Проекційно-ітераційна реалізація явних методів варіаційного типу для розв’язання некоректних операторних рівнянь
Projection-iteration regularizing methods based on explicit variation type methods (steepest descent and minimal residual methods) are investigated for solving ill-posed linear operator equations in a Hilbert space which do not satisfy the third condition of the correctness of the problem by Hadamar...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2017
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71474 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334266257408000 |
|---|---|
| author | Hart, Liudmyla L. |
| author_facet | Hart, Liudmyla L. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Liudmyla L. Hart",
"institution": "Днепровский национальный университет\nимени Олеся Гончара, Днепр"
}
] |
| author_sort | Hart, Liudmyla L. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:25:34Z |
| description | Projection-iteration regularizing methods based on explicit variation type methods (steepest descent and minimal residual methods) are investigated for solving ill-posed linear operator equations in a Hilbert space which do not satisfy the third condition of the correctness of the problem by Hadamard (stability). The proposed approach is to replace the original ill-posed equation by a sequence of simpler equations that approximate it defined in finite-dimensional subspaces of the original space. Then, only few approximations for each of the "approximate" equations are constructed using an explicit variation method, and the last of them is used as the initial approximation in the iterative process for the next "approximate" equation. The theorems on the convergence of the projection-iteration methods are proved, error estimates are obtained. The recommendations on the choice of the regularizing number of iterations are given. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.1.09 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:20:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Л.Л. Гарт, 2017
114 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1
УДК 519.6
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.1.09
ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЯВНЫХ
МЕТОДОВ ВАРИАЦИОННОГО ТИПА ДЛЯ РЕШЕНИЯ
НЕКОРРЕКТНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Л.Л. ГАРТ
Аннотация. Исследовано проекционно-итерационные методы регуляризации,
основанные на явных методах вариационного типа (скорейшего спуска и ми-
нимальных невязок), для решения некорректных линейных операторных урав-
нений в гильбертовом пространстве, для которых не выполняется третье усло-
вие корректности задачи по Адамару (устойчивость). Предложенный подход
состоит в замене исходного некорректного уравнения некоторой последова-
тельностью более простых аппроксимирующих его уравнений, заданных в ко-
нечномерных подпространствах исходного пространства. Для каждого из
«приближенных» уравнений строится с помощью явного вариационного мето-
да лишь несколько приближений, последнее из которых принимается в качест-
ве начального приближения в итерационном процессе для следующего «при-
ближенного» уравнения. Доказаны теоремы о сходимости проекционно-
итерационных методов, получены оценки погрешности. Даны рекомендации
по выбору регуляризующего количества итераций.
Ключевые слова: некорректное уравнение, оператор, пространство, последо-
вательность, приближение, итерационный метод, невязка, погрешность, про-
екционно-итерационный метод, сходимость, оценка.
ВВЕДЕНИЕ
Теория некорректных задач и методов их приближенного решения — ак-
тивно развивающееся направление математики, имеющее разнообразные
приложения во многих областях естествознания, техники и управления. Не-
корректно поставленные задачи возникают в процессе математического мо-
делирования в геофизике, астрофизике, компьютерной томографии, при об-
работке и интерпретации данных физических экспериментов [1–3].
Интенсивное развитие теории некорректных задач во многом обусловлено
появлением в последние десятилетия высокопроизводительных вычисли-
тельных систем. Такие задачи формулируются, как правило, в виде опера-
торных уравнений, задач минимизации функционалов, а также задач вычис-
ления значений неограниченных операторов. Операторы задаются обычно с
той или иной погрешностью, поскольку источником исходных данных на
практике часто являются эксперименты и измерения.
Значительная часть некорректных задач может быть представлена в ви-
де операторного уравнения первого рода
fuA = (1)
с заданным оператором A , действующим из X в Y ( YX , — метрические
пространства, в отдельных случаях банаховы или гильбертовы), и элемен-
том Y∈f .
Проекционно-итерационная реализация явных методов вариационного типа для решения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 115
Основные результаты по некорректным задачам отражены в работах
М.М. Лаврентьева [4], А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [5], В.А. Морозо-
ва [6], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [7], Г.М. Вайникко и
А.Ю. Веретенникова [8]. Наиболее общим из известных подходов к реше-
нию некорректных задач является подход, основанный на введенном
А.Н. Тихоновым понятии регуляризатора. Использование регуляризатора
задачи дает возможность сколь угодно точного ее решения при достаточно
точных исходных данных.
Особое место среди методов решения некорректных задач занимают
итерационные методы. Первые методы приближений, дающие в пределе
точные решения уравнения (1), если данные (оператор A и правая часть f )
заданы точно, были предложены в 30-е годы прошлого века в работах
Т. Карлемана, Г.М. Голузина и В.И. Крылова, И.Г. Малкина. В работе [4]
М.М. Лаврентьев обосновал сходимость метода последовательных прибли-
жений при приближенной правой части линейных уравнений и распростра-
нил полученные результаты на случай нелинейных уравнений. Изучению
итерационных методов посвящены работы В.Н. Страхова [9], М.А. Красно-
сельского, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко [10]. Различные схемы итерацион-
ных методов, предложенные А.С. Апарциным, В.К. Ивановым, М.М. Лавре-
нтьевым, В. Липфертом, А.Б. Бакушинским и А.В. Гончарским, В.А. Моро-
зовым, В.В. Васиным, применялись для решения многих некорректных
задач в банаховых и гильбертовых пространствах. Метод простой итерации
и итерационные методы вариационного типа для решения некорректных
уравнений с приближенными данными изучались в работах А.А. Самарско-
го и П.Н. Вабищевича [1], О.А. Лисковца и Я.В. Константиновой [11].
Помимо итерационных методов для приближенного решения некоррек-
тных задач широко применяются проекционные методы, позволяющие (по
Л.В. Канторовичу) уравнение (1), рассматриваемое в каком-то сложном
пространстве, заменить приближенным уравнением, заданным в более прос-
том пространстве, и принять точное решение приближенного уравнения как
приближение к решению исходного уравнения. Теоретическому обоснова-
нию и различным приложениям проекционных методов посвящены работы
С.Г. Михлина, Л.В. Канторовича, Н.И. Польского, М.А. Красносельского,
Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, В.В. Иванова, В.В. Петришина, а также Ю.И.
Грибанова, Б.Г. Габдулхаева, А.Ю. Лучки, С.Д. Балашовой и других авто-
ров. При этом привлечение идей функционального анализа дало возмож-
ность выработать единый подход к решению разнообразных задач, посколь-
ку различные конкретные виды уравнений представляют собой частные
случаи некоторого операторного уравнения, а также теоретически обосно-
вать исследуемые методы.
Несмотря на широкую область применения, проекционные методы
имеют недостатки. Хотя приближенные уравнения и проще исходного, тем
не менее получение их точных решений на практике затруднительно, а ино-
гда и нецелесообразно (из-за погрешностей задания исходных данных).
Сложным является также выбор порядка приближенного уравнения, кото-
рый обеспечил бы получение решения с заданной точностью. Если решение
приближенного уравнения некоторого порядка n не удовлетворяет постав-
ленным требованиям, то приходится решать уравнение более высокого по-
рядка, никак не используя при этом результат, полученный на предыдущем
шаге.
Л.Л. Гарт
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 116
Синтез проекционных и итерационных методов, основанный на воз-
можности применения итерационных методов для приближенного решения
приближенных уравнений, привел к возникновению группы методов под
названием проекционно-итерационных. Так, согласно идее С.Д. Балашовой
[12], реализованной для корректно поставленных задач, для каждого из при-
ближенных уравнений ( n -го уравнения) следует находить итерационным
методом лишь несколько ( nk ) приближений, последнее из которых полагать
равным начальному приближению к решению следующего (( 1+n )-го)
уравнения. Такой подход естественно устраняет трудности, возникающие
при решении исходного уравнения обычным проекционным методом. Кро-
ме того, применение итерационных методов не к исходному уравнению, а к
более простым приближенным уравнениям позволяет наиболее просто
строить последовательность приближений к решению, а также облегчает
задачу о выборе начального приближения.
В данной работе согласно общей методологии [12, 13] впервые иссле-
дуются проекционно-итерационные методы решения некорректного линей-
ного операторного уравнения (1) с приближенной правой частью, основан-
ные на явных итерационных методах вариационного типа, в частности
методах минимальных невязок и скорейшего спуска.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть задано уравнение вида (1), в котором A — линейный ограниченный
самосопряженный и положительный оператор, действующий в гильберто-
вом пространстве H со скалярным произведением ) ,( vu произвольных
элементов H , ∈vu и порождаемой им нормой ) ,( uuu = , H∈u . Предпо-
ложим, что обратный оператор 1−A существует, но не является ограничен-
ным в H , т.е. не выполняется третье условие корректности задачи по Ада-
мару (устойчивость) [5]. Некорректность уравнения (1) обуславливается
тем, что собственные значения mλ , 2,... 1,=m оператора A , упорядоченные
по убыванию ( 0...... 21 >≥λ≥≥λ≥λ m ), стремятся к нулю при ∞→m , что
влечет плохую его обусловленность. Будем обозначать через H* ∈u точное
решение уравнения (1).
Отметим, что если в уравнении (1) оператор A не является самосопря-
женным и положительным, то можно провести предварительную симметри-
зацию по Гауссу и рассматривать вместо уравнения (1) эквивалентное ему
симметризованное уравнение fAuAA ∗∗ = c положительным (а значит, са-
мосопряженным) в H линейным оператором AA∗ , где ∗A — сопряженный
оператор по отношению к A .
Цель работы — теоретическое обоснование проекционно-итерационного
подхода для решения некорректных линейных операторных уравнений ви-
да (1) в гильбертовом пространстве, а именно получение достаточных усло-
вий сходимости, оценок погрешности и скорости сходимости проекционно-
итерационной реализации явных методов вариационного типа.
Проекционно-итерационная реализация явных методов вариационного типа для решения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 117
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Наряду с уравнением (1) рассматрим последовательность приближенных
уравнений
nfuA =nn , ...2, 1,=n , (2)
где nA — линейный оператор в nH ; { nH } — возрастающая последова-
тельность конечномерных подпространств исходного пространства H
( ...HH 21 ⊂⊂ HH ⊂⊂⊂ ...n , ∅≠1H ); fPf nn = , nP — оператор ортого-
нального проектирования H на nH ( 1 , , *2 === nnnnn PPPPP ).
Введенные пространства и операторы при каждом натуральном Nn∈
свяжем условиями близости:
uuAPuA nn ξ≤− , Hu∈∀ ; (3)
nnnnnn uuAPuA α≤− , nn Hu ∈∀ ; (4)
fufP nn η≤− , H∈∀ f , (5)
где nξ , nα , nη — положительные числа, не зависящие от Hu∈ и nn Hu ∈ ,
причем 0→ξn , 0→αn , 0→ηn при ∞→n .
Пусть }0 :{Ker =∈= A uuA H — подпространство нулей оператора A
( }0{Ker =A ), AKer \HH = — фактор-пространство пространства H по
подпространству AKer , а HHA →: — линейный оператор, индуцирован-
ный оператором A в фактор-пространстве H [14]. Сходимость в H проек-
ционного метода решения уравнения (1) установлена с использованием ре-
зультатов работы [15].
Теорема 1. Пусть уравнение (1) разрешимо при любой правой части
Hf ∈ и выполнены условия близости (4), (5), а также условие
nn Hu ∈∀ nn H∈∃ z : nnnn uzuA β≤− , 0→βn , ∞→n . (6)
Тогда при всех 10 ≥≥ Nn , удовлетворяющих неравенству
( ) 1 21 <β+α=ρ −
nnn A ,
приближенные уравнения (2) также разрешимы при любой правой части
nnf H∈ и последовательность } { ∗
nu их точных решений сходится в H к
решению *u уравнения (1) с оценкой погрешности
nn uu γ≤−∗ * , 0Nn ≥ , (7)
где ( )nnnnn OAfA β+α+η=−=γ − 2u 2 *1 .
Отметим, что из положительности исходного оператора A в H и вы-
полнимости условий близости (3), (4) вытекает свойство положительности
каждого из операторов nA в nH , начиная с некоторого номера 11 ≥= Nn
Л.Л. Гарт
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 118
[12]. Кроме того, из выполнимости условий (3), (4) следует, что для каждого
собственного значения mλ оператора A существует последовательность
}{ ,nmλ собственных значений операторов nA такая, что mnm λ→λ , при
∞→n , и наоборот, всякая предельная точка любой последовательности
собственных значений операторов nA является собственным значением
оператора A . При этом, если APA nn = , то nmm ,λ≤λ и nmnm ,1, λ≤λ + для
всех натуральных номеров Nm∈ и 1Nn ≥ [10]. В частности, если оператор
A переводит nH в nH , то с учетом (3), (4) можно получить для любого
nnu H∈ оценку
( ) ≤−+λ≤−+= nnnnnnnnnnnn uuAAuuuAAuAuuuA )(,)(),(),( 2
1
( ) ≤−+−+λ≤ nnnnnnnnn uAuAuPAuPuAu 2
1
2
,1
2
1 )( nnnnn uu λ=ξ+α+λ≤ ,
из которой следует вследствие экстремального свойства собственных значе-
ний самосопряженных ограниченных операторов, что верхние границы 1λ и
n,1λ спектров A и nA соответственно связаны соотношением
nnn ξ+α+λ=λ 1,1 , 1Nn ≥ .
Таким образом, при сделанных предположениях об операторе A ис-
ходной задачи очевидно, что собственные значения nj,λ ( n2,..., 1, l=j ,
nH dimn =l ) операторов nA , упорядоченные по убыванию ( K≥λ≥λ nn ,2,1
0, >λ≥ nnl
K ), стремятся к нулю при ∞→n , что влечет малую устойчи-
вость каждого из приближенных уравнений (2), начиная с номера
} ,{max 10 NNNn == .
Во многих прикладных исследованиях типичной является ситуация с
заданием исходных данных с погрешностью. Эту общую ситуацию промо-
делируем предположением, что правая часть уравнения (1) задана с погреш-
ностью 0>δ , т.е. вместо H∈f известно H∈δf такое, что
δ≤− δff . (8)
Требуется по H∈δf построить приближенное решение H∈δ)(*u
уравнения (1), удовлетворяющее условию ** )( uu →δ при 0→δ .
Для приближенного решения задачи (1) при условии (8) аппроксимиру-
ем уравнение
δ= fuA (9)
по той же схеме, что и выше, последовательностью приближенных уравнений
)( nn δ= nfuA , Nn ≥ , (10)
Проекционно-итерационная реализация явных методов вариационного типа для решения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 119
где δ=δ fPf nn )( . Так как nP — ортогональный проектор H на nH , то от-
клонение правых частей соответствующих приближенных уравнений (2) и
(10) по норме H не превышает погрешности δ задания правой части урав-
нения (1):
δ≤−≤−=δ− δδ ffPfPfPff nnnnn )( . (11)
На основании теоремы 1 из разрешимости уравнения (1) при любой
правой части и выполнимости условий (4)–(6) следует разрешимость каждо-
го из приближенных уравнений (10), причем последовательность точных
решений nnu H∈δ∗ )( уравнений (10) сходится к точному решению
H∈δ)(*u уравнения (9) с оценкой погрешности
)( 2)()(*)( 1 δ−=δγ≤δ−δ ∗
δ
−∗
nnn uAfAuu , Nn ≥ .
Для решения каждого из приближенных уравнений (10) будем приме-
нять явный двухслойный итерационный метод Ричардсона вида
))()( ()()( )(
n
)1()()1( δ−δτ−δ=δ ++
n
k
n
k
n
k
n
k
n fuAuu , ...,1 ,0=k , Nn ≥ , (12)
где n
k
nu H∈δ)()( — k -е итерационное приближение к точному решению
nnu H∈δ∗ )( уравнения (10); 0)1( >τ +k
n — итерационный параметр. Известно
[16], что для метода (12) с положительным оператором nA существует спо-
соб выбора оптимальных (чебышевских) итерационных параметров, однако
из-за близости к нулю нижней границы спектра оператора nA сложно кон-
кретизировать скорость сходимости такого метода в nH и указать априор-
ное число итераций )(δnk , согласованное с заданным уровнем погрешности
правой части (оценка (11)).
Будем выбирать параметры )1( +τ k
n в формуле (12) из условия минимума
погрешности
nDnn uu )()(1)(k δ−δ ∗+ итерационного метода при заданной по-
грешности
nDnn uu )()((k) δ−δ ∗ , где nD — положительный оператор в nH ,
),( nnnDn uuDu
n
= . В зависимости от выбора nD получают различные
итерационные методы, преимущество которых состоит в том, что они не
требуют знания границ спектра оператора nA в отличие от метода с чебы-
шевским набором параметров.
ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Обозначим через )()()( )()( δ−δ=δ n
k
nn
k
n fuAr невязку метода (12) на k -й ите-
рации, полученную при подстановке k -го итерационного приближения
)()( δk
nu в уравнение (10), а через )()()( )()( δ−δ=δ ∗
n
k
n
k
n uuz — погрешность
метода (12) на k -й итерации. Заметим, что погрешность и невязка связаны
Л.Л. Гарт
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 120
равенством )()( )()( δ=δ k
n
k
nn rzA , с учетом которого из (12) легко получить,
что невязка )()( δk
nr удовлетворяет тому же уравнению, что и погрешность:
)( )()( )()1()()1( δτ−δ=δ ++ k
nn
k
n
k
n
k
n rArr , Nn ≥ . (13)
Метод минимальных невязок состоит, как известно, в выборе итераци-
онного параметра )1( +τ k
n в формуле (12) из условия минимума )(1)( δ+k
nr при
заданной норме )()( δk
nr , что приводит с учетом уравнения (13) к явному
выражению для параметра
2)(
)()(
)1( ),(
k
nn
k
n
k
nnk
n
rA
rrA
=τ + , )()()()( δ−δ≡ n
k
nn
k
n fuAr . (14)
Очевидно, роль оператора nD при каждом Nn ≥ выполняет тождест-
венный оператор.
Рассмотрим проекционно-итерационный принцип решения задачи (1)
при условии (8), основанный на применении к решению каждого из при-
ближенных уравнений (10), начиная с номера Nn = , итерационного метода
(12), (14). Построив с помощью этого метода для n -го приближенного урав-
нения несколько приближений n
k
n Hu ∈δ)()( , nkk ,...2, ,1= ( )(δ≤ kkn ) и по-
ложив последнее из них равным начальному приближению для следующего,
( 1+n )-го уравнения, получим последовательность ∞
=δ Nn
k
n
nu )}({ )( приближе-
ний к решению H∈*u уравнения (1):
))()( ()()( )()1()()1( δ−δτ−δ=δ ++
n
k
nn
k
n
k
n
k
n fuAuu , 1,1,...,0 −= nkk ; (15)
)()( )((0)
1 δ=δ+
nk
nn uu , Nn ≥ ; NN Hu ∈δ)((0) . (16)
Достаточные условия сходимости проекционно-итерационного вариан-
та метода минимальных невязок устанавливает теорема 2.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и в проекционно-
итерационном методе (14)–(16) при каждом Nn ≥ количество итераций
)(δ≤ kknk , причем 0)( →δδk при 0→δ . Тогда последовательность
∞
=δ Nn
k
n
nu )}({ )( , определяемая по формулам (14)–(16), сходится в H к реше-
нию *u уравнения (1) при условии (8), если 0→δ , и справедлива оценка
погрешности
)( )( *)( δχ≤−δ n
k
n uu n , Nn ≥ , (17)
где n
k
k
k
nnNnn
n
z γ+τδ+μ ′′+μ′=δχ ∑
=1
)()0( )( ; *(0)(0) )( NNN uuz −δ= , nγ дается
формулой (7), ∏
=
=μ′
n
Nj
k
jn
jq , ∏∑ ∑
+=
−
=
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ+γ+τδ=μ ′′
n
mj
k
j
n
Nm
mm
k
k
k
mn
j
m
q
1
1
1
1
)( ,
10 << jq .
Проекционно-итерационная реализация явных методов вариационного типа для решения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 121
Доказательство. Рассмотрим при N≥n неравенство
*)()( )( *)( uuuuuu nn
k
n
k
n
nn −+−δ≤−δ ∗∗ , (18)
где nn Hu ∈∗ — точное решение приближенного уравнения (2). Для второго
слагаемого неравенства (18) имеем оценку (7). Оценим первое слагаемое.
Из уравнения (15) непосредственно получаем
+δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
τ−=δ ∏
−
=
− )( )()( )0(
1
0
n
)()(
n
k
j
jk
n
k
n uAEu
n
nn
)( )(
1
1
n
)()( δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
τ−τ+ ∑ ∏
=
−
=
−+
n
k
i
k
ij
jik
n
i
n fAE
n n
n , Nn ≥ , (19)
где nnu H∈δ)((0) — начальное приближение, определяемое по формулам (16).
Для точного решения nn Hu ∈* можно воспользоваться аналогичным
представлением
n
k
i
k
ij
jik
n
i
nn
k
j
jk
nn fAEuAEu
n n
n
n
n )( )(
1
1
n
)()(
1
0
n
)(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
τ−τ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
τ−= ∑ ∏∏
=
−
=
−+∗
−
=
−∗ , Nn ≥ ,
которое соответствует итерационному решению уравнения (2), когда на-
чальное приближение совпадает с его точным решением.
С учетом (19) для погрешности *)()( )( n
k
n
k
n uuz nn −δ= получим выражение
)()()( nnn k
n
k
n
k
n wvz += , N≥n , (20)
где
)0(
1
0
)()( z )( n
k
j
n
jk
n
k
n
n
nn AEv
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
τ−= ∏
−
=
− ,
))(( )(
1
1
)()()(
nn
k
i
k
ij
n
jik
n
i
n
k
n ffAEw
n n
nn −δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
τ−τ= ∑ ∏
=
−
=
−+ . (21)
Первое слагаемое в выражении (20) является стандартным для проек-
ционно-итерационных методов, во втором же слагаемом учитывается по-
грешность в задании правой части уравнения (2).
Обозначим через n
k
n
k
n AET )()( τ−= самосопряженный в nH оператор
перехода от итерации к итерации в методе (12), (14) и с учетом уравнения
(13) будем иметь:
)()( )()( )()1()(
n
)1()1( δ=δτ−=δ +++ k
n
k
n
k
n
k
n
k
n rTrAEr ;
)( )( )()1()1( δ≤δ ++ k
n
k
n
k
n rTr , 1,1,...,0 −= nkk . (22)
В то же время для указанных номеров k при выборе )1( +τ k
n согласно
выражению (14) норма невязки )()1( δ+k
nr достигает минимума; поэтому,
Л.Л. Гарт
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 122
положив в уравнении (13) вместо )1( +τ k
n любое другое, постоянное при дан-
ном Nn ≥ , значение ) /2 ,0( ,1 nn λ∈τ , получим неравенство
≤δτ−=δ ++ )( )()( )(
n
)1()1( k
n
k
n
k
n rAEr
)( )( )( )(
n
)(
n δτ−≤δτ−≤ k
nn
k
nn rAErAE .
А так как для положительного в nH оператора nA при условии
) /2 ,0( ,1 nn λ∈τ имеем [1] 1<=τ− nnn qAE , то )( )( )()1( δ≤δ+ k
nn
k
n rqr для
всех 1,...1,,0 −= nkk . Тогда с учетом (22) получаем следующую оценку для
нормы оператора перехода:
1n
)()( <≤τ−= n
k
n
k
n qAET , nkk 1,2,...,= , Nn ≥ . (23)
Для выражения )( nk
nw , Nn ≥ в (21) на основании соотношений (11) и
(23) будем иметь
≤τ−τ−δ≤ ∑ ∏
=
−
=
−+
n n
nn
k
i
k
ij
n
jik
n
i
nnn
k
n AEffw
1
1
)()()( )(
∑∑
==
− τδ≤τ−δ≤
nn
n
k
i
i
n
k
i
ik
n
i
nnn qff
1
)(
1
)( )( . (24)
Далее, поскольку начальная погрешность метода для уравнения (2) с
учетом (16) представима в виде *)(
1-
*(0)(0) )()( 1-
n
k
nnnn uuuuz n −δ=−δ= , то
nn
k
nnnnn
nn uuuuz γ+γ+≤−+−+≤ −− 1
)(
1-
****
1
)(k
1-
(0) 1-1- zz , Nn > ,
и для )( nk
nv на основании соотношений (20), (21), (23), (24) выполняется ре-
курсивное неравенство
( ) ≤γ+γ+≤τ−≤ −−
−
=
− −∏ nn
n
nn k
nnn
k
n
k
j
jk
nn
k
n qzAEzv 1
)(
1
1
0
n
)()0()( 1
( ) ≤γ+γ++≤ −−−
−− nnn k
nnn
k
n
k
n qwv 1
)(
1
)(
1
11 ,
n
n
n k
nnn
k
i
i
n
k
n qv 1
1
)(
1
)(
1
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ+γ+τδ+≤ −
=
−− ∑
−
− Nn > ;
N
N
NN k
NN
k
j
jk
NN
k
N qzAEzv )0(
1
0
N
)()0()( ≤τ−≤ ∏
−
=
− .
Пользуясь этими соотношениями, получим оценку
∏∑ ∑∏
+=
−
=
+
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ+γ+τδ+≤
n
mj
k
j
n
Nm
mm
k
i
i
m
n
Nj
k
jN
k
n
j
m
jn qqzv
1
1
1
1
)()0()( , Nn ≥ . (25)
Проекционно-итерационная реализация явных методов вариационного типа для решения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 123
Возвращаясь к неравенству (18) и оценивая первое слагаемое в нем с
учетом формул (20), (24), (25), приходим к оценке погрешности (17), из ко-
торой видно, что проекционно-итерационная последовательность прибли-
жений ∞
=δ Nn
k
n
nu )}({ )( сходится в H к решению *u уравнения (1) при усло-
вии (8), когда ∞→n и 0→δ .
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь проекционно-итерационный метод решения задачи
(1), (8), основанный на применении к решению каждого из приближенных
уравнений (10), начиная с номера Nn = , итерационного метода скорейшего
спуска. Параметр )1( +τ k
n в формулах (15), (16) выбираем из условия мини-
мума энергетической нормы погрешности
nA
z )(1)(k
n δ+ при заданной норме
nA
k
nz )()( δ , которое с учетом уравнения для погрешности (вида (13)) приво-
дит к выражению
),(
),(
)()(
)()(
)1(
k
n
k
nn
k
n
k
nk
n
rrA
rr
=τ + , )()()()( δ−δ≡ n
k
nn
k
n fuAr . (26)
Как и в теореме 2 легко показать, что
≤δτ−=δ ++
nn A
k
nn
k
nA
k
n zAEz )( )()( )()1(1)(
nA
k
nnnA
k
nn zAEzAE )( )( )( )()(
n
n
δτ−≤δτ−≤
при любых значениях ) /2 ,0( ,1 nn λ∈τ , 1,1,...,0 −= nkk , Nn ≥ . Поэтому для
оператора перехода в методе скорейшего спуска (12), (26) справедлива та же
оценка, что и в методе минимальных невязок (12), (14):
1nn
)()( <=τ−≤τ−= nn
k
n
k
n qAEAET , nkk 1,2,...,= , Nn ≥ ,
откуда следует, что утверждения теоремы 2 сохраняет силу и для проекци-
онно-итерационной реализации (15), (16), (26) метода скорейшего спуска.
Из доказательства теоремы 2 о сходимости явных проекционно-
итерационных методов вариационного типа для решения задачи (1), (8) вы-
текает, что последовательность ∞
=δ Nn
k
n
nu )}({ )( сходится к *u , если 0→δ ,
при произвольном выборе чисел nk , в частности, все числа nk могут быть
равными 1. Следует, однако, иметь в виду, что с возрастанием n увеличива-
ется объем вычислительной работы, необходимы для нахождения очередно-
го приближения. Поэтому нужно стремиться к тому, чтобы за счет подхо-
дящего выбора nk по возможности максимально приблизиться к искомому
решению при данном n и только тогда переходить к уравнению (10) боль-
шей размерности. Не следует также выбирать число nk при данном n сли-
шком большим, поскольку, начиная с некоторого момента, увеличение этого
числа не приводит к существенному улучшению (по отношению к решению
Л.Л. Гарт
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 124
*u исходного уравнения) очередных приближений. Таким образом, возни-
кает вопрос о целесообразном выборе чисел nk ( Nn ≥ ), ответ на который в
общем случае затруднителен, однако могут быть даны некоторые рекомен-
дации.
Подстановка формул (20), (24) и (7) в неравенство (18) приводит
к оценке
nnn
k
n
k
n kvuu nn γ+τδ+≤−δ ~ )( )(*)( , Nn ≥ , (27)
где )(
1
max~ k
n
kk
n
n
τ=τ
≤≤
. Эта оценка показывает, что в случае применения проек-
ционно-итерационных методов (15), (16) с выбором итерационных парамет-
ров согласно выражению (14) (или (26)) для решения задачи (1), (8) пара-
метром регуляризации является количество итераций nk , которое следует
согласовывать как с погрешностью δ в задании правой части, так и с по-
грешностью nγ проекционного метода. Первое слагаемое в правой части
(27) стремится к нулю при ∞→nk , второе — растет с количеством итера-
ций, третье же не зависит от nk . Понятно, что число nk достаточно выбрать
таким, чтобы величины )( nk
nv , δτnnk ~ и nγ имели один и тот же порядок
малости; в частности, роль nk может играть наименьшее из чисел k
( 1,... ,0=k ), удовлетворяющих неравенству
)~ ( )(
nn
k
n kMv γ+δτ≤ , Nn ≥ , (28)
где 0>M — некоторая константа.
Следует отметить, что способом (28) определения чисел nk удобно
пользоваться лишь в тех случаях, когда используемые здесь величины, вхо-
дящие в оценку погрешности (27), легко вычисляются, что не всегда выпол-
няется при решении практических задач. Некоторые другие способы выбора
чисел nk ( Nn ≥ ) можно найти в работе [13].
Отметим, что методы минимальных невязок (12), (14) и скорейшего
спуска (12), (26) при решении устойчивых уравнений вида (10) сходятся
с той же скоростью, что и метод простой итерации с оптимальным парамет-
ром )2/( ,,1 nnn nl
λ+λ=τ [16]. При решении же некорректных уравнений
(10), когда отношение nn n ,,1 / lλλ наибольшего и наименьшего собственных
значений оператора nA велико, эти методы сходятся довольно медленно.
Проекционно-итерационный подход позволяет ускорить сходимость про-
цесса итерационных приближений к решению исходной задачи (1), (8) и тем
самым уменьшить количество вычислительных затрат, поскольку значи-
тельная часть этих приближений строится для приближенных уравнений
(10) меньшей размерности при неизменной погрешности δ их правых час-
тей. Ускорить сходимость итерационных методов при решении приближен-
ных уравнений (10) можно применением неявных итерационных методов, в
том числе с переменными итерационными параметрами.
Проекционно-итерационная реализация явных методов вариационного типа для решения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 125
ВЫВОДЫ
В работе впервые рассмотрен вопрос теоретического обоснования проекци-
онно-итерационных методов, основанных на явных методах вариационного
типа (скорейшего спуска и минимальных невязок), для решения некоррект-
ных линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве, для
которых не выполняется третье условие корректности задачи по Адамару
(устойчивость). Доказаны теоремы о сходимости методов, получены оценки
погрешности. Даны рекомендации по выбору регуляризирующего количест-
ва итераций при решении каждого из приближенных уравнений, рассматри-
ваемых в конечномерных подпространствах исходного пространства.
ЛИТЕРАТУРА
1. Самарский А.А. Численные методы решения обратных задач математической
физики / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. — М.: Изд-во ЛКИ, 2009. —
480 с.
2. Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. междунар. конф. —
Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. — 306 с.
3. Матысик О.В. Явные и неявные итерационные процедуры решения некор-
ректно поставленных задач / О.В. Матысик. — Брест: Изд-во БрГУ, 2014.
— 213 с.
4. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики /
М.М. Лаврентьев. — Новосибирск: Изд-во СО АН CCCР, 1962. — 92 с.
5. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсе-
нин. — М.: Наука, 1979. — 288 с.
6. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач /
В.А. Морозов. — М.: Изд-во МГУ, 1974. — 320 с.
7. Иванов В.К. Теория линейных некорректных задач и её приложения /
В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. — М.: Наука, 1978. — 206 с.
8. Вайникко Г.М. Итерационные процедуры в некорректных задачах / Г.М. Вай-
никко, А.Ю. Веретенников. — М.: Наука, 1986. — 178 с.
9. Страхов В.Н. К вопросу о скорости сходимости в методе простой итерации /
В.Н. Страхов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1973. — 13,
№ 6. — С. 1602–1606.
10. Красносельский М.А. Приближённое решение операторных уравнений /
М.А. Красносельский и др. — М.: Наука, 1969. — 456 с.
11. Константинова Я.В. Оценки погрешности в методе итераций для уравнений I-
го рода / Я.В. Константинова, О.А. Лисковец // Вестн. Белорус. ун-та. —
1973. — № 1. — С. 9–15.
12. Балашова С.Д. Приближенные методы решения операторных уравнений /
С.Д. Балашова. — Д.: ДГУ, 1980. — 112 c.
13. Гарт Л.Л. Явный проекционно-итерационный метод решения некорректных
операторных уравнений / Л.Л. Гарт // Питання прикладної математики i ма-
тематичного моделювання. — Д.: РВВ ДНУ, 2015. — Вип. 15. — С. 33–47.
14. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. —
СПб.: Невский Диалект, 2004. — 816 с.
15. Габдулхаев Б.Г. Теория приближенных методов решения операторных уравне-
ний / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2006. — 112 с.
16. Самарский А.А. Численные методы / А.А. Самарский, А.В. Гулин. — М.: Нау-
ка, 1989. — 432 с.
Поступила 13.06.2016
|
| id | journaliasakpiua-article-71474 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:20:11Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/06/119af273c39054f73835e5a95a916206.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-714742018-03-30T15:25:34Z Projection-iteration implementation of explicit variation type methods of solving ill-posed operator equations Проекционно-итерационная реализация явних методов вариационного типа для решения некорректных операторных уравнений Проекційно-ітераційна реалізація явних методів варіаційного типу для розв’язання некоректних операторних рівнянь Hart, Liudmyla L. ill-posed equation operator space sequence approximation iteration method discrepancy error projection-iteration method convergence estimation некорректное уравнение оператор пространство последовательность приближение итерационный метод невязка погрешность проекционно-итерационный метод сходимость оценка некоректне рівняння оператор простір послідовність наближення ітераційний метод нев’язка похибка проекційно-ітераційний метод збіжність оцінка Projection-iteration regularizing methods based on explicit variation type methods (steepest descent and minimal residual methods) are investigated for solving ill-posed linear operator equations in a Hilbert space which do not satisfy the third condition of the correctness of the problem by Hadamard (stability). The proposed approach is to replace the original ill-posed equation by a sequence of simpler equations that approximate it defined in finite-dimensional subspaces of the original space. Then, only few approximations for each of the "approximate" equations are constructed using an explicit variation method, and the last of them is used as the initial approximation in the iterative process for the next "approximate" equation. The theorems on the convergence of the projection-iteration methods are proved, error estimates are obtained. The recommendations on the choice of the regularizing number of iterations are given. Исследовано проекционно-итерационные методы регуляризации, основанные на явных методах вариационного типа (скорейшего спуска и минимальных невязок), для решения некорректных линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве, для которых не выполняется третье условие корректности задачи по Адамару (устойчивость). Предложенный подход состоит в замене исходного некорректного уравнения некоторой последовательностью более простых аппроксимирующих его уравнений, заданных в конечномерных подпространствах исходного пространства. Для каждого из "приближенных" уравнений строится с помощью явного вариационного метода лишь несколько приближений, последнее из которых принимается в качестве начального приближения в итерационном процессе для следующего "приближенного" уравнения. Доказаны теоремы о сходимости проекционно-итерационных методов, получены оценки погрешности. Даны рекомендации по выбору регуляризующего количества итераций. Досліджено проекційно-ітераційні методи регуляризації, що ґрунтуються на явних методах варіаційного типу (найшвидшого спуску та мінімальних нев’язок), для розв’язання некоректних лінійних операторних рівнянь у гільбертовому просторі, для яких не виконується третя умова коректності задачі за Адамаром (стійкість). Запропонований підхід полягає у заміні вихідного некоректного рівняння деякою послідовністю більш простих апроксимованих рівнянь, заданих у скінченновимірних підпросторах вихідного простору. Для кожного з "наближених" рівнянь будується за допомогою явного варіаційного методу лише декілька наближень, останнє з яких береться за початкове наближення в ітераційному процесі для наступного "наближеного" рівняння. Доведено теореми про збіжність проекційно-ітераційних методів, отримано оцінки похибки. Надано рекомендації щодо вибору регуляризувальної кількості ітерацій. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017-03-21 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71474 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.1.09 System research and information technologies; No. 1 (2017); 114-125 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2017); 114-125 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2017); 114-125 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71474/97043 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | некоректне рівняння оператор простір послідовність наближення ітераційний метод нев’язка похибка проекційно-ітераційний метод збіжність оцінка Hart, Liudmyla L. Проекційно-ітераційна реалізація явних методів варіаційного типу для розв’язання некоректних операторних рівнянь |
| title | Проекційно-ітераційна реалізація явних методів варіаційного типу для розв’язання некоректних операторних рівнянь |
| title_alt | Projection-iteration implementation of explicit variation type methods of solving ill-posed operator equations Проекционно-итерационная реализация явних методов вариационного типа для решения некорректных операторных уравнений |
| title_full | Проекційно-ітераційна реалізація явних методів варіаційного типу для розв’язання некоректних операторних рівнянь |
| title_fullStr | Проекційно-ітераційна реалізація явних методів варіаційного типу для розв’язання некоректних операторних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Проекційно-ітераційна реалізація явних методів варіаційного типу для розв’язання некоректних операторних рівнянь |
| title_short | Проекційно-ітераційна реалізація явних методів варіаційного типу для розв’язання некоректних операторних рівнянь |
| title_sort | проекційно-ітераційна реалізація явних методів варіаційного типу для розв’язання некоректних операторних рівнянь |
| topic | некоректне рівняння оператор простір послідовність наближення ітераційний метод нев’язка похибка проекційно-ітераційний метод збіжність оцінка |
| topic_facet | ill-posed equation operator space sequence approximation iteration method discrepancy error projection-iteration method convergence estimation некорректное уравнение оператор пространство последовательность приближение итерационный метод невязка погрешность проекционно-итерационный метод сходимость оценка некоректне рівняння оператор простір послідовність наближення ітераційний метод нев’язка похибка проекційно-ітераційний метод збіжність оцінка |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71474 |
| work_keys_str_mv | AT hartliudmylal projectioniterationimplementationofexplicitvariationtypemethodsofsolvingillposedoperatorequations AT hartliudmylal proekcionnoiteracionnaârealizaciââvnihmetodovvariacionnogotipadlârešeniânekorrektnyhoperatornyhuravnenij AT hartliudmylal proekcíjnoíteracíjnarealízacíââvnihmetodívvaríacíjnogotipudlârozvâzannânekorektnihoperatornihrívnânʹ |