Чому точність вимірювання фізичних величин обмежена

The research results explaining the restriction causes of measurement precision of real physical variables are presented. It is shown that the imperfect character of the phenomenon of statistical stability that manifests itself in misconvergence (inconsistency) of statistical estimates is a key elem...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2015
Main Author:	Gorban, I. I.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2015
Online Access:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59515
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	System research and information technologies
Download file:

Institution

System research and information technologies

_version_	1867334259846414336
author	Gorban, I. I.
author_facet	Gorban, I. I.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "I. I. Gorban", "institution": null } ]
author_sort	Gorban, I. I.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2016-07-21T13:49:47Z
description	The research results explaining the restriction causes of measurement precision of real physical variables are presented. It is shown that the imperfect character of the phenomenon of statistical stability that manifests itself in misconvergence (inconsistency) of statistical estimates is a key element in the precision limitation. The peculiarities of the law of average and the central limit theorem of probability theory under conditions of violation of statistical stability are determined. The results of theoretical research are confirmed by experiments. It is drawn to attention that real estimates have hyper-random character. Their hyper-random nature becomes evident when the sample size is large.
first_indexed	2025-07-17T10:19:54Z
format	Article
fulltext	 И.И. Горбань, 2015 Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 123 УДК 53.01:53.05+519.2 ПОЧЕМУ ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОГРАНИЧЕНА И.И. ГОРБАНЬ Приведены результаты исследований, проясняющие механизм ограничения точности измерений реальных физических величин. Показано, что ключевую роль в ограничении точности играет неидеальный характер феномена стати- стической устойчивости, проявляющийся в отсутствии сходимости (несостоя- тельности) статистических оценок. Выяснены особенности действия закона больших чисел и центральной предельной теоремы теории вероятностей в ус- ловиях нарушения статистической устойчивости. Результаты теоретических исследований подтверждены экспериментально. Установлено, что реальные оценки носят гиперслучайный характер. Гиперслучайная природа реальных оценок проявляется при больших объемах выборки. ВВЕДЕНИЕ Научно-технический прогресс неразрывно связан с повышением точности измерений. Несмотря на колоссальные усилия, предпринимаемые на протя- жении столетий, каждый шаг по повышению точности измерений дается с большим трудом. Естественно возникает вопрос: существует ли предел точности измерений реальных физических величин? Вопрос не нов. Благодаря классическим работам Фишера, Крамера, Рао, Ван Триса, Тихонова и др. в ХХ веке в теории вероятностей сформиро- валось широко распространенное мнение, что точность, определяемая объе- мом выборки и свойствами помехи, при неограниченном увеличении объема выборки теоретически может возрастать до бесконечности [1–3]. Этот оптимистический вывод, к сожалению, не находит подтверждения на практике. Инженеры и физики знают, что путем увеличения объема вы- борки во многих случаях можно повысить точность измерений, но не бес- предельно — рано или поздно начинают сказываться те или иные факторы, ограничивающие возможность повышения точности. Исследование причин противоречия между теорией и практикой привело к пониманию, что известный издавна феномен статистической ус- тойчивости массовых явлений, являющийся физической основой тео- рии вероятностей, носит неидеальный (ограниченный) характер. Теория вероятностей [4] изучает законы массовых явлений, описывая их с помощью случайных (стохастических) математических моделей. В ос- нове их построения лежит физическая гипотеза абсолютной (идеальной) статистической устойчивости частоты реальных событий, из которой следу- ет абсолютная статистическая устойчивость (статистическая прогнозируе- мость) параметров и характеристик любых физических явлений — реальных событий, величин, процессов и полей. И.И. Горбань ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 124 На протяжении столетий считалось, что гипотеза идеальной статисти- ческой устойчивости адекватно отражает реалии физического мира. Однако экспериментальные исследования различных физических величин и процес- сов на больших интервалах наблюдения показали [5–17], что эта гипотеза экспериментально не подтверждается. При небольших временных, пространственных или пространственно- временных интервалах наблюдения увеличение объема статистических дан- ных приводит к уменьшению уровня флуктуаций статистических оценок, что создает иллюзию идеальной статистической устойчивости. Но, начиная с некоторого критического объема данных, уменьшение уровня флуктуаций прекращается и они приобретают незатухающий характер. Дальнейшее уве- личение числа данных либо практически не сказывается на уровне флуктуа- ций оценок, либо даже приводит к их росту. Этот эффект можно объяснить изменчивостью характеристик и пара- метров реальных объектов и изменчивостью условий их наблюдения. Изме- нения происходят на всех уровнях, в том числе статистическом. Происходящие изменения отражаются на физических закономерностях (в частности описываемых законом больших чисел и центральной предель- ной теоремой теории вероятностей) и приводят к нарушению статистиче- ской устойчивости, что влечет за собой ограничение потенциальной точно- сти измерений. Исследования нарушений статистической устойчивости явлений и раз- работка эффективных средств адекватного описания мира с учетом таких нарушений привели к построению новой физико-математической теории — теории гиперслучайных явлений [5, 6, 9]. Под гиперслучайным явлением (гиперслучайным событием, величиной или функцией) понимается множество G случайных явлений (случайных событий, величин или функций), ассоциируемых с различными условиями наблюдения .Gg Для каждого g -го случайного элемента этого множе- ства определена вероятностная мера, однако для самих условий вероятност- ная мера не определена. Вопрос о потенциальной точности измерений с учетом нарушений статистической устойчивости исследовался в ряде работ, в частности [5, 6, 17–19]. Цель работы — обобщение, уточнение и детализация полученных ре- зультатов на основе недавно разработанных принципов описания расходя- щихся и многозначных функций (отображений) [20–22]. ОБОБЩЕННЫЙ ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В статьях [20–21] обобщены понятия предела и сходимости числовой по- следовательности  ,1}{}{ nnn xx . Поясним суть этих обобщений. Согласно классическим представлениям [23–24] последовательность }{ nx считается сходящейся при n , если существует необходимо един- ственный предел n n xa   lim (в частности, бесконечно большой по модулю). Последовательность, не имеющая единственного предела, считается расхо- дящейся. Почему точность измерения физических величин ограничена Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 125 Расходящиеся последовательности можно описать различными спосо- бами. Один из них состоит в следующем. Из любой последовательности можно сформировать множество час- тичных последовательностей (подпоследовательностей), получаемых из ис- ходной последовательности вычеркиванием некоторых ее членов. Известно, что если последовательность сходится, то сходятся все ее частичные последовательности. Если же последовательность расходится, то не обязательно расходятся все ее частичные последовательности. Некоторые из них могут сходиться к определенным пределам, называемые предельны- ми точками или частичными пределами. В работах [20–21] введено понятие обобщенного предела n n x  LIM по- следовательности ,}{ nx под которым понимается множество всех ее пре- дельных точек с мерами. Такое множество точек с мерами названо спектром предельных точек : ~ S n n xS   LIM ~ . (1) Здесь и далее факт многозначности подчеркнут знаком тильда над бук- вой, обозначающей многозначную величину или функцию. Спектр S ~ рассматривается как обобщение понятия предела на случай любой последовательности, в том числе расходящейся. Если последова- тельность }{ nx сходится, то спектр предельных точек состоит из одного элемента (числа), если же расходится, то спектр состоит из множества чисел. В последнем случае можно говорить о сходимости последователь- ности к множеству чисел (в частном случае — к интервалу). Спектр может быть охарактеризован различными способами. Простей- шими параметрами, характеризующими разброс предельных точек и их ме- стоположение, являются граничные точки: минимальная ia и максимальная sa . Более полное описание спектра дает функция распределения предель- ных точек N xn xF N )( LIM)( ~   , (2) где )(xn — количество членов начального отрезка Nnnx ,1}{  последова- тельности ,}{ nx меньших x . Если последовательность }{ nx сходится к числу ,a то функция рас- пределения предельных точек представляет собой однозначную функцию )(xF в виде функции единичного скачка в точке a (рис. 1 а) (тогда мера равна единице в точке a и нулю во всех остальных точках). Если же эта по- следовательность расходится (сходится к множеству чисел), то функция распределения предельных точек представляет собой или однозначную не- убывающую функцию )(xF , отличную от функции единичного скачка, (рис. 1 б), или многозначную функцию )( ~ xF (рис. 1 в). На спектр предельных точек можно взглянуть под другим углом зре- ния. В первом случае (рис. 1 а) обобщенный предел (1) числовой последова- И.И. Горбань ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 126 тельности }{ nx представляет собой детерминированную однозначную вели- чину a (число без меры или множество чисел с единичной мерой в точке a и нулю во всех остальных точках), во втором случае (рис. 1 б) — случайную величину, а в третьем (рис. 1 в) — гиперслучайную величину. Строго говоря, число, рассматриваемое как одноточечное множество без меры, и как множество чисел с мерой, равной единицы в одной точке и нулю — в остальных точках — разные понятия. Однако, поскольку для дальнейшего изложения это обстоятельство не является существенным, раз- личие между ними не делается. Для описания гиперслучайной величины можно использовать [5, 6, 9] различные однозначные характеристики и параметры, в частности, нижнюю )(xFI и верхнюю )(xFS границы функции распределения )( ~ xF (рис. 1), а также (при определенных условиях) — плотности распределения этих гра- ниц x xF xf I I d )(d )(  , x xF xf S S d )(d )(  , моменты границ (математические ожидания границ Im , Sm , дисперсии границ ID , SD ), границы моментов (границы математического ожидания im , sm , границы дисперсии iD , sD ) и другие характеристики и параметры теории гиперслучайных явлений [6, 9]. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ПРИ НАРУШЕНИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Закон больших чисел был открыт Я. Бернулли [25] и опубликован после его смерти триста лет назад (в 1713 г.). Известно несколько вариантов этого за- кона, один из которых был сформулирован Чебышевым в виде следующей теоремы [6, 26]. Теорема. Пусть NXXX ,,, 21  — начальный отрезок последователь- ности попарно независимых случайных величин с математическими ожи- Рис. 1. Функция распределения )( ~ xF предельных точек и границы )(xFI , )(xFS функции распределения предельных точек для последовательности ,}{ Nx сходя- щейся к числу a (а) и к множеству чисел ],[ si aax , описываемому однозначной (б) и многозначной (в) функциями распределения (соответственно )(xF и )( ~ xF ) ( )F x ( ) ( )S IF x F x 0 1 a x ( )F x sa ( ) ( )S IF x F x 0 1 xia ( )F x ( )SF x 0 1 ( )IF x sa ia x a б в Почему точность измерения физических величин ограничена Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 127 даниями Nmmm ,,, 21  и ограниченными дисперсиями. Тогда при устрем- лении объема выборки N к бесконечности среднее    N n nxN X N m 1 * 1 случай- ных величин NXXX ,,, 21  (выборочное среднее) стремится по вероятно- сти к среднему    N n nxN m N m 1 1 математических ожиданий Nmmm ,,, 21  : 0}\|{\|lim *   xNxN N mmP )0( ε . (3) При конечном объеме выборки N величина * xNm — случайная величи- на, а величина xNm — детерминированная величина (число). Величина * xNm описывается функцией распределения )(* xF xNm , а xNm — функцией распре- деления )(xF xNm в виде функции единичного скачка в точке xNm . Обратим внимание на одно чрезвычайно важное обстоятельство, дол- гое время остававшееся незамеченным: закон больших чисел не гарантиру- ет, что при N выборочное среднее * xNm и среднее математических ожиданий xNm имеют обычные пределы. Этот закон утверждает лишь сходимость по вероятности выборочного среднего к среднему математиче- ских ожиданий, не требуя при этом их сходимости к определенным числам. Пределы последовательностей }{ * xNm и }{ xNm могут быть многознач- ными величинами — случайными или гиперслучайными. В дальнейшем, следуя указанной выше договоренности, касающейся обозначений одно- значных и многозначных величин и функций, однозначные пределы после- довательностей }{ * xNm и }{ xNm будем обозначать * xm и xm , а многознач- ные — ~ xm и xm~ . Заметим, что различные варианты сходимости последовательности ги- перслучайных величин (в частном случае рассматриваемой здесь числовой последовательности) к гиперслучайной величине и сходимости последова- тельности гиперслучайных функций (в частном случае рассматриваемой ниже последовательности детерминированных функций) к гиперслучайной функции рассмотрены в монографии [6]. Вне зависимости от того, являются ли рассматриваемые обобщенные пределы однозначными или многозначными, согласно выражению (3) по мере увеличения объема выборки N выборочное среднее xNm приближает- ся к среднему математических ожиданий xNm . При N возможны два случая: 1. Величина * xNm сходиться к однозначному выборочному среднему ма- тематических ожиданий xm (числу). 2. Величина * xNm , становясь в пределе многозначной величиной ~ xm , сходиться к многозначной величине xm~ . И.И. Горбань ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 128 Случай 1 — идеализированный, рассматриваемый в теории вероятно- стей [1–3]. В этом случае предел xm среднего математических ожиданий описывается функцией распределения )(xF xm в виде функции единичного скачка в точке xm . К ней стремится функция распределения )( xF xNm выбо- рочного среднего * xNm при N (рис. 2 а). Случай 2 более реалистичен. Здесь предельное выборочное среднее ~ xm и предельное среднее математических ожиданий xm~ описываются много- значными спектрами ~ xm S и . ~ xmS При этом возможны два варианта. 2.1. Предельное выборочное среднее ~ xm и предельное среднее матема- тических ожиданий xm~ являются случайными величинами. При этом спек- тры ~ xm S и xmS ~ характеризуются однозначными функциями распределения )(* xF xm и )(xF xm (рис. 2 б). 2.2. Величины ~ xm , xm~ являются гиперслучайными величинами. При этом спектры ~ xm S и xm S ~ характеризуются многозначными функциями рас- пределения )( ~ * xF xm и )( ~ xF xm (рис. 2 в). Т.к. сходимость по распределению последовательности случайных ве- личин менее сильная, чем сходимость по вероятности [3, 26], в варианте 2.1 предельная функция распределения )(* xF xm совпадает с предельной функ- цией распределения )(xF xm . Рис. 2. Формирование предельной функции распределения )(* xF xm выборочного среднего случайной величины при N , когда предельные выборочное среднее и среднее математических ожиданий — числа (а), когда они — случайные вели- чины (б) и когда они — гиперслучайные величины (в, г) (в – общий случай, г — частный случай) в г Почему точность измерения физических величин ограничена Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 129 Сходимость по распределению последовательности гиперслучайных величин также менее сильная, чем сходимость по вероятности [6]. Поэтому в варианте 2.2 предельная функция распределения )( ~ * xF xm совпадает с пре- дельной функции распределения )( ~ xF xm . При этом нижняя граница )(* xF xIm предельной функции распределения )( ~ * xF xm совпадает с нижней границей )(xF xlm предельной функции распределения )( ~ xF xm , а верхняя граница )(* xF xSm предельной функции распределения )( ~ * xF xm — с верхней границей )(xF xSm предельной функции распределения )( ~ xF xm . На рис. 2 в располо- женная между указанными границами область неопределенности затемнена. В статье [21] доказана теорема, из которой следует, что, если функция распределения, описывающая спектр последовательности средних детерми- нированных величин — многозначная функция, то соответствующая об- ласть неопределенности непрерывная. На основании этой теоремы область неопределенности функции распределения )( ~ xF xm — непрерывная. Интервал, в котором флуктуирует выборочное среднее * xNm при N , характеризуется нижней границей * ixm достижения функцией )(* xF xSm минимального (нулевого) значения и верхней границей * sxm достижения функцией )(* xF xIm максимального (единичного) значения. Естественно эти границы совпадают с соответствующими границами sxix mm , функций )(xF xSm , )(xF xIm : ixix mm * , sxsx mm * . Указанные границы могут быть как конечными, так и бесконечными. Заметим, что в работах [6, 18] исследован частный случай, когда верх- няя )(* xF xSm и нижняя )(* xF xIm границы функции распределения )( ~ * xF xm описываются функциями единичного скачка соответственно в точках * ixm , * sxm , а верхняя )(xF xSm и нижняя )(xF xIm границы функции распределения )( ~ xF xm — функциями единичного скачка соответственно в точках ixm , sxm (рис. 2 г). Таким образом, теоретически среднее случайной выборки может схо- диться к определенному числу, стремиться к плюс или минус бесконечности или флуктуировать в пределах интервала ],[ sxix mm . В последнем случае имеет место сходимость выборочного среднего к интервалу. Особый интерес представляют первый и третий случаи. В первом слу- чае при увеличении объема выборки флуктуации среднего затухают и по- грешность измерения стремится к нулю, а в третьем случае — эти флуктуа- ции не затухают и погрешность ограничена снизу длиной интервала ],[ sxix mm . И.И. Горбань ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 130 Для выяснения характера сходимости реальных физических процессов была проанализирована динамика поведения выборочных средних мно- жества процессов различной физической природы на больших интервалах наблюдения. Исследовались [6–17] колебания напряжения городской электросети на 60-ти часовых интервалах наблюдения; колебания магнитного поля Земли за 13 лет; колебания высоты морских волн и периода их следования за 15 ме- сяцев; колебания температуры воздуха и количества осадков в различных регионах за многие десятки лет, колебания скорости ветра в районе Черно- быля за 11 лет; колебания температуры воды в Тихом океане за 8 месяцев; колебания интенсивности излучения разных астрофизических объектов за 16 лет и др. Выяснилось, что интервал статистической устойчивости всех исследо- ванных реальных физических процессов ограничен, в результате чего все процессы проявляют выраженную тенденцию сходимости не к конкретным числам, а к интервалам. Незатухающими флуктуациями при больших объемах выборки N вы- борочного среднего * xNm в пределах этих интервалов можно объяснить ог- раниченную точность реальных измерений. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ПРИ НАРУШЕНИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Более глубокое понимание описанного эффекта дает центральная предель- ная теорема теории вероятностей для случайных величин. Рассмотрим центральную предельную теорему в варианте, изложенном в работе [26]. Теорема (Линдеберга–Феллера). Пусть NXXX ,,, 21  — в общем случае неоднородная случайная выборка, элементы которой взаимно неза- висимы и описываются функциями распределения )(xF nx с математически- ми ожиданиями nxm и дисперсиями nxD ( Nn ,1 ). Выполняется условие Линдеберга: при любом 0ε  0)(d)( 1 lim 1 \|\| 2 2       N n x Bmx x N N xFmx B n Nnx n  (4) где    N n xN n DB 1 2 — сумма дисперсий nxD случайных величин nX ( Nn ,1 ). Тогда функция распределения )(* xF xNm выборочного среднего * xNm сходится равномерно к гауссовской функции распределения           xN xN xNxN D mx DmxF ),/( (5) Почему точность измерения физических величин ограничена Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 131 с математическим ожиданием xNm и дисперсией 22 / NBD NxN  : ),/(lim)(lim * xNxN NmN DmxFxF xN   , (6) где .)2/(xpe 2 1 )( 2 zdzx x    Условие (4) является необходимым и достаточным условием сходимо- сти выборочного среднего к гауссовскому распределению. Используя описанную в [26] схему вывода равенства (6), можно дока- зать более общее утверждение, а именно: разность между функцией распре- деления )(* xF xNm выборочного среднего * xNm и гауссовской функцией рас- пределения ),/( xNxN DmxF , описываемое выражением (5), сходится равномерно к нулю: 0)],/()([lim *   xNxNmN DmxFxF xN . (7) Между формулами (6) и (7) имеется существенное различие. Форму- ла (6) предполагает наличие у выборочного среднего * xNm однозначной пре- дельной функции распределения )(* xF xm , к которой стремится функция )(* xF xNm при N , и наличие однозначной предельной функции распределе- ния ,),/()( xxm DmxFxF x  к которой стремится функция ),/( xNxN DmxF при том же условии, где xm и xD — соответственно математическое ожида- ние и дисперсия предельной гауссовской функции распределения. Формула же (7) допускает, что рассматриваемые предельные функции распределения — многозначные функции. Многозначность предельной функции распределения, к которой стре- мится функция ,),/( xNxN DmxF обусловлена многозначностью математи- ческого ожидания и (или) дисперсии. Поэтому в выражении )( ~ xFmx ,) ~ ,~/( ~ xx DmxF представляющем предельную функцию распределения, фигурируют многозначные параметры xm~ и xD ~ . Поскольку эти параметры в общем случае гиперслучайные, гиперслучайной оказывается и функция ) ~ ,~/( ~ xx DmxF . Ее можно трактовать как множество однозначных гауссов- ских функций распределения с различными однозначными математически- ми ожиданиями xx mm ~ и дисперсиями xx DD ~  . Выражение (7) означает, что имеет место сходимость по распределению последовательности детерминированных функций )(* xF xNm к гиперслучай- ной функции ) ~ ,~/( ~ xx DmxF . Иными словами многозначные предельные функции распределения )( ~ * xF xm , ) ~ ,~/( ~ xx DmxF описываются одинаковыми множествами однозначных функций распределения. И.И. Горбань ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 132 Когда параметры xm и xD — числа, причем 0xD , предельная гаус- совская функции распределения ),/()( xxm DmxFxF x  имеет вид функции единичного скачка, изображенной на рис. 2 а полужирной линией. Когда xm и xD — однозначные величины, но ,0xD то эта функция распреде- ления имеет вид кривой, изображено на рис. 2 б полужирной линией. Когда предельное математическое ожидание xm~ — многозначная ве- личина или когда и предельное математическое ожидание xm~ и предельная дисперсия xD ~ — многозначные величины, то предельная функция распре- деления ) ~ ,~/( ~ )( ~ xxm DmxFxF x  — многозначная функция. На рис. 2 в, г она изображена в виде затемненной области. Когда предельное математическое ожидание xm — число, а предельная дисперсия xD ~ — многозначная величина, предельная функция распределе- ния ) ~ ,/( ~ )( ~ xxm DmxFxF x  — тоже многозначная функция. При этом она имеет определенную специфику: состоит из двух областей, соприкасающих- ся в одной точке (затемненные области на рис. 3). Абсцисса точки сопри- косновения этих областей равна математическому ожиданию xm . ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ Для иллюстрации сходимости выборочных средних реальных процессов к интервалам ниже приведено описание и результаты двух из упомянутых выше экспериментов, касающихся исследований статистической устойчиво- сти напряжения городской электросети и колебаний интенсивности излуче- ния пульсара PSRJ 1012+5307 в рентгеновском диапазоне частот. Выбор именно этих примеров связан с тем, что колебание напряжения сети — одно из наиболее неустойчивых колебаний, а колебание интенсивности излуче- ния пульсара — одно из наиболее устойчивых. При изучении колебаний напряжения электросети напряжение подава- лось на вход 16 разрядного аналого-цифрового преобразователя компьютера Рис. 3. Формирование предельной функции распределения )( ~ * xF xm выборочного среднего случайной величины при N , когда математическое ожидание xm — число, а дисперсия xD ~ — многозначная величина xm ( ) xm F x ( ) xSm F x ( ) xIm F x * ( ) xNm F x x 1 0 Почему точность измерения физических величин ограничена Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 133 через понижающий трансформатор и согласующее устройство (делитель напряжения). Снятие данных осуществлялось с частотой дискретизации 5 кГц. По каждым 1024 отсчетам вычислялись действующие (эффективные) значения напряжения, записываемые в память компьютера. Запись велась сеансами на протяжении двух месяцев с перерывами в несколько дней. Продолжитель- ность каждого сеанса составляла около 60 часов. За время сеанса записыва- лось 1220 N млн отсчетов напряжения. Обработка полученных записей сводилась к вычислению и анализу выборочных средних * xNm , оценок параметров статистической неустойчи- вости (в частности описанных в статьях [16, 17] параметров γN , μN , * Nh и * N , * N , * NH , позволяющих оценить интервал статистической неустой- чивости), оценок функций распределения колебания напряжения )(* xFg на прилегающих друг к другу интервалах наблюдения длительностью около часа ( 64,1g ) и оценок функций распределения выборочного среднего )(* * xF xNm . Результаты обработки одной из записей приведены на рис. 4. Как видно из рис. 4 а, качество электросети низкое. В данном случае напряжение колеблется между 215ix В и 255sx В. Рис. 4. Колебание напряжения x городской электросети (а) и его выборочного среднего * xNm (б), оценки функции распределения напряжения )(* xFg на 64 приле- гающих друг к другу интервалах наблюдения (в) и оценки функции распределения выборочного среднего напряжения )(* * xF xNm при различном объеме выборки rN 2 )20,18,16,14,12,10,8( r (г) (толщина линий возрастает с увеличением значения параметра r ) И.И. Горбань ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 134 На рассматриваемом временном интервале выборочное среднее не про- являет тенденции к стабилизации (рис. 4 б), что свидетельствует о явном нарушении статистической устойчивости процесса. Кривые функции распределения )(* xFg , соответствующие разным зна- чениям параметра ,g сильно отличаются друг от друга (в первую очередь по своему местоположению) (рис. 4 в), что свидетельствует о выраженной нестационарности исследуемого колебания. Кривые функции распределения выборочного среднего )(* * xF xNm , полу- ченные для нарастающих по экспоненциальному закону объемов выборки (рис. 4 г), демонстрируют полное отсутствие тенденции стремления этой функции распределения к какой-то определенной предельной функции рас- пределения )(xF xm и, тем более, стремления выборочного среднего * xNm к какому-то определенному предельному значению xm . При небольших значениях параметра r (8 и 10) по виду кривых функ- ции распределения выборочного среднего )(* * xF xNm (рис. 4 г) можно предпо- ложить наличие стремления ее к гауссовскому распределению (причем, как и предсказывает теория вероятностей, с уменьшающейся дисперсией при росте объема выборки). Однако при больших значениях r (начиная с 10 до 20), как видно из рисунка, предполагаемая тенденция не наблюдается — за- кон распределения выборочного среднего )(* * xF xNm становится явно негаус- совским. Дисперсия выборочного среднего * xNm с увеличением объема выборки то нарастает (для значений r от 8 до 14 и от 18 до 20), то спадает (для зна- чений r от 14 до 18). В целом при переходе от малых к большим объемам выборки дисперсия не только не проявляет тенденции стремления к нулю, предсказываемый теорией вероятностей, а возрастает, причем во много раз (размах выборочного среднего увеличивается примерно от 1В до 8В). Судя по полученным результатам, функция распределения выборочно- го среднего стремится к многозначной функции )( ~ xF xm общего вида (типа рис. 2 в). К такому же выводу приводит анализ результатов обработки дан- ных, полученных в других сеансах записи колебаний напряжения электро- сети. Результаты аналогичных расчетов для колебаний интенсивности излу- чения пульсара PSRJ 1012+5307 приведены на рис. 5. Исходные данные взяты с [27]. Измерения интенсивности x проводи- лись в период с 1 января 1996 г. по 31 декабря 2011 г. Средняя периодич- ность измерений составляла 2,8 часов. Колебание интенсивности пульсара, как следует из рис. 5а , напоми- нает белый шум. Показание прибора, регистрирующего интенсивность из- лучения, меняется в диапазоне от 15ix В до 15sx В. Почему точность измерения физических величин ограничена Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 135 На рис. 5 б кривая выборочного среднего на первый взгляд проявляет тенденцию к стабилизации, что говорит об отсутствии явно выраженных нарушений статистической устойчивости процесса. На отсутствие явных нарушений статистической устойчивости указывает и близость кривых оце- нок функций распределения напряжения )(* xFg , рассчитанных для приле- гающих друг к другу интервалов наблюдения длительностью три месяца ( 64,1g ) (рис. 5 в). Однако кривые оценок функции распределения выборочного среднего )(* * xF xNm , полученные для нарастающих по экспоненциальному закону объемов выборки (рис. 5 г), демонстрируют отсутствие стремления выбо- рочного среднего * xNm к какому-то определенному предельному значению xm и даже отсутствие тенденции стремления функции распределения )(* * xF xNm к какой-то определенной предельной функции распределения )(xFmx . По динамике изменения функции распределения выборочного среднего )(* * xF xNm при небольших значениях параметра r (от 8 до 13) можно предпо- ложить наличие стремления этой функции распределения к гауссовскому распределению (причем, как и предсказывает теория вероятностей с умень- шающейся дисперсией при росте объема выборки). Но при больших значе- ниях r (начиная с 13 до 15) предполагаемая тенденция не прослежива- ется — закон распределения выборочного среднего )(* * xF xNm становится явно негауссовским. Рис. 5. Колебание интенсивности излучения пульсара PSRJ 1012+5307 (а) и его выборочного среднего * xNm (б), оценки функции распределения )(* xFg на 64 при- легающих друг к другу интервалах наблюдения (в) и оценки функции распределе- ния выборочного среднего )(* * xF xNm при различном объеме выборки rN 2 )15,8( r (г) (толщина линий возрастает с увеличением значения параметра r ) И.И. Горбань ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 136 При переходе от малых к большим объемам выборки дисперсия выбо- рочного среднего * xNm вначале проявляет тенденцию к уменьшению (при изменении r от 8 до 13), но затем перестает уменьшаться. Размах выбороч- ного среднего остается примерно на одном и том же уровне (примерно 04,0 В). Судя по виду кривых функции распределения выборочного среднего, можно предположить стремление функции )(* * xF xNm к многозначной функ- ции )( ~ xF xm типа, изображенной на рис. 3. Подобным образом были исследованы выборочные средние и других перечисленных выше процессов. В этих исследованиях ни разу не была за- фиксирована тенденция стремления оценки функции распределения выбо- рочного среднего )(* * xF xNm к какому-то определенному закону распределе- ния, а тем более к гауссовскому закону с дисперсией, стремящейся к нулю. Полученные результаты экспериментальных исследований показыва- ют, что, хотя на небольших интервалах усреднения выборочные средние реальных физических величин хорошо описываются стохастическими моде- лями, в действительности эти средние носят гиперслучайный характер и на больших интервалах наблюдения, превосходящих интервал статистической устойчивости, представляются стохастическими моделями неадекватно. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведенные теоретические и экспериментальные исследования проясняют механизм ограничения потенциальной точности измерения реальных физи- ческих величин и подтверждают результаты предыдущих исследований, ка- сающихся действия закона больших чисел и центральной предельной тео- ремы в условиях нарушения статистической устойчивости [5, 6, 18, 19]. Ограничение точности можно объяснить неидеальным характером фе- номена статистической устойчивости, проявляющимся в отсутствии сходи- мости (несостоятельности) статистических оценок. При возрастании объема статистических данных вначале при небольших интервалах усреднения уро- вень флуктуаций статистических оценок уменьшается. Но из-за нарушения статистической устойчивости, начиная с некоторого критического объема данных (интервала статистической устойчивости), эти флуктуации приобре- тают незатухающий характер, что приводит к ограничению точности реаль- ных измерений. Потенциальная точность измерений определяется диапазоном, в кото- ром флуктуирует оценка. При большом объеме выборки описать реальные оценки случайными моделями, характеризуемыми определенными одно- значными функциями распределения, невозможно. Адекватное описание обеспечивают гиперслучайные модели, характеризуемые многозначными функциями распределения. Экспериментальные исследования подтверждают, что при небольших интервалах усреднения гиперслучайная природа реальных выборочных средних практически не проявляется и поэтому эти выборочные средние Почему точность измерения физических величин ограничена Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 4 137 хорошо описываются стохастическими моделями. Однако при больших ин- тервалах усреднения проявляется гиперслучайная их природа и тогда для их описания приходится использовать более сложные гиперслучайные модели. ЛИТЕРАТУРА 1. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. –– М.: Радио и связь, 1991. –– 608 с. 2. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. –– М.: Советское радио, 1972, Т. 1. –– 743 с. 3. Горбань І.І. Теорія ймовірностей і математична статистика для наукових працівників та інженерів. –– К.: ІПММС НАН України, 2003. –– 245 с. 4. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. –– М.: ОНТИ, 1974. –– 120 с. 5. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений. –– К.: НАН Украины, 2007. –– 181 с. 6. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы. –– К.: Наукова думка, 2011. –– 320 с. 7. Gorban I.I. Disturbance of statistical stability / In the book “Information Models of Knowledge”. Kiev — Sofia: ITHEA, 2010. –– P. 410. 8. Gorban I.I. Disturbance of statistical stability (part II) // Information Theories and Applications. –– 2011. –– 18, № 4. –– P. 321–334. 9. Gorban I.I. Hyper-random Phenomena: Definition and Description // Information Theories and Applications. –– 2008. –– 15, № 3. –– P. 203–211. 10. Горбань И.И. Нарушение статистической устойчивости физических процессов // Математические машины и системы. –– 2010. –– № 1. –– С. 171–184. 11. Горбань И.И. Эффект статистической неустойчивости в гидрофизике // Труды десятой Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроаку- стики и гидрофизики». –– СПб: Наука, 2010. –– С. 199–201. 12. Горбань И.И. Статистическая устойчивость колебаний температуры возду- ха и осадков в районе Москвы // Математические машины и системы. –– 2011. — № 3. –– С. 97–104. 13. Горбань И.И., Горбань Н.И., Новотрясов В.В., Ярощук И.О. Исследование ста- тистической устойчивости колебаний температуры шельфовой зоны окра- инных морей // Материалы докладов седьмого всероссийского симпозиума «Физика геосфер». –– Владивосток: Дальнаука, 2011. –– С. 542– 547. 14. Горбань И.И. Статистическая устойчивость излучения астрофизических объек- тов // Математические машины и системы. –– 2012. –– № 2. –– С. 155–160. 15. Горбань И.И. Статистически неустойчивые процессы: связь с фликкер, нерав- новесными, фрактальными и цветными шумами // Известия вузов. Радиоэлектроника. –– 2012. –– 55, № 3. –– С. 3–18. 16. Горбань И.И. Критерии и параметры статистической неустойчивости // Мате- матические машины и системы. –– 2012. –– № 4. –– С. 106–114. 17. Горбань И.И. Феномен статистической устойчивости // Журнал технической физики. –– 2014. –– № 3 –– С. 22–30. 18. Горбань И.И. Особенности закона больших чисел при нарушениях статистиче- ской устойчивости // Известия вузов. Радиоэлектроника. –– 2011. –– № 7. –– С. 31–42. 19. Горбань И.И. Закон больших чисел при нарушениях статистической устой- чивости // Математические машины и системы. –– 2011. –– № 4. –– С. 107–115. И.И. Горбань ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 4 138 20. Gorban I.I. Divergent and multiple-valued sequences and functions // Problems of Computer Intellectualization. Book 28. –– Kyiv– Sofia: ITHEA, 2012. –– P. 395. 21. Горбань И.И. Расходящиеся последовательности и функции // Математические машины и системы. –– 2012. –– № 1. –– С. 106–118. 22. Горбань И.И. Многозначные величины, последовательности и функции // Ма- тематические машины и системы. –– 2012. –– № 3. –– С. 147–161. 23. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. –– М.-Л.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1958. –– Т. 1. –– 607 с. 24. 24. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. –– М.: Изд-во московского ун-та, 1985. –– Т. 1. –– 660 с. 25. Бернулли Я. О законе больших чисел. — М.: Наука, 1986. — 176 с. 26. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. –– М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1988. –– 448 с. 27. All-Sky Monitor (ASM) team at the Kavli Institute for Astrophysics and Space Re- search at the Massachusetts Institute of Technology. — http://xte.mit.edu/ ASM_lc.html. Поступила 16.04.2014
id	journaliasakpiua-article-59515
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Russian
last_indexed	2025-07-17T10:19:54Z
publishDate	2015
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/43/e73e423df66dcbf12715b064a8e91943.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-595152016-07-21T13:49:47Z Why the measurement precision of real physical variables is limited Почему точность измерения физических величин ограничена Чому точність вимірювання фізичних величин обмежена Gorban, I. I. The research results explaining the restriction causes of measurement precision of real physical variables are presented. It is shown that the imperfect character of the phenomenon of statistical stability that manifests itself in misconvergence (inconsistency) of statistical estimates is a key element in the precision limitation. The peculiarities of the law of average and the central limit theorem of probability theory under conditions of violation of statistical stability are determined. The results of theoretical research are confirmed by experiments. It is drawn to attention that real estimates have hyper-random character. Their hyper-random nature becomes evident when the sample size is large. Приведены результаты исследований, проясняющие механизм ограничения точности измерений реальных физических величин. Показано, что ключевую роль в ограничении точности играет неидеальный характер феномена статистической устойчивости, проявляющийся в отсутствии сходимости (несостоятельности) статистических оценок. Выяснены особенности действия закона больших чисел и центральной предельной теоремы теории вероятностей в условиях нарушения статистической устойчивости. Результаты теоретических исследований подтверждены экспериментально. Установлено, что реальные оценки носят гиперслучайный характер. Гиперслучайная природа реальных оценок проявляется при больших объемах выборки. Наведено результати досліджень, що прояснюють механізм обмеження точності вимірювання реальних фізичних величин. Показано, що ключову роль в обмеженні точності відіграє неідеальний характер феномену статистичної сталості, що проявляється у відсутності збіжності (неспроможності) статистичних оцінок. З’ясовано особливості дії закону великих чисел і центральної граничної теореми теорії ймовірностей в умовах порушення статистичної сталості. Результати теоретичних досліджень підтверджено експериментально. Звернено увагу, що реальні оцінки носять гіпервипадковий характер. Гіпервипадкова природа реальних оцінок проявляється при великих об’ємах вибірки. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2015-12-15 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59515 System research and information technologies; No. 4 (2015); 123-138 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2015); 123-138 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2015); 123-138 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59515/55368 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	Gorban, I. I. Чому точність вимірювання фізичних величин обмежена
title	Чому точність вимірювання фізичних величин обмежена
title_alt	Why the measurement precision of real physical variables is limited Почему точность измерения физических величин ограничена
title_full	Чому точність вимірювання фізичних величин обмежена
title_fullStr	Чому точність вимірювання фізичних величин обмежена
title_full_unstemmed	Чому точність вимірювання фізичних величин обмежена
title_short	Чому точність вимірювання фізичних величин обмежена
title_sort	чому точність вимірювання фізичних величин обмежена
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/59515
work_keys_str_mv	AT gorbanii whythemeasurementprecisionofrealphysicalvariablesislimited AT gorbanii počemutočnostʹizmereniâfizičeskihveličinograničena AT gorbanii čomutočnístʹvimírûvannâfízičnihveličinobmežena

Чому точність вимірювання фізичних величин обмежена

Institution

Similar Items