Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування
An approach to identification of the mathematical expectation of acceleration of values change of data samples, which varies according to an unknown law, is presented in this article. An estimation method of mathematical expectation of values acceleration of change of data samples is developed, whic...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2015
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/54477 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334251528060928 |
|---|---|
| author | Bratus, E. V. Podladchikov, V. N. |
| author_facet | Bratus, E. V. Podladchikov, V. N. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "E. V. Bratus",
"institution": "здобувач наукового ступеня кандидата технічних наук кафедри математичних методів системного аналізу Навчально-наукового комплексу \"Інститут прикладного системного аналізу\" НТУУ \"КПІ\", Україна, Київ"
},
{
"author": "V. N. Podladchikov",
"institution": "професор кафедри математичних методів системного аналізу Навчально-наукового комплексу \"Інститут прикладного системного аналізу\" НТУУ \"КПІ\" МОН та НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Bratus, E. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2016-07-21T13:43:12Z |
| description | An approach to identification of the mathematical expectation of acceleration of values change of data samples, which varies according to an unknown law, is presented in this article. An estimation method of mathematical expectation of values acceleration of change of data samples is developed, which is used to construct a forecasting algorithm based on the Kalman filter. An imitation modeling was performed, which showed the effectiveness of the suggested approach. The forecasting algorithm model based on the Kalman filter, autoregressive model and autoregressive moving average model are constructed using the daily average of the lead prices on the London Metal Exchange, and forecasting is done on the same data set. A comparative analysis of presented models, using the characteristics of forecasting values showed the advantage of the forecasting algorithm based on the Kalman filter. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:19:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
О.В. Братусь, В.М. Подладчіков, 2015
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 131
УДК 338.27
ІДЕНТИФІКАЦІЯ ЗМІННИХ ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛІ
ДЛЯ ПОБУДОВИ АЛГОРИТМУ ПРОГНОЗУВАННЯ
О.В. БРАТУСЬ, В.М. ПОДЛАДЧІКОВ
Запропоновано підхід до ідентифікації математичного сподiвання прискорення
змiни значень вибiрки даних, що змінюється за невідомим законом. Розробле-
но метод оцінювання математичного сподiвання прискорення змiни значень
вибiрки даних, який використано для побудови алгоритму прогнозування на
основі фільтра Калмана. Виконано імітаційне моделювання, яке показало
ефективність запропонованого підходу. За даними щодо середньодобових цін
Лондонської біржі металів на свинець побудовано модель за алгоритмом про-
гнозування на основі фільтра Калмана, а також моделі авторегресії, авторегре-
сії з ковзним середнім та виконано за ними прогнозування. Порівняльний ана-
ліз розглянутих моделей за значеннями прогнозних характеристик показав
перевагу алгоритму прогнозування на основі фільтра Калмана.
ВСТУП
Оптимальність алгоритмів оцінювання на основі фільтра Калмана у великій
мірі залежить від достовірності знання параметрів у рівняннях, що описують
систему. Але у більшості практичних випадків є неповними знання чисель-
них значень усіх або декількох характеристик вказаних параметрів. Хоча
зазвичай, виходячи з фізичних міркувань, можна задати наближений діапа-
зон невідомих параметрів, проте якість результатів може виявитись невисо-
кою.
Через невизначеність параметрів задача оцінювання стану ускладню-
ється, оскільки виявляється необхідним паралельно оцінювати не тільки
стан, але й параметри, використовуючи дані вимірів. Для розв’язання задачі
ідентифікації параметрів запропоновано багато методів, широкий перелік
яких наведено у статті Острема та Ейкоффа [1], у роботі за редакцією
К.Т. Леондеса [2]. Основна увага у цій статті приділяється розробці методу,
який був би однаково придатним для ідентифікації як постійних, так і таких,
що змінюються за невідомим законом, параметрів системи.
У цій роботі запропоновано підхід до ідентифікації змінних статистич-
них параметрів моделі, що базується на формуванні однозалежного ряду
нев’язок допоміжного субоптимального фільтра. Підхід було застосовано
Андерсоном та ін. [3] для ідентифікації постійних невідомих статистичних
характеристик параметрів стаціонарної системи за умови вимірюваності
усіх компонентів вектора стану, тобто одиничної матриці спостережень.
У роботі М.З. Згуровського та В.М. Подладчікова [4] цей підхід узагальнено
для стаціонарної системи для випадку, коли вимірюються не всі компоненти
вектора стану. Т.В. Подладчіковою та Р. Ван Дер Лінденом у роботі [5] син-
тезовано алгоритм ідентифікації постійних статистичних характеристик
шумів моделі за умов змінних перехідної матриці та матриці спостережень.
О.В. Братусь, В.М. Подладчіков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 132
У статті запропоновано розширення цього підходу для ідентифікації
змінних параметрів. Розглядається математична модель, у якій компонента-
ми вектора стану є значення часового ряду та швидкість зміни цих значень
[4], що збурюється випадковим прискоренням, математичне сподівання яко-
го змінюється за невідомим законом.
Мета роботи — здійснення переходу від ідентифікації постійних до
ідентифікації змінних статистичних параметрів математичної моделі.
Розроблено метод оцінювання математичного сподівання випадкового
прискорення змiни значень вибiрки даних. Запропонований метод базується
на побудові часового ряду однозалежних псевдовимірів для цього парамет-
ру моделі. Для дослідження ефективності розробленого методу ідентифіка-
ції у цій статті виконується імітаційне моделювання.
З використанням запропонованого методу оцінювання математичного
сподiвання прискорення змiни значень вибiрки даних виконується побудова
алгоритму прогнозування на основі фільтра Калмана. Для аналізу запропо-
нованого алгоритму прогнозування використовується імітаційне моделю-
вання. За допомогою алгоритму прогнозування на основі фільтра Калмана
та методів авторегресії, авторегресії з ковзним середнім виконується про-
гнозування цін на свинець для вибірки даних середньодобових цін Лондон-
ської біржі металів, аналізуються та порівнюються отримані результати.
МАТЕМАТИЧНА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розглянемо математичну модель у просторі станів, що описується системою
рівнянь, яка містить рівняння стану та рівняння вимірів. У рівнянні стану
враховується зміна значень вибірки даних завдяки впливу випадкових при-
скорень.
Рівняння стану має вигляд [4]
iii aGΦXX 1 , (1)
де
i
i
i v
x
X — вектор стану,
10
1 T
Φ — перехідна матриця,
T
T 2/2
G —
матриця входів, ix — i -те значення вибірки даних, iv — швидкість зміни
i -того значення вибірки даних, T — проміжок часу між i -тим та )1( i -м
станами, ia — випадкове прискорення зміни значень вибірки даних з на-
ступними статистичними властивостями
*][ qaE i , )()()])([( 2*** kiqaqaE aki ,
де *q — математичне сподівання прискорення зміни значень вибірки даних,
*
a — дисперсія прискорення зміни значень вибірки даних, )( ki — зна-
чення дельта-функції Дірака в )( ki -й момент часу.
За умов, коли вимірюються значення вибірки даних за наявності адити-
вного шуму, рівняння вимірів має вигляд [4]:
iii WZ ΗX , (2)
де 0 1Η — матриця спостережень, iW — шум вимірів у i -й момент часу
з наступними статистичними властивостями:
Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 133
0][ iWE , )()(][ 2* kiWWE ki ,
де * — дисперсія шуму вимірів. Статистичні характеристики ,*q *
a та
* вважаються апріорно невідомими.
У роботі ставиться задача розробки методу оцінювання математичного
сподiвання *q прискорення змiни значень вибiрки даних для випадку, коли
цей параметр не є постійним і змінюється за невідомим законом. З викорис-
танням запропонованого методу оцінювання математичного сподiвання *q
виконується побудова алгоритму прогнозування на основі фільтра Калмана.
ІДЕНТИФІКАЦІЯ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДІВАННЯ ПРИСКОРЕННЯ
Алгоритм ідентифікації
З рівнянь (1)–(2) випливає, що використовуючи кожні два послідовних ви-
міри iZ та 1iZ можна побудувати оцінку вектора стану з кінцевою диспер-
сією похибки цієї оцінки [4]. Використовуючи допоміжний фільтр з фіксо-
ваною пам’яттю ,2m оцінку вектора стану визначимо наступним
чином [4]:
ni
T
ZZ
Z
ii
i
i ,...,3,2 ,
1
)2(^
X ,
де iZ — оцінка i -го значення вибірки даних,
T
ZZ ii 1
— оцінка швидкості
зміни i -го значення вибірки даних.
Тоді нев’язка фільтра з фіксованою пам’яттю 2m розраховується за
наступною формулою, обгрунтування якої докладно показано у [6]:
21
)2( 2 iiii ZZZ . (3)
Середнє значення нев’язки може бути представлено у вигляді лінійної
функції параметра ,*q що підлягає ідентифікації, наступним чином [4]:
*2)2( ][ qTE i .
Звідси випливає, що шляхом усереднення однозалежної послідовності
2
)2(
T
i можна отримати консистентну оцінку математичного сподівання *q [4]:
n
i
in
nT
q
2
)2(
2
^ 1 .
У цій роботі запропоновано побудувати ряд однозалежних псевдовимі-
рів математичного сподівання *q прискорення зміни значень вибірки даних,
де значення ряду в i -й момент часу розраховується за наступною фор-
мулою:
О.В. Братусь, В.М. Подладчіков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 134
.,...,4,3,
2
)2(
)( ni
T
Z ii
q
(4)
Для оцінювання параметра ,*q що змінюється у часі, до отриманого ря-
ду однозалежних псевдовимірів пропонується застосовувати процедуру екс-
поненційного згладжування, яка широко використовується для оцінювання
та прогнозування динамічних процесів за умов відсутності повної та надій-
ної інформації про закономірності їх розвитку [7]. Експоненційне згладжу-
вання відфільтровує стохастичну компоненту нев’язок допоміжного фільт-
ра, зумовлену шумами вимірів niWi ,...,2,1, та враховує динаміку процесу
зміни ,*q оскільки останній псевдовимір використовується з більшим ваго-
вим коефіцієнтом у той час, коли вагові коефіцієнти попередніх псевдови-
мірів зменшуються за експоненційним законом.
Запропоновано метод, що полягає в оцінюванні значення *q за допомо-
гою застосування процедури експоненційного згладжування до значень ряду
однозалежних псевдовимірів зі значенням початкового наближення, рівним
першому значенню ряду псевдовимірів, наступним чином:
)1(^)(
)(^
*α)(1*α
i
i
q
i
qZq , (5)
де
)(^ i
q — значення експоненційного середнього в i -й момент часу; —
параметр згладжування, 10 ;
)1(^ i
q — значення експоненційного серед-
нього в )1( i -й момент часу; ni ,...,3 — моменти часу, на які здійснював-
ся прогноз [7].
Критерієм вибору оптимального значення параметру згладжування
є мінімізація значення середньої відсоткової абсолютної похибки MAPE, що
обчислюється за наступною формулою [8]:
n
i
i
q
i
i
q
Z
qZ
n
MAPE
1
)(
)(^)(
%100
||
||
*
1
.
Імітаційне моделювання
Для дослідження ефективності розробленого методу ідентифікації матема-
тичного сподівання *q для випадку, коли цей параметр не є постійним
і змінюється за невідомим законом, виконується його імітаційне моделю-
вання. Випадковий процес моделюється за рівняннями (1)–(2), кількість то-
чок для моделювання обрано як 100n та період часу 1T є незмінним.
Прискорення ia визначається як випадкова величина з дисперсією
2* )( a та математичним сподіванням ,)(iq що змінюється за косинусоїдаль-
ним законом:
nii
π
* q i ,...,2,1,10
60
cos10)(
.
Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 135
Шум вимірів iW моделюється як випадкова величина з дисперсією
2*)( та нульовим математичним сподіванням.
Результати імітаційного моделювання наведено на рис. 1.
З рис. 1 видно, що зі збільшенням часу спостереження значення експо-
ненційних середніх ,
)(^ i
q розраховані за формулою (5), наближаються до
істинних значень. На інтервалі ]10;3[T похибка оцінок
)(^ i
q зменшується
і після цього інтервалу переважно не перевищує 15% від істинних значень.
АЛГОРИТМ ПРОГНОЗУВАННЯ НА ОСНОВІ ФІЛЬТРА КАЛМАНА
Застосування фільтра Калмана дає можливість отримати досить надійні
оцінки в умовах неповної інформації про процес, що досліджується [2].
Оцінювання параметрів, що подаються на вхід фільтра Калмана, дає змогу
покращити його роботу та отримати у результаті більш точні оцінки. Саме
тому у статті розроблений метод оцінювання математичного сподівання *q
прискорення зміни значень вибірки даних застосовується для підвищення
точності та надійності прогнозу, є складовою частиною побудованого алго-
ритму прогнозування на основі фільтра Калмана.
Алгоритм прогнозування на основі фільтра Калмана складається з на-
ступних етапів:
1. За розробленим методом оцінювання математичного сподівання *q
виконується ідентифікація значень
)(^ i
q для ni ,...,4,3 .
Рис. 1. Значення )(iq та
)(^ i
q при істинних значеннях 10)( 2* a , 50)( 2* ,
де — істинні значення ,)(iq … — оцінки ,
)(^ i
q обчислені за розробленим методом
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-10
0
10
20
30
40
50
60
q(
T)
T
О.В. Братусь, В.М. Подладчіков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 136
2. Оцінювання значення 2
)(^
)(
i
a для ni ,...,5,4 за алгоритмом, наведе-
ним у [4].
Алгоритм оцінювання дисперсії прискорення зміни значень вибірки
даних 2* )( a як складову частину містить у собі побудову стаціонарного
фільтра з пам’яттю 2m та з пам’яттю .3m Нев’язки фільтра з пам’яттю
2m розраховуються за формулою (3). Нев’язки фільтра з пам’яттю 3m
розраховуються за формулою [4]:
321
)3(
3
2
3
1
3
4
iiiii ZZZZ .
Їх кореляційна функція обчислюється наступним чином [4]:
2*4
1 )(
12
7
aTC .
Оцінка кореляційної функції нев’язок розраховується за формулою [4]:
i
j
j
j
j
j TqTq
i
C
4
2)1(^)2(
1
2
)(^)3(
^
1 ))(
3
5
(
3
1 .
Оцінка дисперсії прискорення зміни значень вибірки даних розрахову-
ється таким чином [4]:
.
7
12
)( 1
^
4
2
)(^
C
T
i
a
3. Оцінювання значення 2
)(^
)(
i
для ni ,...,5,4 за підходом, наведеним
у [4], з застосуванням центрованих значень нев’язок )2(
i для оцінювання
дисперсії нев’язок )2(
i .
Оцінка дисперсії нев’язок )2(
i стаціонарного фільтра під час викорис-
тання прорідженої послідовності нев’язок розраховується за наступною
формулою:
2
1
2
22
)12(^)2(
120
^
)(
1
2
i
j
j
j Tq
i
C .
Оцінка 2
)(^
)(
i
розраховується таким чином [4]:
4
2
)(^
0
^
2
)(^
12
)(
6
)( T
C
i
ai .
4. Побудова фільтра Калмана з використанням отриманих на кроках
1–3 оцінок статистичних параметрів моделі:
екстраполяція:
kkk BXΦX
^
1
^
,
T
k
T
kkkk GGQΦFΦP 111 ;
Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 137
фільтрація:
kkkk KXX 1
^^
,
1)( k
T
kkk
T
kkk RΗPΗΗPK ,
kkkk PΗKΙF )( ,
де 1
^
kkkk Z XΗ — нев’язка фільтра,
0
^
kk
qB , 2
)(^
)(
k
ak Q ,
2
)(^
)(
k
k R .
В якості початкового значення вектора 1
^
X використовується таке зна-
чення:
T
ZZ
Z
12
1
1
^
X .
Тоді коваріаційна матриця похибки початкової оцінки 1F має вигляд:
2
2
)1(^2
)1(^
2
)1(^
2
)1(^
1
)(*2)(
)(
)(
TT
T
F .
Варто зауважити, що принцип оцінювання, подібний до принципу оці-
нювання значень ,*q можна застосувати для знаходження оцінок змінних
у часі значень 2* )( a та 2*)( , якщо розглядати в якості рядів псевдовимірів
2
)(^
)(
i
a , 2
)(^
)(
i
та застосувати до цих рядів процедуру експоненційного
згладжування.
Для визначення ефективності побудованого алгоритму на основі фільт-
ра Калмана виконується його імітаційне моделювання. Значення параметрів
моделі, отримані для випадкового процесу за однією реалізацією, будуть
випадковими величинами і не будуть повторюватись. Тому для більш точ-
ного отримання результатів виконується моделювання за ансамблем реалі-
зацій. Статистичну дисперсію похибок оцінок значень ряду можна знайти
шляхом усереднення значень, отриманих за ансамблем реалізацій [9].
Для доведення ефективності алгоритму прогнозування на основі фільт-
ра Калмана виконано імітаційне моделювання для нормально розподіленого
випадкового процесу, кількість точок ,100n незмінний період часу 1T
та 100N реалізацій.
В якості критерію ефективності оцінювання використовується статис-
тична оцінка дисперсії похибок оцінок значень ряду, що описується наступ-
ним рівнянням:
О.В. Братусь, В.М. Подладчіков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 138
nixx
N
D
N
j
i
j
i
ji ,...,4,3,][
1
1
1
2
)(^)(
,
де )(i
jx — істинне значення ряду в i -й момент часу при j -й реалізації;
)(^ i
jx — значення, отримане за алгоритмом прогнозування на основі фільтра
Калмана в i -й момент часу при j -й реалізації.
Результати імітаційного моделювання показано на рис. 2–3.
З рис. 2 видно, що на проміжку часу ]25;3[T значення дисперсії iD
різко зменшуються, а після 25T — стають практично сталими. З рис. 3
у порівнянні з рис. 2 видно, що зі збільшенням істинних значень дисперсій
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
20
40
60
80
100
120
140
D
(T
)
T
Рис. 2. Значення дисперсії iD при істинних значеннях 5)( 2* a , 15)( 2*
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
20
40
60
80
100
120
140
160
D
(T
)
T
Рис. 3. Значення дисперсії iD при істинних значеннях 10)( 2* a , 30)( 2*
Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 139
2*)( a та 2*)( значення iD зменшуються повільніше, але все одно стають
майже сталими після 28T . Таким чином, результати імітаційного моде-
лювання демонструють збіжність дисперсії до сталих значень та високу точ-
ність прогнозування значень ряду для побудованого алгоритму.
ПРОГНОЗУВАННЯ СЕРЕДНЬОДОБОВИХ ЦІН НА СВИНЕЦЬ
На основі вибірки даних (32 значення) щодо середньодобових цін Лон-
донської біржі металів на свинець в американських доларах за тонну
з 15.08.2012 по 28.09.2012 у робочі дні [10] виконується прогнозування на
наступні три робочих дні.
Для побудови моделі динаміки цін на свинець і їх прогнозування вико-
ристовується запропонований алгоритм прогнозування на основі фільтра
Калмана та традиційні методи авторегресії, авторегресії з ковзним середнім.
Авторегресійна модель порядку p описується наступним чином:
p
k
kiykaaiy
1
)(*)()0()( , (6)
де ni ,...,1 — моменти часу; )(iy — значення ряду в i -й момент часу;
)( kiy — значення ряду в )( ki -й момент часу; )0(a , )(ka — це числові
коефіцієнти авторегресійної моделі порядку p , де pk ,...,1 [8].
Авторегресійна модель порядку p з ковзним середнім порядку s має
такий вигляд:
s
j
p
k
jivjbivkiykaaiy
11
)(*)()()(*)()0()( , (7)
де )(iv — значення залишків ряду в i -й момент часу; )( jiv — значення
залишків ряду в )( ji -й момент часу; )( jb — числові коефіцієнти, обчис-
лені за авторегресійною моделлю порядку p з ковзним середнім порядку ,s
де sj ,...,1 [8].
Обчислюються значення прогнозних характеристик для побудованих
моделей, а саме, значення середньоквадратичної похибки RMSE (Root Mean
Square Error), середньої відсоткової абсолютної похибки MAPE (Mean
absolute percentage error) та коефіцієнта Тейла (U).
Значення середньоквадратичної похибки RMSE обчислюється за на-
ступною формулою:
n
i
iyiy
n
RMSE
1
2^
)]()([
1
, (8)
де n — загальна кількість днів, на які здійснювався прогноз; )(iy — реальні
значення; )(
^
iy — значення, що отримані за математичними моделями;
ni ,...,1 — дні, на які здійснювався прогноз [8].
Значення середньої відсоткової абсолютної похибки MAPE розрахову-
ється наступним чином [8]:
О.В. Братусь, В.М. Подладчіков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 3 140
n
i iy
iyiy
n
MAPE
1
^
%100
|)(|
|)()(|1
. (9)
Значення коефіцієнта Тейла (U) обчислюється за наступною формулою
[8]:
n
i
n
i
n
i
iy
n
iy
n
iyiy
n
U
1
2
1
2
1
2
)](ˆ[
1
)]([
1
)](ˆ)([
1
. (10)
У таблиці наводяться прогнозні характеристики за побудованими мо-
делями, розраховані за формулами (8)–(10). У цій таблиці моделі позначено
таким чином: побудовану за алгоритмом прогнозування на основі фільтра
Калмана — АПОФК; побудовану за формулою (6) авторегресійну модель
порядку 3 — АР (3); побудовану за формулою (7) модель авторегресії по-
рядку 3 з ковзним середнім порядку 3 — АРКС (3,3). У процесі побудови
моделей АР (3) та АРКС (3,3) порядок авторегресії обрано як значення, при
якому значення часткової автокореляційної функції ряду відмінні від нуля у
статистичному значенні, поріг значень обрано як 0.01. При побудові моделі
АРКС (3,3) порядок ковзного середнього обрано як значення, при якому
значення часткової автокореляційної функції залишків ряду відмінні від ну-
ля у статистичному значенні, при цьому в якості порогу значень використо-
вується 0,01.
Т а б л и ц я . Прогнозні характеристики моделей
Назва моделей Назва прогнозної
характеристики
моделей АПОФК АР(3) АРКС(3,3)
RMSE 34,267312 39,780883 46,805083
MAPE 1,167581 1,384351 1,636914
U 0,007412 0,008656 0,010172
У таблиці показано, що значення усіх прогнозних характеристик для
моделі, побудованої за алгоритмом прогнозування на основі фільтра Калма-
на, є меншими у середньому на 14%, ніж для АР (3), та на 26%, ніж для
АРКС(3,3). Це свідчить про те, що алгоритм прогнозування на основі філь-
тра Калмана має переваги у порівнянні з іншими методами прогнозування.
ВИСНОВКИ
Запропоновано підхід до ідентифікації статистичних параметрів моделі, що
змінюються за невідомим законом, та його застосування для оцінювання
математичного сподiвання прискорення змiни значень вибiрки даних. Роз-
роблений метод оцінювання базується на формуванні однозалежного ряду
нев’язок допоміжного фільтра, статистичні характеристики яких представ-
ляються у вигляді лінійних функцій параметрів, що ідентифікуються. До
отриманого ряду однозалежних псевдовимірів запропоновано застосовувати
процедуру експоненційного згладжування. Побудова ряду однозалежних
псевдовимірів дозволяє застосувати експоненційне згладжування до них так
само, як це традиційно застосовується до вихідних даних за умов відсутнос-
Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 3 141
ті повної та надійної інформації про закономірності розвитку досліджувано-
го процесу. Виконано імітаційне моделювання розробленого методу для ап-
ріорно невідомого математичного сподівання прискорення, що змінюється
за косинусоїдальним законом. Результати імітаційного моделювання пока-
зали ефективність розробленого методу. Похибки оцінок математичного
сподівання прискорення швидко зменшуються на початковому інтервалі
оцінювання, а в подальшому демонструють лише незначні коливання відно-
сно істинних значень.
Запропонований метод оцінювання математичного сподiвання приско-
рення змiни значень вибiрки даних використано для побудови алгоритму
прогнозування на основі фільтра Калмана. Виконано імітаційне моделюван-
ня побудованого алгоритму за ансамблем реалізацій, яке показало ефектив-
ність алгоритму за умов змінного математичного сподiвання прискорення.
Результати імітаційного моделювання демонструють збіжність дисперсії до
сталих значень та високу точність прогнозування значень ряду для побудо-
ваного алгоритму.
За даними щодо середньодобових цін Лондонської біржі металів на
свинець в американських доларах за тонну з 15.08.2012 по 28.09.2012 у ро-
бочі дні [10] побудовано модель за алгоритмом прогнозування на основі
фільтра Калмана, а також моделі авторегресії, авторегресії з ковзним серед-
нім та виконано за ними прогнозування. Проведено порівняльний аналіз по-
будованого алгоритму прогнозування з моделями авторегресії, авторегресії
з ковзним середнім за значеннями прогнозних характеристик RMSE, MAPE
та U, який показав перевагу алгоритму прогнозування на основі фільтра
Калмана за всіма характеристиками.
ЛІТЕРАТУРА
1. Astrom K.J., Eykhoff P. System identification — a survey // Automatica. —1971. —
7. — Р. 123–162.
2. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах: под ред.
К.Т. Леондеса. — М.: Мир, 1980. — 407 с.
3. Anderson W.N., Kleindorfer G.B., Kleindorfer P.R., Woodroofe M.B. Consistent Es-
timates of the Parameters of a Linear System // The Annals of Mathematical Sta-
tistics. — 1969. — 40. — Р. 2064–2075.
4. Згуровский М.З., Подладчиков В.Н. Аналитические методы калмановской
фильтрации для систем с априорной неопределённостью. — К.: Наукова
думка, 1995. — 283 с.
5. Podladchikova T., Van der Linden R. A Kalman Filter Technique for Improving Me-
dium-Term Predictions of the Sunspot Number // Solar Physics. — 2012. —
277. — Р. 397–416.
6. Братусь О.В., Подладчіков В.М. Побудова багатовимірної моделі на основі
фільтра Калмана й аналіз алгоритмів оцінювання її параметрів // Наукові
вісті НТУУ «КПІ». — 2013. — № 5. — С. 28–34.
7. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования времен-
ных рядов: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 416 с.
8. Бідюк П.І., Коршевнюк Л.О. Проектування комп’ютерних інформаційних сис-
тем підтримки прийняття рішень: навч. посібник. — К.: ННК «ІПСА»
НТУУ «КПІ», 2010. — 340 с.
9. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных / Пер. с англ.
д-ра физ.-мат. наук В.Е. Привальского и А.И. Кочубинского под ред. акад.
И.Н. Коваленко. — М.: Мир, 1989. — 540 с.
10. Офіційний сайт Лондонської біржі металів. Розділ «Історичні дані»:
http://www.lme.com/historical_data.asp.
Надійшла 18.06.2013
|
| id | journaliasakpiua-article-54477 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:19:37Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/7c/33c378ed809706ff9789aca70bed0a7c.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-544772016-07-21T13:43:12Z Identification of variable parameters of a model for the construction of a forecasting algorithm Идентификация переменных параметров модели для построения алгоритма прогнозирования Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування Bratus, E. V. Podladchikov, V. N. An approach to identification of the mathematical expectation of acceleration of values change of data samples, which varies according to an unknown law, is presented in this article. An estimation method of mathematical expectation of values acceleration of change of data samples is developed, which is used to construct a forecasting algorithm based on the Kalman filter. An imitation modeling was performed, which showed the effectiveness of the suggested approach. The forecasting algorithm model based on the Kalman filter, autoregressive model and autoregressive moving average model are constructed using the daily average of the lead prices on the London Metal Exchange, and forecasting is done on the same data set. A comparative analysis of presented models, using the characteristics of forecasting values showed the advantage of the forecasting algorithm based on the Kalman filter. Предложен подход к идентификации математического ожидания ускорения изменения значений выборки данных, которое изменяется по неизвестному закону. Разработан метод оценивания математического ожидания ускорения изменения значений выборки данных, который использован для построения алгоритма прогнозирования на основе фильтра Калмана. Выполнено имитационное моделирование, которое показало эффективность предложенного подхода. По данным о среднедневных ценах Лондонской биржи металлов на свинец построена модель по алгоритму прогнозирования на основе фильтра Калмана, а также модели авторегрессии, авторегрегрессии со скользящим средним и выполнено по ним прогнозирование. Сравнительный анализ рассмотренных моделей по значениям прогнозных характеристик показал преимущество алгоритма прогнозирования на основе фильтра Калмана. Запропоновано підхід до ідентифікації математичного сподiвання прискорення змiни значень вибiрки даних, що змінюється за невідомим законом. Розроблено метод оцінювання математичного сподiвання прискорення змiни значень вибiрки даних, який використано для побудови алгоритму прогнозування на основі фільтра Калмана. Виконано імітаційне моделювання, яке показало ефективність запропонованого підходу. За даними щодо середньодобових цін Лондонської біржі металів на свинець побудовано модель за алгоритмом прогнозування на основі фільтра Калмана, а також моделі авторегресії, авторегресії з ковзним середнім та виконано за ними прогнозування. Порівняльний аналіз розглянутих моделей за значеннями прогнозних характеристик показав перевагу алгоритму прогнозування на основі фільтра Калмана. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2015-09-30 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/54477 System research and information technologies; No. 3 (2015); 131-141 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2015); 131-141 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2015); 131-141 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/54477/50544 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Bratus, E. V. Podladchikov, V. N. Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування |
| title | Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування |
| title_alt | Identification of variable parameters of a model for the construction of a forecasting algorithm Идентификация переменных параметров модели для построения алгоритма прогнозирования |
| title_full | Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування |
| title_fullStr | Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування |
| title_full_unstemmed | Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування |
| title_short | Ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування |
| title_sort | ідентифікація змінних параметрів моделі для побудови алгоритму прогнозування |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/54477 |
| work_keys_str_mv | AT bratusev identificationofvariableparametersofamodelfortheconstructionofaforecastingalgorithm AT podladchikovvn identificationofvariableparametersofamodelfortheconstructionofaforecastingalgorithm AT bratusev identifikaciâperemennyhparametrovmodelidlâpostroeniâalgoritmaprognozirovaniâ AT podladchikovvn identifikaciâperemennyhparametrovmodelidlâpostroeniâalgoritmaprognozirovaniâ AT bratusev ídentifíkacíâzmínnihparametrívmodelídlâpobudovialgoritmuprognozuvannâ AT podladchikovvn ídentifíkacíâzmínnihparametrívmodelídlâpobudovialgoritmuprognozuvannâ |