До невизначеності в параметричних схемах ситуацій задач прийняття рішень
A sufficiently broad class of parametric problems of decisionmaking, considered from the point of obtaining the criteria of optimality, the relationship of preferences on the solution, can be divided into two subclasses: problem with uncertainty (equivocation of the solution) and problems without un...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2012
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71757 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334265962758144 |
|---|---|
| author | Ivanenko, V. I. Mykhalevich, V. M. |
| author_facet | Ivanenko, V. I. Mykhalevich, V. M. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. I. Ivanenko",
"institution": null
},
{
"author": "V. M. Mykhalevich",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Ivanenko, V. I. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:06:41Z |
| description | A sufficiently broad class of parametric problems of decisionmaking, considered from the point of obtaining the criteria of optimality, the relationship of preferences on the solution, can be divided into two subclasses: problem with uncertainty (equivocation of the solution) and problems without uncertainty (so-called deterministic problems). Criterion of existence of uncertainty is necessary for classification, and such criterion are suggested in the work. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:20:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.И. Иваненко, В.М. Михалевич, 2012
30 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3
УДК 519.81
К НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СХЕМАХ
СИТУАЦИЙ ЗАДАЧ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ
В.И. ИВАНЕНКО, В.М. МИХАЛЕВИЧ
Рассмотрен достаточно широкий класс параметрических задач принятия ре-
шений, рассматриваемых с позиции получения критерия оптимальности — от-
ношения предпочтений на решениях, можно разделить на два подкласса: зада-
чи с неопределенностью (неоднозначностью указанного решения) и задачи без
неопределенности (т.н. детерминистические задачи). Для такой классифика-
ции необходимы критерии существования неопределенности, которые и пред-
лагаются в данной работе.
ВВЕДЕНИЕ
Анализируется ситуация в системе принятия решений, представляющей
собой пару: того, кто принимает решение (ТПР) и ситуацию принятия
решения (СПР) [1, 2]. Предлагаемая работа является продолжением работы
[3] и совместно с ней уточнением и обобщением работы [4].
При этом задачи принятия решений (они преимущественно рас-
матриваются как оптимизационные) можно разделить на два подкласса:
задачи без неопределенности (т.н. детерминистические задачи) и задачи
с неопределенностью, т.к. неопределенность значений ненаблюдаемого
параметра часто порождает неопределенность при выборе оптимального
решения в заданной ситуации, т.е. задаваемой схемой, или, коротко говоря,
неопределенность схемы ситуации. Для такой классификации необходимы
критерии наличия неопределенности в этих задачах. Поэтому возникает
задача получения критериев неопределенности схем ситуаций.
Цель работы — решение указанной задачи для параметрических
ситуаций, т.к. согласно [3], анализируя ситуации, можно ограничиться
параметрическими. Для этого используются результаты работы [4].
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Определение 1. Параметрической схемой ситуации задачи решения (ССЗР)
называется упорядоченная четверка вида ,),,,( gUX Θ где g является
отображением из U×Θ в X для произвольных непустых множеств
.,, UX Θ Класс всех ССЗР обозначим Z .
При этом множество X называется множеством последствий, Θ —
множеством значений ненаблюдаемого параметра, U — множеством
решений, а g — отображением последствий ССЗР ),,,( gUX Θ .
Под основной задачей принятия решения для ТПР в заданной ситуации
или, коротко, задачей решения (ЗР) понимается задание этим ТПР
К неопределенности в параметрических схемах ситуаций задач принятия решения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 31
отношения предпочтения на последствиях — первая ЗР и решениях —
вторая ЗР.
Определение 2. ССЗР Z∈′′Θ′′ ),,,( gUX называется подсхемой ССЗР
,),,,( Z∈Θ gUX если ,XX ⊆′ ,, UU ⊆′Θ⊆Θ′ и Ugg ′×Θ′′ |:= .
Подсхему ),,,( gUX ′′Θ′′ ССЗР Z∈Θ ),,,(:= gUXZ будем обозначать
UXZ ′Θ′′ ,,| .
Определение 3. Две ССЗР ),,,,( 1111 gUX Θ Z∈Θ ),,,( 2222 gUX
называются изоморфными, что будем обозначать ),,,( 1111 gUX Θ
),,,,( 2222 gUX Θ если существуют такие биекции ,: 21 XXi → →1:Uj
,2U→ ,: 21 Θ→Θk что для любых 11, Uu ∈Θ∈θ имеет место
)).,((=))(),(( 12 ugiujkg θθ
Рассмотрим класс Z ССЗР, у которых на множествах последствий
задано отношение предпочтения. Каждой ССЗР этого класса соответствует
четверка вида ).,,),,((:= gUX ΘZ Тогда ∈⋅⋅ΘΘ ),,),,{((:=)),,(( XXZ
}.Z∈
Определение 4. Две ССЗР ),,),,(( 11111 gUX Θ , ∈Θ ),,),,(( 22222 gUX
Z∈ называются изоморфными, что будем обозначать ),,),,(( 11111 gUX Θ
),,),,(( 22222 gUX Θ , если ),,,(),,,( 22221111 gUXgUX ΘΘ и при этом
( ) переводит отношение предпочтений ),( 11X в отношение предпочтений
),( 22X .
Определение 5. Подсхемой ССЗР Z∈Θ ),,),,(( gUX называется
ССЗР Z∈′′Θ′′′ ),,),,(( gUX , где ССЗР Z∈′′Θ′′ ),,,( gUX является под-
схемой ССЗР Z∈Θ ),,,( gUX , а .)|(=)( X ′′
Подсхему ),,),,(( gUX ′′Θ′′′ ССЗР Z∈Θ ),,),,((:= gUXZ будем
обозначать UX ′Θ′′ ,,|Z .
Определение 6. Правилом выбора предпочтений (ПВП) для ЗР в классе
ССЗР ZZ ⊆′ (кратко ПВП в ZZ ⊆′ ) будем называть всякое отображение
,),(= 21 πππ определенное на Z′ и сопоставляющее каждой =Z
Z′∈Θ= ),,,( gUX некоторую пару соответствий ),( ZX и ,),( *
ZU т.е.
Z′×∈ ))2)(2),(=
2(2(
21
UXπππ , что будем обозначать также =),(= 21 ZZZ πππ
)),(),,(( *
ZZ UX= . Класс всех ПВП в ZZ ⊆′ будем обозначать через
.)(П Z′
Замечание. Каждый ТПР имеет определенное (свое) ПВП для класса
Z′ , которое является моделью ТПР-а относительно решения им ЗР в классе
Z′ . Зная ПВП для ZZ ⊆′ произвольного ТПР, мы можем узнать его (этого
ТПР-а) решение основной ЗР для ZZ ⊆′∈Z .
Определение 7. ПВП в ZZ ⊆′ будем называть всякое отображение п,
определенное на Z′ и сопоставляющее каждой Z′∈Θ ),,),,((= gUXZ
В.И. Иваненко, В.М. Михалевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 32
некоторое соответствие *( , )U Z , т.е. Z′∈ ])[2п
2(U , что будем обозначать
также ),(=п *
ZZ U . Класс всех ПВП в ZZ ⊆′ будем обозначать через
)(Z′П .
Определение 8. Будем говорить, что ССЗР Z класса )( ZZ ⊆′⊆′ ZZ
с неопределенностью в классе ПВП ,))(()(П Z′′′′ ПZ если либо =′′ )(П Z
,))(( ∅=′′∅= ZП либо найдутся такие ПВП ,))()((П', Z′′′∈′′′ ПZππ что
1 1=Z Zπ π′ ′′ ,а ).пп(22 ZZZZ ′′≠′′′≠′ ππ
Для всякого нестрогого порядка ),(X введем в рассмотрение его
продолженние (расширение) на множестве отображений ΘX , обозначая это
расширение тем же символом )( , таким образом, что для любых
Θ∈ Xuu 21, имеет место, по определению, соотношение
,)()( 21
def
21 Θ∈∀⇔ θθθ uuuu (1)
т.е введенное предпочтение на отображениях является «покоординатным»
предпочтением отображений, которое будем называть доминированием.
Ясно, что при этом соответствие ),( ΘX будет транзитивным и
нерефлексивным, а значит строгим частичным порядком.
Лемма 1. Если отношение предпочтения ),(X — нестрогий порядок,
то 21,uu будет парой несвязных отношением ( ) отображений из
множества ,ΘX т.е. {1,2},,, ∈≠ jijiuu ji тогда и только тогда, когда
найдутся такие Θ∈21,θθ , что для любых неравных {1,2}, ∈ji имеет место
соотношение
).()( ijii uu θθ (2)
Доказательство. Условия 1221 , uuuu , в силу соотношения (1),
равносильны тому, что найдутся соответственно такие Θ∈21,θθ , для
которых )()(),()( 22211211 θθθθ uuuu . Но последнии соотношения,
в силу того, что ),(X — нестрогий порядок, равносильны условиям
),()( 1211 θθ uu )()( 2122 θθ uu , которые, в свою очередь, равносильны
соотношению (2).
Лемма доказана.
Определение 9. Для произвольных непустых множеств Θ,A
и отношения предпочтения ),(A отображения Θ∈ Aff 21, называются
комонотонными относительно ),( если ни для каких Θ∈21,θθ не
выполняется )()( 2111 θθ ff и .)()( 1222 θθ ff Здесь )( , как обычно,
обозначает асимметричную часть .)(
Лемма 2. Если отношение предпочтения ),(X — нестрогий порядок,
то для любого отображения XUg →×Θ: семейство отображений ∈⋅),(( θg
К неопределенности в параметрических схемах ситуаций задач принятия решения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 33
), Θ∈∈ θUX попарно комонотонно относительно ),(X тогда и только
тогда, когда семейство отображений ),),(( UuXg ∈∈⋅ Θθ попарно связно
соответствием доминирования ),( ΘX .
Доказательство. В силу определения 9, Θ∈∀ 21,θθ ),( 1 ⋅θg и ),( 2 ⋅θg
будет некомонотонной парой отображений из UX относительно ),(X
тогда и только тогда, когда найдутся такие Uuu ∈21, , что ),( 11 ug θ
),( 21 ug θ и ),(),( 1222 ugug θθ , а это согласно леммы 1 будет тогда и
только тогда, когда Θ∈⋅⋅ Xugug ),(),,( 21 будет парой не связных соот-
ветствием доминирования ),( ΘX отображений.
Лемма доказана.
Через 0Z обозначим подкласс таких ССЗР ),,),,((:= gUX ΘZZ
класса Z , у которых ),( ZX является нестрогим порядком.
Для любого подкласса ССЗР Z′ класса Z через )(1 Z′П обозначим все
такие ПВП класса ,Z ′ что для любой ССЗР Z′∈Θ ),,),,((:= gUXZ
выполняются следующие условия:
У1. ),( ∗U — нестрогий порядок.
У2. Для любых :, 21 Uuu ∈
если 1 2( , ) ( , )g u g u⋅ ⋅ , то ;21 uu ∗
если 1 2( , ) ( , )g u g u⋅ ⋅∼ , то .21 uu ∗:
Из рассуждений аналогичных использованным в [4] при обосновании
непустоты 1 0
ˆ( )ZП следует, что 1 0( ) .ZП ≠ ∅
Если имеем ССЗР ),,),,((= gUX ΘZ с неопределенностью в классе
ПВП )(1 Z′П , то в силу определений 9 из [4] и 8 понятно, что ССЗР
}),:)),(,{(,),,((=)(ˆ Θ∈∈ θθ UuuguUXрП Z будет с неопределенностью
в классе ПВП )),((ˆ
1 Z′ПрП а так как ))(ˆ(=))((ˆ
11 ZZ ′′ рПППрП , то ˆ ( )Пр Z
будет с неопределенностью в классе ПВП .))(ˆ(1 Z′рПП Также понятно, что
обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Этот и некоторые другие
результаты легко получить, используя критерии неопределенности ССЗР
в cоответствующих классах ПВП, полученные ниже.
Рассмотрим следующую совокупность ССЗР класса Z :
• },,{},,{)}),,(),,(),,{(},,(({ 212122121121 uuxxxxxxxx θθ
})=),(,=),(,=),(,=,({ 211121112222 xugxugxugxug θθθθ ;
• )}),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({ 22212111121 xxyxxxyyxyyxxxxyx
})=),(,=),(,=),(,=),({},,{},,{ 211112212222121 xugxugyugxuguu θθθθθθ ;
• )}),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({ 332313221211321 xxxxxxxxxxxxxxx
В.И. Иваненко, В.М. Михалевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 34
})=),(,=),(,=),(,=),({,},{},,{ 3111122213222121 xugxugxugxuguu θθθθθθ ;
• ),,(),,(),,(),,(),,{(},,,,(({ 12111111112211 xxyyxyyxxxyxyx
),,(),,(),,(),,(),,(),,( 221212222212 xyyyxyyxxxyx },,{},,{)}),,( 212122 uuyy θθ
})=),(,=),(,=),(,=),({ 222112121211 xugxugyugyug θθθθ
• ),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,,(({ 332313221211321 xxxxxxxxxxxxyxxx
,=),({},,{},,{)}),,(),,(),,(),,(),,( 1121213213 yuguuyyxyxyxyyx θθθ
})=),(,=),(,=),( 322112221 xugxugxug θθθ ;
• ),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,,(({ 3323132212114321 xxxxxxxxxxxxxxxx
=),({},,{},,{)}),,(),,(),,(),,( 11212144342414 uguuxxxxxxxx θθθ
})=),(,=),(,=),(, 4221122213 xugxugxugx θθθ= ;
• ),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,,(({ 3323132212114321 xxxxxxxxxxxxxxxx
=),({},,{},,{)}),,(),,(),,(),,( 11212144342414 uguuxxxxxxxx θθθ
})=),(,=),(,=),(, 3221122214 xugxugxugx θθθ= ;
• ),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,,(({ 3323132212114321 xxxxxxxxxxxxxxxx
=),({},,{},,{)}),,(),,(),,(),,( 11212144342414 uguuxxxxxxxx θθθ
})=),(,=),(,=),(, 2221123214 xugxugxugx θθθ= ;
• )}),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({ 332313221211321 xxxxxxxxxxxxxxx
})=),(,=),(,=),(,=),({},,{},,{ 2211122223112121 xugxugxugxuguu θθθθθθ ;
• ),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,,(({ 212221211321 yyxyxyyxxxxxxxxyxx
=),({},,{},,{)}),,(),,(),,(),,( 1121213332313 uguuxxyxxxxx θθθ
})=),(,=),(,=),(, 222112213 xugxugyugx θθθ= .
ССЗР, изоморфные этим схемам в порядке написания, будем называть
соответственно схемами типа XI− класса .Z При этом путаницы
со схемами типа VIIII − класса Ẑ не будет, т.к. из контекста всегда ясна
форма ССЗР.
Лемма 3. Если ССЗР 00),,),,((= ZZ ⊆′∈Θ gUXZ с неопределен-
ностью в классе ПВП )( 01 Z′П , то найдутся ,, 21 Uuu ∈ для которых отоб-
ражения 1 2( , ), ( , )g u g u X Θ⋅ ⋅ ∈ не связны соответствием ( , )X Θ .
Доказательство. Из определения неопределенности ССЗР =:Z
0),,),,((=: Z′∈Θ gUX следует, что найдутся такие ПВП )(Пп,п 01 Z′∈′′′ ,
для которых имеет место соотношение ),(=:пп:=),( ∗∗∗ ′′≠′ UU ZZ . А это
означает, что найдутся неравные ,, 21 Uuu ∈ для которых 21 uu ∗ ,
а 21 uu ∗∗ . Тогда, в силу условия У1, имеем
К неопределенности в параметрических схемах ситуаций задач принятия решения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 35
1 2 2 1, .u u u u∗ ∗∗ (3)
Рассмотрим отображения .),(),,( 21
Θ∈⋅⋅ Xugug Предположим, что эти
отображения связны отношением ),( ΘX . Тогда, если ),(),( 21 ugug ⋅⋅ ,
то, в силу условия У2, 1 2u u∗ и 1 2u u∗∗ , что противоречит соотношению
(3). Если ),(),( 12 ugug ⋅⋅ , то, в силу условия У2, 2 1u u∗ и 2 1u u∗∗ , что
также противоречит соотношению (3). Наконец, если ),(),( 21 ugug ⋅⋅ ∼ , то,
в силу услови У2, 1 2u u∗∼ и 21 uu ∗∗∼ , что снова противоречит соотно-
шению (3).
Значит отображение 1( , )g u⋅ и 2( , )g u⋅ не связны отношением ( , )X Θ .
Лемма доказана.
Лемма 4. Если для ССЗР 00),,),,((= ZZ ⊆′∈Θ gUXZ найдутся
,, 21 Uuu ∈ для которых отображения 1 2( , ), ( , )g u g u X Θ⋅ ⋅ ∈ не связны
соответствием ,),( ΘX то ССЗР Z включает подсхему, являющуюся
одной из схем типа XI − класса 0Z .
Доказательство. Пусть для 1 2,u u U∈ отображения ),(),,( 21 ugug ⋅⋅ не
связны соответствием .),( ΘX Тогда, в силу леммы 1, найдутся такие
,, 21 Θ∈θθ что для любых неравных {1,2}, ∈ji имеет место соотношение
(2), т.е.
),(),( 2111 ugug θθ и ).,(),( 1222 ugug θθ (4)
Рассмотрим подсхему },{},,{|:=
2121 uuθθZZ . Без уменьшения общности
можем считать, что
1 2 2 1( , ) ( , ),g u g uθ θ (5)
т.к. в противном случае вместо Z мы можем рассматривать изоморфную ей
в классе Z , полученную из Z заменой iθ на jθ , iu на ju , где ,ji ≠
{1,2}, ∈ji . Вместе с соотношением (2) условие (5) дает соотношение:
2 1( , ) ( , ) , {1,2}.i jg u g u i jθ θ ∀ ∈ (6)
Тогда, в зависимости от того, какой из элементов множества
{1,2}},|),({ ∈jiug jiθ максимальный, получим все возможные, с точностью
до изоморфизма в классе Z , подсхемы ССЗР Z . А именно:
Если ),(),( 22 ji ugug θθ , где {1,2}, ∈ji , то могут возникнуть лишь
следующие варианты:
1. ).,(=),(),,(=),( 12211122 ugugugug θθθθ
2. ).,(),(),,(),(),,(=),( 122112211122 ugugugugugug θθθθθθ ∼≠
3. ).,(),(),,(=),( 12211122 ugugugug θθθθ
В.И. Иваненко, В.М. Михалевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 36
4. ).,(=),(),,(),(),,(),( 122111221122 ugugugugugug θθθθθθ ∼≠
5. ≠∼≠ ),(),,(),(),,(),( 2111221122 ugugugugug θθθθθ
).,(),(),,( 122112 ugugug θθθ ∼≠
6. ).,(),(),,(),(),,(),( 122111221122 ugugugugugug θθθθθθ ∼≠
7. ).,(=),(),,(),( 12211122 ugugugug θθθθ
8. ).,(),(),,(),(),,(),( 122112211122 ugugugugugug θθθθθθ ∼≠
9. ).,(),(),,(),( 12211122 ugugugug θθθθ
Если ),(),( 11 ji ugug θθ , где {1,2}, ∈ji , то без учета уже рассмот-
ренных вариантов 1–6, могут возникнуть еще лишь следующие варианты:
10. ).,(),(),,(),( 21222211 ugugugug θθθθ
11. ).,(),( 2221 ugug θθ
12. ).,(=),( 2221 ugug θθ
13. ).,(),(),,(),( 22212221 ugugugug θθθθ ∼≠
Наконец, предположив, что ),(),( 21 ji ugug θθ , где , {1, 2}i j∈ , полу-
чим противоречие соотношению (4).
Таким образом, варианты 1–13 исчерпывают все возможные. При этом
варианту 1 соответствуют схема типа I класса Z , если положить
;),(:=),,(:= 222121 ugxugx θθ варианту 2 соответствует схема типа II класса
Z , если положить ;),(:=),,(:=),,(:= 22221121 ugxugyugx θθθ варианту 3
соответствует схема типа III класса Z , если положить ),,(:= 121 ugx θ
;),(:=),,(:= 223212 ugxugx θθ варианту 4 соответствует ССЗР изоморфная
схеме типа II класса Z , если положить ),,(:= 121 ugx θ :=),,(:= 211 xugy θ
;),(:= 22 ug θ варианту 5 соответствует схема типа IV класса Z , если
положить ),,(:=),,(:=),,(:= 222211121 ugxugyugx θθθ ;),(:= 112 ugy θ ва-
рианту 6 соответствует схема типа V класса Z , если положить
;),(:=),,(:=),,(:=),,(:= 11223212121 ugyugxugxugx θθθθ варианту 7 соответ-
ствует ССЗР изоморфная схеме типа III класса Z , если положить
;),(:=),,(:=),,(:= 223112121 ugxugxugx θθθ варианту 8 соответствует ССЗР
изоморфная схеме типа V класса Z , если положить ),,(:= 121 ugx θ
;),(:=),,(:=),,(:= 22223112 ugyugxugx θθθ варианту 9 соответствует схема
типа VI класса Z , если положить ),,(:= 121 ugx θ ),,(:= 212 ugx θ
),,(:= 113 ugx θ ;),(:= 224 ugx θ варианту 10 соответствует схема типа VII
класса Z , если положить ),,(:= 121 ugx θ ),,(:= 212 ugx θ ),,(:= 223 ugx θ
;),(:= 114 ugx θ варианту 11 соответствует схема типа VIII класса Z , если
положить ),,(=: 121 ugx θ ),,(=: 222 ugx θ ),,(=: 213 ugx θ ;),(=: 114 ugx θ
варианту 12 соответствует схема типа IX класса Z , если положить
;),(:=),,(:=),,(:= 113222121 ugxugxugx θθθ варианту 13 соответствует схема
К неопределенности в параметрических схемах ситуаций задач принятия решения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 37
типа X класса Z , если положить ),,(:= 121 ugx θ ),,(:= 222 ugx θ
),,(:= 21 ugy θ ).,(:= 113 ugx θ
Лемма доказана.
Теорема 1. Любая ССЗР класса 00 ZZ ⊆′ с неопределенностью в классе
ПВП )( 01 Z′П содержит подсхему являющуюся какой-то из схем типа XI−
класса .0Z
Доказательство непосредственно следует из лемм 2 и 3.
Теорема доказана.
Определение 10. ССЗР класса 0Z с неопределенностью в классе ПВП
)( 01 ZП называется элементарной схемой для )( 01 ZП , если ее любая
подсхема будет без неопределенности в классе )( 01 ZП .
Лемма 5. Схемы типов XI − и только они будут элементарными
схемами для .)( 01 ZП
Доказательство. Любая подсхема ССЗР класса 0Z с множеством
решений и множеством ненаблюдаемого параметра, состоящих из двух
элементов будет без неопределенности в классе )( 01 ZП . Это следует из
того, что всякая ССЗР класса 0Z , у которой множество решений или
множество ненаблюдаемого параментра состоит из одного элемента, не
будет с неопределенностью в классе 1 0( )ZП .
Доказательсво неопределенности схем типа XI − в классе )( 01 ZП
аналогично доказательству неопределенности схем типа VIIII − в классе
)ˆ( 01 ZП и основывается на том, что для любой схемы типа XI −
0),,),,((:= Z∈Θ gUXZ в качестве отношения предпочтения на множестве
решений 1 2= { , }U u u , в силу не связности элементов 1( , )g u⋅ и 2( , )g u⋅
соответствием ( , ),X Θ можно, не нарушая условие У2, выбрать любой
нестрогий порядок. А их будет несколько.
То, что любая подсхема этих ССЗР будет без неопределенности
в классе ПВП 1 0( )ZП легко проверить непосредственно, опираясь на
условия У1 и У2.
Лемма доказана в одну сторону. В другую сторону утверждение леммы
следует из теоремы 1.
Лемма доказана.
Определение 11. Систему элементарных схем для )( 01 ZП будем
называть полной, если любая элементарная схема для )( 01 ZП изоморфна
какому-то представителю этой системы.
Теорема 2. Полная система элементарных схем для )( 01 ZП состоит из
схем типов XI− класса 0Z .
Доказательство. Оно следует из леммы 5.
Теорема доказана.
В.И. Иваненко, В.М. Михалевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 38
Теорема 3. Если ССЗР класса 00 ZZ ⊆′ содержит подсхему вида схемы
одного из типов X,I − то эта ССЗР с неопределенностью в классе ПВП
)( 01 Z′П .
Доказательство. Пусть ССЗР 0),,),,((:= Z′∈Θ gUXZ содержит
подсхему одного из типов XI− и 1 2{ , }u u , где ,, 21 Uuu ∈ является
множеством решений этой подсхемы. Тогда отображения 1( , )g u⋅ и 2( , )g u⋅
не связны соответствием ),(X , расширенным на множество ,ΘX что
следует из соотношения (1). Тогда ),(),( 21 ugug ⋅⋅ и ),(),( 12 ugug ⋅⋅ . При
этом, как отмечалось ранее, асимметричная составляющая этого расши-
рения, т.е. ),( ΘX , является строгим частичным порядком.
Определим пару соответствий ( , )X Θ ′ и ( , )X Θ ′′ следующим
образом. Для любых отображений ,u v X Θ∈ положим:
),((либо 1
def
uguvuvu ⋅⇔′ и 2( , ) ),g u v⋅ (7)
),((либо 2
def
uguvuvu ⋅⇔′′ и 1( , ) ).g u v⋅ (8)
При этом ясно, что 1 2( , ) ( , )g u g u′⋅ ⋅ и .),(),( 12 ugug ⋅′′⋅ Покажем,
что соответствия ( , )X Θ ′ и ( , )X Θ ′′ являются строгими частичными
порядками. Из соображений симметрии, доказательство достаточно
провести, например, для соответсвия ( , )X Θ ′ .
Сначала покажем нерефлексивность соответствия ( , )X Θ ′ . Рассуждая
от противного, предположим, что u u′ , где u X Θ∈ . Тогда, в силу
соотношения (7) 1( , )u g u⋅ и 2( , )g u u⋅ . Следовательно, согласно
транзитивности соответствия ,),( ΘX получим, что 2 1( , ) ( , )g u g u⋅ ⋅ .
А это противоречит не связности отображений 1( , )g u⋅ и 2( , )g u⋅ соотно-
шением .),( ΘX
Покажем теперь транзитивность соответствия .),( ′ΘX Предположим,
что u v′ и ,hv ′ где отображения , ,u v h X Θ∈ . Тогда рассмотрим все
возможные варианты:
• если u v и v h , то u h , в силу транзитивности соответствия
),( ΘX . Значит, согласно соотношению (7), имеем, что ;hu ′
• если 1, ( , )u v v g u⋅ и 2( , )g u h⋅ , то, в силу транзитивности
соответствия ( , )X Θ , имеем, что 1( , )u g u⋅ . Тогда, согласно соотно-
шению (7), ;hu ′
• если 1 2( , ), ( , )u g u g u v⋅ ⋅ и v h , то, как и вышe, 2( , )g u h⋅
и тогда, в силу соотношения (7), ;hu ′
К неопределенности в параметрических схемах ситуаций задач принятия решения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 39
• наконец, оставшийся вариант — условие ),,( 1ugu ⋅ vvug ,),( 2⋅
),( 1ug ⋅ и 2( , )g u h⋅ , которые являются несовместными, т.к. из них
следует (в силу транзитивности соответствия ( , ))X Θ , что ),( 2ug ⋅
),( 1ug ⋅ , а это противоречит не связаности отображений 1( , )g u⋅ и 2( , )g u⋅
соответствием ),( ΘX .
Далее, воспользовавшись теоремой Шпильрайна [5, с. 31], продолжим
строгие частичные порядки ),( ′ΘX и ),( ′′ΘX до строгих порядков,
которые обозначим ),( 0′
ΘX и .),( 0′′
ΘX Тогда их сужения на множество
{ ( , ) : }g u u U⋅ ∈ определяют линейные порядки, которые можем обозначить
соответственно 0( , )U ′ и .),( 0′′U
Определим ПВП )(п,п 0Z′∈′′′ П таким образом, что для всех ССЗР
0Z′∈′Z , не совпадающих с ССЗР Z , .),(:п=п 2
def
UU=′′′′ ′′′ ZZ А для ССЗР Z
),,(:=п 0′′ UZ .),(:=п 0′′′′ UZ Тогда, по построению, имеем, что ∈′′′ п,п
)( 0Z′∈П и ZZ пп ′′=′ , т.е. ССЗР Z с неопределенностью в классе ПВП
)( 01 Z′П .
Теорема доказана.
В качестве непосредственного следствия теорем 1 и 3 мы получаем
критерий неопределенности ССЗР в классе ПВП )( 01 Z′П в терминах
элементарных подсхем:
ССЗР любого класса 00 ZZ ⊆′ с неопределенностью в классе ПВП
)( 01 Z′П тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы одну подсхему
типа XI − класса 0Z .
Тогда критерий неопределенности ССЗР в классе ПВП )( 11 Z′П
очевидно будет иметь следующий вид:
ССЗР любого класса 11 ZZ ⊆′ с неопределенностью в классе ПВП
)( 11 Z′П тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы одну подсхему
типа IXVIIII,I, − класса 0Z .
Критерий неопределенности ССЗР в классе ПВП 1 0 1 1( )( ( ))Z ZП П
можно дать и в терминах сечений вдоль боковой «плоскости» графика этой
схемы, в виде следующей теоремы.
Теорема 4. ССЗР )(),,),,(( 10 ZZ∈Θ gUX с неопределенностью
в классе ПВП ))()(( 1101 ZZ ПП тогда и только тогда, когда найдутся такие
1 2,u u U∈ , для которых отображения 1 2( , ), ( , )g u g u X Θ⋅ ⋅ ∈ не связны соот-
ветствием ( , )X Θ .
Доказательство. Необходимость утверждения теоремы представляет
содержание леммы 3, а его достаточность вытекает из леммы 4 и теоремы 3.
Теорема доказана.
Критерий неопределенности ССЗР в классе ПВП )( 01 ZП ))( 11 ZП
можно, наконец, дать и в терминах сечений вдоль фронтальной «плоскости»
графика этой схемы в виде следующей теоремы.
В.И. Иваненко, В.М. Михалевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 40
Теорема 5. ССЗР )(),,),,(( 10 ZZ∈Θ gUX с неопределенностью
в классе ПВП 1 0 1 1( )( ( ))Z ZП П тогда и только тогда, когда найдутся такие
1 2,θ θ ∈Θ , что отображения 1 2( , ), ( , ) Ug g Xθ θ⋅ ⋅ ∈ не комонотонны относи-
тельно ),(X .
Доказательство следует из теоремы 4 и леммы 2.
Теорема доказана.
Определение 12. Система неизоморфных в классе Z элементарных
схем для 1 0( )ZП называется базой неопределенности схем для класса
00 ZZ ⊆′ , если любая ССЗР класса 0Z′ с неопределенности в )( 01 Z′П
содержит подсхему, изоморфную какому-то представителю этой системы.
Теорема 6. База неопределенности схем для любого класса 00 ZZ ⊆′
пустая, если этот класс не содержит ССЗР с неопределенностью в )( 01 Z′П
и состоит из элементов в количестве от одного до десяти в противоположном
случае.
Доказательство. Следует из леммы 5 и теоремы 1.
Теорема доказана.
Далее для любого подкласса ССЗР Z′ класса ССЗР Z через 1 ( ')П Z
обозначим все такие ПВП класса Z′ , что для любой ССЗР ∈Θ ),,,(:=Z gUX
Z′∈ выполняются следующие условия:
УУ1. ( , )U ∗ — нестрогий порядок.
УУ2. Для любых :, 21 Uuu ∈
если 1 2( , ) ( , )g u g u⋅ ⋅ , то ;21 uu ∗
если ),(),( 21 ugug ⋅⋅ ∼ , то .21 uu ∗∼
УУ3. ( , )X — нестрогий порядок.
Рассмотрим следующую совокупность ССЗР класса Z :
• =),(,=),({},,{},,{},,({ 12222212121 ugxuguuxx θθθθ
})=),(,=),(, 2111211 xugxugx θθ= ;
• =),(,=),({},,{},,{},,,({ 213222121321 ugxuguuxxx θθθθ
})=),(,=),(, 3111122 xugxugx θθ= ;
• =),(,=),({},,{},,{},,,,({ 2131121214321 ugxuguuxxxx θθθθ
})=),(,=),(, 4221122 xugxugx θθ= ;
• =),(,=),({},,{},,{},,,,({ 2141121214321 ugxuguuxxxx θθθθ
})=),(,=),(, 3221122 xugxugx θθ= ;
• =),(,=),({},,{},,{},,,,({ 2141121214321 ugxuguuxxxx θθθθ
})=),(,=),(, 2221123 xugxugx θθ= ;
• =),(,=),({},,{},,{},,,({ 223112121321 ugxuguuxxx θθθθ
})=),(,=),(, 2211122 xugxugx θθ= .
К неопределенности в параметрических схемах ситуаций задач принятия решения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 41
ССЗР, изоморфные этим схемам в порядке написания, мы будем
называть соответственно схемами типов VII − класса Z .
Тогда критерий неопределенности ССЗР в классе )(1 ZП сформули-
руем в виде слудующей теоремы.
Теорема 7. Всякая ССЗР любого класса Z будет с неопределенностью
в классе ПВП )(1 ZП тогда и только тогда, когда эта ССЗР содержит
подсхему вида схемы типов I–VI класса Z .
Доказательство. Пусть ССЗР Z∈Θ ),,,(:= gUXZ с неопределен-
ностью в классе ПВП )(1 ZП . Тогда найдутся такие )(, 1 ZП∈′′′ ππ , для
которых ),(:== 11 XZZ ππ ′′′ — нестрогий порядок и =:=),( 2
*
ZU π ′
),(:== **
2 UZπ ′′ . А это означает, что ССЗР Z∈Θ ),,),,((:= gUXZ будет
с неопределенностью в классе ПВП 1 ({ })П Z . Следовательно, в силу
теоремы 1, ССЗР Z содержит подсхему вида какой-либо из схем типа I–X
класса Z . Но любая из этих подсхем определяет в ССЗР Z подсхему
одного из типов I–VI класса Z .
В обратную сторону. Если ССЗР Z∈Θ ),,,(:= gUXZ содержит
подсхему типа I класса Z , то определим строгий частичный порядок
2 1( , ) := ( ,{( , )})X X x x′ . Если ССЗР Z содержит подсхему типа II либо
типа VI класса Z , то определим строгий частичный порядок :=),( ′′X
)}),(),,(),,{(,(:= 231312 xxxxxxX . Если же ССЗР Z содержит подсхему одно-
го из типов III–V, то определим строгий частичный порядок :=),( ′′′X
)}),(),,(),,(),,(),,(),,{(,(:= 342414231312 xxxxxxxxxxxxX . В силу теоремы
Шпильрайна эти строгие частичные порядки мы можем продолжить до
линейных порядков, которые обозначим соответственно ),,( ′X ),( ′′X
и ),( ′′′X . Тогда, в силу теоремы 3, либо ССЗР 0),,,),(( Z∈Θ′ gUX ,
либо ССЗР 0),,),,(( Z∈Θ′′ gUX , либо ССЗР 0),,),,(( Z∈Θ′′′ gUX будет
c неопределенностью в классе ПВП )( 01 ZП . Следовательно ССЗР =Z
),,,( gUX Θ= будет с неопределенностью в классе ПВП )(1 ZП .
Теорема доказана.
Введем, аналогично как и в классе Z , понятия элементарной схемы
и полной системы элементарных схем для )(1 ZП , а также базы неопреде-
ленности схем класса ZZ ⊆′ .
Определение 13. ССЗР класса Z с неопределенностью в классе ПВП
1 ( )П Z называется элементарной схемой для ,)(1 ZП если любая подсхема
этой ССЗР будет без неопределенности в классе ПВП .)(1 ZП
Определение 14. Система элементарных схем для 1 ( )П Z называется
полной, если любая элементарная схема для )(1 ZП изоморфна какому-то
представителю этой системы.
Определение 15. Система неизоморфных элементарных схем для
1 ( )П Z называется базой неопределенности схем класса ,ZZ ⊆′ если
В.И. Иваненко, В.М. Михалевич
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 42
любая ССЗР класса Z′ с неопределенностью в )(1 Z′П содержит подсхему,
изоморфную какому-то представителю этой системы.
Воспользовавшись теоремой 7, мы получаем критерий полноты
системы элементарных схем для 1 ( )П Z и классификацию неопределен-
ности в )(1 Z′П любого подкласса Z′ класса Z в виде следующих теорем.
Теорема 8. Полная система элементарных схем для 1 ( )П Z состоит из
схем типов I–VI класса Z .
Теорема 9. База неопределенности схем любого класса ZZ ⊆′ пустая,
если этот класс не содержит ССЗР с неопределенностью в классе ПВП
)(1 Z′П и состоит в количестве от одного до шести элементов в противном
случае.
ВЫВОДЫ
Предложенный подход к изучению неопределенности схем ситуаций
помимо критериев, позволяющих проанализировать ситуацию на наличие
указанной неопределенности в указанных классах ПВП, также дает
возможность сужать эти классы ПВП, добавляя новые аксиомы и проверяя
в схеме наличие указанной неопределенности, используя полученные ее
критерии, вплоть до получения формализма модели критерия оптималь-
ности решения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Иваненко В.И., Лабковский В.А. Проблема неопределенности в задачах
принятия решений. — К.: Наук. думка, 1990. — 134 с.
2. Ivanenko V.I. Decision systems and non-stochastic randomness. — Berlin: Springer,
2010. — 272 p.
3. Михалевич В.М. К параметрической форме моделирования ситуации в общей
задаче принятия решения // Системні дослідження та інформаційні
технології. — 2011. — № 3. — С. 77–87.
4. Михалевич В.М. К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций
задач принятия решений // Системні дослідження та інформаційні
технології. — 2012. — № 1. — С. 61–76.
5. Фишборн П. Теория полезности для принятия решений. — М.: Наука, 1972. —
352 с.
Поступила 24.01.2012
|
| id | journaliasakpiua-article-71757 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:20:13Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/1f/b59435a9e0c563f794aef595858f3d1f.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-717572018-03-30T15:06:41Z To the uncertainty in the parametric schemes of decision-making problems К неопределенности в параметрических схемах ситуаций задач принятия решений До невизначеності в параметричних схемах ситуацій задач прийняття рішень Ivanenko, V. I. Mykhalevich, V. M. A sufficiently broad class of parametric problems of decisionmaking, considered from the point of obtaining the criteria of optimality, the relationship of preferences on the solution, can be divided into two subclasses: problem with uncertainty (equivocation of the solution) and problems without uncertainty (so-called deterministic problems). Criterion of existence of uncertainty is necessary for classification, and such criterion are suggested in the work. Рассмотрен достаточно широкий класс параметрических задач принятия решений, рассматриваемых с позиции получения критерия оптимальности — отношения предпочтений на решениях, можно разделить на два подкласса: задачи с неопределенностью (неоднозначностью указанного решения) и задачи без неопределенности (т.н. детерминистические задачи). Для такой классификации необходимы критерии существования неопределенности, которые и предлагаются в данной работе. Розглянуто достатньо широкий клас параметричних задач прийняття рішень, що розглядаються з позиції отримання критерію оптимальності — відношення переваг на рішеннях, можна розділити на два підкласи: задачі з невизначеністю (неоднозначність вказаного рішення) та задачі без невизначеності (так звані детерміністичні задачі). Для такої класифікації необхідні критерії існування невизначеності, які і запропоновані в цій роботі. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2012-09-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71757 System research and information technologies; No. 3 (2012); 30-42 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2012); 30-42 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2012); 30-42 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71757/66751 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Ivanenko, V. I. Mykhalevich, V. M. До невизначеності в параметричних схемах ситуацій задач прийняття рішень |
| title | До невизначеності в параметричних схемах ситуацій задач прийняття рішень |
| title_alt | To the uncertainty in the parametric schemes of decision-making problems К неопределенности в параметрических схемах ситуаций задач принятия решений |
| title_full | До невизначеності в параметричних схемах ситуацій задач прийняття рішень |
| title_fullStr | До невизначеності в параметричних схемах ситуацій задач прийняття рішень |
| title_full_unstemmed | До невизначеності в параметричних схемах ситуацій задач прийняття рішень |
| title_short | До невизначеності в параметричних схемах ситуацій задач прийняття рішень |
| title_sort | до невизначеності в параметричних схемах ситуацій задач прийняття рішень |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71757 |
| work_keys_str_mv | AT ivanenkovi totheuncertaintyintheparametricschemesofdecisionmakingproblems AT mykhalevichvm totheuncertaintyintheparametricschemesofdecisionmakingproblems AT ivanenkovi kneopredelennostivparametričeskihshemahsituacijzadačprinâtiârešenij AT mykhalevichvm kneopredelennostivparametričeskihshemahsituacijzadačprinâtiârešenij AT ivanenkovi doneviznačenostívparametričnihshemahsituacíjzadačprijnâttâríšenʹ AT mykhalevichvm doneviznačenostívparametričnihshemahsituacíjzadačprijnâttâríšenʹ |