Аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами
The inverse problems of continuous differential and integral equations approximation with finite discrete algebraic systems and the problems of local linearization of nonlinear equations by the provided information are reduced to solving the linear algebraic systems. Matrices of such systems are usu...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2015
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59449 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334257928568832 |
|---|---|
| author | Parkhomchuk, D. M. Tymoshenko, Yu. O. |
| author_facet | Parkhomchuk, D. M. Tymoshenko, Yu. O. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "D. M. Parkhomchuk",
"institution": "аспірант Навчально-наукового комплексу \"Інститут прикладного системного аналізу\" НТУУ \"КПІ\" МОН та НАН України, старший аналітик департаменту ринкових,\nроздрібних та операційних ризиків АТ \"Райффайзен банк Аваль\", Україна, Київ"
},
{
"author": "Yu. O. Tymoshenko",
"institution": "доцент кафедри математичних методів системного аналізу Навчально-наукового комплексу \"Інститут прикладного системного аналізу\" НТУУ \"КПІ\" МОН та НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Parkhomchuk, D. M. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2016-07-21T13:49:47Z |
| description | The inverse problems of continuous differential and integral equations approximation with finite discrete algebraic systems and the problems of local linearization of nonlinear equations by the provided information are reduced to solving the linear algebraic systems. Matrices of such systems are usually ill-conditioned due to ill-posed problems according to Hadamard correctness. As a solution to these problems a dynamical method for regularization was proposed [1]. In order to reduce the computation time of the algorithm, a second order modification of the dynamical method is proposed. This paper provides mathematical tools based on this method. A practical example shows its effectiveness. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:19:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
Д.М. Пархомчук, Ю.О. Тимошенко, 2015
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 97
УДК 519.6
АНАЛІТИЧНИЙ РОЗВ’ЯЗОК НЕКОРЕКТНИХ ЗАДАЧ
ДИНАМІЧНИМИ МЕТОДАМИ
Д.М. ПАРХОМЧУК, Ю.О. ТИМОШЕНКО
Апроксимація неперервних диференційних та інтегральних рівнянь скінчен-
ними дискретними алгебраїчними системами, локальна лінеаризація систем
нелінійних рівнянь за заданою інформацією у разі вирішення обернених задач
зводиться до задач розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Матриці
таких систем зазвичай є погано обумовленими, тому задачі розв’язання таких
систем є некоректними, оскільки порушується третя умова коректності за
Адамаром. Для розв’язання некоректних задач запропоновано динамічний ме-
тод регуляризації [1]. З метою зменшення часу роботи алгоритму, що пропону-
ється динамічним методом запропоновано модифікований метод — динамічний
метод другого порядку. Розроблено математичний апарат та на його основі за-
пропоновано алгоритм для модифікованого методу, а також показано його
ефективність на практичному прикладі.
ВСТУП
Ж. Адамар на початку ХХ століття ввів наступне поняття коректності зада-
чі. Задача називається коректною, якщо виконано наступні вимоги:
задача має містити розв’язок;
вирішення задачі є єдиним;
розв’язок задачі неперервно залежить від вхідних даних.
Якщо порушено хоча б одну з наведених вище вимог, то така задача на-
зивається некоректною.
Адамар навів наступний приклад некоректно поставленої задачі. Як ві-
домо, диференційне рівняння Лапласа описує фізичний процес — стаціона-
рний розподіл температури у просторовому тілі:
.sin
1
,0
,0),,(),(
00
kx
k
uu
yyxuyxu
yyy
xxyy
(1)
Нескладно показати, що розв’язком такого рівняння буде функція
kx
k
ky
yxuk sin
sh
),(
2
.
При k видно, що 0sin
1
kx
k
по x (тут збіжність розуміється
у рівномірному сенсі); тоді розв’язок також має прямувати до нуля. Од-
нак, у загальному випадку, коли .,0),(,...,1,0, ktxunnx k
Тому неперервної залежності від початкових умов немає, і відповідно, зада-
чу (1) поставлено некоректно [1].
Мета роботи — модифікація динамічного методу регуляризації неко-
ректних задач для поліпшення певних характеристик методу.
Д.М. Пархомчук, Ю.О. Тимошенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 98
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Цілі цього дослідження можна умовно поділити на 2 частини: модифікація
існуючого динамічного методу регуляризації та розробка відповідного чи-
сельного методу, а також демонстрація роботи розробленого методу на прак-
тичному прикладі.
Надалі будемо розглядати систему лінійних рівнянь виду
,,,, MNNM xbAbAx RRR (2)
де матриця A погано обумовлена, що унеможливлює застосування прямих
методів [2].
Серед сучасних методів розв’язання задачі (1) виділяють методи регу-
ляризації — додавання певної інформації в умову задачі так, щоб отримана
задача стала коректною. Найвідомішими методами регуляризації є: регуля-
ризація Тихонова та регуляризація Лаврентьєва.
В роботі [3] розглядається динамічний метод регуляризації некорект-
них задач, відповідно до якого за наближений розв’язок системи рівнянь (2)
приймається розв’язок наступної задачі Коші:
.)0(
,
0xx
bxAx
Загальну схему застосування цього методу можна описати таким чи-
ном: нехай відомо, що в задачі (2) матриця A відома з деякою точністю ,
а права частина — з точністю . Тоді, виходячи з умови задачі, обирається
деякий функціонал ))(,,( * xH і деякий рівень зупинки de . * обира-
ється як перший момент часу, коли виконано умову dexH ))(,,( * ,
а у якості наближеного розв’язку (2) обирають )( ** xx .
У роботі досліджується наступна система диференційних рівнянь дру-
гого порядку:
,)0(,)0(
,
21
21
xxxx
bAxxx
(3)
де 1 та 2 — параметри.
РОЗВ’ЯЗОК СИСТЕМИ
Наведемо основні кроки розв’язання системи (3).
Спочатку введемо наступні позначення.
Нехай ia — i-й стовпчик матриці ,T AA ),,,( 2 ni aaa — визначник
матриці, у якої ),,,( 2 ni aaa є стовпчиками, i — i-е власне число матри-
ці .T AA
Застосуємо до (3) перетворення Лапласу й отримаємо:
./)())(())(( 1221
2
1 pbpAXxppXxpxpXp (4)
Аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 99
Вище отримано систему лінійних алгебраїчних рівнянь, розв’язком якої
буде образ розв’язку системи (3). Систему (4) було розв’язано за методом
Крамера.
Таким чином,
)(
)(
)(
p
p
pX i
i
. (5)
Користуючись означенням характеристичного поліному, можна ствер-
джувати, що визначник системи (4) дорівнює
22
2
1112
2
1 )(,)(()( eppaeppp
.)))(,..., 2
2
12 nn aeppa (6)
Далі розпишемо )( psysi :
,)(,)(()( 222
2
1112
2
1 aeppaepppi
1221112
2
1 /1,)(, xxpbaepp ii
)))(,...,)(, 2
2
1112
2
111 nnii aeppaeppxp . (7)
Введемо наступні позначення, щоб переписати вираз (7) у більш ком-
пактній формі:
12
2
1222
2
1112
2
11 )(,...,)(,)(()( ieppaeppaepppD
;))(,...,)(,/1, 2
2
1112
2
11 nniii aeppaepppba
22
2
1112
2
12 )(,)(()( eppaepppD
12
2
11221112
2
12 )(,,)(,..., iii eppxxaeppa
))(,..., 2
2
11 nni aeppa ;
22
2
1112
2
13 )(,)(()( eppaepppD
12
2
111112
2
12 )(,,)(,..., iii epppxaeppa
))(,..., 2
2
11 nni aeppa .
Тоді
.)()()()( 321 pDpDpDpi (8)
Підставляючи (8) у (5), отримаємо
.
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)( 321
p
pD
p
pD
p
pD
pxi
(9)
Для явного наведення розв’язку системи (3) залишилося знайти обер-
нене перетворення Лапласу від кожного доданку (9) та просумувати. Наве-
демо остаточний результат таких перетворень. Для цього введемо наступні
позначення:
Д.М. Пархомчук, Ю.О. Тимошенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 100
1
1
2
22
1
1
2
22
2
4
,
2
4
i
i
i
i dc
,
,),...,,,,...,,,,...,( 11111 njjjii
j
i aaeaabaa
),...,,,,...,,,,...,( 111122111 njjjii
j
i aaeaaxxaa ,
,),...,,,,...,,,,...,( 1111111 njjjii
j
i aaeaaxaa
n
ijj
j
ii pppF
,1
2
2
11 )(()(
ijj
njj
i
njj
i bppppp
21
21
21
,
1
1
2
2
1
,2
2
2
1 ,)()(
n
i
ii dpcpppF
1
2 ,)()()(
ijj
njj
jj
i
n
ijj
j
ii pppppG
21
21
21
,
1
,2
2
2
1
,1
2
2
11 )()(()(
,)()( 1221
1
2
2
1 i
n xxpp ,)(*)()(
1
2
n
i
ii dpcppG
n
ijj
j
ii pppH
,1
2
2
11 )(()(
i
n
ijj
njj
jj
i xpppp )()()( 11
1
2
2
1
,
1
,2
2
2
1
21
21
21
.
Користуючись наведеними вище позначеннями, розв’язок системи (3)
можна записати як
n
j j
jj
j
jtci
i
cG
cHcG
cF
cF
etx j
1 2
11
2
1
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
2
11
2
1
j
j
j
jj
j
jtd
dG
c
d
cHcG
dF
cF
e j . (10)
АНАЛІЗ ОТРИМАНОГО РОЗВ’ЯЗКУ
Наслідок 1. Для стійкості розв’язку (10) достатньо, щоб було виконано
умову )0,0:],1[( ii dcni , тобто
.0
2
4
,0
2
4
:],1[
1
1
2
22
1
1
2
22
iini (11)
Аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 101
Визначимо, які умови необхідно накласти на 1 та 2 , щоб наведена
вище умова виконувалась.
Розглянемо два випадки.
Перший випадок. Нехай 01 , тоді (11) еквівалентно
,24:],1[ 211
2
2 ini
звідки
.0,04:],1[ 21 ini
Враховуючи той факт, що i0 , остаточно отримуємо, що ,01
02 і цієї умови достатньо, щоб рішення (10) було стійким.
Другий випадок. Нехай ,01 тоді (11) еквівалентно
,04 1
2
22 i
звідки 21 0,04:],1[ ini . Як і у попередньому випадку, отримуємо
01 , але це суперечить початковому припущенню .01 Таким чином
достатньою умовою для стійкості рішення (10) є ,01 .02
Наслідок 2. Дослідимо асимптотичні властивості розв’язку (10), якщо
виконано умови, які наведено у попередньому наслідку. Справді, при t
виконано: ,0,0 tdtc jj ee тому з виразу (8) отримуємо:
i
i
t
tx )(lim .
Таким чином розв’язок системи (3) збігається до точного розв’язку сис-
теми (2).
Наслідок 3. Вище було отримано, що умови )0,0( 21 достатньо
для того, щоб розв’язок (3) був стійким. З метою підвищення швидкодії методу
отримаємо умови, які необхідно накласти на 1 та 2 . Для цього необхідно,
щоб коефіцієнти у показниках експонент рішення (10) відповідали умовам:
.
2
4
,
2
4
1
1
2
22
1
1
2
22
i
i
i
i
Дослідимо це. Для цього достатньо перевірити тільки другу умову.
Отже:
ii 11
2
22 24 або 1
2
212 42 ii .
Звідки 02,444 121
2
2
22
11
2
2 iiii . Таким чином, оста-
точно отримуємо
.2 12 i (12)
Для її виконання необхідно знайти модуль найбільшого власного числа мат-
риці А та прийняти, наприклад, що ,11 а .12 max2
АЛГОРИТМ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕКОРЕКТНИХ ЗАДАЧ ДИНАМІЧНИМ
МЕТОДОМ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Спираючись на отриманий вище результат та використовуючи правило зу-
пинки, яке було запропоновано у динамічному методі [3]. В роботі розгля-
Д.М. Пархомчук, Ю.О. Тимошенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 102
дається наступний алгоритм динамічного методу другого порядку для
розв’язання некоректних задач:
1. Звести обернену задачу до задачі вигляду (2).
2. Визначити max — найбільше власне число матриці AAT .
3. Обрати значення 21, виходячи з умови max12 2 .
4. Визначити вигляд функціоналу ))(,,( * xH .
5. Визначити рівень зупинки de .
6. Чисельно розв’язувати систему (3) до виконання умови
dexH ))(,,( * .
7. За наближений розв’язок задачі (3) приймається )( ** xx .
ПРАКТИЧНИЙ РЕЗУЛЬТАТ
Задля демонстрації роботи запропонованого методу було виконано наступ-
ний чисельний експеримент.
Розглянемо наступне рівняння:
)()(),(
1
0
tfdytK , (13)
де
))(1(
1
),(
2
t
tK (розподіл Коші з математичним сподіванням
у точці ). Ядра такого типу зустрічаються у задачах гравіметрії [4]. Нехай
.)1()( 22 y Вважаємо, що праву частину рівняння (13) можна замірити
лише з певною точністю . Задача полягає у визначенні значень y на де-
якій дискретній сітці. Розв’яжемо її відповідно наведеного вище алгоритму.
Застосуємо наступну схему для лінеаризації задачі (13):
)(),(
1
i
n
j
jji xfhyxxK
.
Для остаточного формування системи рівнянь (2) введемо наступні по-
значення:
.)(),(),(,),(),( iiiijiijij xxxfbbbhxxKaaA
У якості кількості замірів правої частини та n візьмемо 50. Число обу-
мовленості отриманої матриці ,107665,6)(cond 18A а отже задача є неко-
ректною. Найбільше власне число матриці AAT .078402,0max Згідно
з (12) припускаємо, що 11 та 12 . Враховуючи той факт, що матри-
ця A в цій задачі задана точно, вважаймо, що .1de Тоді
.
||)(||
))(,,(
*
*
bxA
xH
(14)
Таким чином, чисельно розв’язуючи систему (3), знаходиться значення
* згідно з (14).
Аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами
Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 103
Для оцінки результатів роботи алгоритму було підраховано похибку
знайденого результату роботи алгоритму:
50
1
2** )(||||
i
ii yyyy ,
а також похибку відносно правої частини ** Ayf :
50
1
2** )(||||
i
ii ffff .
Нижче наведено порівняльну таблицю результатів розв’язання задачі за
регуляризацією за Тихоновим та динамічним методом першого (ДМ1) та
другого (ДМ2) порядків.
Т а б л и ц я . Порівняння результатів
Похибка y Похибка f
Тихонов ДМ1 ДМ2 Тихонов ДМ1 ДМ2
0,0771 0,0764 0,0764 0,00052 0,00059 0,00059
Як бачимо, ДМ1 та ДМ2 надали кращий результат за шуканою функці-
єю і дещо гірший результат для правої частини рівняння (13).
ВИСНОВКИ
У роботі розглянуто модифікацію динамічного методу регуляризації шля-
хом введення в рівняння другої похідної. Знайдено аналітичний розв’язок
такої системи диференційних рівнянь другого порядку. Проведено аналіз на
стійкість отриманих рішень. Розроблено правила з вибору параметрів дина-
мічного методу другого порядку. Знайдено певні залежності між парамет-
рами системи, які дозволяють збільшити швидкодію методу. Запропоновано
чисельний алгоритм розв’язку динамічного методу другого порядку. Наве-
дено практичне застосування розробленого методу для вирішення інтеграль-
ного рівняння Фредгольму першого порядку, яке часто зустрічається у зада-
чах гравіметрії. Виконано порівняння наближених рішень, що знайдені
динамічними методами першого та другого порядку та регуляризацією
за Тихоновим.
Практичне значення роботи полягає у можливості створення замкнених
систем автоматичного керування для обернених задач об’єктів, які опису-
ються неперервними диференційними та інтегральними рівняннями.
ЛІТЕРАТУРА
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Нау-
ка, 1979. — 284 с.
2. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических
вычислений: Пер. с англ. Икрамова Х.Д. — М.: Мир, 1980. — 277 с.
3. Гутенмахер Л.И., Тимошенко Ю.А., Тихончук С.Т. О динамическом методе ре-
шения некорректных задач // Докл. АН СССР. — 1977. — 237. — № 4. —
С. 776–778.
4. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. — М: Физматлит,
2002. — 158 с.
Надійшла 08.07.2013
|
| id | journaliasakpiua-article-59449 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:19:53Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/17/e40180cab803b9a530a444f9970cc417.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-594492016-07-21T13:49:47Z Analytic solution of ill-posed problems via dynamic methods Аналитическое решение некоректних задач динамическими методами Аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами Parkhomchuk, D. M. Tymoshenko, Yu. O. The inverse problems of continuous differential and integral equations approximation with finite discrete algebraic systems and the problems of local linearization of nonlinear equations by the provided information are reduced to solving the linear algebraic systems. Matrices of such systems are usually ill-conditioned due to ill-posed problems according to Hadamard correctness. As a solution to these problems a dynamical method for regularization was proposed [1]. In order to reduce the computation time of the algorithm, a second order modification of the dynamical method is proposed. This paper provides mathematical tools based on this method. A practical example shows its effectiveness. Апроксимация непрерывних дифференциальных и интегральных уравнений конечными дискретними алгебраическими системами, локальная линеаризация нелинейных уравнений по заданой информации при решении обратных задач сводятся к задачам решения систем линейных алгебраических уравнений. Матрицы таких систем обычно плохо обусловлены, поэтому задачи их решения некоректны, поскольку нарушается третье условие коректности по Адамару. Для решений некоретных систем предложен динамический метод регуляризации некоректных задач [1]. С целью уменьшения времени работы алгоритма, который предлагается динамическим методом, предложен модифицированный метод — динамический метод второго порядка. Разработан математический аппарат и на его основании предложен алгоритм для модифицированного метода, а также показана его эффективность на практическом примере. Апроксимація неперервних диференційних та інтегральних рівнянь скінченними дискретними алгебраїчними системами, локальна лінеаризація систем нелінійних рівнянь за заданою інформацією у разі вирішення обернених задач зводиться до задач розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Матриці таких систем зазвичай є погано обумовленими, тому задачі розв’язання таких систем є некоректними, оскільки порушується третя умова коректності за Адамаром. Для розв’язання некоректних задач запропоновано динамічний метод регуляризації [1]. З метою зменшення часу роботи алгоритму, що пропонується динамічним методом запропоновано модифікований метод - динамічний метод другого порядку. Розроблено математичний апарат та на його основі запропоновано алгоритм для модифікованого методу, а також показано його ефективність на практичному прикладі. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2015-12-15 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59449 System research and information technologies; No. 4 (2015); 97-103 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2015); 97-103 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2015); 97-103 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59449/55318 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Parkhomchuk, D. M. Tymoshenko, Yu. O. Аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами |
| title | Аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами |
| title_alt | Analytic solution of ill-posed problems via dynamic methods Аналитическое решение некоректних задач динамическими методами |
| title_full | Аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами |
| title_fullStr | Аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами |
| title_full_unstemmed | Аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами |
| title_short | Аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами |
| title_sort | аналітичний розв’язок некоректних задач динамічними методами |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59449 |
| work_keys_str_mv | AT parkhomchukdm analyticsolutionofillposedproblemsviadynamicmethods AT tymoshenkoyuo analyticsolutionofillposedproblemsviadynamicmethods AT parkhomchukdm analitičeskoerešenienekorektnihzadačdinamičeskimimetodami AT tymoshenkoyuo analitičeskoerešenienekorektnihzadačdinamičeskimimetodami AT parkhomchukdm analítičnijrozvâzoknekorektnihzadačdinamíčnimimetodami AT tymoshenkoyuo analítičnijrozvâzoknekorektnihzadačdinamíčnimimetodami |