Апроксимація розв’язку задачі Коші для параболічного рівняння з нелінійним потенціалом
The Cauchy problem for a quasilinear parabolic equation with local and nonlocal equation potential is considered. For equation of "reaction-diffusion" type with convex local potential the barrier functions, which are the upper and lower estimates of the solution of the Cauchy probl...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2012
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/60623 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334262148038656 |
|---|---|
| author | Bondarenko, V. H. Selin, A. N. |
| author_facet | Bondarenko, V. H. Selin, A. N. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. H. Bondarenko",
"institution": null
},
{
"author": "A. N. Selin",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Bondarenko, V. H. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:09:10Z |
| description | The Cauchy problem for a quasilinear parabolic equation with local and nonlocal equation potential is considered. For equation of "reaction-diffusion" type with convex local potential the barrier functions, which are the upper and lower estimates of the solution of the Cauchy problem, are constructed. Method of construction of the mentioned barrier function is the composition of the two solutions of differential equations with nonlocal equations. For the equation with a nonlocal potential logistics properties, which are built in a similar way as the barrier function of the upper estimate, it is verified by computing experiment. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:20:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Г. Бондаренко, А.Н. Селин, 2012
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 4 111
УДК517.956.4
АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНЫМ
ПОТЕНЦИАЛОМ
В.Г. БОНДАРЕНКО, А.Н. СЕЛИН
Рассмотрена задача Коши для квазилинейного параболического уравнения
с локальным и нелокальным потенциалом. Для уравнения типа «реакция-
диффузия» с выпуклым локальным потенциалом построены барьерные функ-
ции, являющиеся верхней и нижней оценками решения задачи Коши. Метод
построения упомянутых барьерных функция — композиция решений двух
дифференциальных уравнений. Для уравнения с нелокальным логистическим
потенциалом свойства построенной аналогичным образом барьерной функции,
как верхней оценки, проверены с помощью вычислительного эксперимента.
ВВЕДЕНИЕ
Квазилинейное параболическое уравнение в области nRD ⊆ с нелинейным
потенциалом является математической моделью ряда физических процес-
сов, обобщающих классическую диффузию. В частности, решение такого
уравнения описывает плотность популяции в ареале D . Следует отметить,
что для нелинейного потенциала решение ),( xtu может обладать качествен-
но новыми свойствами, не присущими решению классического уравнения
диффузии. Так, для одномерного уравнения (Колмогорова–Петровского–
Пискунова–КРР)
)(2
2
u
x
u
t
u
Φ+
∂
∂
=
∂
∂
с потенциалом Φ определенного вида для некоторого класса начальных
условий доказана сходимость решения (при ∞→t ) к функции вида
)( ctxg + , т.е. к «бегущей волне». Свойства решений этого уравнения под-
робно рассмотрены в работе [1].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим уравнения
)(uLu
t
u
Φ+=
∂
∂ , (1)
)),,(( •Φ+=
∂
∂ tuLu
t
u (2)
где L — эллиптический оператор второго порядка,Φ— потенциал (в урав-
нении (1) потенциал локальный, в (2) — нелокальный).
В.Г. Бондаренко, А.Н. Селин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 4 112
В биологических задачах локальный потенциал обычно удовлетворяет
условиям
)0()1(,0)1()0( Φ′<Φ′=Φ=Φ
и называется функцией локального роста логистической популяции. Приме-
ром функции, удовлетворяющей таким условиям, является [2]:
.0),1()( >−=Φ λλ uuu
В последние годы возрос интерес к физическим задачам, математиче-
ской моделью которых является уравнение (2) с нелокальным потенциалом.
Основные результаты, полученные в этом направлении в работах [3–5] —
это асимптотическое поведение решения, т. е. наличие бегущей волны.
В данной работе для уравнений (1) и (2) рассмотрены свойства решения
задачи Коши с неотрицательным начальным условием. Для этого решения
построены двусторонние оценки.
УРАВНЕНИЕ С ЛОКАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
Изучим свойства решения задачи Коши ),( xtu уравнения (1) с начальным
условием 0)(),0( ≥= xfxu с выпуклым вверх потенциалом ,0)( >Φ u
.βα << u Задача состоит в том, чтобы построить нижнюю и верхнюю
оценки 21,uu для решения ),( xtu . Заметим, что следствием выпуклости
вверх является неравенство
,)())(()()( ∫∫ Φ≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ
XX
dyydyy µγµγ
где µ — вероятностная мера на пространстве γ,X — интегрируемая
функция.
Обозначим через ),,( yxtp фундаментальное решение линейного урав-
нения .Lu
t
u
=
∂
∂ Тогда
∫ ≥= 0)(,),,()(),( xfdyyxtpyfxtv
является решением задачи Коши для этого уравнения (интегрирование ве-
дется по пространству ).nR Через ),( ctw обозначим решение задачи Коши
для обыкновенного дифференциального уравнения
,)(w
dt
dw
Φ= ,0)0( ≥= сw .),( cctw >
Положим
)).,(,(),(;),,())(,(),( 21 xtvtwxtudyyxtpyftwxtu == ∫ (3)
Теорема 1. Пусть
k
k
kj
jk x
ub
xx
uxaLu
∂
∂
+
∂∂
∂
= ∑∑
2
)( . Если Φ непре-
рывно дифференцируема, то имеет место неравенство
Аппроксимация решения задачи коши для параболического уравнения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 4 113
.,0),,(),(),( 21
nRxtxtuxtuxtu ∈>≤≤
Доказательство базируется на теореме сравнения для параболических
уравнений — [6, с.73]. Пусть ),( xthk — невязки, т.е.
.2,1),( =Φ−−
∂
∂
= kuLu
t
u
h kk
k
k
Требуется доказать, что .0,0 21 ≥≤ hh
Лемма 1. Имеют место соотношения
)).()),(((
)(
)),((,
)(
)),((
22
2
cctw
c
ctw
c
w
c
ctw
c
w
Φ′−Φ′
Φ
Φ
=
∂
∂
Φ
Φ
=
∂
∂
Доказательство. Пусть ∫ Φ=
)(
)(
z
dz
zH — произвольная первообраз-
ная. Тогда
))((),(),()),(( 1 cHtHctwcHtctwH +=+= −
и дифференцируя последнее равенство, получаем нужное утверждение.
Доказательство теоремы. Вычислим невязку :1h
∫ ∫ −−
∂
∂
= dyyxtLpyftwdyyxtpyftw
t
xth ),,())(,(),,())(,(),(1
( )=Φ− ∫ dyyxtpyftw ),,())(,(
∫ ∫ ≤Φ−Φ= 0),,())(,((),,())(,(( dyyxtpyftwdyyxtpyftw
в силу выпуклости вверх функции .Φ
Вычисление невязки 2h использует результат леммы 1.
;
)(
)(
)(
)(
)(
),( 2
2
22
t
v
v
u
u
t
v
v
u
vt
t
w
t
u
∂
∂
Φ
Φ
+Φ=
∂
∂
Φ
Φ
+
∂
∂
=
∂
∂
;
)(
)( 22
kk x
v
v
u
x
u
∂
∂
Φ
Φ
=
∂
∂
.))()((
)(
)(
)(
)(
22
2
2
2
2
kjkjkj x
v
x
vuv
v
u
xx
v
v
u
xx
u
∂
∂
⋅
∂
∂
Φ′−Φ′
Φ
Φ
−
∂∂
∂
Φ
Φ
=
∂∂
∂
Отсюда
,0),)(())()((
)(
)(
),( 22
2
2 ≥′′Φ′−Φ′
Φ
Φ
= vvxAuv
v
u
xth
что и доказывает теорему.
Приведенные ниже результаты вычислительного эксперимента для
)1()( uuu −=Φ и начального условия — функции Хевисайда )(xθ позволя-
ют оценить уклонение решения от барьерных функций.
В.Г. Бондаренко, А.Н. Селин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 4 114
Замечание. При других условиях на Φ утверждение теоремы 1 дока-
зано в работе [7].
УРАВНЕНИЕ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
Рассмотрим задачу Коши для уравнения
))(1( KuuLu
t
u
−+=
∂
∂ λ (4)
с начальным условием ,1)(),0(0 ≤=≤ xfxu где =),()( xtuK
∫=
nR
dyyxKytu ),(),( , K — стохастическое ядро, т.е. ,0),( ≥yxK
∫ =
nR
dyyxK 1),( , 0>λ .
Изучению решений уравнения (4) (и сходным с ним) посвящен целый
ряд работ, например [3–5]. Там же приведена обширная библиография. Ос-
новной результат — условия сходимости ),( xtu к «волновому решению»
при ∞→t . Нашей задачей является изучить свойства решения задачи Коши
для уравнения (4). Обозначим через ),( xtu решение задачи Коши для
уравнения ),()1( xtguLu
t
u
−+=
∂
∂ λ , 0),( ≥xtg с начальным условием
.1)(0 ≤≤ xf
Лемма 2. Если )(),()(0 21 txtgt αα ≤≤≤ и ×−−= )1(1),( vxtuk
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−× ∫
t
k d
0
)(exp τταλ , то ),(),(),( 21 xtuxtuxtu ≤≤ .
Доказательство основано на упомянутой выше теореме сравнения. Так,
вычисляя невязку
)),()(()(exp)1(
0
xtgtdvLu
t
u
h k
t
kk
k
k −
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−−−−
∂
∂
= ∫ ατταλλ
и так 1),(0 ≤≤ xtv , то 0),(1 ≤xth , ,0),(2 ≥xth откуда и следует утверждение.
Теорема 2. Решение задачи Коши (4) единственно и удовлетворяет не-
равенству 1),(0 ≤≤ xtu .
Доказательство. В уравнении
),)()(1( xtKguLu
t
u
−+=
∂
∂ λ , 10 ≤≤ g
с начальным условием 1),0(0 ≤≤ xu рассмотрим ),( xtu как функционал от
g в метрическом пространстве X с метрикой Tt ≤≤0 , .1)0,( ≤uρ
В силу леммы 2 }.{exp)1(1),( tvxtuv λ−−−≤≤
С другой стороны,
Аппроксимация решения задачи коши для параболического уравнения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 4 115
,),,(),)())(,(1(),(),(
0
∫∫ −−+= dyyxtpyKgyudxtvxtu
t
ττττλ
так что для 1g , 2g (соответсвенно, 21, uu ) получаем уравнение для
21 uuu −= :
))()(1()( 2121 ggKuKguLu
t
u
−−+−=
∂
∂ λλ , .0)0( =u
Если ),,,( yxtq τ — фундаментальное решение уравнения −=
∂
∂ Lu
t
u
)( 1Kguλ− , то dyyxtqyggKyudxtu
t
),,,(),))(())(,(1(),(
0
212 ττττλ∫ ∫ −−= ,
и переходя к оценкам, получим ),(),( 2121 ggTuu ρλρ ≤ , т.е. для 1<Tλ
отображение )(gu сжимающее в ,X т.е. интегральное уравнение
dyyxtpyKuyudxtvxtu
t
),,(),)(()(),(1(),(),(
0
ττττλ −−+= ∫ ∫
имеет единственное решение .Xu∈
Замечание. Так как ,1),(0 ≤≤ xTu то процедуру можно повторить для
)2;( TTt∈ и т.д., т.е. 1),(0 ≤≤ xtu для всех .t
Следствие. Решение ),( xtu задачи Коши (4) удовлетворяет оценке
.)1(1 tevuv λ−−≤≤
Для уравнения (4) также можно построить функции 21,uu , являющиеся
композицией решений задач Коши. Так, пусть w(t,x) — решение дифферен-
циально-интегрального уравнения
.1)(0),(),0(,),(),()1( ∫ ≤≤=−= xfxfxwdyytwyxKw
dt
dw λ
Тогда w удовлетворяет интегральному уравнению
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−−−= ∫ ∫
t
dyywyxKdxfxtw
0
),(),(exp))(1(1),( ττλ .
Положим
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−−−= ∫ ∫
t
dyyuyxKdxtvxtu
0
33 ),(),(exp)),(1(1),( ττλ . (5)
Проверка неравенства uu >3 описанная выше методом (с помощью
невязки) некорректна, так как для уравнения (4) не имеет места принцип
максимума. Приведенные ниже результаты вычислительного эксперимента
позволяют оценить уклонения функций ),( xtuk от решения уравнений (1)
и (4).
В.Г. Бондаренко, А.Н. Селин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 4 116
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Рассмотрим задачу Коши для одномерных уравнений
)1(2
2
uu
x
u
t
u
−+
∂
∂
=
∂
∂ (1A)
и
∫
+∞
∞− −+
−+
∂
∂
=
∂
∂ dy
yx
ytuu
тx
u
t
u
222
2
)(
),()1(
σ
σ (4A)
с начальным условием Хевисайда )(),0( xxu θ= . Ядро оператора в (4А) яв-
ляется плотностью Коши (при 0→σ )(),( yxyxK −→δ . Для такого на-
чального условия
dye
t
xtv t
yx
∫
∞+ −
=
0
4
)(
2
2
1),(
π
,
а функции 21, uu , определенные равенством (3), принимают вид
),(),(1 xtvxtu = , .
)(exp),(),(1
)(exp),(),(2 txtvxtv
txtvxtu
+−
=
На рис. 1, а, 1, б приведены пространственно-временные графики
функций ),( xtu — решения задачи коши (1a) и 2u — мажоранты решения.
На рис. 2, а, 2, б и 3, а, 3, б приведены пространственно-временные
графики функций ),( xtu — решения задачи Коши (4А) и ),(3 xtu — реше-
ния интегрального уравнения (5) (рис. 2 соответствуют значению 1,0=σ ,
рис. 3 — 0,1=σ ).
Из вычислительного эксперимента следует, что функция ),(3 xtu
является мажорантой для решения ),( xtu .
Рис. 1, а
Рис. 1, б
Аппроксимация решения задачи коши для параболического уравнения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 4 117
ВЫВОДЫ
Для квазилинейного параболического уравнения с локальным выпуклым
потенциалом построены барьерные функции — верхняя и нижняя оценки
решения задачи Коши. В случае нелокального логистического потенциала,
полученного усреднением решения по вероятностной мере, свойство
барьерной функции как верхней оценки подтверждено вычислительным экс-
периментом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bramson M. Converegence of solution of the Kolmogorov equation to travelling
waves // Mem. AMS. — 1983. — № 285. — P. 190.
Рис. 3, а Рис. 3, б
Рис. 2, а Рис. 2, б
В.Г. Бондаренко, А.Н. Селин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 4 118
2. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы
в экологии. — М.: Наука, 1987. — 364 с.
3. Pertham B., Souganidis P.E. Front propagation for a jump process model arising in
spatial ecology // Discrete and continuous dynamical systems. — 13. — 2005. —
№ 5. — P. 1235–1246.
4. Zhi-Cheng Wang, Wan-Tong Li, Shigni Ruan. Existence and stability of travelling
wave fronts in reaction advection equations with nonlocal delay // J. Differential
Equations. — 238. — 2007. — P. 153–200.
5. Berestycki H., Nadin G., Perthame B., Ryzhik L. The non-local Fisher-KPP equation:
travelling waves and steady states // Nonlinearity. — 22. — 2009. —
P. 2813–2844.
6. Фридман А.А. Уравнения с частными производными параболического типа —
М.: Мир, 1968–424 с.
7. Бондаренко В.Г., Прокопенко Ю.Ю. Барьерные функции для одного класса по-
лулинейных параболических уравненй // Укр. мат. журнал. — 60. —
2008. — № 11. — С. 1449–1459.
Поступила 11.07.2012
|
| id | journaliasakpiua-article-60623 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:20:02Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/b8/3079ee4b7f20fb6adcb34ffeadcd67b8.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-606232018-03-30T15:09:10Z Approximation of a Cauchy problem solution for a parabolic equation with nonlinear potential Аппроксимация решения задачи Коши для параболического уравнения с нелинейным потенциалом Апроксимація розв’язку задачі Коші для параболічного рівняння з нелінійним потенціалом Bondarenko, V. H. Selin, A. N. The Cauchy problem for a quasilinear parabolic equation with local and nonlocal equation potential is considered. For equation of "reaction-diffusion" type with convex local potential the barrier functions, which are the upper and lower estimates of the solution of the Cauchy problem, are constructed. Method of construction of the mentioned barrier function is the composition of the two solutions of differential equations with nonlocal equations. For the equation with a nonlocal potential logistics properties, which are built in a similar way as the barrier function of the upper estimate, it is verified by computing experiment. Рассмотрена задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с локальным и нелокальным потенциалом. Для уравнения типа "реакция-диффузия" с выпуклым локальным потенциалом построены барьерные функции, являющиеся верхней и нижней оценками решения задачи Коши. Метод построения упомянутых барьерных функция — композиция решений двух дифференциальных уравнений. Для уравнения с нелокальным логистическим потенциалом свойства построенной аналогичным образом барьерной функции, как верхней оценки, проверены с помощью вычислительного эксперимента. Розглянуто задачу Коші для квазілінійного параболічного рівняння з локальним та нелокальним потенціалом. Для рівняння типу "реакція-дифузія" з опуклим локальним потенціалом побудовано бар’єрні функції, що являють собою верхню та нижню оцінки розв’язку задачі Коші. Метод побудови згаданих бар’єрних функцій-композиція розв’язків двох диференціальних рівнянь. Для рівняння з нелокальним логістичним потенціалом властивості бар’єрної функції, що побудовано аналогічно, як верхньої оцінки, перевірено за допомогою обчислювального експерименту. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2012-12-14 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/60623 System research and information technologies; No. 4 (2012); 111-118 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2012); 111-118 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2012); 111-118 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/60623/56361 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Bondarenko, V. H. Selin, A. N. Апроксимація розв’язку задачі Коші для параболічного рівняння з нелінійним потенціалом |
| title | Апроксимація розв’язку задачі Коші для параболічного рівняння з нелінійним потенціалом |
| title_alt | Approximation of a Cauchy problem solution for a parabolic equation with nonlinear potential Аппроксимация решения задачи Коши для параболического уравнения с нелинейным потенциалом |
| title_full | Апроксимація розв’язку задачі Коші для параболічного рівняння з нелінійним потенціалом |
| title_fullStr | Апроксимація розв’язку задачі Коші для параболічного рівняння з нелінійним потенціалом |
| title_full_unstemmed | Апроксимація розв’язку задачі Коші для параболічного рівняння з нелінійним потенціалом |
| title_short | Апроксимація розв’язку задачі Коші для параболічного рівняння з нелінійним потенціалом |
| title_sort | апроксимація розв’язку задачі коші для параболічного рівняння з нелінійним потенціалом |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/60623 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkovh approximationofacauchyproblemsolutionforaparabolicequationwithnonlinearpotential AT selinan approximationofacauchyproblemsolutionforaparabolicequationwithnonlinearpotential AT bondarenkovh approksimaciârešeniâzadačikošidlâparaboličeskogouravneniâsnelinejnympotencialom AT selinan approksimaciârešeniâzadačikošidlâparaboličeskogouravneniâsnelinejnympotencialom AT bondarenkovh aproksimacíârozvâzkuzadačíkošídlâparabolíčnogorívnânnâznelíníjnimpotencíalom AT selinan aproksimacíârozvâzkuzadačíkošídlâparabolíčnogorívnânnâznelíníjnimpotencíalom |