Оптимізація управління економічиим розвитком регіону
The problem of optimization of program-objective management of region economic development on basis of information modeling is investigated. Interpreting the region with transitional economy as multidimensional linear autonomous object, a dynamic model of minimization of resources is substantiated o...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2013
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/56914 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334253526646784 |
|---|---|
| author | Tverdokhleb, І. P. Parasyuk, І. V. |
| author_facet | Tverdokhleb, І. P. Parasyuk, І. V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. P. Tverdokhleb",
"institution": "доцент кафедри інформаційних систем у мене-джменті Львівського національного університету ім. І.Франка, Україна, Львів"
},
{
"author": "І. V. Parasyuk",
"institution": "аспірантка кафедри інформаційних систем у менеджменті Львівського національного університету ім. І.Франка, Україна, Львів"
}
] |
| author_sort | Tverdokhleb, І. P. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:12:23Z |
| description | The problem of optimization of program-objective management of region economic development on basis of information modeling is investigated. Interpreting the region with transitional economy as multidimensional linear autonomous object, a dynamic model of minimization of resources is substantiated on the implementation of a set of regional development programmes. The necessary conditions of existence of minimum distribution of resources between programs of economic region development on set management interval, was established. By method of Lagrange multipliers two types of optimum strategies of economic region development depending on placing of optimum management were identified. The conditions of forming of optimum resources distribution on implementation set of programs for each from picked out kind of strategy of economic region development. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:19:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
© І.П. Твердохліб, І.В. Парасюк, 2013
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 53
УДК 519:330
ОПТИМІЗАЦІЯ УПРАВЛІННЯ
ЕКОНОМІЧНИМ РОЗВИТКОМ РЕГІОНУ
І.П. ТВЕРДОХЛІБ, І.В. ПАРАСЮК
Досліджено проблему оптимізації програмно-цільового управління економіч-
ним розвитком регіону на засадах інформаційного моделювання. Трактуючи
регіон із трансформаційною економікою як багатовимірний лінійний автоном-
ний об’єкт, обґрунтовано динамічну модель мінімізації коштів на реалізацію
сукупності регіональних програм розвитку. Встановлено необхідні умови
існування мінімального розподілу обсягів затрат між програмами еко-
номічного розвитку регіону на заданому проміжку управління. Методом
множників Лагранжа ідентифіковано два типи оптимальних стратегій еко-
номічного розвитку регіону залежно від розміщення оптимального управління
у допустимій зоні: на її границі чи у внутрішній області. Отримано умови
формування оптимального розподілу коштів на виконання сукупності програм
для кожної із виділених типів стратегій економічного розвитку регіону.
ВСТУП
Регіон на сучасному етапі розвитку людства виступає як головний суб’єкт
будь-якого державного утворення. Тому регіональна політика суттєво впли-
ває на поступ країни і розробка ефективних регіональних політик є пріори-
тетним завданням уряду кожної держави. Зокрема, нагальною і наразі неви-
рішеною проблемою в Україні є соціально-економічне регулювання
ринкових процесів у її регіонах [1].
Розвиток як категорія економічної науки має декілька трактувань.
Приміром, часто розглядають концепцію сталого розвитку [2]. Зарубіжний
досвід математичного моделювання таких процесів висвітлено у [3]. Щодо
регіонів, то розрізняють регіональний розвиток та розвиток регіону. Регіо-
нальний економічний розвиток — це така категорія економічної науки, за
допомогою якої відстежують асиметрію поступу регіонів країни з метою її
усунення [4]. Натомість економічний розвиток регіону трактується як якісні
незворотні зміни в його економіці, накопичені за деякий проміжок часу [5].
Регіональні політики сучасних держав, зокрема країн ЄС [6–8], спрямовані
як на вирівнювання соціально-економічного стану їх регіонів, так і на ство-
рення сприятливих умов для розвитку кожної території. Для обґрунтування
і реалізації політики економічного розвитку регіону найчастіше застосову-
ють програмно-цільовий метод управління [6–11;12]. В Україні обласні адмі-
ністрації так само корегують рух регіону через регіональні програми [13, 14].
Аналіз текстів програм та результатів моніторингів їх виконання засвід-
чує наявність двох головних проблем ефективного управління їхніх реаліза-
цій. По-перше, розмитість цілей і нечіткість інформаційного відображення
досяжності мети сукупністю статистичних показників, особливо у контексті
програм [1, 13;14]. По-друге, обґрунтованість обсягів ресурсів, виділених на
реалізацію соціально-економічної програми, бажає кращого [13].
І.П. Твердохліб, І.В. Парасюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 54
Зазначені недоліки сучасної практики застосування програмно-
цільового управління економічним розвитком регіону в Україні зумовлюють
потребу розробки інструментів оптимізації управління процесом виконання
регіональних програм. З цією метою в [15] обґрунтовано інформаційну мо-
дель управління процесом економічного розвитку регіону за допомогою су-
купності соціально-економічних програм, яка уможливлює оцінювання до-
сяжності цілей розвитку через призму значної множини статистичних
показників. Дослідження властивостей цієї моделі і буде предметом розгля-
ду цієї роботи.
ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ ЩОДО ОПТИМІЗАЦІЇ УПРАВЛІННЯ
ЕКОНОМІЧНИМ РОЗВИТКОМ РЕГІОНУ [15]
Нехай для деякого регіону R його адміністрація розглядає сукупність RP
програм соціально-економічного розвиту на період ];[ 0 Tt , де 0t — базовий
рік, а T — рік завершення усіх програм. Соціально-економічний стан ре-
гіону характеризується множиною X показників. З кожною програмою
Rj Pp ∈ пов’язується підмножина показників ,XX j ⊆ які оцінюють стан
економічного розвитку регіону в процесі її виконання, та множина цілей jG
економічного розвитку. Досяжність кожної цілі jl Gg ∈ може бути оцінена
на підставі деякої підмножини XX jl ⊆ показників. На реалізацію програми
Rj Pp ∈ виділяються ресурси обсягом jV у вартісному вимірі. Розподіл кош-
тів за періодами у проміжку ];[ 0 Tt задається k -вимірним вектором )(tv
виду
,))(,),(),(()( 21 tvtvtvtv k…= ,|| RPk = (1)
причому значення координати )(tv j визначає обсяг виділеного ресурсу
jp -й програмі у період .t Початковий стан регіону R у базовий період
];[ 00 Ttt ∈ задається n -вимірним вектором )( 0tx виду
))(,),(),(()( 002010 txtxtxtx n…= , (2)
де )( 0txi — значення показника Xxi ∈ у базовий період 0t , а || Xn = .
У результаті виконання програм RP очікується, що стан регіону R буде ха-
рактеризуватися у кінцевий період ];[ 0 TtT ∈ вектором
))(,),(),(()( 21 TxTxTxTx n…= . (3)
Розглянемо простір )(tU можливих векторів )(tv . Очевидно, що
kEtU ⊂)( , де kE — k -вимірний евклідовий простір. Тоді під управлінням
Uu∈ будемо розуміти сукупність векторів або кортеж виду (4), де )(tv
задає розподіл ресурсів між програмами Rj Pp ∈ у період :];[ 0 Ttt ∈τ
,)(,),(,),(),( 10 >=< Tvtvtvtvu …… τ
)()()()(: 10 TUtUtUtUU ×××××= …… τ . (4)
Оптимізація управління економічним розвитком регіону
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 55
Простір управління U формується на підставі очевидних обмежень:
∑ ∑ ∑
= ∈ =
=≤∈∧=∀≥
k
j Ttt
k
j
jjj VVtvTttkjtv
1 ];[ 1
0
0
,)( ]);;[( ),1( 0)( (5)
причому V — загальний обсяг ресурсів у вартісному вимірі, виділений на
реалізацію сукупності RP програм у інтервалі ];[ 0 Tt .
Оптимальним управлінням Uu ∈* будемо вважати таке управління ви-
ду (4), яке формує оптимальну траєкторію економічного розвитку регіону на
проміжку ];[ 0 Tt згідно з деяким вибраним критерієм .W Таке оптимальне
управління має переводити регіон R після реалізації сукупності програм
RP із початкового стану )( 0tx у кінцевий )(Tx . Вимірювати економічний
розвиток регіону на проміжку ];[ 0 Tt можна, очевидно, за допомогою векто-
ра ,);( 0 Ttx∆ де
)()();( 00 txTxTtx −=∆ . (6)
Оскільки процес розвитку притаманний усім соціально-економічним
системам і здійснюється навіть за відсутності спеціальних програм, то, зно-
ву ж, очевидно, можна записати рівність
),;();();( 02010 TtxTtxTtx ∆+∆=∆ (7)
де x1∆ , x2∆ — оцінка на інтервалі ];[ 0 Tt відповідно економічного розвит-
ку регіону за відсутності спеціальних програм та додаткового ефекту від
виконання сукупності програм RP . Зрозуміло, що оцінка економічного роз-
витку регіону з урахуванням програм на проміжку ];[ 0 Tt у системі коорди-
нат множини показників X неявно залежить від вектора )(tv розподілу ре-
сурсів. Тобто
)).(,),(;;();())(,),(;;( 0020100 TvtvTtxTtxTvtvTtx …… ∆+∆=∆ (8)
Проблема визначення оптимального управління *u економічним роз-
витком регіону може бути подана формалізовано наступною узагальненою
оптимізаційною задачею: для вибраного критерію )(uW оцінювання еконо-
мічного розвитку регіону і вибраної множини показників X оцінювання
стану регіону знайти таке оптимальне управління *u виду (4) реалізацією
сукупності програм ,RP щоб
)()(extr *uWuW
Uu
=
∈
(9)
за умов
,)( 0
0 xtx = (10)
)();;();( 0201
0 TxuTtxTtxx =∆+∆+ (11)
та обмежень (5), де extr означає тип оптимізації (мінімум чи максимум).
Оптимізаційна модель (9)–(11), (5) є надто загальною і потребує уточ-
нення. Зокрема треба конкретизувати критерій ,W тип оптимізації у (9) та
І.П. Твердохліб, І.В. Парасюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 56
умову (11). Також суттєвою є проблема вибору норми вектора );( 0 Ttx∆ як
міри економічного розвитку регіону на часовому інтервалі ].;[ 0 Tt
Спочатку конкретизуємо умову (11). Щоб врахувати вплив ),;( 01 Ttx∆
уведемо такий показник як усереднений темп приросту значення .Xxi ∈
Він має характеризувати досягнуту до базового періоду швидкість зміни
значення конкретного показника оцінювання стану економічного розвитку
без врахування програм .RP Позначимо цей темп приросту як .ia Припус-
каємо його сталість на інтервалі ].;[ 0 Tt Оцінку впливу управління Uu∈ на
величину );;( 02 uTtx∆ здійснимо на підставі затратної еластичності програ-
ми Rj Pp ∈ . Позначимо через ijb затратну еластичність j -ї програми еко-
номічного розвитку регіону у контексті i -го показника .Xxi ∈ Згідно із
традиційним визначенням еластичності [16] величина ijb буде задавати зміну
значення i -го показника при зміні обсягу ресурсу j -ї програми на одиницю.
Очевидно, що також потрібно якось відстежувати вплив процесу вико-
нання програм RP на якість економічного зростання у регіоні. Автори програм
через множину цілей зазначають орієнтири внеску програми у економічний
розвиток [13]. Тому бажано відстежувати ступінь відповідності розвитку
регіону передбаченням авторів. Така інформація уможливлює контроль
процесу виконання програм. З цією метою уведемо вектор )(ty виду
)),(,),(),(()( 21 tytytyty k…= (12)
де )(ty j — узагальнена оцінка впливу програми Rj Pp ∈ на економічний
розвиток регіону у період ];[ 0 Ttt∈ .
Трактуючи регіон країни з точки зору теорії управління як багатови-
мірний лінійний об’єкт [17] із вхідним управлінням, що задається вектором
змінних ,)( kEtv ∈ та вихідним управлінням у формі вектора змінних
kEty ∈)( та вектором nEtx ∈)( змінних оцінювання його стану, а також
вибравши за критерій W мінімізацію коштів на проміжку управління
],;[ 0 Tt приходимо до такої економіко-математичної моделі [18] оптиміза-
ції затрат на реалізацію сукупності регіональних програм RP , яка є конкре-
тизацією метамоделі (9)–(11) з обмеженням (5): для вибраної множини X
показників оцінювання стану регіону знайти таке управління *u виду (4)
реалізацією сукупності програм RP , щоб
1
1)(1
*)(minmin
0
udttvu
T
t
k
j
jtvUu j
== ∫∑
=∈
(13)
за умов
dττvBτtxttx
t
t
0 )()()()(
0
∫ −Φ+Φ= , (14)
Оптимізація управління економічним розвитком регіону
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 57
dττvΒtCxtCty
t
t
0 )()()()(
0
∫ −Φ+Φ= τ , (15)
та обмежень
,
1
Vu ≤ (16)
0)( ≥tv j ]);[;,1( 0 Tttkj ∈= , (17)
,)( 1yTy = (18)
,)( 0
0 xtx = (19)
де 1y — бажані прирости значень показників множини X після реалізації
всіх програм, а через
1
• позначено стандартну норму вектор-функції часу
у банаховому просторі );( 0 TtLL pp = [17] із індексом 1=p [17].
Матрично-інтегральні рівняння (14), (15) цієї моделі уможливлюють
динамічне відстеження у часі відповідно станів регіону (тобто значень показ-
ників оцінювання економічного розвитку регіону) та досяжності цілей регі-
ональних програм економічного розвитку. Ключову роль відіграє перехідна
матриця )(tΦ станів регіону ,R яка у загальному випадку може бути визна-
чена на підставі вхідної матриці A як границя матричного ряду [17]:
.
!
1:)(
0
kk
k
At tA
k
et ∑
∞
=
==Φ (20)
У свою чергу матриця A є діагональною квадратною виміру nn× ма-
трицею з коефіцієнтами ia , що задають темпи приросту величин показників
ix із множини .X Прямокутна матриця B розміру kn× містить затратні
еластичності ijb , а nk × матриця C встановлює міру адекватності оціню-
вання досяжності цілей програмами розвитку для кожного показника із
множини .X
НЕВИРІШЕНІ ЧАСТИНИ ПРОБЛЕМИ ОПТИМІЗАЦІЇ УПРАВЛІННЯ
ЕКОНОМІЧНИМ РОЗВИТКОМ РЕГІОНУ
Економіко-математична модель (13)–(19) аналізувалась на предмет існуван-
ня її розв’язку. З цією метою застосовувався метод пошуку мінімального
управління для багатовимірного лінійного автономного об’єкту, описаний
у [17], який трактує простір управління як банаховий і використовує відому
нерівність Гельдера [17; 19]. Вдалося отримати необхідні умови існування
розв’язку моделі (13)–(19), які подамо у формі твердження [18].
Твердження 1. Для того, щоб оптимальне управління *u виду (4), ком-
поненти якого задовольняють рівняння
,/1min* 01 ∞== wvu (21)
І.П. Твердохліб, І.В. Парасюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 58
було розв’язком моделі (13)–(19) необхідно і достатньо, щоб його елементи
];[ ,,1 ,)( 0 Tt τkjv j ∈=τ , задовольняли умові
( ) |)(|
2]))(())([(
0
0
1
2
0
2
00
τTw
tvTv
j
k
j
jj
−
=−∑
= τ
, (22)
де вектор-функція )( 00 τTw − визначається як (символом «′» позначено
операцію транспонування матриці):
( )τTzτTGτTw −−′=− 00 )()( , ,)()( BtСФtG = (23)
узгоджена з 1=p q -норма вектора 0w трактується як точна верхня грань
множини значень цієї вектор-функції на інтервалі ];[ 0 Ttt∈ і рівна
,)()(maxmax 0
0
)(1];[
0 000
ττ ττ
−=−=
≤≤∈∞ TwTww jj
kjTt
(24)
а допоміжний вектор )(0 τ−Tz у (23) визначається з умови (через •〉〈•, по-
значено скалярний добуток векторів):
.1)()( ,,
0
≡〉−′〈=〉′〈 ∫ ττ dvτTGzdz
T
t
(25)
На підставі твердження 1 модель (13)–(19) можна звести до такої екві-
валентної дискретної форми [18]: для заданого вектора )(0 tz та матриці G
виду (23) знайти такі )(tv j для kjTt t ,1],;[ 0 =∈ , щоб
∑ ∑
∈ =∈∧
=′
];[ 1)(
00
];[)(
00
)(min)G );(z );(, ),(, ),((min
Tt
k
j
j
tvTttv
vtTvvtvF
ττ
ττ …… (26)
за умови
( ) |)(|/2]))(())([( 0
0
1
2
0
2
00
τTwtvTv j
k
j
jj −=−∑
=
τ (27)
і обмежень
,)(
];[ 10
Vv
Tt
k
j
j ≤∑ ∑
∈ =τ
τ (28)
,) ];[ ,,1( )( 0 Ttkjrv jj ∈=≥ ττ τ (29)
де τjr — початкові вимоги до обсягу ресурсу для j -ї програми у період
часу τ .
Оскільки існуючі визначення стратегій розвитку носять описовий ха-
рактер та ігнорують управлінські аспекти їх реалізацій [11], то нам потрібно
уточнити поняття оптимальної стратегії економічного розвитку регіону.
З цією метою дамо такі два означення.
Означення 1. Стратегією ),,,],;([ 0 uXGPTtS RRR економічного розвит-
ку регіону R на часовому проміжку ];[ 0 Tt із реалізацією сукупності регіо-
Оптимізація управління економічним розвитком регіону
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 59
нальних програм RP , цілі яких задаються множиною RG , а процес вико-
нання програм здійснюється згідно управління Uu∈ виду (4), називається
сукупність станів регіону у періоди ];[ 0 Tt∈τ , кожен з яких описується век-
тором nEtx ∈)( τ виду (2). Тобто
]}.;[:)({:),,,],;([ 00 TttxuXGPTtS RRR ∈= ττ (30)
Означення 2. Оптимальна стратегія *),,,],;([ 0
.opt uXGPTtS RRR еконо-
мічного розвитку регіону R на проміжку ];[ 0 Tt — це стратегія
),,,],;([ 0 uXGPTtS RRR виду (30), у якої компоненти управління *u форму-
ють оптимальний розв’язок моделі (26)–(29).
Маючи загальний обсяг витрат ,V початковий їх розподіл τjr , вектори
0z та 0w й матрицю ,G′ можна підготувати вхідні дані для моделі (26)–(29)
і знайти оптимальний розподіл ресурсів між програмами економічного роз-
витку регіону за допомогою відповідних програмних засобів. Зрозуміло, що
такий підхід уможливлює отримання оптимальної стратегії розвитку регіону
у кожному конкретному випадку і не дає змоги виявити якісь загальні тен-
денції існування таких стратегій.
Отже, мета роботи — аналіз методом множників Лагранжа задачі мі-
німізації (26)–(29) для конкретизації умов існування її розв’язків та класифі-
кації оптимальних стратегій економічного розвитку регіону.
ОПТИМІЗАЦІЯ ПРОГРАМНО-ЦІЛЬОВОГО УПРАВЛІННЯ
ЕКОНОМІЧНИМ РОЗВИТКОМ РЕГІОНУ
Задача нелінійного програмування (26)–(29) уможливлює оптимізацію
управління економічним розвитком регіону на програмно-цільових засадах.
Розв’язки її і будуть визначати можливі оптимальні стратегії економічного
розвитку регіону. З цією метою проаналізуємо задачу (26)–(29) методом
множників Лагранжа [20, 21]. Спочатку зведемо її до канонічної форми
шляхом уведення додаткових змінних, так як умови (28) та (29) є нерівнос-
тями. Тобто перепишемо умови (28) та (29) у формі рівностей:
,)( 2
1
];[ 10
Vv
Tt
k
j
j =+∑ ∑
∈ =
ϕτ
τ
(31)
),][ ;,1( )( 0
2 ;Ttkjrv jjj ∈=−=+− τϕτ ττ (32)
де τϕϕ j ,1 )];[ ;,1( 0 Ttkj ∈= τ — додаткові змінні. Далі замість задачі (26)–
(29) розглянемо задачу мінімізації (26), (27), (31), (32).
Будуємо функцію Лагранжа для задачі мінімізації (26), (27), (31), (32):
=) , ; , ,;G' );(z ;)(, ),(, ),(( 12100 ττ ϕϕλλλτ jjtTvvtvL ……
І.П. Твердохліб, І.В. Парасюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 60
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−+= ∑∑ ∑
=∈ =
k
j
jjj
Tt
k
j
j tvTvτTwv
1
2
0
2
0
0
)(1
];[ 1
]))(())([(|)(|/2)(
00
0
τ
τ
λτ
, ])([)(
];[ 1
22
1
];[ 1
2
00
∑ ∑∑ ∑
∈ =∈ =
−+−+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−−+
Tt
k
j
jjjj
Tt
k
j
j vrvV
τ
τττ
τ
ϕτλϕτλ (33)
де ]);[( ,, 021 Ttj ∈τλλλ τ є множниками Лагранжа. Точками екстремуму
функції Лагранжа виду (33) будуть точки, в яких її часткові похідні дорів-
нюють нулю. Система рівнянь для визначення точок екстремуму функції
Лагранжа (33) така:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∈==−=−
∈==−−=+−−
=−+−−
=
=∈==++−
==++−−
==++−
∑ ∑
∑
∈ =
=
].;[ ,,1,02 ;02
;];[ ,,1,0 )( ;0)(
,0|)(|/2]))(())([(
; };{\];[
M ;,1,01
;,1,01 )(2
;,1,01)(2
012
0
22
1
];[ 1
0
0
)(
1
2
0
2
00
2
21
201
0
00
0
Ttkj
TtkjrvVv
τTwtvTv
TtTt
kj
kjTv
kjtv
jj
jjj
Tt
k
j
j
j
k
j
jj
j
jTj
jtj
τϕλϕλ
τϕτϕτ
τλλ
λλλ
λλλ
ττ
ττ
τ
τ
τ
(34)
Попередньо перетворимо систему (34). Замість 5-го зверху рівняння
використаємо суму його та усіх рівнянь, що записані 6-ми зверху у цій сис-
темі (див. передостанній рядок). Тому система рівнянь (34) зводиться до та-
кої еквівалентної:
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∈==−=−
∈=
=−−=−
−+−−
=−+−−
=
=∈==++−
==++−−
==++−
∑ ∑
∑ ∑
∑
∈ =
∈ =
=
.];[ ;,1,02 ;02
;];[ ;,1
,0 )( ;0
,0|)(|/2]))(())([(
;};{\];[
M ;,101
;,1,01 )(2
;,1,01)(2
012
0
2
];[ 1
];[ 1
22
1
0
0
1
2
0
2
00
2
21
201
0
0
00
0
Ttkj
Ttkj
rvr
V
τTwtvTv
TtTt
kj
kjTv
kjtv
jj
jjj
Tt
k
j
j
Tt
k
j
j
j
k
j
jj
j
jTj
jtj
τϕλϕλ
τ
ϕτ
ϕϕ
τλλ
λλλ
λλλ
ττ
ττ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
(35)
Знаходимо розв’язки системи рівнянь (35), аналізуючи можливі комбі-
нації значень невідомих, які задовольняють останні два рівняння. Це такі
комбінації:
• для передостаннього рівняння можливо 0 ,0 12 ≠= ϕλ або ,02 ≠λ
01 =ϕ ;
Оптимізація управління економічним розвитком регіону
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 61
• для останнього рівняння маємо 0 ,0 ≠= ττ ϕλ jj або 0 ,0 =≠ ττ ϕλ jj
для всіх ,kj 1= та ];[ 0 Tt∈τ .
Таким чином, слід розглянути чотири попарні комбінації, а саме:
1. ;}0 ;0 ;0 ;0{ 12 ≠=≠= ττ ϕλϕλ jj
2. ;}0 ;0 ;0 ;0{ 12 =≠≠= ττ ϕλϕλ jj
3. ;}0 ;0 ;0 ;0{ 12 ≠==≠ ττ ϕλϕλ jj
4. }.0 ;0 ;0 ;0{ 12 =≠=≠ ττ ϕλϕλ jj
Дослідимо можливість входження зазначених комбінацій у розв’язок
системи (35). З цією метою перевіримо, чи не порушуються інші її рівняння
при вказаних значеннях змінних ττ ϕϕλλ jj , , , 12 . Неважко побачити, що
перша комбінація перетворює третє рівняння у нерівність, інші не порушу-
ють його. Тобто комбінації 2–4 можуть входити у розв’язок. Тому потрібно
проаналізувати три випадки формування розв’язків системи нелінійних рів-
нянь (35) з відповідними фрагментами. Загальна схема процесу подальшого
аналізу і розв’язування системи рівнянь (35) показана на рисунку, де симво-
лом ⇒ позначено операцію логічного виведення. Як вхідна інформація ви-
користано зазначені вище фіксовані фрагменти коренів системи (35). А ре-
зультатами будуть умовиводи (леми і твердження) щодо умов існування
оптимальних стратегій економічного розвитку регіону.
З огляду на значний обсяг рутинних проміжних операцій процес отри-
мання лем нами детально не описується. Зазначимо лише, що найскладні-
шим для аналізу виявився випадок із комбінацією 3. Нам вдалося отримати
розв’язок системи (35) із фрагментом 3 лише при додатковій умові пропор-
ційності розподілу коштів між програмами на початковому та кінцевому
періодах (лема 2). Умови входження комбінацій 2–4 у відповідні розв’язки
системи рівнянь (35) наведені нижче у формі допоміжних тверджень
або лем.
Лема 1. У розв’язок системи (35) входять такі значення як
)];[ ,,1( 0 ,0 ,0 ,0 012 Ttkjjj ∈=∀=≠≠= τϕλϕλ ττ (36)
;0 ;0
;0 ;0 )2 12
=≠
≠=
ττ ϕλ
ϕλ
jj
;0 ;0
;0 ;0 )4 12
=≠
=≠
ττ ϕλ
ϕλ
jj
;0 ;0
;0 ;0 )3 12
≠=
=≠
ττ ϕλ
ϕλ
jj
лема 1
лема 3
лема 2
твердження 2
твердження 3
1-й тип
стратегії
2-й тип
стратегії
Рисунок. Схема аналізу системи рівнянь (35)
І.П. Твердохліб, І.В. Парасюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 62
лише тоді, коли відображений умовою (29) моделі (26)–(29) початковий
розподіл })];[ ,,1({ 0 Ttkjr j ∈= ττ обсягу ресурсу V між програмами в роз-
різі часових періодів задовольняє умові
.)(/2])()[( ;0 0
0
)(
1
22
];[ 1
000
0
τTwrrrV j
k
j
jtjT
Tt
k
j
j −≡−>− ∑∑ ∑
=∈ =
τ
τ
τ (37)
Лема 2. Для стратегії однакових пропорцій розподілу ресурсу між
програмами на початковому 0t та кінцевому T періодах у розв’язок системи
(35) входять такі значення як
)];[ ,,1( 0 ,0 ;0 ;0 012 Ttkjjj ∈=∀≠==≠ τϕλϕλ ττ (38)
лише тоді, коли
• існує така сукупність додатних чисел )0( 0
0 ; K η j ∈τ для усіх
,1 kj = та };{\];[ 00 TtTtM =∈τ , що виконується умова
;
1
0
1
0 ∑ ∑∑ ∑
∈ =∈ =
−=<
M
k
j
j
M
k
j
j rVK
τ
τ
τ
τη (39)
• початкові обсяги
0jtr , jTr ресурсів, виділені програмам на стартово-
му 0t та кінцевому T періодах, для усіх ,1 kj = задовольняють нерівнос-
тям
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−×−−−<
−×−+−>
;)](|)(|[/2)2(/)(
;)](|)(|[/2)2(/)(
100
0
)(10
100
0
)(10
000
00
KKτTwkKKr
KKτTwkKKr
jjt
jjT
τ
τ
(40)
• норма ∞0w вектора )(0 τTw − задовольняє умові.
,/2 |)(| 2
0
0
)( 000
krτTw j ≥−τ jT
kj
rr
≤≤
=
1
0 min . (41)
Лема 3. У розв’язок системи рівнянь (35) входять такі значення як
)];[ ;,1( 0 ;0 ;0 ;0 012 Ttkjjj ∈=∀=≠=≠ τϕλϕλ ττ (42)
лише тоді, коли відображений умовою (29) моделі (26)–(29) початковий
розподіл })];[ ;,1 ;,1( { 0 Ttkjkjr j ∈=∈= τττ обсягу ресурсу V між програ-
мами у розрізі часових періодів задовольняє умовам
|)(|/2][ ; 0
0
)(
1
22
];[ 1
000
0
τTwrrVr j
k
j
jtjT
Tt
k
j
j −≡−= ∑∑ ∑
=∈ =
τ
τ
τ . (43)
Згадувана у лемі 2 додаткова вимога однакових пропорцій розподілу
коштів для програм економічного розвитку змістовно означає корегування
їх обсягів на заключному періоді на деяку сталу величину стосовно виділених
програмам сум грошей на початковому періоді. Тобто виконується умова
Оптимізація управління економічним розвитком регіону
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 63
( ) ),1( |))(|(/2))(())(( 0
02
0
2
00
kjTwktvTv jjj =−=− ττ . (44)
Спираючись на наведені вище леми можна отримати усі розв’язки сис-
теми рівнянь (35) і тим самим визначити усі можливі екстремальні точки
функції Лагранжа (33). Отже, за умов леми 1 сукупність екстремальних то-
чок функції (33) визначається як
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∈===−±=
=+−==−−=
=
=∈=−==∈
∑ ∑
∈ =
,];[ ,,1;)( ,0 ;
;,1;21 ;),1( 2 1
;};{\];[
M ;,1:1 ;0 ;
0
];[ 1
1
11
00
2
1
1
0
00
TtkjrvrV
kjrkjr
TtTt
kjR
jjj
Tt
k
j
j
jTjTjtjt
j
ττϕϕ
λλλλ
τλλλ
ττ
τ
τ
τ
(45)
де через 1R позначено числову вісь. Коли справджуються умови леми 2, то
функція Лагранжа (33) прийматиме екстремальні значення у точках, коор-
динати яких даються співвідношеннями (46). І, нарешті, за умов леми 3
координати екстремальних точок функції Лагранжа (33) задаються співвід-
ношеннями (47).
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=∈=+=
=
−−+−×−−±=
=
=
−−+−×−±=
=
=
=∈=±=∈==
=−×−+
+−==
=−×−−
−−===
−
−
−
−
}.;{ \];[
;,1 , )(
;,1
,)2/()()](|)([|
; ,1,)2/()()](|)([|
};;{ \];[
;,1, ;)];[ ,,1( 0
;,1,)](|)([|
)2/()( )( ;1
;,1,)](|)(|[
)2/()()( ;0 ;0
00
0
10
1
100
0
)(
10
1
100
0
)(
00
0
0
1
100
0
)(
102
1
100
0
)(
10011
000
0
00
00
00
TtTt
Mτkjrv
kj
rkKKKKτTw
kjrkKKKKτTw
TtTt
MτkjTtkj
kjKKτTw
kKKTv
kjKKτTw
kKKtv
jjj
jtj
jt
jTj
jT
jjj
j
j
j
j
ττ
τ
τ
τττ
τ
τ
ητ
ϕ
ϕ
ηϕτλ
λ
ϕλ
(46)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈===∈=−=
=−+=−+−=
∈===∈∈
.];[ ;,1, ;});{\];[;1(1
;1,12 12
];;[ ;,1,0 ;0 };1 ;0{ \ {0}; \
0002
2121
01
1
2
1
1
00
TtkjrvTtTtM τ,kj λλ
,kjλλrλ;λλr λ
TtkjRR
jjjτ
jTjTjtjt
j
τ
τϕϕλλ
ττ
τ
(47)
Таким чином, нам вдалося визначити усі екстремальні точки функції
Лагранжа (33), яка відповідає задачі мінімізації (26)–(29). Координати екст-
ремальних точок цієї функції визначаються співвідношеннями (45)–(47).
Далі за теорією множників Лагранжа [21] потрібно ідентифікувати тип екст-
ремальної точки, що є непростою проблемою [21] і вимагає застосування
матриць Гессе. Тому на практиці часто обчислюють значення функціоналу
F в усіх визначених екстремальних точках і шляхом порівняння визна-
чають точку мінімуму та максимуму серед екстремальних точок функції
Лагранжа.
І.П. Твердохліб, І.В. Парасюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 64
Прискіпливий аналіз співвідношень (45)–(47) засвідчує наявність тіль-
ки однієї точки екстремуму функціоналу (26) у кожному з трьох можливих
випадків. Значна кількість екстремальних точок функції Лагранжа у кожно-
му випадку породжується значеннями множників Лагранжа, які, як відомо,
не впливають на оптимальне значення функціоналу F [21]. Крім цього, ко-
жен із трьох можливих і проаналізованих випадків конструювання
розв’язків системи (33) породжується, як свідчать леми, певними зовнішні-
ми умовами. Оскільки ці умови є взаємовиключними, то одночасно усі три
екстремальні точки функціоналу (26) не можуть появитись, вони можуть
породжуватись тільки поодинці. Такі міркування уможливлюють ідентифі-
кацію точок з координатами )];[ ;,1( )( 0 Ttkjv j ∈= ττ , які визначаються
згідно співвідношень (45)–(47), як точок локального мінімуму функціоналу
(26) нашої оптимізаційної задачі. Кожна така точка локального мінімуму
асоціюється з оптимальним управлінням *u для моделі (26)–(29) і тим
самим для основної моделі (13)–(19). Завершуючи процес аналізу задачі
(26)–(29) методом множників Лагранжа, на підставі узагальнення результа-
тів лем 1–3 можна сформулювати певні положення щодо оптимальності
управлінь процесом реалізації сукупності програм економічного розвитку
регіону. Такі узагальнені висновки доцільно подати як два окремі твердження.
Твердження 2. Початковий розподіл })];[ ,,1( { 0 Ttkjr j ∈= ττ обсягу
ресурсу V між програмами RP у розрізі часових періодів формує компо-
ненти ,)(τv ];[ 0 Tt∈τ , оптимального управління *u моделі (13)–(19) лише
тоді, коли
( ) |,)(|/2][ ; 0
0
1
22
];[ 1
000
0
τTwrrVr j
k
j
jtjT
Tt
k
j
j −=−≤ ∑∑ ∑
=∈ =
τ
τ
τ (48)
де вектор 0w визначається на підставі співвідношень (23) та (25), а його
норма ∞0w задається формулою (24).
Твердження 3. Управління *u з компонентами
( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=∈=+=
=−×−+−=
=−×−−−=
−
−
};;{ \];[
;,1, )(
;,1,)](|)([|)2/()( )(
;,1,)](|)([|)2/()()(
00
0
1
100
0
10
1
100
0
100
00
00
TtTt
M τkjrv
kjKKτTwkKKTv
kjKKτTwkKKtv
jjj
jj
jj
ττ
τ
τ
ητ
(49)
буде оптимальним управлінням процесу реалізації сукупності програм
}{ jR pP = у контексті моделі (13)–(19) лише тоді, коли виконані умови ле-
ми 2, які задані співвідношеннями (39)–(41).
ВИСНОВКИ
За допомогою узагальненого методу множників Лагранжа досліджено влас-
тивості інформаційної моделі управління економічним розвитком регіону,
Оптимізація управління економічним розвитком регіону
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 65
обґрунтованої в [15], та визначено умови існування оптимальної траєкторії
розвитку регіону. Оптимальне управління та оптимальна траєкторія розвит-
ку регіону ототожнюється з набором векторів )(τv розподілу обсягів ресур-
сів у вартісній формі між регіональними програмами для усіх періодів
];[ 0 Tt∈τ . Встановлено (твердження 2, 3), що існують залежно від деяких
зовнішніх умов два типи оптимальних траєкторій чи стратегій економічного
розвитку регіону. Перший тип оптимальної стратегії на засадах програмно-
цільового управління економічним розвитком регіону визначається умовами
твердження 2 та співпадає з початковим розподілом коштів на реалізацію
заданого комплексу програм RP на часовому проміжку ];[ 0 Tt . Особливістю
таких стратегій є формування компонентів їх управлінь Uu ∈* лише з гра-
ничних точок допустимого простору .U Натомість другий тип оптимальної
стратегії економічного розвитку регіону уможливлює включення в оп-
тимальне управління Uu ∈* внутрішніх точок простору U (твердження 3).
Проведений аналіз оптимізаційної моделі (13)–(19) дав змогу конкре-
тизувати досить розмите поняття стратегії економічного розвитку регіону.
Адже більшість економістів під стратегією розуміють «…систематичний
опис цілей і основних проблем територіального розвитку, визначення на-
прямів їх вирішення…» [11]. Пропонується як обов’язковий компонент
стратегії економічного розвитку регіону розглядати управління процесом
реалізації сукупності регіональних програм з урахуванням їх цілей та виді-
лених ресурсів, а оптимальною стратегією економічного розвитку регіону на
засадах програмно-цільового управління вважати таку стратегію, яка умож-
ливлює переведення регіону з початкового стану у бажаний за заданий про-
міжок часу з мінімальними затратами на реалізацію множини соціально-
економічних програм.
Відзначимо продуктивність адаптації динамічної моделі багатовимір-
ного лінійного автономного об’єкту [17] для формалізації екстремальної
проблеми управління економічним розвитком регіону. Отримані з викорис-
танням такого підходу результати уможливлюють розробку спеціального
комплексу економіко-математичних моделей оптимізації програмно-
цільового управління економічним розвитком регіону в сучасних умовах.
Створення такого комплексу моделей необхідне для практичного застосу-
вання описаних вище теоретичних результатів і вимагає окремого розгляду.
ЛІТЕРАТУРА
1. Кожурін Ф.Д. Методологічні засади проекту нагальних системних і соціальних
перетворень в Україні // Актуальні проблеми економіки. — 2010. —
№ 11. — С. 3–18.
2. Згуровський М.З., Маторина Т.А., Прилуцький Д.О., Аброськін Д.А. Глобальне
моделювання процесів сталого розвитку в контексті якості та безпеки життя
людей // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2008. —
№ 1. — С. 7–32.
3. Нуреев Р.М. Экономика развития: модели становлення рыночной экономики:
Учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, 2001. — 240 с.
І.П. Твердохліб, І.В. Парасюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 66
4. Сторонянська І. Оцінка асиметрії соціально-економічного розвитку регіонів
України та обґрунтування пріоритетів державної регіональної політики. //
Регіональна економіка. — 2006. — № 4. — С. 101–111.
5. Яковенко А.Г., Романюха Е.А. Концептуальные подходы к построению и разви-
тию экономических систем // Економічна кібернетика. — 2008. — № 1–2
(49–50). — С. 4–8.
6. Понеделко Г. Региональная политика Испании // Мировая экономика и между-
народные отношения. — 2009. — № 1. — С. 84–93.
7. Трофимова О. Региональная политика Португалии // Мировая экономика и меж-
дународные отношения. — 2009. — № 2. — С. 84–92.
8. Бурнаева Е. Региональная политика Финляндии // Мировая экономика и меж-
дународные отношения. — № 5. — С. 64–73.
9. Руденский Р.А. Эволюция систем управления сложными экономическими
объектами // Економічна кібернетика. — 2008. — № 3–4 (51–52). — С. 27–31.
10. Колодко Г. Від ідеології неолібералізму до нового прагматизму // Економіка
України. — 2010. — №9. — С. 4–11.
11. Боголиб Т.М. Институциональные инструменты региональной политики //
Научные труды ДонНТУ. Серия: экономическая. — 2010. — Вып. 38 (1). —
С. 79–83.
12. Глушков В.М. Основы безбумажной информатики. Изд. 2-е, испр. — М.: Наука,
1987. — 552 с.
13. Стратегія розвитку Львівщини до 2015 року. — www.loda.gov.ua.
14. Стратегія розвитку Львівської області до 2015 року: Економіка. Суспільство.
Середовище. Моніторинг за 2009 рік. — Вип. 9. — Львів: Головне
управління статистики у Львівській області, 2010. — 266 с.
15. Парасюк І.В. Інформаційні моделі в оцінюванні економічного розвитку регіону
// Актуальні проблеми економіки. — 2010. — № 10 (112). — С. 231–239.
16. Слухай С.В. Довідник базових термінів та понять з мікроекономіки. — К.:
Лібра, 1998. — 256 с.
17. Чаки Ф. Современная теория управления. — М.: Мир, 1975. — 424 с.
18. Твердохліб І.П., Парасюк І.В. Умови існування оптимальної стратегії реалізації
програм економічного розвитку регіону // Проблеми формування нової еко-
номіки ХХІ століття: матеріали ІІІ між нар. наук.-практ. конф., 23–24 груд-
ня 2010 р. — В 6-ти томах. Т. 6: Економічне зростання: новітні технології,
перспективи, екологічні наслідки. — Дніпропетровськ: Біла К.О., 2010. —
С. 80–90.
19. Остудін Б.А., Шинкаренко Р.А. Методи функціонального аналізу в обчислю-
вальній математиці: Навч. посібник. — Львів, 1998. — 184 с.
20. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. — М.:
Радио и связь, 1987. — 400 с.
21. Ланкастер К. Математическая экономика. Пер. з англ. под ред. Д. Б. Юдина. —
М.: Советское радио, 1972. — 464 с.
Надійшла 14.09.2011
|
| id | journaliasakpiua-article-56914 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:19:42Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/a8/477bdef751f12f86297febb3ab7b93a8.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-569142018-03-30T15:12:23Z Optimization of economic region development management Оптимизация управления экономическим развитием региона Оптимізація управління економічиим розвитком регіону Tverdokhleb, І. P. Parasyuk, І. V. The problem of optimization of program-objective management of region economic development on basis of information modeling is investigated. Interpreting the region with transitional economy as multidimensional linear autonomous object, a dynamic model of minimization of resources is substantiated on the implementation of a set of regional development programmes. The necessary conditions of existence of minimum distribution of resources between programs of economic region development on set management interval, was established. By method of Lagrange multipliers two types of optimum strategies of economic region development depending on placing of optimum management were identified. The conditions of forming of optimum resources distribution on implementation set of programs for each from picked out kind of strategy of economic region development. Исследована проблема оптимизации программно-целевого управления экономическим развитием региона с использованием информационного моделирования. Трактуя регион с рансформационной экономикой как многомерный линейный автономный объект, обоснована динамическая модель минимизации ресурсов, на реализацию совокупности региональных программ развития. Установлены необходимые условия существования минимального распределения объемов ресурсов среди программ экономического развития региона на заданном промежутке управления. Методом множителей Лагранжа идентифицировано два типа оптимальных стратегий экономического развития региона в зависимости от размещения оптимального управления. Получены условия формирования оптимального распределения ресурсов на использование совокупности программ для каждой из выделенного типа стратегий экономического развития региона. Досліджено проблему оптимізації програмно-цільового управління економічним розвитком регіону на засадах інформаційного моделювання. Трактуючи регіон із трансформаційною економікою як багатовимірний лінійний автономний об’єкт, обґрунтовано динамічну модель мінімізації коштів на реалізацію сукупності регіональних програм розвитку. Встановлено необхідні умови існування мінімального розподілу обсягів затрат між програмами економічного розвитку регіону на заданому проміжку управління. Методом множників Лагранжа ідентифіковано два типи оптимальних стратегій економічного розвитку регіону залежно від розміщення оптимального управління у допустимій зоні: на її границі чи у внутрішній області. Отримано умови формування оптимального розподілу коштів на виконання сукупності програм для кожної із виділених типів стратегій економічного розвитку регіону. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2013-03-19 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/56914 System research and information technologies; No. 1 (2013); 53-66 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2013); 53-66 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2013); 53-66 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/56914/53164 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Tverdokhleb, І. P. Parasyuk, І. V. Оптимізація управління економічиим розвитком регіону |
| title | Оптимізація управління економічиим розвитком регіону |
| title_alt | Optimization of economic region development management Оптимизация управления экономическим развитием региона |
| title_full | Оптимізація управління економічиим розвитком регіону |
| title_fullStr | Оптимізація управління економічиим розвитком регіону |
| title_full_unstemmed | Оптимізація управління економічиим розвитком регіону |
| title_short | Оптимізація управління економічиим розвитком регіону |
| title_sort | оптимізація управління економічиим розвитком регіону |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/56914 |
| work_keys_str_mv | AT tverdokhlebíp optimizationofeconomicregiondevelopmentmanagement AT parasyukív optimizationofeconomicregiondevelopmentmanagement AT tverdokhlebíp optimizaciâupravleniâékonomičeskimrazvitiemregiona AT parasyukív optimizaciâupravleniâékonomičeskimrazvitiemregiona AT tverdokhlebíp optimízacíâupravlínnâekonomíčiimrozvitkomregíonu AT parasyukív optimízacíâupravlínnâekonomíčiimrozvitkomregíonu |