Задача оптимального керування стадією елонгації полімеразно-ланцюгової реакції
The general methodology of optimal control for obtaining the solution of the optimal flow problem in the elongation stage of a polymerase chain reaction is applied. The examined model of the elongation stage takes into account the dependence of reaction’s rate on the absolute temperature, which is d...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2015
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59445 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334257887674368 |
|---|---|
| author | Martseniuk, V. P. Sverstiuk, A. S. Gvozdetska, І. S. |
| author_facet | Martseniuk, V. P. Sverstiuk, A. S. Gvozdetska, І. S. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. P. Martseniuk",
"institution": null
},
{
"author": "A. S. Sverstiuk",
"institution": "доцент кафедри медичної інформатики Тернопільського державного медичного університету ім. І.Я. Горбачевського, Україна, Тернопіль"
},
{
"author": "І. S. Gvozdetska",
"institution": "доцент кафедри медичної фізики діагностичного та лікувального обладнання Тернопільського державного медичного університету ім. І.Я. Горбачевського, Україна, Тернопіль"
}
] |
| author_sort | Martseniuk, V. P. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2016-07-21T13:49:47Z |
| description | The general methodology of optimal control for obtaining the solution of the optimal flow problem in the elongation stage of a polymerase chain reaction is applied. The examined model of the elongation stage takes into account the dependence of reaction’s rate on the absolute temperature, which is described by the Arrhenius equation. This equation can be used in the investigation of the elongation stage of a polymerase chain reaction, since the temperature controls the process. A scheme of the temperature control in the process of a polymerase chain reaction is examined. Pontryagin’s maximum principle for the optimal control problem is used and the necessary condition for optimality is formulated. The obtained results are required for the numerical calculations of optimal control of the examined stage and help to minimize the required duration of the elongation stage, which will allow to minimize the duration of a polymerase chain reaction in general. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:19:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, І.С. Гвоздецька, 2015
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 75
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 510.87:544.431.7:577.21
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ СТАДІЄЮ
ЕЛОНГАЦІЇ ПОЛІМЕРАЗНО-ЛАНЦЮГОВОЇ РЕАКЦІЇ
В.П. МАРЦЕНЮК, А.С. СВЕРСТЮК, І.С. ГВОЗДЕЦЬКА
Застосовано загальну методологію керування для отримання розв’язку задачі
оптимального перебігу стадії елонгації у полімеразно-ланцюговій реакції.
У досліджуваній моделі стадії елонгації використано рівняння Арреніуса, яке
враховує залежність швидкості реакції від абсолютної температури. Цю залеж-
ність може бути використано для дослідження стадії елонгації полімеразно-
ланцюгової реакції, оскільки керуючим впливом при цьому є саме температу-
ра. Розглянуто схему температурного керування. При реалізації полімеразно-
ланцюгової реакції застосовано принцип максимуму Понтрягіна до задачі оп-
тимального керування та сформульовано необхідну умову оптимальності.
Отримані результати необхідні для чисельного обчислення оптимального ке-
рування досліджуваної стадії та допоможуть мінімізувати необхідний час для
реалізації стадії елонгації, що в майбутньому дозволить мінімізувати час про-
ведення полімеразно-ланцюгової реакції.
ВСТУП
Полімеразна ланцюгова реакція (ПЛР) є експериментальним методом моле-
кулярної біології, під час якого значно збільшуються малі концентрації ба-
жаних фрагментів дезоксирибонуклеї́нової кислоти (ДНК) у біологічному
матеріалі (пробі). Крім простого збільшення числа копій ДНК (цей процес
називається ампліфікацією), ПЛР дозволяє проводити безліч інших маніпу-
ляцій з генетичним матеріалом, і широко використовується в біологічній та
медичній практиках, наприклад для клонування генів, створення й визначення
генетично модіфікованих організмів, діагностики захворювань (спадкових,
інфекційних), ідентифікації малих кількостей ДНК, встановлення батьківства
[1].
ПЛР базується на багаточисленному копіюванні (селективній ампліфі-
кації) досліджуваної ДНК ферментом ДНК-полімеразою. Утворені копії ДНК
ідентифікують за допомогою методу електрофорезу.
Для проведення ПЛР виконується 20–35 циклів [2], кожен з яких скла-
дається з трьох стадій (рисунок).
1. Дволанцюгову ДНК-матрицю нагрівають до 367–369 К (або до 371 К,
якщо використовується особливо термостабільна полімераза) на 0,5–10 хв.,
щоб ланцюги ДНК розділилися. Ця стадія називається денатурацією — руй-
нуються водневі зв’язки між двома ланцюгами. Іноді перед першим циклом
проводять попереднє прогрівання реакційної суміші протягом 2–5 хв. для
повної денатурації матриці й праймерів.
В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, І.С. Гвоздецька
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 76
2. Коли ланцюги розійшлися, температуру знижують, щоб праймери
могли зв’язатися з одноланцюговою матрицею. Ця стадія називається відпа-
лом, її температура залежить від праймерів і зазвичай вибирається на 4–5 К
нижче за їх температуру плавлення. Час стадії — 0,5–2 хв.
3. ДНК-полімераза реплікує матричний ланцюжок, використовуючи
праймер як затравку. Це так звана стадія елонгації. Температура елонгації
залежить від полімерази. Полімерази Taq й Pfu, що найчастіше використо-
вуються, найактивніші за 345 К. Час елонгації залежить як від типу
ДНК-полімерази, так і від довжини фрагмента, який ампліфікують. Середня
швидкість елонгації — 1000 пар основ за 1 хв. Після закінчення всіх циклів
часто проводять додаткову стадію фінальної елонгації, щоб добудувати всі
одноланцюжкові фрагменти. Ця стадія триває 10–15 хв.
Для ефективного проведення ПЛР необхідно забезпечити багатостадій-
ний циклічний режим зміни температури. Кожна стадія циклу (денатурація,
відпал, елонгація) має відбуватися за певних температур та протягом відпо-
відного часу. В іншому випадку необхідних перетворень молекул ДНК може
не відбутися. Таким чином задача математичного моделювання і відповід-
них розрахунків полягає в оцінюванні мінімально необхідного часу реаліза-
ції кожної стадії циклу, що в загальному випадку забезпечить досягнення
мінімального часу проведення ПЛР.
У багатьох роботах [4–6] наведено різні моделі ПЛР, однак для ефектив-
нішого використання методів ПЛР, доцільно провести дослідження керова-
ності цих моделей. Таким чином задача математичного моделювання і відпо-
відних розрахунків полягає в оцінюванні мінімально необхідного часу
реалізації кожної стадії циклу, що в загальному випадку забезпечить досяг-
нення мінімального часу та ефективності проведення ПЛР.
Мета роботи — дослідження керованості стадією елонгації ПЛР, яку
запропоновано в роботі [6].
МАТЕРІАЛИ ТА МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ
Теоретичні основи оптимального керування в ПЛР. У задачах оптималь-
ного керування ПЛР за допомогою температури варто розглядати таку мно-
жину керувань:
Рисунок. Схема температурного керування для реалізації ПЛР [3]
Задача оптимального керування стадією елонгації полімеразно-ланцюгової реакції
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 77
.}вимірна)(,,)(:)({ 21 tutttbtuatuU
Тут .0,,, 21 ttba
Припускається, що стан системи nRtx )( у випадку заданого керуван-
ня Uu визначається системою звичайних диференціальних рівнянь:
,)(
),,,(
)(
00 xtx
uxtf
dt
tdx
(1)
де nn RRRRf : є неперервною і має неперервні перші частинні похі-
дні відносно x та .u Оскільки припускається, що )(tu є вимірною та обме-
женою, то права частина системи (1) є неперервною відносно x й лише ви-
мірною відносно t для фіксованого x . Отже, розв’язки (1) є абсолютно
неперервними функціями, які задовольняють (1) майже скрізь. За таких
умов існування розв’язку (1) ),( utx доведено в роботах [7, 8].
Задача оптимального керування містить критерій якості ][uJ вигляду:
))((),,(][ 2
2
1
txdtuxtLuJ
t
t
,
де L — задана дійснозначна функція; — неперервнодиференційовна
дійснозначна функція. Метою є знаходження керування Uu * такого, що
][inf][ * uJuJ
UT
. (2)
Після того, як описано модель та визначено критерій якості, в теорії
оптимального керування ставлять ряд задач [9]:
доведення існування оптимального керування;
опис побудови оптимального керування;
доведення єдиності оптимального керування;
чисельне обчислення оптимального керування;
дослідження залежності оптимального керування від параметрів мо-
делі.
Достатні умови існування оптимального керування для задачі (1)–(2)
без термінальної складової в критерії якості наведено в роботах [9, 10].
Теорема 1. Розглядається задача оптимального керування (1)–(2) на фік-
сованому інтервалі ],[ 21 tt . Припустимо, що:
існує стала 0M така, що Mutx ),( для всіх Uu та 21 ttt ;
L є напівнеперервною знизу;
множина )},,(),,,(,:),{( 00 vxtLyvxtfyUvyyD є опуклою
для }{],[),( 21 Mxttxt .
Тоді існує оптимальне керування .* Uu
Опис побудови оптимального керування для задачі (1)–(2) дає принцип
максимуму Понтрягіна з термінальною складовою [11, 12].
В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, І.С. Гвоздецька
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 78
Теорема 2. Нехай Uu * — оптимальне керування в задачі (1)–(2). То-
ді існує спряжена функція nRR : така, що ),( *utx , ,*u задовольняють
систему:
11
*
)(
),,,(
)(
xtx
uxtf
dt
tdx
(3)
та спряжену систему:
,)стінсверальноарт умова())((')(
),,,(),,(
)(
22
**
txt
uxtfuxtL
x
H
dt
td
x
T
x
(4)
де функція Гамільтона–Понтрягіна H задається як
),,(),,(),,( uxtfuxtLuxtH T . (5)
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ СТАДІЇ ЕЛОНГАЦІЇ ПЛР
Розглядається модель стадії елонгації ПЛР, яку запропоновано в роботі [6].
Для стадії елонгації
,22 ckqsk
dt
sd
(6)
,322 cnkckqsk
dt
dq
(7)
,322 cnkckqsk
dt
dc
(8)
,3cnk
dt
dn
(9)
,3cnk
dt
dd
(10)
де 2k , 2k — пряма і зворотня швидкості реакції для утворення комплексу,
q — Taq молекула, c — число копій, n — нуклеотидна послідовність для
елонгації, 3k , 3k — пряма і зворотня швидкості реакції для елонгації, d —
дволанцюгова ДНК.
У той же час за проведення фази елонгації ПЛР керуючим впливом є тем-
пература [7–8]. Залежність швидкості реакції k від абсолютної температури
T описується рівнянням Арреніуса [8]:
RTEaAek / , (11)
де A характеризує частоту зіткнень молекул, R — універсальну газову ста-
лу, aE — енергію активації.
Виходячи з рівняння Арреніуса (11) система диференціальних рівнянь
для стадії елонгації (6)–(10) може бути уточненена таким чином:
Задача оптимального керування стадією елонгації полімеразно-ланцюгової реакції
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 79
cekqsek
dt
sd T
r
T
r
22 , (12)
cnekcekqsek
dt
dq T
r
T
r
T
r
322 , (13)
cnekcekqsek
dt
dc T
r
T
r
T
r
322 , (14)
cnek
dt
dn T
r
3 , (15)
cnek
dt
dd T
r
3 , (16)
з відповідними початковими умовами:
.)(,)(,)(,)(,)( 0101010101 dtdntnctcqtqsts
У системі диференціальних рівнянь (12-16)
R
E
r a — стала. Вважаємо,
що )(tTT — функція керування. Припускаємо, що ],[)( maxmin
ee TTtT .
Для стадії елонгації метою є отримати якнайбільше двохланцюгових
ДНК ,d при цьому витративши якнайменше Taq молекул, тобто:
2
1
inf))()((),,,,,( 22
t
t
UT
dttWqtdTdncqsJ ,
де 0>W — ваговий коефіцієнт, U — множина кусково-неперервних
функцій ],[)( maxmin
ee TTtT .
Біологічно значимою областю є
5
1 ),,,,,( RTdncqs , (17)
що накладає фазові обмеження:
0s , 0q , 0c , 0n , 0d . (18)
Отже, метою є визначення оптимального керування ,* UT що задо-
вольняє:
][inf][ * TJTJ
UT
. (19)
На основі теореми 1 бачимо, що оптимальне керування в задачі
(12)–(19) існує, оскільки підінтегральний вираз у критерії якості є опуклою
функцією, а траєкторія системи належить простору L .
Застосуємо теорему 2 для отримання необхідних умов оптимальності.
Функція Гамільтона–Понтрягіна має вигляд:
)( 221
22 cekqsekWqdH T
r
T
r
В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, І.С. Гвоздецька
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 80
)( 3222 cnekcekqsek T
r
T
r
T
r
.)()()( 35343223 cnekcnekcnekcekqsek T
r
T
r
T
r
T
r
T
r
(20)
Отже, з теореми 2 маємо спряжену систему:
)( 3212
1
qek
s
H
dt
d T
r
,
)(2 3212
2
sekWq
q
H
dt
d T
r
,
)()( 543233212
3
nekek
c
H
dt
d T
r
T
r
, (21)
)( 54323
4
cek
n
H
dt
d T
r
,
.25 d
d
H
dt
d
Позначимо:
.)()()(
)()()(
35343223
3222221
cnekcnekcnekcekqsek
cnekcekqsekcekqsektФ
T
r
T
r
T
r
T
r
T
r
T
r
T
r
T
r
T
r
T
r
(22)
Враховуючи (22), функцію Гамільтона–Понтрягіна (20) запишемо
у вигляді:
])([22 tФeWqdH T
r
. (23)
Звідси бачимо, що максимальні значення H будуть при )(* tTT , де:
.0)(якщо,],[зякебудь
,0<)(якщо,
,0>)(якщо,
)(
maxmin
max
min
*
tФTT
tФT
tФT
tT
ee
e
e
(24)
Отже, оптимальні траєкторія ),,,,( ***** dncqs на керування *T мо-
жуть бути побудовані в результаті розв’язку крайової задачі:
cekqsek
dt
sd T
r
T
r
22 ,
cnekcekqsek
dt
dq T
r
T
r
T
r
322 ,
Задача оптимального керування стадією елонгації полімеразно-ланцюгової реакції
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 81
cnekcekqsek
dt
dc T
r
T
r
T
r
322 ,
cnek
dt
dn T
r
3 ,
cnek
dt
dd T
r
3 , (25)
)( 3212
1
qek
s
H
dt
d T
r
,
)(2 3212
2
sekWq
q
H
dt
d T
r
,
)()( 543233212
3
nekek
c
H
dt
d T
r
T
r
,
)( 54323
4
cek
n
H
dt
d T
r
,
.25 d
d
H
dt
d
З крайовими умовами:
;)(,)(,)(,)(,)( 0101010101 dtdntnctcqtqsts
.0)(,0)(,0)(,0)(,0)( 2524232221 ttttt
Теорема 3. Для досить малого значення 2t розв’язок системи (25) є єди-
ним.
Доведення. Припустимо навпаки, що існують два розв’язки (25), а саме:
),,,,,,,,,( *
5
*
4
*
3
*
2
*
1
****** dncqsT ,
),,,,,,,,,( **
5
**
4
**
3
**
2
**
1
************ dncqsT .
Праві частини системи (25) є Ліпшицевими функціями аргументів
54321 ,,,,,,,,, dncqs . Звідси існує стала 0C така, що:
dssTsTCtTtT
t
t
2
1
)()()()( ****** . (26)
Застосовуючи до (26) теорему про середнє значення, маємо, що існує
момент часу 21: tt такий, що:
)()()()( ***
2
*** TTCttTtT
при всіх ],[ 21 ttt . Якщо ж виберемо 2t таким, що
C
t
1
2 , то отримуємо
суперечність.
В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, І.С. Гвоздецька
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 82
ВИСНОВКИ
Сформульовано задачу оптимального керування протікання стадії елонгації
у ПЛР. Застосовано принцип максимуму Понтрягіна до задачі оптимального
керування та сформульовано необхідну умову оптимальності. Отримані ре-
зультати необхідні для чисельного обчислення оптимального керування до-
сліджуваної стадії та допоможуть мінімізувати необхідний час для реалізації
стадії елонгації, що в майбутньому дозволить мінімізувати час проведення
полімеразно-ланцюгової реакції.
У подальших дослідженнях потрібно дослідити керованість інших ста-
дій ПЛР та провести відповідне чисельне обчислення оптимального керу-
вання.
ЛІТЕРАТУРА
1. Сверстюк А.С., Бігуняк Т.В., Перевізник Б.О. Огляд методів та моделей поліме-
разно-ланцюгової реакції // Медична інформатика та інженерія. — № 3. —
С. 97–100.
2. Путинцева Г.Й. Медична генетика: підручник. — К.: Медицина, 2008. —
С. 81–87.
3. Буляница А.Л. Математическое моделирование циклических режимов управле-
ния температурой при реализации полимеразно цепной реакции (ПЦР) для
метода молекулярных колоний (ММК) на микрочипе // Научное приборо-
строение. — 2011. — 21, № 1. — С. 87–96.
4. Arnheim N. Polymerase chain reaction strategy // Annual review of biochemistry. —
1992. — 61, XIV+1359P. — P. 131–156.
5. Xiangchun X., Sinton D., Dongqing L. Thermal end effects on electroosmotic flow in
capillary // Int. J. of Heat and Mass transfer. — 2004. — 47. — P. 3145–3157.
6. Stone E., Goldes J., Garlick M. A multi-stage model for quantitative PCR // Mathe-
matical biosciences and engineering. — http://hs.umt.edu/math/research/technical-
reports/documents/2009/10_pcrpaper4.pdf
7. Lukes D.L. Differential Equations: Classical to Controlled // Academic Press, New
York. — 1982. — 162. — P. 322.
8. Piccinini L. C., Stampacchia G., Vidossich G. Ordinary Differential Equations in Rn.
Problems and Methods Ordinary // Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, Spring-
er-Verlag. — 1984. — XII. — P. 385.
9. Macki J., Strauss A. Introduction to Optimal Control Theory, Springer-Verlag // New
York. — 1982. — XIV. — P. 168.
10. Fleming W.H., Rishel R.W. Deterministic and Stochastic Optimal Control, Springer
Verlag // New York. — 1975. — XIII. — P. 222.
11. Kamien M.I., Schwartz N.L. Dynamic Optimization // North-Holland, Amsterdam. —
1991. — 3. — P. 272.
12. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математи-
ческая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1983. — 393 с.
13. Kelly K., Kostin M. Non-Arrhenius rate constants involving diffusion and reaction
// Journal of Chemical Physics. —1986. — 85, issue 12. — P. 7318.
Надійшла 28.02.2014
|
| id | journaliasakpiua-article-59445 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:19:52Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/19/e5af397cafeb18a522329a7a502c2319.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-594452016-07-21T13:49:47Z Optimal control problem of the elongation stage in the polymerase chain reaction Задача оптимального управления стадией элонгации полимеразной цепной реакции Задача оптимального керування стадією елонгації полімеразно-ланцюгової реакції Martseniuk, V. P. Sverstiuk, A. S. Gvozdetska, І. S. The general methodology of optimal control for obtaining the solution of the optimal flow problem in the elongation stage of a polymerase chain reaction is applied. The examined model of the elongation stage takes into account the dependence of reaction’s rate on the absolute temperature, which is described by the Arrhenius equation. This equation can be used in the investigation of the elongation stage of a polymerase chain reaction, since the temperature controls the process. A scheme of the temperature control in the process of a polymerase chain reaction is examined. Pontryagin’s maximum principle for the optimal control problem is used and the necessary condition for optimality is formulated. The obtained results are required for the numerical calculations of optimal control of the examined stage and help to minimize the required duration of the elongation stage, which will allow to minimize the duration of a polymerase chain reaction in general. Применена общая методология управления для получения решения задачи оптимального течения стадии элонгации в полимеразной цепной реакции. В исследуемой модели стадии элонгации использовано уравнение Аррениуса, которое учитывает зависимость скорости реакции от абсолютной температуры. Данная зависимость может быть использована при исследовании стадии элонгации полимеразной цепной реакции, поскольку управляющим воздействием при этом является именно температура. Рассмотрена схема температурного управления при реализации полимеразной цепной реакции. Применен принцип максимума Понтрягина к задаче оптимального управления и сформулировано необходимое условие оптимальности. Полученные результаты необходимы для численного вычисления оптимального управления исследуемой стадии и помогут минимизировать необходимое время для реализации стадии элонгации, что в общем позволит минимизировать время проведения полимеразной цепной реакции. Застосовано загальну методологію керування для отримання розв’язку задачі оптимального перебігу стадії елонгації у полімеразно-ланцюговій реакції. У досліджуваній моделі стадії елонгації використано рівняння Арреніуса, яке враховує залежність швидкості реакції від абсолютної температури. Цю залежність може бути використано для дослідження стадії елонгації полімеразно-ланцюгової реакції, оскільки керуючим впливом при цьому є саме температура. Розглянуто схему температурного керування. При реалізації полімеразно-ланцюгової реакції застосовано принцип максимуму Понтрягіна до задачі оптимального керування та сформульовано необхідну умову оптимальності. Отримані результати необхідні для чисельного обчислення оптимального керування досліджуваної стадії та допоможуть мінімізувати необхідний час для реалізації стадії елонгації, що в майбутньому дозволить мінімізувати час проведення полімеразно-ланцюгової реакції. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2015-12-15 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59445 System research and information technologies; No. 4 (2015); 75-82 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2015); 75-82 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2015); 75-82 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59445/55316 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Martseniuk, V. P. Sverstiuk, A. S. Gvozdetska, І. S. Задача оптимального керування стадією елонгації полімеразно-ланцюгової реакції |
| title | Задача оптимального керування стадією елонгації полімеразно-ланцюгової реакції |
| title_alt | Optimal control problem of the elongation stage in the polymerase chain reaction Задача оптимального управления стадией элонгации полимеразной цепной реакции |
| title_full | Задача оптимального керування стадією елонгації полімеразно-ланцюгової реакції |
| title_fullStr | Задача оптимального керування стадією елонгації полімеразно-ланцюгової реакції |
| title_full_unstemmed | Задача оптимального керування стадією елонгації полімеразно-ланцюгової реакції |
| title_short | Задача оптимального керування стадією елонгації полімеразно-ланцюгової реакції |
| title_sort | задача оптимального керування стадією елонгації полімеразно-ланцюгової реакції |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59445 |
| work_keys_str_mv | AT martseniukvp optimalcontrolproblemoftheelongationstageinthepolymerasechainreaction AT sverstiukas optimalcontrolproblemoftheelongationstageinthepolymerasechainreaction AT gvozdetskaís optimalcontrolproblemoftheelongationstageinthepolymerasechainreaction AT martseniukvp zadačaoptimalʹnogoupravleniâstadiejélongaciipolimeraznojcepnojreakcii AT sverstiukas zadačaoptimalʹnogoupravleniâstadiejélongaciipolimeraznojcepnojreakcii AT gvozdetskaís zadačaoptimalʹnogoupravleniâstadiejélongaciipolimeraznojcepnojreakcii AT martseniukvp zadačaoptimalʹnogokeruvannâstadíêûelongacíípolímeraznolancûgovoíreakcíí AT sverstiukas zadačaoptimalʹnogokeruvannâstadíêûelongacíípolímeraznolancûgovoíreakcíí AT gvozdetskaís zadačaoptimalʹnogokeruvannâstadíêûelongacíípolímeraznolancûgovoíreakcíí |