Побудова еквівалентних релейних управлінь для нелінійних систем
This work is devoted to the problem of determining the moments of switching in limited relay controls for nonlinear systems, which provide achievement of system states, close to the states, obtained under the influence of arbitrary controls limited in the same range. It is shown that the number of t...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2013
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59245 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334255860776960 |
|---|---|
| author | Baizdrenko, E. A. Shushlyapin, E. A. |
| author_facet | Baizdrenko, E. A. Shushlyapin, E. A. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "E. A. Baizdrenko",
"institution": null
},
{
"author": "E. A. Shushlyapin",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Baizdrenko, E. A. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:12:23Z |
| description | This work is devoted to the problem of determining the moments of switching in limited relay controls for nonlinear systems, which provide achievement of system states, close to the states, obtained under the influence of arbitrary controls limited in the same range. It is shown that the number of the moments of switching in limited relay control is specified by an approximation order of the stated in this work functions hi(t), which depend on transitional functions and a matrix of coefficients during the system operating. Expressions for calculation of values of the switching moments in case of linear approximation of function hi(t) are shown. For the general case of polynomial approximation of functions hi(t), values of the switching moments of relay control can be evaluated by resolving of the system of equations, given in this work. It is defined that the evaluated moments of switching of limited relay control depend on initial reference control of arbitrary form, limited in the same margins only. The example of determination of switching moments of relay control for the speed-up task of direct current electric motor with independent excitation is given in the work. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:19:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Е.А. Байздренко, Е.А. Шушляпин, 2013
126 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1
УДК 681.5
ПОСТРОЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ РЕЛЕЙНЫХ
УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Е.А. БАЙЗДРЕНКО, Е.А. ШУШЛЯПИН
Работа посвящена задаче определения моментов переключения ограниченных
релейных управлений для нелинейных систем, позволяющих обеспечить
достижение конечных состояний системы, близких к состояниям, которые по-
лучают под воздействием ограниченных в тех же пределах управлений произ-
вольной формы. Показано, что количество моментов переключения огра-
ниченного релейного управления задаётся порядком аппроксимации
определенных в работе функций ),(thi зависящих от переходных функций и
матрицы коэффициентов при управляющих воздействиях системы. Приведены
выражения для вычисления значений моментов переключения в случае линей-
ной аппроксимации функций ).(thi Для общего случая полиномиальной ап-
проксимации функций ,)(thi значения моментов переключений релейного
управления могут быть определены решением приведенной в работе системы
уравнений. Определено, что получаемые значения моментов переключения
ограниченного релейного управления зависят только от исходного, ограни-
ченного в тех же пределах, управления произвольной формы. Приведен при-
мер определения моментов переключения релейного управления для задачи
разгона электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения.
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность задачи построения релейных управлений для линейных и не-
линейных систем объясняется большей простотой физической реализации
таких управлений, по сравнению с управлениями произвольной формы. При
этом наиболее широко используемые методы расчета управляющих воздей-
ствий дают управления, которые имеют непрерывный или смешанный вид.
Таким образом, возникает задача преобразования ограниченного управ-
ляющего сигнала произвольной формы в релейный сигнал, оказывающий по
своему воздействию эквивалентное влияние на результат управления.
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РЕЛЕЙНЫХ УПРАВЛЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫМИ
СИСТЕМАМИ
Для линейных нестационарных систем с двумя управляемыми координата-
ми и векторным управлением методика нахождения моментов переключе-
ния эквивалентных терминальных релейных управлений получена в [1]. Ме-
тодика описана для системы вида:
.)( , ],[, )()())(,()( 0
00 xtxttttutBtxt
dt
tdx
f =∈+Φ= (1)
.)()()()())(,( tftCtxtAtxt +≡Φ (2)
Построение эквивалентных релейных управлений для нелинейных систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 127
Позднее, в [2] была рассмотрена задача получения эквивалентных по
достигаемому конечному состоянию управлений нелинейными системами
на основании релейных управлений, получаемых для линейных эквивален-
тов исходных нелинейных систем. При этом получение точных линейных
эквивалентов нелинейных систем основано на преобразовании Бруновского,
что накладывает ряд ограничений на математические модели рассматривае-
мых объектов. Так, математическая модель объекта управления должна от-
носиться к классу аффинных систем, т.е. классу нелинейных динамических
систем, линейных по управлению, а управление для данной системы должно
быть задано скалярно. Кроме того, существует еще ряд ограничений, под-
робное описание которых приведено в [2].
В данной работе рассматривается задача нахождения моментов пере-
ключений эквивалентных релейных управлений нелинейными аффинными
системами вида (1) в предположении непрерывности и дифференцируе-
мости нелинейных вектор-функций Φ по всем своим аргументам.
Предполагая, что нормированный вектор управления ]1,0[∈u произ-
вольной формы известен, ставится задача определения моментов переклю-
чения mϑϑϑ ,,, 21 … эквивалентного нормированного релейного управления
,}1,0{~∈u обеспечивающего одинаковые конечные состояния вектора со-
стояний системы ,)( ftx достигаемого под воздействием исходного управ-
ления ,]1,0[∈u и ,)(~
ftx достигаемого под воздействием }.1,0{~∈u
Покажем, что для случая линейных систем количество моментов пере-
ключения релейного управления определяется порядком аппроксимации
определенных ниже в (3) функций ),(thi зависящих от переходных функций
и матрицы коэффициентов при управляющих воздействиях системы (1), (2).
Исходя из того, что формула Коши-Лагранжа определяет конечное со-
стояние линейной системы в виде:
,)()(),()()(),()(),()( ∫∫ ++=
ff t
t
f
t
t
fff duBtWdfCtWtxttWtx ττττττττ
выражение, определяющее зависящую от k -й компоненты вектора управ-
ления i -ю составляющую вектора конечного состояния линейной системы
(1), (2), имеет вид:
,)()()()(),(),(
00 1
0 dttthdttutBttWttx
ff t
t
i
t
t
n
j
kjkfijfik ξ∫∫∑ ≡=
=
).()( ),(),()(
1
tuttBttWth k
n
j
jkfiji ≡≡∑
=
ξ (3)
Далее, в принятых обозначениях, можно записать следующую систему
нелинейных уравнений относительно моментов переключений mϑϑϑ ,,, 21 … :
nidttthdtthdtthdtth
fm
m
t
t
iiii ,,2,1,)()()()()(
01
4
3
2
1
…… ==+++ ∫∫∫∫
−
ξ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
, (4)
Е.А. Байздренко, Е.А. Шушляпин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 128
где, согласно (3), правые части отображают реакцию конечного состояния
на произвольную, но ограниченную нулем и единицей, k -ю компоненту
вектора управления.
Для общего случая полиномиальной аппроксимации функции )(thi
,)(
1
0
∑
−
=
=
m
j
j
iji tath (5)
с учётом (4), значения моментов переключений релейного управления могут
быть определены из системы уравнений:
∫ ∑∫ ∑∫∑∫∑
−
=
−
=
−
=
−
=
=+++
−
fm
m
t
t
m
j
j
ij
m
j
j
ij
m
j
j
ij
m
j
j
ij dtttadttadttadtta
01
4
3
2
1
.)(
1
0
1
0
1
0
1
0
ξ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
… (6)
Выполнив интегрирование (6), получаем:
,
111
1
0
1
1
0
1
1
11
0
1
3
1
4
1
0
1
1
1
2 ∑∑∑∑
−
=
+
−
=
+
−
+−
=
++−
=
++
=
+
−
++
+
−
+
+
− m
j
jij
m
j
j
m
j
m
ij
m
j
jj
ij
m
j
jj
ij ka
j
a
j
a
j
a
ϑϑϑϑϑϑ
… (7)
где .1,...,1,0,)(
0
1 −== ∫+ mjdtttk
ft
t
j
j ξ
Приравнивая коэффициенты при одинаковых ija в левой и правой час-
тях i -го уравнения (7), получаем систему, позволяющую определить значе-
ния моментов переключения нормированного релейного управления
}1,0{~∈u такие, что все n координат вектора конечного состояния системы
,)(~
ftx получаемые под его воздействием, приобретут значения, равные по-
лучаемым под воздействием произвольного нормированного управления:
,)()()(
0
∫=
ft
t
f dttthtx ξ )},({)( fif txtx = )},({)( thth i= .,...,2,1 ni =
Указанная система уравнений, как следует из (7), имеет вид:
.
,2
,
13412
2
2
1
22
3
2
4
2
1
2
2
113412
m
m
m
m
m
mmmm
mm
mm
km
k
k
=−++−+−
=−++−+−
=−++−+−
−
−
−
ϑϑϑϑϑϑ
ϑϑϑϑϑϑ
ϑϑϑϑϑϑ
…
………………………………………………
…
…
(8)
Система (8) должна быть дополнена неравенствами:
fm tt ≤≤≤≤≤ ϑϑϑ …210 . (9)
Для случая линейной аппроксимации функций )(thi получено анали-
тическое решение для определения моментов переключения релейного
управления. Согласно (5):
.)( 10 taath iii += (10)
Построение эквивалентных релейных управлений для нелинейных систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 129
С учётом (7)–(10) значения моментов переключения:
.
2
,
2
1
1
2
2
1
1
2
1
k
k
kk
k
k
+=−= ϑϑ (11)
Важно, что значения (11) (как и в общем случае (8)) не зависят от пара-
метров управляемой системы, а только от «эталонного» управления )(tξ .
Несмотря на то, что условия существования и аналитическое решение
(8) для случая общей полиномиальной аппроксимации функции )(thi не по-
лучены, однако очевидно, что, в случае разбиения )(thi на нелинейные уча-
стки, на каждом из участков могут быть получены управляющие воздейст-
вия с количеством моментов переключений, определяемых степенью
принятого полинома.
Из вышеприведенного очевидно, что при решении практических задач
необходимо иметь эталонные управления, которые могут быть получены
методом аналитического синтеза или численно. В частности, для получения
терминального эталонного управления может быть использован метод ко-
нечных состояний [3].
Приведенные выше результаты, полученные для линейного случая, мо-
гут быть обобщены и на случай нелинейных систем вида (1) на основе при-
ближенного представления нелинейных (по Алексееву В.М.) переходных
функций [3].
Формула Алексеева В.М. определяет конечное состояние нелинейной
системы (1) в виде:
,)()())(,,())(,,()( ∫+=
ft
t
fff duBxtWtxttxtx τττττ
где ))(,,( txttx f — переменная конечного состояния системы, отображаю-
щая прогноз неуправляемого ( 0)( =tu на интервале ftt ≤≤τ ) конечного
состояния системы (1), имеющей в момент времени t состояние ).(tx
Выражения, определяющие переменные конечного состояния x и не-
линейную переходную матрицу ,W имеют вид [3]:
( )
,],[),())(,,(,))(,,(],,[
,))(,,(),())(,,(
,)))(,,(,())(,,(
0
)(,,
ff
txtxx
ttttxtxttxItxttWtt
txtW
x
x
d
txtdW
txtx
d
txtxd
∈==∈
⋅
∂
Φ∂
=
Φ=
=
θ
θθ
θ
θ
θθ
θ
θ
θ
(12)
где I — единичная матрица.
В работе [3] отмечено, что применение алгоритма (12) при расчете
управления в реальном времени затруднено. Это объясняется необходимо-
стью многократного численного интегрирования (на интервале ftt ≤≤θ
при каждом t ) дифференциальных уравнений для переменных конечного
состояния и переходной матрицы, что связано с их определением как функ-
ций первого аргумента, а при расчете управления они нужны как функции
второго аргумента.
Е.А. Байздренко, Е.А. Шушляпин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 130
В связи с этим в [3], где переменные конечных состояний и нелинейная
переходная матрица используются в алгоритме терминального метода ко-
нечного состояния, предложен ускоренный алгоритм их расчета как функ-
ций второго аргумента, где показано, что переменные конечного состояния
и элементы переходной матрицы могут быть приближенно представлены в
виде степенного ряда с коэффициентами сложным образом зависящими от
начального состояния. При этом функция ih для случая нелинейной систе-
мы имеет вид:
∑
=
=
n
j
jkfiji tBtxttWtxth
1
),())(,,())(,( ).()( tut k=ξ (13)
Из сравнения (13) с (3), видно, что выражения (13) отличаются от (3)
тем, что в (13) используется нелинейная переходная матрица, зависящая от
вектора состояний системы ).(tx Таким образом, в отличие от полиноми-
ального представления (5), для нелинейного случая коэффициенты при сте-
пенях t будут функциями начального состояния.
Однако, поскольку уравнения (8) или (11) для моментов переключения
не зависят от коэффициентов полиномиальных разложений, то они будут
справедливы и для нелинейного случая.
ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА
Рассмотрим пример нахождения моментов переключения релейного управ-
ления для задачи разгона электродвигателя постоянного тока независимого
возбуждения, математическая модель которого имеет вид [1]:
,1
,1
,1
2
1
BA
M
M
M
B
B
B
B
BB
A
A
B
A
A
A
AA
ii
J
kk
Jdt
d
u
L
i
L
r
dt
di
u
L
i
L
ki
L
r
dt
di
+−=
+−=
+−−=
ωω
ω
(14)
где AB ii , — токи возбуждения и якоря двигателя, ω — скорость двигателя,
AB uu , — напряжение на обмотке возбуждения и на якоре двигателя,
AABB LrLr ,,, — сопротивления и индуктивности обмоток возбуждения
и якоря соответственно, 21, kk — электрическая и механическая постоян-
ные, Mk — коэффициент пропорциональности момента нагрузки и скорости,
MJ — момент инерции.
Для случая разгона двигателя (14) начальные условия нулевые, а желае-
мые значения элементов вектора состояний удовлетворяют соотношениям:
.,,
)(
**2*BHOM*
2*21
AHOM*
AB
MB
B
AB
M
A ii
k
k
r
U
i
ri
k
kk
U
i ==
+
= ω
Определению подлежат управляющие напряжения обмоток возбужде-
ния и якоря )(,)( tutu AB .
Построение эквивалентных релейных управлений для нелинейных систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 131
Как уже было указано выше, для получения релейного управления пер-
воначально необходимо вычислить эталонное управление каким-либо из
известных методов, например, методом конечных состояний [3] (МКС-
управлением):
;1 ch
zn
auА = ,2 ch
zn
auВ = (15)
где
2
2
2
1 aazn += ,
[ ],)()()(
2
1 2
3
2
2
2
1
∗∗∗∗ −−−−−−= ωωFiiFiiFJ
T
ch BBAA
[ ],)()()(1
3132121111 wFwiiFwiiF
L
a BBAA
А
∗∗∗ −+−+−= ωω
[ ].)()()(1
3232221212 wFwiiFwiiF
L
a BBAA
В
∗∗∗ −+−+−= ωω
Входящие в составляющие (15) переменные конечного состояния
,))(,,( txttxx f= , , , 321 ω≡≡≡ xixix BA и элементы переходной матрицы
},{ ijwW = ))(,,( txttww fijij = определяются совместной системой уравне-
ний:
),,(),(),(),( 1 tti
L
kti
L
r
d
tid
B
A
A
A
AA ϑωϑϑ
ϑ
ϑ
−−=
),,(),( ti
L
r
d
tid
B
B
BB ϑ
ϑ
ϑ
−=
),,(),(),(1),( 2 titi
J
ktk
Jd
td
BA
M
M
M
ϑϑϑω
ϑ
ϑω
+−=
,),(),(),(),(),(
),(
3
1
2
1
1
1 twti
L
k
twt
L
k
tw
L
r
d
tdw
jB
A
j
A
j
A
Aj ϑϑϑϑωϑ
ϑ
ϑ
−−−=
,),(
),(
2
2 tw
L
r
d
tdw
j
B
Bj ϑ
ϑ
ϑ
−=
,),(1),(),(),(),(
),(
32
2
1
23 twk
J
twti
J
k
twti
J
k
d
tdw
jM
M
jА
M
jВ
M
j ϑϑϑϑϑ
ϑ
ϑ
−+=
,],[,2,1 fttj ∈= ϑ
,)(),( ,)(),( ),(),( ttttittititti BBAA ωω ===
,1),(),( 2211 == ttwttw
.0),(),(),(),( 32312112 ==== ttwttwttwttw
Е.А. Байздренко, Е.А. Шушляпин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 132
Значения 2,1=j показывают, что объект управляется по двум входам.
Таким образом, по указанным выражениям могут быть получены эта-
лонные (произвольной формы) управляющие сигналы для вывода двигателя
на номинальный режим. Далее, с учётом выражений (10), (11) могут быть
рассчитаны моменты переключений релейных управлений, обеспечиваю-
щих аналогичный результат.
Для анализа был выбран двигатель постоянного тока П51 [3] мощно-
стью 5кВт с номинальным напряжением 110 В и параметрами: Ом 7,0=Ar ,
Ом 60=Br , Гн 6,0=AL , Гн, 15=BL с,Ом 37,01 ⋅=k ,АмН 8,0 2
2
−⋅⋅=k
,мкг 2 2⋅=MJ смН 7,0 ⋅⋅=Mk . Параметры 321 ,,, FFFT являются регу-
лировочными.
Интегрирование систем дифференциальных уравнений выполнялось
методом Рунге-Кутта с шагом 1 мс до времени c1=ft при управлении (15),
преобразованном, согласно (10), (11), в релейное, и далее продолжалось до
c51 =ft при номинальных значениях напряжений возбуждения и якоря
110 В. Регулировочные параметры приняты равными: ,11 =F ,22 =F
,253 =F .2,0=T
Для построения релейного управления интервал МКС-управления
1=ft с разбит на четыре отрезка, на которых производится аппроксимация
функции )(thi полиномами вида (10), что позволяет построить релейное
управление с восемью переключениями.
Полученные графики напряжений, токов и скорости при разгоне двига-
теля показаны на рис. 1 а, 1 б, 2 а, 2 б и 2 в соответственно.
На графиках напряжений (рис. 1) кривые 1 (сплошные) соответствуют
случаю релейного управления, а кривые 2 (пунктирные) — отражают изме-
нение управляющего сигнала согласно эталонному МКС-управлению. На
графиках токов и скорости (рис. 2) кривые 1 (сплошные) — изменение
управляемых координат под воздействием релейного управления, кривые 2
(пунктирные) — под воздействием подаваемого на вход МКС-управления,
кривые 3 (штрих-пунктирные) — под воздействием поданного на вход но-
минального напряжения.
Рис. 1. Управляющие напряжения
uA, B
0,2 0,4 0,6 0,8 t, c0
400
200
0,2 0,4 0,6 0,8 0 t, c
400
200
uB, B
a б
Построение эквивалентных релейных управлений для нелинейных систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 133
Из графиков (рис. 2) видно, что значения управляемых координат в тер-
минальный момент управления 1( =ft сек), достигаемые под воздействием
релейного управления, достаточно близки к значениям, получаемым под
воздействием эталонного МКС-управления. В таблице приведены получен-
ные в терминальный момент управления 1=ft сек значения управляемых
координат.
Т а б л и ц а . Результаты вычислений
AiA , AiB , 1, −cω Номинальное
значение 51,856 1,833 108,65
Номинальное
напряжение 98,317 1,800 35,199
Эталонное
МКС-управление 60,892 2,961 99,265
У
пр
ав
ля
ю
щ
ий
си
гн
ал
Релейное управление
(8 переключений) 59,888 2,920 99,890
Из графиков управляемых координат (рис. 2) и таблицы видно, что по-
дача на вход объекта управления номинального напряжения (кривая 3 на
рисунках) не позволяет вывести управляемые координаты к заданным но-
минальным значениям за заданный промежуток времени — 1 сек. В то же
iA, A
1 2 3 4 t, c0
100
50
iB, A
1 2 3 4 0 t, c
1
2
3
4
1
100
50
2 3 4 0 t, c
ω, c-1
б a
в
Рис. 2. Управляемые токи и скорость двигателя
Е.А. Байздренко, Е.А. Шушляпин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 134
время, подача на вход эталонного МКС-управления позволяет получить
значения управляемых координат, близкими к заданным номинальным.
Предлагаемое же релейное управление, в свою очередь, также обеспечивает
достаточно точное достижение заданных номинальных значений.
При этом необходимо заметить, что возникающее перерегулирование
по токам (рис. 2а , 2б ) определяется наличием перерегулирования в эталон-
ном МКС-управлении и находится в допустимых для пускового режима
двигателя пределах.
Таким образом, предложенный метод замены управляющего сигнала
произвольной формы релейным управлением достаточно эффективен.
ВЫВОДЫ
В работе описаны теоретические основы получения релейного управления
нелинейными системами. Предложенный метод позволяет получить управ-
ляющее воздействие, заданное в релейной форме, количество переключений
которого определяется порядком полиномиальной аппроксимации функции ih .
Задача нахождения релейного управления для различных нелинейных
объектов актуальна, поскольку физическая реализация таких управлений
проще и зачастую экономически выгоднее, чем реализация непрерывных
управляющих сигналов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шушляпин Е.А. Модели конечного состояния и их применение в задачах ана-
лиза и синтеза систем управления: дис. д-ра техн. наук: спец. 05.13.03:
«Системы и процессы управления» защищ. 03.10.02: утв. 09.04.03. — Се-
вастополь, 2003. — 323 c. — Инв.номер 0408U002219.
2. Шушляпин Е.А., Безуглая А.Е., Байздренко Е.А. Построение релейных управле-
ний нелинейными системами на основе линейных эквивалентов по Брунов-
скому // Вестник СевНТУ. Cер. Автоматизация процессов и управление: сб.
науч. тр. — Севастополь, 2010. — Вып. 108. — С. 89–93.
3. Шушляпин Е.А., Шушляпина (Безуглая) А.Е. Управление дифференциальными
нелинейными системами на основе идентифицированных моделей конечно-
го состояния. Труды III Международной конференции «Идентификация
систем и задачи управления», г. Москва, 28–30 января 2004 г. — М.: ИПУ
им. В.А.Трапезникова РАН, 2004. — С. 607–635.
Поступила 07.06.2011
|
| id | journaliasakpiua-article-59245 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:19:45Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/8e/0ba06d54a05ad9086a21f134534a158e.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-592452018-03-30T15:12:23Z Formulation of equivalent relay controls for nonlinear systems Построение эквивалентных релейных управлений для нелинейных систем Побудова еквівалентних релейних управлінь для нелінійних систем Baizdrenko, E. A. Shushlyapin, E. A. This work is devoted to the problem of determining the moments of switching in limited relay controls for nonlinear systems, which provide achievement of system states, close to the states, obtained under the influence of arbitrary controls limited in the same range. It is shown that the number of the moments of switching in limited relay control is specified by an approximation order of the stated in this work functions hi(t), which depend on transitional functions and a matrix of coefficients during the system operating. Expressions for calculation of values of the switching moments in case of linear approximation of function hi(t) are shown. For the general case of polynomial approximation of functions hi(t), values of the switching moments of relay control can be evaluated by resolving of the system of equations, given in this work. It is defined that the evaluated moments of switching of limited relay control depend on initial reference control of arbitrary form, limited in the same margins only. The example of determination of switching moments of relay control for the speed-up task of direct current electric motor with independent excitation is given in the work. Работа посвящена задаче определения моментов переключения ограниченных релейных управлений для нелинейных систем, позволяющих обеспечить достижение конечных состояний системы, близких к состояниям, которые получают под воздействием ограниченных в тех же пределах управлений произвольной формы. Показано, что количество моментов переключения ограниченного релейного управления задаётся порядком аппроксимации определенных в работе функций hi(t), зависящих от переходных функций и матрицы коэффициентов при управляющих воздействиях системы. Приведены выражения для вычисления значений моментов переключения в случае линейной аппроксимации функций hi(t). Для общего случая полиномиальной аппроксимации функций hi(t), значения моментов переключений релейного управления могут быть определены решением приведенной в работе системы уравнений. Определено, что получаемые значения моментов переключения ограниченного релейного управления зависят только от исходного, ограниченного в тех же пределах, управления произвольной формы. Приведен пример определения моментов переключения релейного управления для задачи разгона электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения. Роботу присвячено задачі визначення моментів перемикання обмежених релейних управлінь для нелінійних систем, що забезпечують досягнення кінцевих станів системи, близьких до станів, які одержують під впливом обмежених в тих же межах управлінь довільної форми. Показано, що кількість моментів перемикання обмеженого релейного управління задається порядком апроксимації визначених у роботі функцій hi(t) що залежать від перехідних функцій і матриці коефіцієнтів під час управління системи. Наведено вираження для обчислення значень моментів перемикання в разі лінійної апроксимації функцій hi(t). Для загального випадку поліноміальної апроксимації функцій hi(t), значення моментів перемикань релейного управління можуть бути визначені вирішенням наведеної в роботі системи рівнянь. Визначено, що значення моментів перемикання обмеженого релейного управління, які отримані, залежать лише від початкового, обмеженого в тих же межах, управління довільної форми. Наведено приклад визначення моментів перемикання релейного управління для завдання розгону електродвигуна постійного струму незалежного збудження. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2013-03-19 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59245 System research and information technologies; No. 1 (2013); 126-134 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2013); 126-134 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2013); 126-134 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59245/55106 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Baizdrenko, E. A. Shushlyapin, E. A. Побудова еквівалентних релейних управлінь для нелінійних систем |
| title | Побудова еквівалентних релейних управлінь для нелінійних систем |
| title_alt | Formulation of equivalent relay controls for nonlinear systems Построение эквивалентных релейных управлений для нелинейных систем |
| title_full | Побудова еквівалентних релейних управлінь для нелінійних систем |
| title_fullStr | Побудова еквівалентних релейних управлінь для нелінійних систем |
| title_full_unstemmed | Побудова еквівалентних релейних управлінь для нелінійних систем |
| title_short | Побудова еквівалентних релейних управлінь для нелінійних систем |
| title_sort | побудова еквівалентних релейних управлінь для нелінійних систем |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59245 |
| work_keys_str_mv | AT baizdrenkoea formulationofequivalentrelaycontrolsfornonlinearsystems AT shushlyapinea formulationofequivalentrelaycontrolsfornonlinearsystems AT baizdrenkoea postroenieékvivalentnyhrelejnyhupravlenijdlânelinejnyhsistem AT shushlyapinea postroenieékvivalentnyhrelejnyhupravlenijdlânelinejnyhsistem AT baizdrenkoea pobudovaekvívalentnihrelejnihupravlínʹdlânelíníjnihsistem AT shushlyapinea pobudovaekvívalentnihrelejnihupravlínʹdlânelíníjnihsistem |