Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків нелінійного звичайного дифференціального рівняння другого порядку
The approach to determining of periodic solutions of the nonlinear differential second order equation is proposed. The approach is based on construction of the Green’s function for differential operator defined on the functions, which satisfy boundary conditions. Necessary and sufficient conditions...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2012
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71980 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334270184325120 |
|---|---|
| author | Bokhonov, Ju. |
| author_facet | Bokhonov, Ju. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ju. Bokhonov",
"institution": "доцент Навчально-наукового комплексу \"Інститут прикладного системного аналізу\" НТУУ \"КПІ\" МОН та НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Bokhonov, Ju. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:05:06Z |
| description | The approach to determining of periodic solutions of the nonlinear differential second order equation is proposed. The approach is based on construction of the Green’s function for differential operator defined on the functions, which satisfy boundary conditions. Necessary and sufficient conditions for the existence of periodic solutions of the equation are shown. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:20:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ю.Є. Бохонов, 2012
138 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 2
TIДC
НОВІ МЕТОДИ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ,
ІНФОРМАТИЦІ ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 517.94
ПРО ОДИН ПІДХІД ДО ЗНАХОДЖЕННЯ ПЕРІОДИЧНИХ
РОЗВ’ЯЗКІВ НЕЛІНІЙНОГО ЗВИЧАЙНОГО
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Ю.Є. БОХОНОВ
Запропоновано підхід до знаходження періодичних розв’язків нелінійного ди-
ференціального рівняння другого порядку, який базується на побудові функції
Гріна для диференціального оператора, що визначений на функціях, які задо-
вольняють періодичним крайовим умовам. Наведено необхідні та достатні
умови існування періодичних розв’язків рівняння.
ВСТУП
У роботі використовується підхід автора для знаходження періодичних
розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння другого по-
рядку, який викладено в [1]. При цьому уточнюються оцінки швидкості
збіжності послідовних наближень, які отримані в зазначеній роботі. Нехай
функція ),,( yxtf неперервна на ],[],[),( dcbaD ××∞∞−= , періодична по t
із періодом .T Позначимо
),,(max yxtfM
D
= . (1)
Від функції ),,( yxtf будемо вимагати, щоб вона по yx, задовольняла
умові Ліпшиця
2112102211 ),,(),,( yyKxxKyxtfyxtf −+−≤− . (2)
Знаходження періодичних розв’язків диференціального рівняння
),,( xxtfx= (3)
еквівалентне розв’язанню крайової задачі
)()0(),()0( TxxTxx == (4)
для рівняння (3). Пропонується розглянути диференціальний оператор
2
2 )())((
dt
txdtLx = у гільбертовому просторі ),,0(2 TLH = область визначення
якого — це функції, що мають абсолютно неперервну першу похідну, та за-
довольняють крайовим умовам (4). Як відомо, такий оператор є самоспря-
Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 2 139
женим. Задача знаходження періодичних розв’язків зводиться до задачі обер-
нення оператора L . Однак, варто зауважити, що цей оператор не має обер-
неного, оскільки, як легко бачити, 0=λ є його власним числом із однови-
мірним власним підпростором 1H , натягнутим на функцію 1)( ≡tx . Із
самоспряженості оператора випливає, що підпростір ,H̀ ортогональний до
одиниці є інваріантним відносно L . При цьому .`1 HHH ⊕= ,H̀ очевидно,
складається з функцій, середнє яких по [0, T] дорівнює нулю (позначатиме-
мо це так: Hhdtth
T
h
T
∈∀== ∫ 0)(1
0
). Побудуємо оператор, обернений до L
у підпросторі .`H Слід зауважити, що функція в правій частині (3), взагалі
кажучи, не належить до ,H̀ тому в подальшому розглядатимемо допоміжне
рівняння
.),,( fxxtfx −= (5)
Для побудови вказаного оберненого оператора використовуватимемо
модифікацію методики з [2].
Візьмемо фундамантальну систему ttxtx ≡≡ )(,1)( 21 розв’язків рівняння
0=x , які задовольняють умові ji
j
ix ,
)1( )0( δ=− )2,1;2,1( == ji , де ji,δ —
функція Кронекера. Нехай ,`Hh∈ тобто 0=h . Розглянувши рівняння
,)())(( thtxL = знайдемо обернений оператор .1−L Тоді функція =)(tx
))(( 1 thL−= буде задовольняти цьому рівнянню і крайовим умовам (4). 1−L ін-
тегральний та знайдемо його ядро ),,( τtG функцію Гріна крайової задачі. Для
побудови оберненого оператора розв’язуватимемо рівняння методом варіа-
ції довільних сталих. Для цього шукатимемо розв’язок у вигляді
)()(~)()(~)( 2211 txtCtxtCtx += . Після стандартних дій знаходимо: =)(tx
,)())()(()(
2
1
0 21∫ ++−−−−=
T
tCCdhttt τττχτχτ де χ — функція Хевісайда
)0,0)(,0,1)(( <=≥= ssss χχ , const, 21 =CC . Використовуючи першу з умов
(4), можна знайти коефіцієнт 2C : .)(1
02 ∫=
T
dh
T
C τττ Друга умова (4) на
відміну від стандартної ситуації не дозволяє знайти 1C , вона лише підтвер-
джує, що 0=h . Цей невідомий коефіцієнт можна знайти з умови ,0=x при-
чому він знаходиться неоднозначно, оскільки з умови 0=h випливає, що
,)())(),(()(),()(
00 ∫∫ +==
TT
dhttGdhtGtx τταττττ де ],0[2 TC∈α — довільна
двічи неперервно диференційовна функція (вона не залежить від ,τ тому
∫ =
T
dht
0
0)()( ττα ). Отже, ,)(
2
1
0
2
1 ∫−=
T
dh
T
C τττ і остаточно знаходимо
функцію Гріна:
⎢
⎢
⎣
⎡
≤≤≤−
≤≤≤−
+−=
.0,
;0,
2
1)2(
2
1),( 2
Ttt
Ttt
t
T
tG
ττ
ττ
τττ (6)
Ю.Є. Бохонов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 2 140
Тоді .)(),()(
0∫=
T
dhtGtx τττ Звідси знаходимо: ,)(),()(
0∫ ′=′
T
t dhtGtx τττ де
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
≤≤≤−
≤≤≤+
=′
.0;
2
1
;0;
2
1
),(
Tt
T
Tt
TtG
ττ
ττ
τ (7)
Завдяки розкладу в ортогональну суму HHH `1 ⊕= кожен розв’язок
крайової задачі для рівняння (3) можна подати у вигляді ),()( 10 txxtx += де
,0, 10 == xxx тобто
.)))(),(,((),()(
0
0 ∫ −+=
T
dfxxftGxtx τττττ (8)
Разом із рівнянням (8) розглядається рівняння для похідної:
.)))(),(,((),()(
0
∫ −′=
T
t dfxxftGtx τττττ (9)
Рівняння (8) розв’язується методом послідовних наближень. Якщо про-
цес збігається, одержуємо розв’язок ),,( 0xtx ϕ= який під час підстановки
в (8) перетворює його в тотожність. Для того, щоб цей розв’язок був також
розв’язком (3), очевидно, необхідно і разом із виконанням умов (4) достат-
ньо, щоб виконувалась умова
,0)),(),,(,(
0
00∫ =
T
dxxf ξξϕξϕξ (10)
тобто, щоб число 0x (яке є середнім від )(tx , розв’язку задачі) було коре-
нем цього рівняння.
Подамо рівняння (8)–(9) в іншому вигляді. Для цього запишемо
інтеграл у правій частині (8) у такій формі:
−=− ∫∫ dtxxftGdfxxftG
TT
))(),(,(),()))(),(,((),(
00
τττττττττ
=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− ∫∫∫ τττττττξξξξ dxxftGtGdtG
T
dxxf
TTT
))(),(,())(),((),(1))(),(,(
000
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−−+−−−= ∫ τττττχτχττ dxxftttTTt
T
T
))(),(,())()(()(
6
)(
2
1
0
2
2
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−−= ∫ τττττ dxxfTtT
T
t
))(),(,(
2122
1
0
22
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−−+ ∫ τττττ dxxfTtTT
t
))(),(,(
212
22
.
Аналогічно перетворимо праву частину (9):
Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 2 141
−′=−′ ∫∫ ττττττττττ dxxftGdfxxftG
t
t
T
t )(),(,(),()))(),(,((),(
00
=′− ∫∫
TT
t dxxfdtG
T 00
))(),(,(),(1 ττττττ
( ) =′−′= ∫
T
t dxxftGtG
0
))(),(,()(),( τττττ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−= ∫∫
T
t
t
dxxfTtdxxfTt
T
ττττττττττ ))(),(,(
2
))(),(,(
2
1
0
.
Знайдемо умову збіжності ітераційного процесу під час розв’язання
системи
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−−+= ∫ τττττ dxxfTtT
T
xtx
t
))(),(,(
2122
1)(
0
22
0
;))(),(,(
212
22
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−−+ ∫ τττττ dxxfTtTT
t
(11)
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−= ∫ τττττ dxxfTt
T
tx
t
0
))(),(,(
2
1)(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−+ ∫
T
t
dxxfTt τττττ ))(),(,(
2
. (12)
Введемо в просторі 2R «псевдонорму»: |)||,(|),(| 2121 xxxx = ,
а також для вектор-функції ))(),(( 21 txtx : ( )== 2121 ,),( xxxx
).|)(|max,|)(|max(
],0[
2
],0[
1
TtTt
txtx
∈∈
= Простір із такою «псевдонормою» буде частково
впорядкованим, і для векторів ),(),,( ηξyx під час виконання умов
ηξ ≤≤ yx , використовуватимемо позначення ).,(),( ηξ≤yx
Розглянемо оператор S , що діє в просторі вектор-функцій зі значення-
ми в 2R за формулою (нас буде цікавити його дія на вектори вигляду
:))(),((col txtx
.
))(),(,())(),(,(
2
1
))(),(,()())(),(,(
2122
1
)(
)(
00
00
22
0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−−+
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫∫
∫∫
τττττττττ
ττττττττττ
dxxfdxxfTt
T
dxxftdxxfTtT
T
x
tx
tx
S
TT
tT
(13)
Ю.Є. Бохонов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 2 142
Враховуючи (2), (3), дослідимо, за яких умов цей оператор буде стис-
каючим. Введемо заміну
TT
ty τξ == , . Тоді для двох вектор-функцій
))(),((col)),(,(col )2()2()1()1( txtxtxx маємо:
≤− 1
21 )))()((( txtxS
×
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
−−−−−+−−+−−≤ ∫∫ ξξξξξξ dyydyyT
y
y 1
2
0
2
2
6
1)()(
6
1)()(
2
( )=−+−× 21
1
21
0 xxKxxK
×
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−−++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−−= ∫∫ ξξξξ dydyT
y
y 1 2
0
22
12
1
2
1
12
1
2
1
2
( ) ( )21
1
21
0
2
21
1
21
0
318
xxKxxKTxxKxxK −+−=−+−× .
Тут ми скористались тим, що, як виявляється, площа фігури, що обчис-
люється сумою цих інтегралів, не залежить від ]1,0[∈y . Аналогічно
≤− 2
21 )))()((( txtxS
( )=−+−
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
−−++−≤ ∫∫ 21
1
21
0
1
0 2
1
2
1 xxKxxKdydyT
y
y
ξξξξ
( )21
1
21
04
xxKxxKT
−+−= .
Отже,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≤
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
10
10
)2()1(
)2()1(
4
1
4
1
3939
2 KK
KTKT
T
xx
xx
S . (14)
Позначимо через К матрицю в правій частині нерівності (14). Її норма
дорівнює квадратному кореню з найбільшого власного числа матриці
KK * (менше дорівнює нулю). Після нескладних підрахунків одержимо:
)(
16
1
243
2
1
2
0
2
KKTK +⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= . Введемо позначення KTq
2
= . Звідси випли-
ває, що S буде стискаючим оператором за умови
1)(
16
1
2432
2
1
2
0
2
<+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= KKTTq . (15)
Аналогічно доводиться, що константа M із умови (1) має задовольняти
вимозі
Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 2 143
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−≤ )(4),(318min 2 dc
T
ab
T
M . (16)
Стандартні міркування приводять до оцінки можливих значень величи-
ни 0x :
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+∈
318
,
318
22
0
TbMTax . (17)
Сформулюємо остаточний результат.
Теорема 1. Нехай функція ),,( yxtf неперервна на ],[],[],0[ dcbaT ×× ,
періодична по t із періодом ,T задовольняє умові (2), причому константи
Ліпшиця та стала M із (1) задовольняють умовам (15)–(16). Тоді для існу-
вання періодичного з періодом T розв’язку ),( 0xtx ϕ= рівняння (3) необ-
хідно та достатньо існування такого значення 0x , яке задовольняє рівнянню
(10), де ),( 0xtϕ знаходиться методом послідовних наближень. При цьому
0x є середнім значенням ),( 0xtϕ на ],0[ T і знаходиться на проміжку, який
задовольняє умові (17).
Використовуючи техніку доведення теореми Банаха про стискаючі ві-
дображення, одержимо оцінку похибки між розв’язком задачі (3)–(4) і її на-
ближенням. Для цього треба тільки помітити, що .
318
),(
2
001
TMxxtx ≤−
Теорема 2. Похибка між розв’язком задачі (3)–(4) і її n–им наближен-
ням визначається з умови
.
)1(318
),(),(
2
00
n
n q
q
MTxtxxt
−
≤−φ (18)
ВИСНОВКИ
Зведення задачі про періодичні розв’язки нелінійного диференціального
рівняння до крайової задачі з умовами періодичного типу є ефективним
прийомом, що дає змогу прямого дослідження цієї проблеми без переходу
до системи рівнянь першого порядку. Оцінка функції Гріна крайової задачі
дає змогу одержати умови збіжності ітераційного процесу. Методику може
бути застосовано при дослідженні функціонально-диференціальних рівнянь.
ЛІТЕРАТУРА
1. Бохонов Ю.Є. Про один підхід про знаходення періодичних розв’язків
нелінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку //
Нелінійні коливання. — 2000. — Т. 3, № 3. — С. 308–314.
2. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969. — 526 с.
Надійшла 02.06.2010
|
| id | journaliasakpiua-article-71980 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:20:27Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/da/a6d7a5f702882f814e9f236bbd042dda.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-719802018-03-30T15:05:06Z About one approach to determination of periodic solutions of a nonlinear ordinary differential equation of the second order Об одном подходе к нахождению периодических решений нелинейного обычного дифференциального уравнения второго порядка Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків нелінійного звичайного дифференціального рівняння другого порядку Bokhonov, Ju. The approach to determining of periodic solutions of the nonlinear differential second order equation is proposed. The approach is based on construction of the Green’s function for differential operator defined on the functions, which satisfy boundary conditions. Necessary and sufficient conditions for the existence of periodic solutions of the equation are shown. Предложен подход к нахождению периодических решений нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, который базируется на построении функции Грина для дифференциального оператора, который определен на функциях, которые удовлетворяют периодическим краевым условиям. Приведено необходимые и достаточные условия существование периодических решений уравнения. Запропоновано підхід до знаходження періодичних розв’язків нелінійного диференціального рівняння другого порядку, який базується на побудові функції Гріна для диференціального оператора, що визначений на функціях, які задовольняють періодичним крайовим умовам. Наведено необхідні та достатні умови існування періодичних розв’язків рівняння. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2012-06-27 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71980 System research and information technologies; No. 2 (2012); 138-143 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2012); 138-143 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2012); 138-143 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71980/66953 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Bokhonov, Ju. Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків нелінійного звичайного дифференціального рівняння другого порядку |
| title | Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків нелінійного звичайного дифференціального рівняння другого порядку |
| title_alt | About one approach to determination of periodic solutions of a nonlinear ordinary differential equation of the second order Об одном подходе к нахождению периодических решений нелинейного обычного дифференциального уравнения второго порядка |
| title_full | Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків нелінійного звичайного дифференціального рівняння другого порядку |
| title_fullStr | Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків нелінійного звичайного дифференціального рівняння другого порядку |
| title_full_unstemmed | Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків нелінійного звичайного дифференціального рівняння другого порядку |
| title_short | Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків нелінійного звичайного дифференціального рівняння другого порядку |
| title_sort | про один підхід до знаходження періодичних розв’язків нелінійного звичайного дифференціального рівняння другого порядку |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/71980 |
| work_keys_str_mv | AT bokhonovju aboutoneapproachtodeterminationofperiodicsolutionsofanonlinearordinarydifferentialequationofthesecondorder AT bokhonovju obodnompodhodeknahoždeniûperiodičeskihrešenijnelinejnogoobyčnogodifferencialʹnogouravneniâvtorogoporâdka AT bokhonovju proodinpídhíddoznahodžennâperíodičnihrozvâzkívnelíníjnogozvičajnogodifferencíalʹnogorívnânnâdrugogoporâdku |