Z |
| description | The linear spaces, which are in relation of duality: the bilinear functionals on pairs of dual spaces, which satisfy a certain condition of nondegeneracy, are studied. Duality theory clarifies certain properties of bilateral symmetry of linear spaces quite difficult to visualize, but absolutely fundamental. In particular dualism "wave – particle" in quantum physics finds adequate mathematical interpretation in the language of linear duality of linear spaces. Therefore, all the results of the mathematical theory of duality are useful for understanding the specific physical phenomena. The theory of quantized fields in quantum field theory was a natural development of the principle of corpuscular-wave dualism. A theorem on bringing a bilinear form on a pair of spaces which are in duality relation to the canonical form is proved. The method of constructing the canonical basis is found. The analogs of the theorem Feature for linear and bilinear functionals are presented. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:19:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.Ю. Мальцев, 2013
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 2 121
TIДC
НОВІ МЕТОДИ
В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ, ІНФОРМАТИЦІ
ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 512.64
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД БИЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ
НА ПАРЕ ПРОСТРАНСТВ, НАХОДЯЩИХСЯ В ОТНОШЕНИИ
ДВОЙСТВЕННОСТИ
А.Ю. МАЛЬЦЕВ
Изучаются линейные пространства, находящиеся в двойственности: рассмот-
рены билинейные функционалы на парах двойственных пространств, удовле-
творяющие некоторому условию невырожденности. Теория двойственности
проясняет определённые свойства двухсторонней симметрии линейных
пространств достаточно сложные для наглядного представления, однако абсо-
лютно фундаментальные. В частности, дуализм «волна-частица» в квантовой
физике находит адекватное математическое истолкование именно на языке
линейной двойственности линейных пространств. Поэтому все результаты ма-
тематической теории двойственности являются полезными для понимания
природы конкретных физических явлений. Теория квантованных полей
в квантовой теории поля стала естественным развитием принципа корпуску-
лярно-волнового дуализма. Доказана теорема про приведение билинейного
функционала на паре пространств, находящихся в двойственности, к канони-
ческому виду. Найден способ построения канонического базиса. Приведены
аналоги теоремы Рисса для линейного и билинейного функционалов.
ВВЕДЕНИЕ
Теория двойственности приобрела своё название благодаря тому, что она
проясняет некоторые свойства двухсторонней симметрии линейных про-
странств, достаточно сложные для наглядного представления, но абсолютно
фундаментальные. Укажем лишь на тот факт, что дуализм «частица-волна»
в квантовой физике находит адекватное математическое истолкование
именно на языке линейной двойственности линейных пространств [1]. По-
этому разработка математической теории двойственности имеет очень
большое прикладное значение.
Корпускулярно-волновой дуализм — принцип, согласно которому лю-
бой объект может проявлять как волновые, так и корпускулярные свойства
[2]. Этот принцип возник при разработке квантовой механики и необходим
для интерпретации явлений, которые наблюдаются в микромире, с точки
зрения классических концепций. Дальнейшим развитием принципа корпус-
кулярно-волнового дуализма стала теория квантованых полей в квантовой
теории поля [3].
Известно какую существенную роль играет теорема про приведение
билинейной формы в евклидовом и унитарном пространстве к каноничес-
А.Ю. Мальцев
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 2 122
кому виду, например при построении теории самосопряжённых операторов
[4], [5], [6]. Эта теорема так же является принципиальной для разнообраз-
нейших приложений линейной алгебры. В данной статье исследуются били-
нейные функционалы, которые заданы на паре пространств, находящихся в
отношении двойственности. Предлагается процедура приведения таких фу-
нкционалов к каноническому виду. Найдено обобщение теоремы Рисса для
линейных функционалов на паре двойственных пространств.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение 1. Билинейной формой на паре линейных пространств L и M
(над полем Χ ) называется отображение C→× MLB : , которое обладает
следующими свойствами:
1. );,(),(),(:,, zyBzxBzyxBMzLyx rrrrrrrrrr
+=+∈∀∈∀
2. );,(),(:,, zxBzxBMzLx rrrrrr
ααα =∈∀∈∀∈∀ Χ
3. );,(),(),(:,, zxByxBzyxBMzyLx rrrrrrrrrr
+=+∈∀∈∀
4. ).,(),(:,, zxBzxBMzLx rrrrrr ααα =∈∀∈∀∈∀ Χ
Замечание. Более традиционно называть отображения, удовлетворяю-
щие указанным условиям полуторалинейными функционалами. Однако
здесь нам удобнее использовать именно приведенную терминологию.
Определение 2. Будем говорить, что пара линейных пространств L
и M находится в отношении двойственности относительно билинейной фо-
рмы Χ→× MLB : , если выполнены следующие условия:
1. Если равенство 0),( 0 =yxB rr
выполняется для любых My∈r , то .00
rr
=x
2. Если равенство 0),( 0 =yxB rr выполняется для любых Lx∈r , то .00
rr
=y
Сразу отметим, что отношение «находиться в двойственности» являет-
ся симметричным. Это следует из почти очевидного утверждения.
Утверждение 1. Если пространства L и M находятся в двойственнос-
ти относительно формы B , то пространства M и L находятся в двойствен-
ности относительно формы 1B , которая определяется формулой: =),(1 xyB rr
),( yxB rr
= .
Доказательство. Для доказательства утверждения достаточно убедить-
ся, что для отображения Χ→× LMB :1 выполняются условия 1−4 опреде-
ления 1, если они выполнены для отображения Χ→× MLB : . Но это совер-
шенно очевидно.
Итак, объектом нашего исследования будут билинейные функционалы,
заданные на паре пространств, находящихся в двойственности.
Цель работы — получить обобщение теоремы про приведение били-
нейного функционала в евклидовом пространстве к каноническому виду на
случай пары пространств, находящихся в двойственности. Так же будет выяс-
нено, применима ли к таким функционалам классическая теоремы Рисса.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Если рассмотреть билинейный функционал в евклидовом пространстве, то
можно найти такой базис, в котором функционал можно представить как
Канонический вид билинейной формы на паре пространств, находящихся в отношении …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 2 123
сумму произведений координат соответствующих векторов. Возникает во-
прос, можно ли так выбрать базисы в паре двойственных пространств, что-
бы билинейный функционал в данной паре базисов так же можно было бы
представить как сумму произведений координат соответствующих векторов.
Следующие две теоремы дают ответ на поставленный вопрос.
Теорема 1. Пусть L и M
— конечномерные линейные пространства.
L и M находятся в отношении двойственности (относительно некоторой
билинейной формы) тогда и только тогда, когда .dimdim ML =
Доказательство. Пусть ;dim mL = .dim nM = Пусть },...,{ 1 mee rr — ба-
зис в L ; },...,{ 1 nff
rr
— базис в .M Возьмём произвольный вектор xr из L
и yr из M и разложим их по соответствующим базисам: ;
1
∑
=
=
m
i
ii exx rr
∑
=
=
n
j
jj fyy
1
rr
. Используя условия 1−4 определения 1, можем написать, что
∑∑
= =
=
m
i
n
j
jiji yxfeByxB
1 1
.),(),(
rrrr Если обозначить ),( ji feB
rr
как ija , то имеет
место формула
∑∑
= =
=
m
i
n
j
jiij yxayxB
1 1
),( rr . (1)
Матрицу )( ija будем называть матрицей билинейной формы .B
Теперь используем тот факт, что пространства L и M находятся в от-
ношении двойственности относительно билинейной формы .B Пусть для
любого Lx∈r верно, что 0),( 0 =yxB rr , где .
1
0
0 ∑
=
=
m
j
jj fyy
rr
Поскольку равен-
ство ∑∑
= =
=
m
i
n
j
iij j
yxa
1 1
0 0 выполняется для любых Lx∈r , то, положив последо-
вательно meeex rrrr ,...,, 21= , получим следующую систему линейных алгебраи-
ческих уравнений (относительно переменных 0
jy ):
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
n
j
jmj
n
j
jj
n
j
jj
ya
ya
ya
1
0
1
0
2
1
0
1
.0
....................
,0
,0
(2)
Система (2) должна иметь только тривиальное решение. Размерность
пространства решений — это разность количества переменных и ранга ос-
новной матрицы системы. Следовательно, ранг основной матрицы системы
А.Ю. Мальцев
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 2 124
должен равняться n . А поэтому nm ≥ , поскольку ранг матрицы не может
превосходить количества её строк.
Аналогичные соображения ( xr и yr меняются местами) приводят к вы-
воду, что mn ≥ . Итак, nm = . Теорема полностью доказана.
Теперь собственно сформулируем теорему про приведение билинейной
формы, которая задана на паре пространств, находящихся в двойственности,
к каноническому виду.
Теорема 2. Пусть L и M — линейные пространства, находящиеся
в двойственности относительно билинейной формы B
и имеющие одинако-
вую размерность .n Тогда существуют такие базисы },,...,{ 1 nee rr },...,{ 1 ngg rr
в
L и M соответственно, что ∑
=
=
n
i
ii yxyxB
1
),( rr , где ;
1
∑
=
=
n
i
ii exx rr
.
1
∑
=
=
n
j
jj gyy rr
Доказательство. Из доказательства предыдущей теоремы вытекает,
что ранг основной матрицы системы (2) равен n . Поэтому определитель
этой матрицы не равен нулю и существует обратная к ней матрица, которую
обозначим n
jiijcC 1,)( == . Пусть },...,{ 1 ngg rr — новый базис в ,M который
связан с базисом },...,{ 1 nff
rr
соотношениями
.,...,2,1,
1
nkfcg
n
i
iikk ==∑
=
rr
Тогда, исходя из формулы (1), для того чтобы записать билинейную
форму в паре базисов },,...,{ 1 nee rr
},...,{ 1 nff
rr
надо вычислить соответствую-
щие коэффициенты ),( jiij geBa rr
=′ . Итак, проводим необходимые выкладки:
∑∑∑
=== ⎩
⎨
⎧
=
≠=⋅==⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==′
n
i
kiik
n
i
kikj
n
k
kkjijiij ji
jicafeBcfceBgeBa
111
.,1
,,0),(,),(
rrrrrrr
Окончательно, принимая во внимание формулу (1), (естественно, вместо
ija нужно использовать ija′ ) будем иметь ∑
=
=
n
i
ii yxyxB
1
),( rr , где ;
1
∑
=
=
n
i
ii exx rr
.
1
∑
=
=
n
j
jj gyy rr
Теорема полностью доказана.
Большую роль в теории евклидовых пространств играет теорема Рисса
для линейного и билинейного функционалов. Сейчас будут приведены
обобщения упомянутых теорем на случай пары конечномерных про-
странств, находящихся в отношении двойственности относительно некото-
рой билинейной формы B .
Теорема 3. Пусть L и M — n -мерные линейные пространства, нахо-
дящиеся в двойственности относительно билинейной формы .B Пусть
Χ→L:ϕ — линейный функционал. Тогда существует причём единствен-
ный вектор Mz ∈r для которого равенство ),()( zxBx rrr
=ϕ выполняется для
всех Lx∈r .
Канонический вид билинейной формы на паре пространств, находящихся в отношении …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 2 125
Доказательство. Пусть ∑
=
=
n
i
ii exx
1
rr — произвольный вектор из L . Ис-
пользуя линейность функционала ϕ можем написать =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∑
=
n
i
iiexx
1
))( rr
ϕϕ
.)(
1
∑
=
=
n
i
ii ex rϕ С другой стороны, если ∑
=
=
n
j
jj fyy
1
rr
— произвольный вектор
из ,M ссылаясь на (1) будем иметь, ∑∑
= =
==
n
i
n
j
jiij yxayxB
1 1
),( rr
.
11 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∑∑
==
n
j
jij
n
i
i yax Исходя из двух последних равенств, будем выбирать
координаты yr
таким образом, чтобы они удовлетворяли следующую сис-
тему линейных алгебраических уравнений:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
n
j
nnj
n
j
j
n
j
jj
eya
eya
eya
j
j
1
1
22
1
11
.)(
.............................
),(
,)(
r
r
r
ϕ
ϕ
ϕ
Поскольку основная матрица системы невырождена, система имеет и при-
том единственно решение. Итак, пусть ),...,,( 21 nzzz — решение системы.
Тогда вектор ∑
=
=
n
j
jj fzz
1
rr
такой, что ),()( zxBx rrr
=ϕ для всех .Lx∈r
Переходим к доказательству единственности. Пусть для всех :Lx∈r
).,(),()( 21 zxBzxBx rrrrr
==ϕ Тогда 0),( 21 =− zzxB rrr
для всех Lx∈r . Из условия
2 определения 2 вытекает, что 021 =− zz rr . Значит, 21 zz rr
= . Теорема полнос-
тью доказана.
Теорема 4. Пусть L и M — конечномерные линейные пространства,
находящиеся в двойственности относительно билинейной формы .B Пусть
Χ→×MLB :2 — билинейная форма. Тогда существует, причём единст-
венный линейный оператор MMA →: , для которого формула =),(2 yxB rr
),( yAxB rr
= имеет место для всех Lx∈r и для всех .My∈r
Доказательство. Определим отображение Χ→Ly :rϕ формулою
),()( 2 yxBxy
rrr
r =ϕ . Ясно, что yrϕ — линейный функционал на пространстве L .
Поэтому, по теореме 3 существует и притом единственный вектор
Myzz ∈= )(rr , для которого выполняется равенство ))(,()( yzxBxy
rrrr
r =ϕ для
всех Lx∈r . Зависимость )(yzz rr
= обозначим буквой A . Тогда будем иметь,
что для любого Lx∈r и для любого My∈r справедлива формула
),(),(2 yAxByxB rrrr
= . Осталось доказать, что A — линейное отображение.
А.Ю. Мальцев
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 2 126
Пусть 21,αα — произвольные константы, Myy ∈21, rr — произвольные
векторы. С одной стороны
=+=+ ),(),(),( 22212122112 yxByxByyxB rrrrrrr αααα
).,(),(),( 22112211 yAyAxByAxByAxB rrrrrrr αααα +=+=
С другой стороны
)).(,(),( 221122112 yyAxByyxB rrrrrr αααα +=+
Поэтому, учитывая два последних равенства, получим, что
22112211 )( yAyAyyA rrrr
αααα +=+ . Теорема полностью доказана.
Замечание. Ясно, что аналогично можно доказать следующее утверж-
дение: Пусть L и M — конечномерные линейные пространства, находящи-
еся в отношении двойственности относительно билинейной формы .B
Пусть Χ→×MLB :2 — билинейная форма. Тогда существует причём
единственный линейный оператор LLA →: такой, что для любого Lx∈r и
для любого My∈r имеет место формула ),(),(2 yxAByxB rrrr
= .
ВЫВОДЫ
Найден критерий того, что пара конечномерных линейных пространств на-
ходится в отношении двойственности. Указан канонический вид билиней-
ных функционалов на таких парах. Отметим, что доказательство теоремы 2
является конструктивным. Поэтому, фактически получен алгоритм построе-
ния пары базисов, в которой функционал имеет каноническую форму. Для
билинейных функционалов на парах двойственных пространств доказан
аналог теоремы Рисса для билинейных функционалов в евклидовых про-
странствах.
Полученные результаты имеют прикладное значение. Это объясняется
следующими соображениями. Пространство состояний любой квантовой
системы является линейным пространством над полем комплексных чисел
[3]. Поэтому конструкции комплексной линейной алгебры широко исполь-
зуются для формулировки фундаментальных законов природы. В частности,
благодаря линейной теории двойственности можно обосновать квантовый
принцип дополнительности Бора [3]. А поэтому дальнейшее развитие этой
теории является актуальной и практически важной задачей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Weinberg S. The Quantum Theory of Fields, Vol. 1: Foundations. — NY: Cam-
bridge University Press, 1995. — 400 p.
2. Cao T.Y. Conceptual Developments of 20th Century. Field Theories. — NY: Cam-
bridge University Press, 1998. — 456 p.
3. Weinberg S. The Quantum Theory of Fields, Vol. 2: Modern applications. —
NY: Cambridge University Press, 1995. — 502 p.
4. Морен К. Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 с.
5. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 443 с.
6. Рисс Ф., Секифальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир,
1979. — 592 с.
Поступила 11.12.2012
|
| id | journaliasakpiua-article-45845 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:19:13Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/78/72af862744e566cbe12db946aa1ba978.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-458452018-03-30T15:14:54Z The canonical mode of the bilinear form on a pair of spaces which are in duality relation Канонический вид билинейной формы на паре пространств, находящихся в отношении двойственности Канонічний вид білінійної форми на парі просторів, що знаходяться у відношенні двоїстості Maltsev, A. Yu. The linear spaces, which are in relation of duality: the bilinear functionals on pairs of dual spaces, which satisfy a certain condition of nondegeneracy, are studied. Duality theory clarifies certain properties of bilateral symmetry of linear spaces quite difficult to visualize, but absolutely fundamental. In particular dualism "wave – particle" in quantum physics finds adequate mathematical interpretation in the language of linear duality of linear spaces. Therefore, all the results of the mathematical theory of duality are useful for understanding the specific physical phenomena. The theory of quantized fields in quantum field theory was a natural development of the principle of corpuscular-wave dualism. A theorem on bringing a bilinear form on a pair of spaces which are in duality relation to the canonical form is proved. The method of constructing the canonical basis is found. The analogs of the theorem Feature for linear and bilinear functionals are presented. Изучаются линейные пространства, находящиеся в двойственности: рассмотрены билинейные функционалы на парах двойственных пространств, удовлетворяющие некоторому условию невырожденности. Теория двойственности проясняет определённые свойства двухсторонней симметрии линейных пространств достаточно сложные для наглядного представления, однако абсолютно фундаментальные. В частности, дуализм "волна-частица" в квантовой физике находит адекватное математическое истолкование именно на языке линейной двойственности линейных пространств. Поэтому все результаты математической теории двойственности являются полезными для понимания природы конкретных физических явлений. Теория квантованных полей в квантовой теории поля стала естественным развитием принципа корпускулярно-волнового дуализма. Доказана теорема про приведение билинейного функционала на паре пространств, находящихся в двойственности, к каноническому виду. Найден способ построения канонического базиса. Приведены аналоги теоремы Рисса для линейного и билинейного функционалов. Вивчаються лінійні простори, що знаходяться у відношенні двоїстості: розглянуто білінійні функціонали на парах двоїстих просторів, які задовольняють деяку умову невиродженості. Теорія двоїстості з’ясовує певні властивості двосторонньої симетрії лінійних просторів досить складні для наглядного представлення, але абсолютно фундаментальні. Зокрема дуалізм "хвиля – частка" у квантовій фізиці знаходить адекватне математичне тлумачення саме на мові лінійної двоїстості лінійних просторів. Тому всі результати математичної теорії двоїстості є корисними для розуміння конкретних фізичних явищ. Теорія квантованих полів у квантовій теорії поля стала природнім розвитком принципу корпускулярно-хвильового дуалізму. Доведено теорему про приведення білінійної форми на парі просторів, що знаходяться у відношенні двоїстості, до канонічного виду. Знайдено спосіб побудови канонічного базису. Наведено аналоги теореми Риса для лінійного та білінійного функціоналів. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2013-06-19 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/45845 System research and information technologies; No. 2 (2013); 121-126 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2013); 121-126 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2013); 121-126 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/45845/42019 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Maltsev, A. Yu. Канонічний вид білінійної форми на парі просторів, що знаходяться у відношенні двоїстості |
| title | Канонічний вид білінійної форми на парі просторів, що знаходяться у відношенні двоїстості |
| title_alt | The canonical mode of the bilinear form on a pair of spaces which are in duality relation Канонический вид билинейной формы на паре пространств, находящихся в отношении двойственности |
| title_full | Канонічний вид білінійної форми на парі просторів, що знаходяться у відношенні двоїстості |
| title_fullStr | Канонічний вид білінійної форми на парі просторів, що знаходяться у відношенні двоїстості |
| title_full_unstemmed | Канонічний вид білінійної форми на парі просторів, що знаходяться у відношенні двоїстості |
| title_short | Канонічний вид білінійної форми на парі просторів, що знаходяться у відношенні двоїстості |
| title_sort | канонічний вид білінійної форми на парі просторів, що знаходяться у відношенні двоїстості |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/45845 |
| work_keys_str_mv | AT maltsevayu thecanonicalmodeofthebilinearformonapairofspaceswhichareindualityrelation AT maltsevayu kanoničeskijvidbilinejnojformynapareprostranstvnahodâŝihsâvotnošeniidvojstvennosti AT maltsevayu kanoníčnijvidbílíníjnoíforminaparíprostorívŝoznahodâtʹsâuvídnošennídvoístostí AT maltsevayu canonicalmodeofthebilinearformonapairofspaceswhichareindualityrelation |