Умови практичної стійкості дискретних систем і функції Ляпунова
Building of optimal estimates of initial data sets and phase constraints for discrete systems with help of Lyapunov functions is considered. Optimal estimates of initial data sets in the form of a ball and ellipsoid classes are obtained for linear discrete systems with convex phase constraints.
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2012
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71777 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334268056764416 |
|---|---|
| author | Bashnyаkov, О. М. Pichkur, V. V. Khitko, I. V. |
| author_facet | Bashnyаkov, О. М. Pichkur, V. V. Khitko, I. V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. М. Bashnyаkov",
"institution": "старший науковий співробітник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка, Україна, Київ"
},
{
"author": "V. V. Pichkur",
"institution": "доцент Київського національного університету ім. Тараса Шевченка, Україна, Київ"
},
{
"author": "I. V. Khitko",
"institution": "молодший науковий співробітник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка, Україна, Київ"
}
] |
| author_sort | Bashnyаkov, О. М. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:06:41Z |
| description | Building of optimal estimates of initial data sets and phase constraints for discrete systems with help of Lyapunov functions is considered. Optimal estimates of initial data sets in the form of a ball and ellipsoid classes are obtained for linear discrete systems with convex phase constraints. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:20:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О.М. Башняков, В.В. Пічкур, І.В. Хітько, 2012
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 125
УДК 517.929.4; 517.962.24
УМОВИ ПРАКТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ
ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ І ФУНКЦІЇ ЛЯПУНОВА
О.М. БАШНЯКОВ, В.В. ПІЧКУР, І.В. ХІТЬКО
Розглянуто питання побудови оптимальних оцінок множин початкових даних
та фазових обмежень для дискретних систем за допомогою методу функцій
Ляпунова. Для лінійних дискретних систем за опуклих фазових обмежень
одержано оптимальні оцінки множини початкових умов у вигляді кулі та
еліпсоїда.
ВСТУП
Дослідження, пов’язані з дискретними системами, широко представлені
в науковій літературі у зв’язку з розвитком обчислювальних методів і під-
ходів до моделювання та оптимізації складних систем. Крім того, поведінка
значної кількості біологічних, соціальних, економічних, технічних систем
описуються дискретними системами [1–6]. Результати, пов’язані з аналізом
стійкості дискретних систем на основі методу функцій Ляпунова, висвітлено
в роботах [7–22]. Важливим із прикладної точки зору є дослідження стій-
кості на фіксованому інтервалі часу при заданих фазових обмеженнях. Ос-
новні підходи до задач практичної стійкості висвітлено в роботах [8, 9, 15,
16, 23–25], у працях [8, 9, 16, 24] розвиваються методи практичної стійкості
дискретних систем. При цьому центральною постановкою є задача про зна-
ходження оптимальної множини початкових умов та її оцінка в еліпсоїдаль-
них формах. Такі задачі мають значне прикладне значення. Наприклад, для
розрахунку області захоплення частинок у процес прискорення, у системах
прискорення і фокусування необхідно застосовувати чисельні алгоритми
визначення оптимальних областей практичної стійкості [8, 23].
Робота присвячена побудові оптимальних оцінок множин початкових
даних та фазових обмежень для дискретних систем за допомогою методу
функцій Ляпунова. Одержано необхідні та достатні умови практичної стій-
кості, запропоновано підхід до знаходження функції Ляпунова. На основі
отриманих тверджень досліджується задача практичної стійкості лінійних
дискретних систем за опуклих фазових обмежень. Одержано оптимальні
оцінки множини початкових умов у вигляді кулі та еліпсоїда, а також оцінки
фазових обмежень за умови поділу.
Мета роботи — побудова необхідних і достатніх умов практичної стій-
кості дискретних систем із використанням функції Ляпунова, а також зна-
ходження оптимальних оцінок множини початкових умов у вигляді кулі та
еліпсоїда, і оцінок фазових обмежень у задачі практичної стійкості лінійних
дискретних систем за опуклих фазових обмежень.
О.М. Башняков, В.В. Пічкур, І.В. Хітько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 126
ТЕОРЕМА ПРО ПРАКТИЧНУ СТІЙКІСТЬ ДЛЯ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ
Розглянемо дискретну систему
)),(()1( kxfkx k=+ ,1,...,1,0 −= Nk (1)
де DDxfk →:)( — n -вимірні вектор-функції, nRD ⊂ . Позначимо
),()( 0xkxkx = — розв’язок системи (1) за умови 0)0( xx = , .,...,1,0 Nk =
Нехай DG ⊂0 — множина початкових умов, Dk ⊂Φ , Nk ,...,1,0= —
множина фазових обмежень, kΦ∈ int0 , Nk ,...,1,0= , 0)0( =kf ,
1,...,1,0 −= Nk .
Означення 1 [8]. Нульовий розв’язок системи (1) називається
},0,,{ 0 NG kΦ -стійким (внутрішньо },0,,{ 0 NG kΦ -практично стійким), як-
що kxkx Φ∈),( 0 , для всіх 00 Gx ∈ , .,...,1,0 Nk =
Максимальну за включенням множину всіх початкових умов, для яких
виконується означення 1, позначимо *G .
Лема 1. Якщо для функції DDf →: , nRD ⊂ виконується умова
)()( yfxfyxa −≤− , 0>a , Dyx ∈, , то функція f є ін’єктивною
в області D .
Доведення. Нехай існує Dz∈ таке, що zxf =)( , zyf =)( та yx ≠ .
Тоді yxayfxfzz −≥−=−= )()(0 . Звідси отримуємо yx = . Лему до-
ведено.
Теорема 1. Нехай kΦ , Nk ,...,1,0= — компакти, функції )(xfk ,
1,...,1,0 −= Nk неперервні в області D і знайдуться такі додатні константи
ka , 1,...,1,0 −= Nk , що )()( yfxfyxa kkk −≤− , Dyx ∈, , ...,1,0=k
1,... −N . Для того, щоб система (1) була { }NG k ,0,,0 Φ -стійкою необхідно
і достатньо, щоб існували функції Ляпунова )(xVk , Nk ,...,1,0= такі, щоб
справджувалися співвідношення:
}1)(:{ 00 ≤∈⊆ xVRxG n , (2)
,,...,1,0,}1)(:{ NkxVRx kk
n =Φ⊆≤∈ (3)
.1,...,1,0),())((1 −=≤+ NkxVxfV kkk (4)
Доведення. Достатність [8]. Доведемо від супротивного. Нехай існу-
ють функції )(xVk , Nk ,...,1,0= , що задовольняють умовам (2)–(4), але для
розв’язку системи (1) порушується означення 1. Тоді знайдуться 00 Gx ∈ ,
Nk ≤≤0 такі, що kxkx Φ∉),( 0 . Згідно з (3) 1)),(( 0 >xkxVk . Враховуючи
(4), отримуємо )),0(()),1(()),((1 00010 xxVxkxVxkxV kk ≤≤−≤< − … . З умо-
ви (2) маємо 00 Gx ∉ , що суперечить припущенню.
Умови практичної стійкості дискретних систем і функції Ляпунова
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 127
Необхідність. Оскільки kΦ , Nk ,...,1,0= — компакти, то оптимальна
за включенням множина початкових умов *G є компакт. Нехай )(⋅α — ви-
значальна функція множини *G . Це означає, що )(⋅α є неперервною функ-
цією з nR в 1R , функція 1)( <xα при *int Gx∈ , 1)( =xα при *Gx ∂∈
та ,1)( >xα якщо *Gx∉ [23]. З леми 1 випливає, що існують обернені
функції )(xkψ , Nk ,...,1= такі, що ))(()1( kxkx kψ=− , Nk ,...,2,1= . Вве-
демо функцію xx =)(0ψ . Тоді ))...)((...(()()0( 100 xxxx kk ψψψϕ === ,
Nk ,...,1,0= .
Виберемо функції Ляпунова у вигляді ))(()( xxV kk ϕα= , Nk ,...,1,0=
і покажемо, що вони задовольняють умовам (2)–(4). Для довільного
*00 GGx ⊆∈ маємо 1)())(()( 00000 ≤== xxxV αϕα . Отже, умова (2) вико-
нується. Справджується рівність )()),(( 00 xxkxVk α= , Nk ,...,1,0= , тому
умова (4) теж виконується. Припустимо, що існують 00 Gx ∈ та Nk ≤≤0
такі, що 1),(( 0 ≤xkxVk , але kxkx Φ∉),( 0 . Тоді == ))(()),(( 0 xxkxV kk ϕα
1)( 0 ≤= xα . За означенням визначальної функції *0 Gx ∈ , а отже
kxkx Φ∈),( 0 , Nk ,...,1,0= . Це суперечить припущенню. Отже, умова (3)
виконується. Теорему доведено.
Наслідок 1. Якщо фазові обмеження kΦ , Nk ,...,1,0= — компакти, то
для дослідження { }NG k ,0,,0 Φ -стійкості можна використовувати функцію
Ляпунова у вигляді:
{ }
{ }⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈∈−−
∈∈−+
=
∂∈
∂∈
.)(:,)(min1
,\)(:,)(min1
)(
*
*
0
0
Gzzxyx
GDzzxyx
xV
kk
Gy
kk
Gy
k ϕϕ
ϕϕ
УМОВИ ПРАКТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ ІЗ ФАЗОВИМИ
ОБМЕЖЕННЯМИ У ФОРМІ МНОГОКУТНИКА
Розглянемо лінійну однорідну систему
),()1( kxAkx k=+ ,1,...,1,0 −= Nk (5)
де kA — невироджені матриці розмірності nn× . Нехай множина початко-
вих даних обирається з класу
{ }0:)0(1 ≥= rKW r , (6)
де )0(rK — круг радіуса r із центром у початку координат. Фазові обме-
ження задаються у формі многокутника
{ }∩
n
s
sk
n
k xlRx
1
1,:
=
≤〉〈∈=Φ , Nk ,...,1,0= , (7)
О.М. Башняков, В.В. Пічкур, І.В. Хітько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 128
де n
sskl 1}{ = — системи лінійно незалежних векторів, .,...,1,0 Nk = Розв’язок
системи (5) можна записати у вигляді )0()( xQkx k= , 01... AAQ kk −= ,
.,...,1 Nk = Позначимо ,0 IQ = де I — одинична матриця. Оскільки мат-
риці kA , Nk ,...,1,0= — невироджені, то покладемо xQx kk
1)( −=ϕ ,
.,...,1,0 Nk = Згідно з наслідком до теореми 1 функцію Ляпунова можна
вибирати у вигляді:
{ }
{ }
{ }⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈∈−−
∈∈−+
=
−−
=∈
−−
=∈
.:,min1
;}\:{,min1
)(
*
11
:
*
11
:
GzQzxyxQ
GRzQzxyxQ
xV
kk
rxxy
n
kk
rxxy
k
Оскільки для Nk ,...,1,0= виконується
{ }
=−=−=− −
−
−
−−
=∈
rxQr
xQ
xQ
xQyxQ k
k
k
kkrxxy
1
1
1
11
:
min
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈∈−−
∈∈−
=
−−
−−
},:{,
},\:{,
*
11
*
11
GzQzxrxQr
GRzQzxrxQ
kk
n
kk
то функція Ляпунова записується так
xQrxV kk
11)( −+−= , .,...,1,0 Nk = (8)
Знайдемо оптимальні оцінки для множини початкових даних, викорис-
товуючи (8) та теорему 1. Для цього визначимо параметр r так, щоб траєк-
торії системи задовольняли фазові обмеження 1, ≤xlsk , ns ,...,2,1= ,
Nk ,...,1,0= , при 1)( ≤xVk , Nk ,...,1,0= . З 1)( ≤xVk випливає rxQk ≤−1 ,
.,...,1,0 Nk = Звідси
=≤== −−
sk
T
kksk
T
kkksksk lQrxQlQxQQlxl 11 ,,,
,, sksk
T
kk llQQr= ns ,...,2,1= , Nk ,...,1,0= . (9)
Для того, щоб система була { }NG k ,0,,0 Φ -стійкою достатньо, необхід-
но виконання такої нерівності 1, ≤sksk
T
kk llQQr , де ,,...,1,0 Nk =
ns ,...,2,1= , тобто
sksk
T
kk
nsNk llQQ
r
,
1minmin
,...2,1,...1,0 ==
≤ .
Таким чином має місце твердження.
Теорема 2. Оптимальна оцінка множини практичної стійкості системи
(5) у класі (6) при фазових обмеженнях (7) має вигляд
Умови практичної стійкості дискретних систем і функції Ляпунова
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 129
sksk
T
kk
nsNk llQQ
r
,
1minmin
,...2,1,...1,0
*
==
= ,
де 01...AAQ kk −= , ,,...,2,1 Nk = .0 IQ =
Нехай множина початкових даних обирається в класі еліпсоїдів
{ }0:),0(2 ≥= rBEW r , (10)
де },:{),0( 2rzBzzBEr ≤= , B — додатно визначена симетрична матриця
розмірності .nn× Тоді функція Ляпунова записується у вигляді:
=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∈∈−−
∈∈−+
=
−−
=∈
−−
=∈
.}:{,)(min1
},\:{,)(min1
)(
*
112
1
},:{
*
112
1
},:{
2
2
GxQxxyxQB
GRxQxxyxQB
xV
kk
rxBxxy
n
kk
rxBxxy
k
xQBr k
12
1
1 −+−= ,
.,...,1,0 Nk = Оптимальна оцінка множини практичної стійкості в цьому
випадку має вигляд
sksk
T
kk
nsNk llQBQ
r
,
1minmin
1,...2,1,...1,0
*
−==
= .
Розглянемо лінійну неоднорідну систему
kk bkxAkx +=+ )()1( , 1,...,1,0 −= Nk , (11)
де kA — невироджені матриці nn× , kb — вектор із nR , 1,...,1,0 −= Nk при
фазових обмеженнях (7). Знайдемо оптимальні оцінки для множини почат-
кових даних у класі (6).
Розв’язок системи (11) можна записати у вигляді:
kk gxQkx += )0()( , ,,...,2,1 Nk =
де 01...AAQ kk −= , ∑
−
=
−−− +=
1
1
121 ...
k
j
kjjkkk bbAAAg , .,...,2,1 Nk =
Позначимо ,0 IQ = .00 =g Оскільки kΦ∈int0 , то 1, <ksk gl ,
ns ,...,2,1= , ,,...,1,0 Nk = і функцію Ляпунова можна вибирати у вигляді:
)(1)( 1
kkk gxQrxV −+−= − , .,...,1,0 Nk =
Таким чином отримаємо твердження.
Теорема 3. Оптимальна оцінка множини практичної стійкості системи
(11) в класі (6) при фазових обмеженнях (7) має вигляд:
О.М. Башняков, В.В. Пічкур, І.В. Хітько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 130
sksk
T
kk
ksk
nsNk llQQ
gl
r
,
,1
minmin
,...2,1,...1,0
* −
=
==
,
де 01...AAQ kk −= , ,...
1
1
121∑
−
=
−−− +=
k
j
kjjkkk bbAAAg ,,...,2,1 Nk = ,0 IQ =
.00 =g
Зауважимо, що якщо для системи (11) множина початкових даних оби-
рається в класі (10), то функція Ляпунова записується у вигляді:
)(1)( 12
1
kkk gxQBrxV −+−= − , .,...,1,0 Nk =
Оптимальна оцінка множини початкових умов у цьому випадку за-
писується так
sksk
T
kk
ksk
nsNk llQBQ
gl
r
,
,1
minmin
1,...2,1,...1,0
*
−==
−
= .
ОПУКЛІ ФАЗОВІ ОБМЕЖЕННЯ
Розглянемо випадок, коли фазові обмеження задаються опуклими компакт-
ними множинами n
k R⊂Φ , .,...,1,0 Nk = Тоді фазові обмеження можна
подати у вигляді:
{ }∩
)0(1
,),(,:
S
k
n
k cxRx
∈
Φ≤∈=Φ
ψ
ψψ ,,...,1,0 Nk = (12)
де )0(1S — одинична сфера з центром в початку координат, ),( ψkc Φ —
опорна функція множини kΦ , Nk ,...,1,0= [7]. Оскільки kΦ∈ int0 , то
0),( >Φ ψkc , Nk ,...,1,0= для всіх )0(1S∈ψ , тому фазові обмеження мож-
на записати у вигляді:
∩
)0(1
,1
),(
,:
S k
n
k c
xRx
∈ ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
Φ
∈=Φ
ψ ψ
ψ Nk ,...,1,0= .
Тоді, аналогічно до теорем 2, 3, одержуємо такі твердження.
Теорема 4. Оптимальна оцінка множини практичної стійкості системи
(5) у класі (6) при фазових обмеженнях (12) має вигляд:
ψψ
ψ
ψ ,
),(
minmin
)0(,...1,0
*
1 T
kk
k
SNk QQ
c
r
Φ
=
∈=
,
де 01...AAQ kk −= , Nk ,...,2,1= , IQ =0 .
Теорема 5. Оптимальна оцінка множини практичної стійкості системи
(11) у класі (6) при фазових обмеженнях (12) має вигляд:
Умови практичної стійкості дискретних систем і функції Ляпунова
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 131
ψψ
ψψ
ψ ,
,),(
minmin
)0(,...1,0
*
1 T
kk
kk
SNk QQ
gc
r
−Φ
=
∈=
,
де 01...AAQ kk −= , ∑
−
=
−−− +=
1
1
121 ...
k
j
kjjkkk bbAAAg , Nk ,...,2,1= , IQ =0 ,
00 =g .
Якщо для систем (5) та (11) множина початкових даних вибирається
в класі (10), то оптимальні оцінки множини практичної стійкості мають
вигляд:
ψψ
ψ
ψ ,
),(
minmin
1)0(,...1,0
*
1 T
kk
k
SNk QBQ
c
r
−∈=
Φ
=
та
ψψ
ψψ
ψ ,
,),(
minmin
1)0(,...1,0
*
1 T
kk
kk
SNk QBQ
gc
r
−∈=
−Φ
=
відповідно.
ОЦІНКА ФАЗОВИХ ОБМЕЖЕНЬ
Розглянемо лінійну дискретну систему (5). Множина початкових даних має
вигляд:
)0(0 rKG = . (13)
Фазові обмеження належать класу
{ }NkppW k ,...,1,0,0:)(3 =≥Φ= , (14)
де { }∩
n
s
sk
n
k pxlRxp
1
,:)(
=
≤∈=Φ , .,...,1,0 Nk = Необхідно знайти міні-
мальне значення параметра p таке, щоб траєкторії системи, які виходять із
множини початкових даних (13), задовольняли фазовим обмеженням з класу
3W .
Розглянемо функції Ляпунова (8) і визначимо параметр p так, щоб
,, pxlsk ≤
,,...,2,1 ns = Nk ,...,1,0= при 1)( ≤xVk , Nk ,...,1,0= . З нерів-
ності (9) випливає, що для },0,,{ 0 NG kΦ -стійкості системи (5) достатньо,
щоб pllQQr sksk
T
kk ≤, , Nk ,...,1,0= , .,...,2,1 ns = Отже, справедливе та-
ке твердження.
Теорема 6. Оптимальна оцінка множин фазових обмежень системи (5)
з множиною початкових даних (13) у класі (14) має вигляд =*p
sksk
T
kk
nsNk
llQQr ,maxmax
,...,2,1,...,1,0 ==
= , де 01...AAQ kk −= , ,,...,2,1 Nk = .0 IQ =
О.М. Башняков, В.В. Пічкур, І.В. Хітько
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 132
Якщо множина початкових даних вибирається в класі (10), то опти-
мальна оцінка множин фазових обмежень системи (5) має вигляд
.,maxmax 1
,...2,1,...1,0
*
sksk
T
kk
nsNk
llQBQrp −
==
=
Нехай опорні функції множин фазових обмежень задовольняють умові
поділу ),()),(( ψψ kk mppc =Φ RRm n
k →: — неперервні функції,
,,...,2,1 Nk = 0≥p . Тоді справджується рівність
=Φ≤〉〈∈=Φ
∈
∩
)0(1
)}),((,:{)(
S
k
n
k pcxRxp
ψ
ψψ
=≤〉〈∈=
∈
})(,:{
)0(1
∩
S
k
n mpxRx
ψ
ψψ
∩
)0(1
)(
,:
S k
n p
m
xRx
∈ ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤∈=
ψ ψ
ψ , .,...,2,1 Nk =
Якщо для лінійної дискретної системи (11) множина початкових даних
обирається в класі (10), то оптимальна оцінка множин фазових обмежень
має вигляд
kk
T
kk
SNk gm
QBQ
rp
,)(
,
maxmax
1
)0(,...1,0
*
1 ψψ
ψψ
ψ −
=
−
∈=
.
ВИСНОВКИ
У роботі отримано необхідні та достатні умови практичної стійкості дискрет-
них систем із використанням функції Ляпунова. Вони мають конструктив-
ний характер і дозволяють вказати шлях до знаходження оптимальної функ-
ції Ляпунова. На основі отриманих умов для задачі практичної стійкості
лінійних дискретних систем за опуклих фазових обмежень отримано опти-
мальні оцінки множини початкових умов у вигляді кулі та еліпсоїда. При
цьому знайдено оптимальні функції Ляпунова в аналітичній формі. Розроб-
лений підхід застосовано до задачі оцінки фазових обмежень за умови, що
початкова множина вибирається у формі кулі або еліпсоїда, а фазові обме-
ження є опуклими компактами, що неперервно залежить від параметра і за-
довольняють умову поділу. Одержані результати мають алгоритмічну спря-
мованість.
ЛІТЕРАТУРА
1. Dash A.T., Cressma R. Polygamy in human and animal species // Mathematical Bio-
sciences. — 1988. — 88, № 1. — P. 49–456.
2. Hsieh Y. The phnomenon of unstable oscillation in population models // Mathemati-
cal and computer Modelling. — 1988. — 10, № 6. — P. 429–435.
3. Rondoni L. Autocatalytic reactions as dynamical systems on the interval // Journal of
Mathematical Physics. — 1993. — 34, № 11. — P. 5238–5251.
Умови практичної стійкості дискретних систем і функції Ляпунова
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 133
4. Sedaghat H.A class of Nonlinear second order difference equations from macroeco-
nomics // Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications. — 1997. — 29,
№ 5. — P. 593–603.
5. Simonovits A. Chaotic dynamics of economic systems // Szigma. — 1985. — 18. —
P. 267–277.
6. Tchuente M., Tindo G. Suites generees par une equation neuronale a memoire //
Comptes rendus de l’Academie des Sciences. — 1993. — 317, № 6. — P. 625–630.
7. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. — М.: Высш. шк.,
2001. — 239 с.
8. Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Структурно-параметрическая
оптимизация и устойчивость динамики пучков. — К.: Наук. думка, 1985. —
304 с.
9. Гаращенко Ф.Г., Куценко И.А. Практическая устойчивость дискретных проце-
сов, оценки и их оптимизация // Проблемы управления и информации. —
1997. — № 5. — C. 50–61.
10. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. — М.: Мир,
1971. — 309 с.
11. Antsaklis P., Michel A. Linear Systems. — Boston: Birkhäuser, 2006. — 670 p.
12. Basson M., Fogarty M.J. Harvesting in discrete-time predator-prey systems //
Mathematical Biosciences. — 1997. — 141, № 1. — P. 41–47.
13. Galor O. Discrete Dynamical Systems. — Berlin: Springer, 2007. — 158 p.
14. Hespanha J., Liberzon D., Teel A. Lyapunov conditions for input-to-state stability of
impulsive systems // Automatica. — 2008. — 44, Issue 11. — P. 2735–2744.
15. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Practical stability of nonlinear sys-
tems. — Singapore: World Scientific, 1990. — 207 p.
16. Martynyuk A.A. Stability analysis of discrete systems // International Applied Me-
chanics. — 2000. — 36, № 7. — P. 3–34.
17. Martynyuk A.A. Stability by Lyapunov’s matrix function method with applica-
tions. — NY: Marcel Dekker, 1998. — 276 p.
18. Michel A., Hou L., Liu D. Stability of dynamical systems. — Boston: Birkhäuser,
2008. — 515 p.
19. Michel A., Miller R. Qualitative analysis of large scale dynamical systems. — AP,
1977. — 307 p.
20. Potzsche C. Geometric theory of discrete Nonautonomous dynamical systems. —
Berlin: Springer, 2010. — 430 p.
21. Xiushan C., Xiaodong W., Ganyun L. Stabilization of discrete Nonlinear systems
based on control Lyapunov functions // Journal of Systems Engineering and
Electronics. — 2008. — 19, Issue 1. — P. 131–133.
22. Zhong L., Lin H. Some problems of second method of Lyapunov. In discrete sys-
tems // Applied Mathematics and Mechanics. — 1988. — 9. — P. 1175–1181.
23. Башняков О.М., Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Практична стійкість, оцінки та
оптимізація. — К.: Київський ун-т, 2008. — 383 с.
24. Гаращенко Ф.Г., Башняков А.Н. Анализ сходимости итерационных процедур
на основе методов практической устойчивости // Проблемы управления и
информатики. — 1999. — № 2. — С. 15–25.
25. Мартинюк А.А. Практическая устойчивость движения. — К.: Наук. думка,
1983. — 248 с.
Надійшла 21.10.2010
|
| id | journaliasakpiua-article-71777 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:20:17Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/68/2263e9b7617226d869315a1c78b79b68.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-717772018-03-30T15:06:41Z Conditions of practical stability of discrete systems and Lyapunov functions Условия практической устойчивости дискретных систем и функции Ляпунова Умови практичної стійкості дискретних систем і функції Ляпунова Bashnyаkov, О. М. Pichkur, V. V. Khitko, I. V. Building of optimal estimates of initial data sets and phase constraints for discrete systems with help of Lyapunov functions is considered. Optimal estimates of initial data sets in the form of a ball and ellipsoid classes are obtained for linear discrete systems with convex phase constraints. Рассмотрены вопросы построения оптимальных оценок множеств начальных данных и фазовых ограничений для дискретных систем с помощью метода функций Ляпунова. Для линейных дискретных систем при выпуклых фазовых ограничениях получены оптимальные оценки множества начальных условий в форме шара и эллипсоида. Розглянуто питання побудови оптимальних оцінок множин початкових даних та фазових обмежень для дискретних систем за допомогою методу функцій Ляпунова. Для лінійних дискретних систем за опуклих фазових обмежень одержано оптимальні оцінки множини початкових умов у вигляді кулі та еліпсоїда. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2012-09-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71777 System research and information technologies; No. 3 (2012); 125-133 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2012); 125-133 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2012); 125-133 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71777/66769 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Bashnyаkov, О. М. Pichkur, V. V. Khitko, I. V. Умови практичної стійкості дискретних систем і функції Ляпунова |
| title | Умови практичної стійкості дискретних систем і функції Ляпунова |
| title_alt | Conditions of practical stability of discrete systems and Lyapunov functions Условия практической устойчивости дискретных систем и функции Ляпунова |
| title_full | Умови практичної стійкості дискретних систем і функції Ляпунова |
| title_fullStr | Умови практичної стійкості дискретних систем і функції Ляпунова |
| title_full_unstemmed | Умови практичної стійкості дискретних систем і функції Ляпунова |
| title_short | Умови практичної стійкості дискретних систем і функції Ляпунова |
| title_sort | умови практичної стійкості дискретних систем і функції ляпунова |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71777 |
| work_keys_str_mv | AT bashnyakovom conditionsofpracticalstabilityofdiscretesystemsandlyapunovfunctions AT pichkurvv conditionsofpracticalstabilityofdiscretesystemsandlyapunovfunctions AT khitkoiv conditionsofpracticalstabilityofdiscretesystemsandlyapunovfunctions AT bashnyakovom usloviâpraktičeskojustojčivostidiskretnyhsistemifunkciilâpunova AT pichkurvv usloviâpraktičeskojustojčivostidiskretnyhsistemifunkciilâpunova AT khitkoiv usloviâpraktičeskojustojčivostidiskretnyhsistemifunkciilâpunova AT bashnyakovom umovipraktičnoístíjkostídiskretnihsistemífunkcíílâpunova AT pichkurvv umovipraktičnoístíjkostídiskretnihsistemífunkcíílâpunova AT khitkoiv umovipraktičnoístíjkostídiskretnihsistemífunkcíílâpunova |