Модифікації критеріїв узагальнюючої корисності в задачах ідентифікації багатокритеріального вибору
As the generalized criteria for the problems of multivariate optimization the exponential and entropy models, as well as modifications (through the introduction of additional components with the reverse indicators) of famous mixed models (additive-multiplicative and in the form of polynomial of Kolm...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2012
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71765 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334266309836800 |
|---|---|
| author | Soboleva, E. V. |
| author_facet | Soboleva, E. V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "E. V. Soboleva",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Soboleva, E. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:06:41Z |
| description | As the generalized criteria for the problems of multivariate optimization the exponential and entropy models, as well as modifications (through the introduction of additional components with the reverse indicators) of famous mixed models (additive-multiplicative and in the form of polynomial of Kolmogorov-Gabor). The system results of the study of the accuracy and complexity of the procedures of comparatorial parametric identification of generalized criteria's different models are shown. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:20:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Е.В. Соболева, 2012
58 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3
УДК 519.81
МОДИФИКАЦИИ КРИТЕРИЕВ ОБОБЩЕННОЙ
ПОЛЕЗНОСТИ В ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Е.В. СОБОЛЕВА
В качестве критериев обобщенной полезности для задач многофакторной оп-
тимизации предлагаются экспоненциальная и энтропийная модели, а также
модификации (путем введения дополнительных слагаемых с обратными сте-
пенями) известных смешанных моделей (аддитивно-мультипликативной и
в виде полинома Колмогорова-Габора). Приведены статистические результаты
исследования точности и сложности процедур компараторной параметриче-
ской идентификации различных моделей обобщенных критериев.
ВВЕДЕНИЕ
Чаще всего процесс принятия решений осуществляется в условиях много-
критериальности. Прямой задачей для систем поддержки принятия решений
является синтез эффективных схем принятия решений на основании много-
критериального экспертного оценивания альтернатив выбора. Большинство
исследований посвящено тем или иным аспектам решения данной задачи:
выбору функций нормирования частных критериев, методам их параметри-
ческой идентификации, методикам получения экспертных оценок важности
частных критериев [1, 2], исследованию эффективности применения раз-
личных структур критериев обобщенной полезности (КОП) [1, 3].
При решении задачи синтеза может возникать необходимость решения
обратной задачи [4] — анализа схем принятия решений, реализованных экс-
пертом. Такая многоуровневая постановка задач востребована при проведе-
нии маркетинговых исследований: анализ схем принятия решений на уровне
спроса предоставляет больше информации для синтеза схем принятия ре-
шений на уровне предложения. Задача анализа схем принятия решений ак-
туальна также при проектировании систем искусственного интеллекта. Ме-
тодам параметрической идентификации схем принятия решений посвящен
ряд работ [5–7]. Вопрос статистического экспериментального исследования
эффективности применения различных структур обобщенных критериев,
которое может быть осуществлено с использованием математической по-
становки задачи их параметрической идентификации, в литературе освещен
недостаточно.
Объект данного исследования — процесс принятия решения на множе-
стве альтернатив, характеризующихся множеством частных критериев, осу-
ществляемый путем сведения последних в единый обобщенный критерий.
Предмет исследования — эффективность идентификации схем приня-
тия решений различными моделями обобщенных критериев.
Модификации критериев обобщенной полезности в задачах идентификации…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 59
Цель работы — проанализировать ограниченности областей примене-
ния известных структур КОП; предложить новые более универсальные мо-
дели, имеющие меньшее число параметров; изложить результаты экспери-
ментального исследования эффективности известных и предложенных
моделей обобщенных критериев для идентификации схем принятия решений.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Экспериментальное исследование эффективности )(Э использования раз-
личных моделей КОП )(P осуществимо посредством решения задач )(z
структурно-параметрической идентификации ситуаций принятия решений.
,
,
1000..1 min),(: iRKzi ЭP
P
jjj
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
Λ
= →Χ
где K — критерий идентификации; jj x }},,,{{ 4321 ξξξξ==Χ — множество
альтернатив выбора j -й ситуации принятия решения, представленных на-
бором нормированных значений четырех частных критериев (генерируются
случайным образом); jR — принятое решение, представленное в виде би-
нарного отношения эквивалентности альтернатив: ),,(),,{( 4321 xxxxR j =
jxx )},( 65 (задается на области Парето); },{ ..1 λλ dml==Λ — множество пара-
метров КОП, состоящее из множества весовых коэффициентов частных
критериев и множества дополнительных параметров.
В нашем случае, идентификация ситуации принятия решения осуществ-
ляется путем перебора всего множества структур обобщенных критериев,
и посредством параметрической оптимизации КОП, реализованной в рамках
подхода «компараторной идентификации» [4]. В рамках данного подхода, из
отношения эквивалентности, используя функционал обобщенного критерия,
получаем систему уравнений, которая решается относительно вектора пара-
метров совместно с условиями нормирования.
,0),(),( 21 =Λ−Λ xPxP
,0),(),( 43 =Λ−Λ xPxP
,0),(),( 65 =Λ−Λ xPxP
.0,1 ≥=∑ l
l
l λλ (1)
В общем случае система (1) несовместна и не имеет единственного
точного решения. В качестве решения, учитывающего уклонения от всего
множества ограничений, использован [5] ∑
=
−Λ=Λ
4
1
)(minarg
v
vv
o bF , где
)(ΛF — функционал-вектор левых частей равенств системы (1);
}1,0,0,0{=b — вектор правых частей.
Е.В. Соболева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 60
Поскольку задача параметрической оптимизации в данной постановке
не может быть сведена к задаче линейного программирования для всех
структур КОП, то как один из наиболее эффективных для решения такого
рода задач, использован метод, основанный на идее покоординатной опти-
мизации. Особенность применения метода в данном приложении [7] заклю-
чается в том, что в качестве координат принимаются соотношения пар ко-
эффициентов (параметров КОП), что позволяет обойтись без пересчетов
с целью выполнения нормирующего равенства.
Принятые в работе показатели эффективности )(Э использования раз-
личных моделей КОП: максимальное и среднее значения критерия иденти-
фикации; максимальная и средняя относительные погрешности ( =Kδ
ooo KKK ~/~
−= , где oK и oK~ — минимальные значение критерия, полу-
ченные с помощью текущей и наилучшей в данном случае структур КОП);
среднее время решения задачи ( средt ) параметрической оптимизации; коли-
чество идентифицируемых ситуаций выбора, когда данная структура КОП
оказалась лучшей (W).
АНАЛИЗ ОБЛАСТЕЙ ПРИМЕНЕНИЯ ИЗВЕСТНЫХ
ОБОБЩЕННЫХ КРИТЕРИЕВ
Задача идентификации ситуации многокритериального выбора может быть
интерпретирована как задача поиска функции отображения пространства
частных критериев на некоторую поверхность обобщенного критерия стро-
го в соответствии с упорядочением точек-альтернатив выбора, установлен-
ным принятым решением. Анализ семейства поверхностей, соответствую-
щих различным структурам КОП, позволяет выявить принципиальное
различие областей их применения в дополнение к известным достоинствам
и недостаткам [1].
В качестве обобщенных многофакторных оценок альтернатив выбора
используются аддитивные, мультипликативные [1] и смешанные функции,
включающие в себя аддитивные и мультипликативные составляющие:
• в виде суммы аддитивной и мультипликативной функций [3]:
,)1()( ∏∑ −+=
i
i
i
ii
iaaxP λξξλ (2)
где a — дополнительный параметр ( 10 ≤≤ a );
• построенная на основе полинома Колмогорова-Габора (3), объеди-
няющая аддитивные и мультипликативные члены в виде произведения пар
(при необходимости, троек и т.д.) нормализованных характеристик альтер-
натив [4]:
...)(
11
++= ∑∑∑
= ==
m
i
m
ij
jiij
m
i
iixP ξξλξλ . (3)
С целью анализа моделей были исследованы поверхности, образуемые
функциями обобщенной полезности в пространстве двух частных крите-
риев, а также линии уровня таких поверхностей (линии «эквиполезности»)
Модификации критериев обобщенной полезности в задачах идентификации…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 61
(рис. 1). Значения весовых коэффициентов на рис. 1: 8,01 =λ и 2,02 =λ для
аддитивной, мультипликативной моделей и аддитивно-мультипликативной
(АМ) модели (2), 2/1=a ; для модели (3) в виде полинома Колмогорова-
Габора (ПКГ) второй степени были взяты равные значения коэффициентов
.5/1, =iji λλ
Известные смешанные модели обобщенных критериев принципиально
отличаются друг от друга классом идентифицируемых ситуаций выбора
(рис. 2).
В случае, когда менее предпочтительный вариант находится в простран-
стве частных критериев дальше от начала координат, чем гиперплоскость,
проходящая через более предпочтительные (рис. 2, а), то ситуация выбора
может быть идентифицирована моделью в виде полинома Колмогорова-
Габора (причем, исключительную роль в этом играют члены со степенью
больше единицы). А в случае, когда более предпочтительный (по мнению
a CBA б BAC
Рис. 2. Варианты ситуаций выбора в пространстве двух частных критериев, где
нанесены линии уровня обобщенного критерия в виде ПКГ (а), нанесены линии
уровня мультипликативного обобщенного критерия (б)
Рис. 1. Известные обобщенные критерии
Е.В. Соболева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 62
эксперта) вариант находится в пространстве частных критериев ближе к на-
чалу координат, чем гиперплоскость, проходящая через менее предпочти-
тельные (рис. 2, б), то ситуация выбора может быть идентифицирована ис-
ключительно мультипликативной составляющей моделей обобщенной
полезности. При этом показатели степени для частных критериев как
параметры мультипликативного обобщенного критерия, смещают зону
его чувствительности либо ближе к началу координат (когда показатели
степени меньше 1, как в обобщенном критерии (2)), либо дальше от на-
чала координат (когда показатели степени больше 1, как в (3)).
Таким образом, на адекватность модели критерия обобщенной полез-
ности влияет топологическое распределение анализируемых альтернатив
в пространстве частных критериев — выпуклость либо вогнутость области
Парето относительно каждой пары координат. Ситуация выбора в случае
выпуклости либо вогнутости области Парето может быть идентифицирована
несовпадающими классами обобщенных критериев. Актуальным является
поиск моделей критериев обобщенной полезности, имеющих минимальное
количество параметров, и в то же время позволяющих охватить более широ-
кий спектр задач.
ПРЕДЛАГАЕМЫЕ МОДЕЛИ КРИТЕРИЕВ ОБОБЩЕННОЙ ПОЛЕЗНОСТИ
С целью минимизации числа параметров, предлагаются две нелинейные мо-
дели КОП, не имеющие дополнительных параметров: экспоненциальная и
энтропийная.
Сложная экспоненциальная функция использовалась в качестве функ-
ции полезности частных критериев [8]. Применив простую экспоненциаль-
ную функцию для построения критерия обобщенной полезности, получаем
следующую модель:
,)1()( ∑ ′−−=
i
iiexP ξλ (4)
где ii λλ −=′ 1 — весовые коэффициенты частных критериев, .1=′∑
i
iλ
Функция обобщенной полезности, построенная по принципу информа-
ционной энтропии (4), отражает смысловое наполнение понятия «полез-
ность» как информационной категории:
.)( i
i
i
ixP
λ
ξλ ⋅= ∑ (5)
Предложенные модели обобщенных критериев (4)–(5), в отличие от
модели (1), не имеют дополнительных параметров, при этом гиперповерх-
ности, описываемые ими в пространстве частных критериев, сходны, следо-
вательно, пересекается и класс задач, для которых модели (1), (3)–(4) адек-
ватны.
С целью охвата более широкого круга задач, функцию (2) аддитивно-
мультипликативной (АМ) обобщенной полезности предлагается дополнить
второй мультипликативной составляющей с обратными степенями, т.е.
Модификации критериев обобщенной полезности в задачах идентификации…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 63
большими единицы (6), а модель в виде ПКГ (3) дополнить полиномиаль-
ными членами с дробными степенями того же порядка:
,)1()( /1∏∏∑ −−++=
i
i
i
i
i
ii
ii babaxP λλ ξξξλ (6)
где b — дополнительный параметр ( 0≥b , 10 ≤+≤ ba ) и 0≠iλ .
В качестве модификации (в направлении универсализации и миними-
зации числа параметров) модели обобщенного критерия, построенного
в виде полинома Колмогорова-Габора (2), может быть взят следующий ва-
риант, в котором добавлены члены с дробными степенями и отсутствуют
произведения несовпадающих частных критериев:
∑∑∑
= =
−+−+
=
++=
u
j
m
i
u
ijmi
u
ijmi
m
i
iixP
2 1
/1
)22()32(
1
)()( ξλξλξλ , (7)
где u — определяет сложность модели (степень базового ПКГ).
Графическое представление поверхностей предложенных моделей
обобщенной полезности представлены на рис. 3, где изображена обобщен-
ная полезность для двух частных критериев ( 2=m ). Значения весовых
коэффициентов на рис. 3: 8,01 =λ и 2,02 =λ для моделей (3–5); 3/1, =ba
для модели (5); 6,1,6/1,2 === ju jλ для модели (7).
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ
Исследование эффективности использования различных моделей КОП осу-
ществлялось посредством специально разработанного программного модуля
в среде пакета математических программ. В каждом из 1000 проведенных
экспериментов на идентичных исходных данных для различных моделей
обобщенных критериев осуществлялась их параметрическая оптимизация
(решение системы (1)) методом, основанным на идее покоординатного
спуска. Сложность моделей в виде ПКГ (3), (7) была ограничена второй сте-
пенью )2( =u .
Рис. 3. Предлагаемые КОП
Е.В. Соболева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 64
Показатели эффективности использования различных структур КОП
для решения задачи идентификации схем принятия решений приведены
в таблице. Также в таблице указана мощность вектора оптимизируемых па-
раметров, выраженная через число частных критериев (m) (и через значение
параметра сложности для моделей (3), (7)).
Т а б л и ц а . Результаты экспериментов
Модель )(ΛCard максK средK максKδ средKδ средt ,с W
Аддитивная m 0,85 0,25 0,50 0,13 0,0050 28
Мультипликативная m 1,83 0,51 1,46 0,39 0,0059 2
АМ (2) m+1 1,00 0,28 0,73 0,17 0,0076 21
Модель на основе ПКГ(3) 1−+
u
umC 0,82 0,26 0,47 0,14 0,0189 25
Экспоненциальная (4) m 0,76 0,21 0,43 0,10 0,0049 53
Энтропийная (5) m 0,46 0,13 0,27 0,02 0,0045 657
Модификация АМ (6) m+2 0,64 0,19 0,44 0,07 0,0162 161
Модификация ПКГ (7) )12( −um 0,78 0,23 0,46 0,12 0,0140 53
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Впервые предложенные экспоненциальная и энтропийная модели КОП
имеют минимальное количество параметров, поэтому задача их параметри-
ческой идентификации имеет такую же временную сложность, как и для
простых моделей (аддитивной и мультипликативной). Однако, за счет нели-
нейности они занимают промежуточную и более востребованную нишу
относительно класса задач, и как результат конкурируют по точности
с простейшими моделями.
Предложенные модификации известных моделей обобщенных крите-
риев значительно увеличивают точность базовых моделей, при этом количе-
ство параметров увеличено на единицу для аддитивно-мультипликативной
модели (соответственно, растет временная сложность) и сокращено для
модели в виде полинома Колмогорова-Габора (временная сложность
уменьшается). Особенностью предложенной модификации аддитивно-
мультипликативной модели обобщенного критерия (6) является невозмож-
ность равенства нулю весовых коэффициентов полезности частных крите-
риев. В работе был исследован упрощенный вариант модификации модели
в виде полинома Колмогорова-Габора (7), который при необходимости мо-
жет быть дополнен произведениями несовпадающих частных критериев.
По результатам исследований наилучшей моделью обобщенного кри-
терия является энтропийная модель (5). Эта модель превосходит исследо-
ванные известные модели и предложенные в данной работе модификации
обобщенных критериев по всем анализируемым показателям. По временной
сложности параметрической идентификации с ней сравнима экспоненциаль-
ная модель. Достоинством модификации модели в виде ПКГ (7), как
и базовой модели [4], является возможность приведения ее к аддитивной
форме большей размерности и перехода к задаче линейного программиро-
Модификации критериев обобщенной полезности в задачах идентификации…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 65
вания. Модификация аддитивно-мультипликативной модели (6) уступает
предложенным моделям по всем показателям, однако повышает точность
базовой модели.
ВЫВОДЫ
Для задачи идентификации схем принятия решений обоснована ограничен-
ность областей эффективного применения известных структур критериев
обобщенной полезности на множестве упорядочиваний альтернатив выбора
(решения) в пространстве значений частных критериев; предложены моди-
фикации обобщенных критериев, значительно увеличивающие точность
идентификации; произведены экспериментальное исследование и сравни-
тельный анализ эффективности использования известных и предложенных
структур обобщенных критериев.
Дальнейшие исследования могут быть посвящены решению более об-
щей задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Брахман Т.Р. Многокритериальность и выбор альтернативы в технике. — М.:
Радио и связь, 1984. — 287 с.
2. Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управле-
нии. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 368 с.
3. Петров К.Э. Мультипликативно-аддитивная функция оценки полезности // Ра-
диоэлектроника и информатика. — 2000. — № 4. — С. 35–36.
4. Овезгельдыев А.О., Петров Э.Г., Петров К.Э. Синтез и идентификация моде-
лей многофакторного оценивания и оптимизации. — К.: Наук. думка,
2002. — 164 с.
5. Бескоровайный В.В., Трофименко И.В. Параметрическая идентификация
мультипликативных моделей для многофакторного выбора решений // Зб.
наук. пр. Харк. ун-ту повітряних сил. — Х.: ХУПС, 2005. — Вип. 5(5). —
С. 74–78.
6. Петров Э.Г., Булавин Д.А., Петров К.Э. Решение задачи структурно-
параметрической идентификации модели индивидуального многофакторно-
го оценивания методом группового учета аргументов // АСУ и приборы ав-
томатики. 2004. — Вып. 129. — С. 4–13.
7. Бескоровайный В.В., Петров Э.Г., Трофименко И.В. Метод решения общей за-
дачи компараторной идентификации моделей многофакторного оценивания
// Бионика интеллекта. — 2006. — Вып. 2 (65). — С. 3–7.
8. Harrington E.C. The desirability function // Industrial Quality Control. — 1965. —
№ 21. — P. 494–498.
Поступила 07.06.2010
|
| id | journaliasakpiua-article-71765 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:20:14Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/bd/87f0a53b9b00a4bea7532fe9c3c48abd.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-717652018-03-30T15:06:41Z Modification of generalized criteria in problems of identification of multicriteria choice Модификации критериев обобщенной полезности в задачах идентификации многокритериального вибора Модифікації критеріїв узагальнюючої корисності в задачах ідентифікації багатокритеріального вибору Soboleva, E. V. As the generalized criteria for the problems of multivariate optimization the exponential and entropy models, as well as modifications (through the introduction of additional components with the reverse indicators) of famous mixed models (additive-multiplicative and in the form of polynomial of Kolmogorov-Gabor). The system results of the study of the accuracy and complexity of the procedures of comparatorial parametric identification of generalized criteria's different models are shown. В качестве критериев обобщенной полезности для задач многофакторной оптимизации предлагаются экспоненциальная и энтропийная модели, а также модификации (путем введения дополнительных слагаемых с обратными степенями) известных смешанных моделей (аддитивно-мультипликативной и в виде полинома Колмогорова-Габора). Приведены статистические результаты исследования точности и сложности процедур компараторной параметрической идентификации различных моделей обобщенных критериев. У якості критеріїв узагальнюючої корисності для задач багатофакторної оптимізації запропоновано експоненціальну та ентропійну моделі, а також модифікації (шляхом введення додаткових складових зі зворотними степенями) відомих змішаних моделей (адитивно-мультиплікативної та у вигляді поліному Колмогорова-Габора). Наведено статистичні результати дослідження точності та складності процедур компараторної параметричної ідентифікації різних моделей узагальнюючих критеріїв. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2012-09-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71765 System research and information technologies; No. 3 (2012); 58-65 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2012); 58-65 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2012); 58-65 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71765/66759 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Soboleva, E. V. Модифікації критеріїв узагальнюючої корисності в задачах ідентифікації багатокритеріального вибору |
| title | Модифікації критеріїв узагальнюючої корисності в задачах ідентифікації багатокритеріального вибору |
| title_alt | Modification of generalized criteria in problems of identification of multicriteria choice Модификации критериев обобщенной полезности в задачах идентификации многокритериального вибора |
| title_full | Модифікації критеріїв узагальнюючої корисності в задачах ідентифікації багатокритеріального вибору |
| title_fullStr | Модифікації критеріїв узагальнюючої корисності в задачах ідентифікації багатокритеріального вибору |
| title_full_unstemmed | Модифікації критеріїв узагальнюючої корисності в задачах ідентифікації багатокритеріального вибору |
| title_short | Модифікації критеріїв узагальнюючої корисності в задачах ідентифікації багатокритеріального вибору |
| title_sort | модифікації критеріїв узагальнюючої корисності в задачах ідентифікації багатокритеріального вибору |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71765 |
| work_keys_str_mv | AT sobolevaev modificationofgeneralizedcriteriainproblemsofidentificationofmulticriteriachoice AT sobolevaev modifikaciikriterievobobŝennojpoleznostivzadačahidentifikaciimnogokriterialʹnogovibora AT sobolevaev modifíkacííkriteríívuzagalʹnûûčoíkorisnostívzadačahídentifíkacííbagatokriteríalʹnogoviboru |