Порівняльний огляд методів лінійних матричних нерівностей і H∞-оптимізації щодо задачі пригнічення зовнішніх збурень для стабілізації нестійкого об’єкта
The problem of limited modulo external disturbances suppression for the stabilization of the helicopter hovering is considered. The solution of the assigned problem is implemented by linear matrix inequalities (LMI) method and H∞-optimization. The Analysis of the obtained results of synthesis is car...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2012
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/73344 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334274622947328 |
|---|---|
| author | Gorbatyuk, O. D. Melnik, K. V. |
| author_facet | Gorbatyuk, O. D. Melnik, K. V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "O. D. Gorbatyuk",
"institution": null
},
{
"author": "K. V. Melnik",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Gorbatyuk, O. D. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:30:58Z |
| description | The problem of limited modulo external disturbances suppression for the stabilization of the helicopter hovering is considered. The solution of the assigned problem is implemented by linear matrix inequalities (LMI) method and H∞-optimization. The Analysis of the obtained results of synthesis is carried out both analytically and with the help of stabilization system modeling in Simulink environment. Interpretation of the obtained results is presented. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:20:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О.Д. Горбатюк, К.В. Мельник, 2012
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 129
УДК 629.735.45.051’172(045)
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ ОБЗОР МЕТОДОВ ЛИНЕЙНЫХ
МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ И H∞-ОПТИМИЗАЦИИ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧЕ ПОДАВЛЕНИЯ
ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ
НЕУСТОЙЧИВОГО ОБЪЕКТА
О.Д. ГОРБАТЮК, К.В. МЕЛЬНИК
Рассматривается задача подавления ограниченных по модулю внешних воз-
мущений для стабилизации вертолета в режиме висения. Решения поставлен-
ной задачи осуществляется методом линейных матричных неравенств (ЛМН)
и H∞-оптимизации. Анализ полученных результатов синтеза выполнен анали-
тически, а также путем моделирования системы стабилизации в среде
Simulink. Дана интерпретация полученных результатов.
ВВЕДЕНИЕ
Подавление действующих на вертолет внешних возмущений, таких как тур-
булентный ветер, однократные порывы ветра и т.д., является чрезвычайно
важной авиационной задачей с точки зрения безопасности полета, повыше-
ния эффективности функционирования летательного аппарата (ЛА), облег-
чения пилоту выполнения полетного задания.
В современной теории робастного управления существует ряд методов
решения этой задачи путем синтеза системы улучшения устойчивости
и управляемости (СУУУ) ЛА.
В работе рассмотрены два метода синтеза СУУУ путем определения
стабилизирующего регулятора и формирования цепи обратной связи по вы-
ходным переменным динамической системы: метод ЛМН [1–7], метод ∞H -
оптимизации [11–15].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Уравнения динамики системы, состоящей из объекта управления (ОУ) и ис-
полнительного механизма (ИМ), в пространстве состояний имеют вид:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
,
,
,
wDuDxCz
wDuDxCy
wBuBAxx
zwzuz
ywyuy
wu
(1)
где T
actpl xxx ][= — вектор состояния системы, включающий вектор
состояния ОУ plx и ИМ actx ; u — вектор управления; y — вектор выход-
ных переменных; w — вектор внешних возмущений; z — вектор выходных
О.Д. Горбатюк, К.В. Мельник
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 130
переменных, используемый для оценки качества управления; A , uB , wB ,
yC , yuD , ywD , zC , zuD , zwD — не зависящие от времени матрицы, описы-
вающие последовательное соединение ОУ и ИМ в пространстве состояний.
Закон управления для системы (1) можно представить в виде:
)()( sysKu −= , (2)
где )(sK — стабилизирующий регулятор.
Структурная схема замкнутой
системы управления (СУ), состоящей
из объекта и регулятора, изображена
на рис. 1.
Необходимо синтезировать регу-
лятор )(sK (2), при включении кото-
рого в цепь обратной связи выполня-
ется условие минимизации ∞H -нормы
функции комплементарной чувстви-
тельности )(sTzw , связывающей век-
тор возмущений )(sw с выходным
вектором )(sz . Таким образом, задачу
подавления внешних возмущений
можно записать следующим образом:
∞)(min
)(
sTzwsK
, (3)
где ∞⋅ — ∞H -норма.
Известно, что минимизация ∞H -нормы функции комплементарной
чувствительности в соответствии с теоремой о малом коэффициенте усиле-
ния [13, 16] гарантирует робастную устойчивость системы.
Следует отметить, что ограничение спектральной нормы матрицы ко-
эффициентов усиления регулятора )(sK также имеет большое значение для
практической реализации системы, поскольку позволяет избежать, или, по
крайней мере, уменьшить вероятность насыщения ИМ [8].
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛМН ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
Базирующийся на применении метода ЛМН алгоритм решения задачи по-
давления внешних возмущений включает три основных этапа [5].
1 этап. Синтез минимального регулятора )(sK для динамической сис-
темы (1) в предположении полного измерения фазового вектора )(sx путем
решения прямой линейно-квадратичной (ЛК) задачи. При этом применение
синтезированного регулятора )(sK в цепи обратной связи должно гаранти-
ровать выполнение условия ограничения:
,)( γ<∞sTzw (4)
O(s)
K(s)
z(s)
y(s)
w(s)
u(s)
Рис. 1. Структурная схема замкнутой
системы управления с обратной связью
по выходу: )(sO — объект управле-
ния; )(sK — стабилизирующий регу-
лятор; )(sw — вектор внешних возму-
щений; )(su — вектор управления;
)(sz — вектор выходных координат,
используемых для оценки качества сис-
темы; )(sy — вектор выходных коор-
динат, используемых для обратной связи
Сравнительный обзор методов линейных матричных неравенств и H∞-оптимизации …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 131
где γ — скаляр, отражающий степень подавления действующих на систему
возмущений.
Матрица коэффициентов усиления регулятора )(sK определяется в ре-
зультате решения системы известных ЛМН [1] и описывается выражением:
1−=YQK , (5)
где QY , — матрицы, полученные в результате решения системы ЛМН [1–6].
Задача синтеза регулятора (5) сводится к стандартной задаче ЛМН —
Eigenvalue problem [1], связанной с минимизацией собственных чисел замк-
нутой системы, для решения которой используется оператор gevp в пакете
MATLAB [2].
2 этап. Следующим этапом решения задачи подавления внешних воз-
мущений методом ЛМН является решение обратной ЛК задачи для синте-
зированного на предыдущем этапе минимального регулятора )(sK , в ре-
зультате чего определяются весовые матрицы NRQ ,, квадратичного
функционала соответствующей задачи 2H -оптимизации или прямой ЛК
задачи [1–6]. На данном этапе также выполняется процедура минимизации
скаляра λ , ограничивающего спектральную норму стабилизирующего регу-
лятора )(sK , при решении системы ЛМН [1–6]. Для решения данной задачи
ЛМН в пакете MATLAB используется оператор gevp [2].
3 этап. Завершающим этапом синтеза СУУУ методом ЛМН является
синтез 2H -оптимального регулятора )(sK и формирование статической
обратной связи по выходу системы [1–6].
В случае неустойчивого ОУ на данном этапе вводится некоторый ска-
ляр µ , при котором собственные числа матрицы состояния ОУ IµAAµ +=
будут лежать в левой полуплоскости: 0))((Re µ <Aλ . Такой выбор парамет-
ра µ делает тривиальным выбор начального значения матрицы коэффи-
циентов усиления регулятора )(sK [4, 6]. Наряду с матрицей )(sK скаляр
µ будет также дополнительным параметром в процедуре минимизации
квадратичного функционала, который в данном случае можно представить
в виде [5–6]:
[ ] 2
0
T
TT µrdt
u
x
RN
NQ
uxEJ +
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= ∫
∞
, (6)
где r — коэффициент, при достаточно большом значении которого, реше-
ние задачи синтеза стабилизирующего 2H -оптимального регулятора )(sK
может быть приемлемой аппроксимацией стандартной процедуры миними-
зации квадратичного функционала.
В результате решения задачи оптимизации J
K µ,
min определяются опти-
мальные значения скаляра µ и коэффициентов усиления регулятора )(sK ,
удовлетворяющие условиям (3)–(4).
О.Д. Горбатюк, К.В. Мельник
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 132
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА H∞-ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
Задача ∞H -оптимального управления относится к теории задач определе-
ния максимальных и минимальных значений [11–12]. Ее основная идея
состоит в рассмотрении худшего из возможных вариантов. При этом не обя-
зательно знать полную информацию об ОУ и статистических характеристи-
ках действующих на него возмущений.
Синтез стабилизирующего регулятора, который рассматривается в дан-
ной работе базируется на теории ∞H -оптимального управления и выпол-
няется на основе результатов, полученных в роботах J.C. Doyle и K. Glover
[17–18]. Процедура синтеза (2-Риккати подход) [15] состоит в применении
теоремы разделения [19]. В данном случае алгебраические уравнения Рикка-
ти (АУР) [20], с помощью которых осуществляется синтез наблюдателя и
регулятора отличаются от классических уравнений, используемых в обыч-
ной ЛК гауссовой задаче [21]. Это объясняется необходимостью выполне-
ния условия робастности (4) [13, 15–16].
Структурная схема системы подавления внешних возмущений предста-
влена на рис. 2, где )(sK , )(sP — матрицы передаточных функций (ПФ)
регулятора и номинального объекта регулирования соответствен-
но; )(sWu , )(sWp — матрицы ПФ, которые учитывают как веса управления
)(su и выходного вектора )(sy , так и желаемые частотные свойства (loop
shaping [11, 16, 22]) каждого из приведенных выше сигналов. Их выбор оп-
ределяет характер протекания переходных процессов. В задаче ∞H -
оптимизации вектор выхода )(sz , используемый для оценивания показателя
качества системы, в отличии от метода ЛМН, включает взвешенные сигна-
лы )(szu , )(sz p . Входом замкнутой системы, является )(sw — вектор вне-
шнего возмущения.
Требуется синтезировать регулятор ( )K s вида (2).
Используя алгоритмическую поддержку в Robust Toolbox [23], можно
представить схему, показанную на рис. 2, в виде нижнего дробно-линейного
преобразования (ДЛП) [13, 24], имеющий вид как на рис. 1 и являющийся
стандартной формой, к которой нужно свести начальную систему, пред-
ставленную на рис. 2, чтобы воспользоваться методом ∞H -синтеза.
Рис. 2. Структурная схема
Wu(s)
K(s)
zu(s)
y(s)
w(s)
P(s) Wp(s) zp(s)
O(s)
Сравнительный обзор методов линейных матричных неравенств и H∞-оптимизации …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 133
В отличии от метода ЛМН в нижнем ДЛП процедуры ∞H -оптимизации
)(sO является обобщенным объектом, который включает исходный номи-
нальный ОУ )(sP и матрицы весовых функций )(sWu , )(sWp . В терминах
обобщенного объекта ПФ замкнутой системы объект-регулятор )(sTwz
определяется нижним ДЛП [15, 22]:
( ) ( ) ( ))(),()()()()()()(),( 21
1
221211 sKsOFsOsKsOIsOsOsKsOT lwz =−+= − .
Аналогично методу ЛМН задача ∞H -оптимизации состоит в нахожде-
нии регулятора вида (2), который минимизирует ∞H -норму (обеспечивает
малость значений максимальных сингулярных чисел (СЧ)) ПФ объект-
регулятор (3). С точки зрения качества следует также минимизировать
функцию чувствительности по управлению ( )R s
∞
, здесь += IsKsR )(()(
1))()( −+ sPsK . Компромисс между ними достигается выбором матриц весо-
вых ПФ ( )pW s , ( )uW s определяющих желаемые частотные свойства сигна-
лов выхода )(sy и управления )(su .
Если ввести блочную матрицу [ ]T)()( sRsTN wz= , то ее ∞H -норма
как и в выражении (4) должна быть ограниченной скаляром γ :
.)( γ≤∞sN (7)
После включения весовых ПФ в (7) получим взвешенную матрицу
чувствительности:
γ≤⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∞
)()(
)()(
)(
sWsR
sWsT
sN
u
pwz
w . (8)
∞H -норма функции взвешенной чувствительности )(sN w является
минимизируемым функционалом в процедуре ∞H -оптимизации, зависящим
от варьируемых функций )(sK , т.е. от матрицы ПФ искомого регулятора,
а также от матриц весовых ПФ )(sWu , )(sWp .
В отличие от классической задачи вариационного исчисления, в данной
задаче синтеза γ -субоптимального регулятора минимизируется не ∞H -
норма функции чувствительности )(sN w , а ее верхняя оценка γ вышеука-
занного функционала (8).
Синтез субоптимального регулятора на основе минимизации ∞H -
нормы функции чувствительности (8) базируется на одновременном реше-
нии двух уравнений Риккати (для наблюдателя и регулятора) [14–15, 22],
зависящих от величины γ .
До начала процедуры синтеза для обобщенного объекта )(sO должны
обязательно выполняться следующие условия (*) [18, 25]: пары матриц
),( wBA , ),( uBA — стабилизируемы и пары ),( yCA , ),( zCA — детекти-
руемы. Данное предположение является необходимым и достаточным для
существования стабилизирующего регулятора. Матрицы ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
zuz
u
DC
BIjA ω
О.Д. Горбатюк, К.В. Мельник
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 134
и ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
ywy
w
DC
BIjA ω
должны иметь соответственно полный столбцевой и
строчный ранг для всех действительных ω . Это условие гарантирует —
субоптимальный регулятор не содержит нулей или полюсов на мнимой оси,
что приводит к неустойчивости замкнутой системы объект-регулятор. Усло-
вие 0=T
yww DB является необходимым для некоррелированности между во-
змущением )(sw возбуждающим состояние системы и шумом наблюдений
(если таковой рассматривается в задаче подавления внешних возмущений).
Полный столбцевой ранг матриц zuD и ywD необходим для физической
реализуемости синтезируемого субоптимального регулятора.
Отметим, что совместимость заданных требований (на основе выбора
весовых ПФ )(sWu , )(sWp ) к замкнутой системе объект-регулятор опреде-
ляется существованием решения уравнений Риккати.
Процедура синтеза (рис. 3) заключается в том, что задается диапазон
изменения величины maxmin: γγγγ ≤≤ и для каждой величины γ , начиная
с maxγ (и постепенно уменьшаясь с заданным шагом) решаются одновре-
менно два уравнения Риккати. Найденные решения для наблюдателя X
и регулятора Y также должны удовлетворять дополнительным условиям:
)(dom RicQ ∈∞ и 0)(: >= ∞QRicX , )(dom RicJ ∈∞ и 0)(: >= ∞JRicY ,
γ≤∞XY , где ∞Q , ∞J — вспомогательные гамильтоновы матрицы [22].
Как только будут найдены стабилизирующие решения X и Y уравне-
ний Риккати при которых дополнительные условия будут выполнены, про-
цесс итераций прекращается, выдается найденное значение *γ и четверка
матриц ),,,( KKKK DCBA синтезированного регулятора )(sK . На рис. 3
каждым шагом цикла представлено суть приведенной выше процедуры
синтеза.
Таким образом, создание полного алгоритма процедуры ∞H -синтеза
стабилизируемого регулятора разбивается на несколько шагов:
АРУ имеет решение
Устойчивая система
Dzu, Dyw — имеет полный
ранг
γ=γ0 (max)
γ=γn+1 (уменьшение)
Конец
γ=γn–1
Да
Нет
Рис. 3. Процедура γ-итераций
Сравнительный обзор методов линейных матричных неравенств и H∞-оптимизации …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 135
Шаг 1. Определение динамических характеристик и структуры много-
мерного объекта — построение математической модели ОУ. Линейная ма-
тематическая модель ОУ традиционно должна быть представлена в про-
странстве состояний.
Шаг 2. Необходимо сформировать (разработчиком) желаемые требова-
ния на робастность и качество замкнутой системы (неформально на струк-
туру синтезируемого регулятора). Данные расчеты необходимы для опреде-
ления весовых ПФ, которые используются в процедуре синтеза.
Шаг 3. Решение задачи ∞H -оптимизации на основе АУР — процедура
γ -итераций. Если найденное значение *γ не удовлетворяет, то возвра-
щаемся к шагу 2, иначе к шагу 4.
Шаг 4. Осуществление в среде SIMULINK [26] имитационного моде-
лирования синтезированной γ -субоптимальной СУ.
Шаг 5. Оценка уровня подавления стохастических возмущений. На-
хождение СЧ многомерной системы объект-регулятор.
Если результат приемлем с точки зрения качества и требований к по-
давлению возмущений, то процедура ∞H -синтеза на этом успешно заканчи-
вается. Иначе необходимо изменить весовые ПФ (а иногда и/или выбрать
другие ПФ) и выполнить процедуру синтеза снова. Таким образом, данная
процедура может проводиться в несколько этапов.
ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДОВ ЛМН И ∞H -ОПТИМИЗАЦИИ
ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ ВЛИЯНИЯ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Синтез многомерного γ -субоптимального робастного регулятора для ста-
билизации ОУ и подавления действующих на него возмущений осуществ-
лен на примере стабилизации вертолета AH-1G, полная математическая мо-
дель которого представлена в работах [5, 9], в режиме висения в условиях
возмущенной атмосферы.
Вектор состояния для вертолета включает такие компоненты:
[ ] ,Tψϕϕθθ yzxpl VVVx = (9)
где zyx VVV ,, — проекции скорости вертолета на оси OX, OY, OZ соответ-
ственно; θ — угол тангажа; ϕ — угол крена; ψ — угол рыскания.
Вектор управления включает 4 компоненты:
[ ] ,T
tclonlatu δδδδ= (10)
где latδ — боковой циклический шаг, lonδ — продольный циклический
шаг, cδ — общий шаг, tδ — шаг хвостового винта. В работе [9] эти вход-
ные воздействия измеряются в отклонениях управляющих рукояток (в сан-
тиметрах) от положения равновесия.
С учетом измерения ускорений: dt
dV
a
dt
dV
a
dt
dV
a z
z
y
y
x
x === ,, , вектор
выходных переменных ОУ, используемый для формирования цепи обратной
связи имеет вид:
О.Д. Горбатюк, К.В. Мельник
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 136
[ ]Tψϕϕθθ yzxpl aaay = .
В работе рассматриваются атмосферные возмущения 12×∈ Rw , дейст-
вующие на ОУ в режиме висения в горизонтальной плоскости: по продоль-
ной OX и поперечной OY осям.
Выходами системы для оценки показателя качества (3)–(4), примем
ускорения вертолета:
[ ]yzx aaaz = . (11)
ИМ для рассмотренного ОУ описывается в пространстве состояний че-
тверкой матриц: { }10,10,10,10diag −−−−=actA , actact AB −= , 44×= ICact ,
44×= ODact . Вектор состояния ИМ actx совпадает с вектором управления
объекта (10) — uxact = . В результате реализации последовательного соеди-
нения ОУ с ИМ размерность системы увеличится и вектор состояния при-
мет вид 112T][ ×∈= Rxxx actpl . Матрицы, описывающие последовательное
соединение модели ОУ и ИМ в пространстве состояний, в данном случае
будут иметь такие размерности: 1212×∈RA , 412×∈RBu , 212×∈ RBw ,
128×∈RC y , 48×∈RDyu , 28×∈RDyw , 123×∈RCz , 43×∈RDzu , 23×∈RDzw
(в работе [5] приведены числовые значения этих матриц).
Результаты синтеза СУУУ вертолета методом ЛМН
Для синтеза СУУУ вертолета в режиме висения и подавления действующих
возмущений методом ЛМН скаляр γ, ограничивающий ∞H -норму (4) мат-
рицы ПФ между внешним возмущением 12×∈ Rw и выходом системы z (11),
задан 8,0=γ .
В связи с тем, что рассматриваемый ОУ является неустойчивым, для
процедуры 2H -оптимизации замкнутой системы вводится некоторый ска-
ляр µ , обеспечивающий устойчивость объекта: 0))(Re( <µλ A , где
IAA µµ += , I — единичная матрица соответствующей размерности, λ —
собственные числа. Такой выбор параметра µ делает тривиальным выбор
начального значения матрицы )(sK для процедуры Н2-оптимизации, кото-
рая в данном случае принята нулевой.
В результате реализации описанных этапов синтеза СУУУ методом
ЛМН и 2H -оптимизации системы со статической обратной связью по вы-
ходной переменной получены оптимальные значения коэффициентов уси-
ления стабилизирующего регулятора 84)( ×∈RsK , удовлетворяющего усло-
вию ограничения (4): γω <=∞ 7740,0)( jH zw .
Оптимальное значение скаляра µ , полученное в результате выполнения
процедуры минимизации квадратичного функционала (6): 8102988,2 −⋅=µ .
Значение квадратичного функционала (6) для замкнутой системы с регуля-
тором 84)( ×∈RsK , синтезированным методом ЛМН, в цепи статической
обратной связи: 7933,0=J .
Сравнительный обзор методов линейных матричных неравенств и H∞-оптимизации …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 137
Синтезированный методом ЛМН стабилизирующий оптимальный ре-
гулятор 84)( ×∈RsK будем далее называть ЛМН-регулятором.
Результаты синтеза СУУУ вертолета методом ∞H -оптимизации
Не смотря на то, что ОУ является неустойчивым (без самовыравнивания) —
содержит две пары комплексно-сопряженных чисел, причем их веществен-
ные части положительные, что не является ограничением на применение
процедуры ∞H -оптимизации. В качестве сигналов, которые входят для оце-
нивания показателя качества системы и являющиеся вектором выхода )(sz
(11). В работе весовые ПФ )(sWu , )(sWp выбираются следующего вида:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
+
=
11,0
12,
11,0
12,
11,0
12diag)(
s
s
s
s
s
ssW p , [ ]20,20,20,20diag)( =sWu .
После включения формирующих весовых ПФ, обобщенный объект
)(sO полностью удовлетворяет условия (*) и далее осуществляется проце-
дура γ-итераций. Для математической модели вертолета в соответствии
с описанными выше алгоритмами, в среде MATLAB был выполнен синтез
∞H -регулятора. Неравенство (8) выполняется с найденным значением
156,4* =γ . Регулятор полного порядка, полученый в результате ∞H -
синтеза имеет размерность равную 10.
Наибольшее СЧ или спектральная норма для ∞H -регулятора — 29,215,
ЛМН-регулятора — 1,704. Собственные числа непрерывной замкнутой сис-
темы для синтезированных регуляторов лежат в левой полуплоскости
и имеют приведенные ниже значения.
Для синтезированного ЛМН-регулятора:
;01195,02475,0;3849,02747,0;3417,09054,9;9332,10;5866,12 iii ±−±−±−−−
.4873,01482,0;2234,12089,0 ii ±−±−
Для ∞H -регулятора:
;4504,0;8220,0;9983,0;4394,4;1380,9;9224,10;6518,23;2418,3480 −−−−−−−−
;06699,05422,0;3988,06024,0;5704,26828,0;2474,18892,9 iiii ±−±−±−±−
.100463,1109521,9;2999,008151,0;5193,02913,0 63 iii −− ⋅±⋅−±−±−
Заключительным этапом синтеза является моделирование полученных
результатов в среде SIMULINK. Во время исследования СУУУ наиболее
часто используют как детерминированные, так и стохастические внешние
возмущения. Первые представляют собой порывы ветра, вторые — турбу-
лентный ветер, описываемый известной моделью Драйдена [10], которую
при синтезе не используют, а применяют только при моделировании систе-
мы. Возмущения, которые учитываются в данной задаче синтеза, должны
удовлетворять единому условию, они должны быть ограничены по модулю.
Моделирование выполнено для замкнутой системы с ∞H -регулятором
и регулятором, синтезированным методом ЛМН, как при детерминирован-
ных, так и стохастических возмущениях. В процессе 60-минутного сеанса
О.Д. Горбатюк, К.В. Мельник
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 138
моделирования реального времени турбулентность атмосферы приобрела
такое среднеквадратичное отклонение (СКО): продольная и вертикаль-
ная составляющая скорости ветра соответственно — м/c813,2=
guσ ,
м/c892,2v =
g
σ . Результаты моделирования приведены на рис. 4. СКО для
каждого параметра представлены в табл. 1, где 1 и 2 — замкнутая система
с ЛМН-и ∞H -регулятором соответственно.
Т а б л и ц а 1 . Характеристики номинальной системы при детерминиро-
ванных сигналах
Максимальное отклонение
С
ис
те
м
а
tп,
с xa ,
м/с2
ya ,
м/с2
za ,
м/с2
θ ,
град.
θ ,
град./с
ϕ ,
град.
ϕ ,
град./с
ψ ,
град./с
latδ
см
lonδ
см
cδ
см
tδ
см
1 50 0,6 0,58 –0,2 –3,4 0,94 3,4 0,8 –22,5 –0,36 –0,32 0,048 0,43
2 60 0,1 0,09 0,28 1 0,27 –0,8 0,15 –23 –0,07 –0,66 –0,13 –0,06
Т а б л и ц а 2 . СКО номинальной системы при стохастических сигналах
С
ис
те
м
а
xaσ ,
м/с2
yaσ ,
м/с2
zaσ ,
м/с2
θσ ,
град.
θσ ,
град./с
ϕσ ,
град.
ϕσ ,
град./с
ψσ ,
град./с
latδσ
см
lonδσ
см
cδσ
см
tδσ
см
1 0,543 0,845 0,474 3,325 1,719 5,123 4,230 18,925 0,659 0,343 0,179 0,407
2 0,308 0,286 0,403 1,811 0,674 1,536 0,615 10,095 0,524 0,359 0,141 0,216
δc, смφ, град. δlon, см
0 20 40 60-20
-10
0
10
20
0 20 40 60-2
-1
0
1
2
0 20 40 60
0
–0,5
0
0
ах, м/c2 аy, м/c2 аz, м/c2
0 20 40 60-2
-1
0
1
2
0 20 40 60-2
-1
0
1
2
0 20 40 60-5
0
5
а б в
г д е
Рис. 4. Переходные процессы при стохастических воздействиях с ЛМН-
регулятором (пунктирная линия) и ∞H -регулятором (сплошная): а — по ускоре-
нию ах; б — по ускорению ау; в — по ускорению аz; г — по углу крена φ; д — по
продольному циклическому шагу δlon; е — по общему шагу δc
Сравнительный обзор методов линейных матричных неравенств и H∞-оптимизации …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 139
Для оценки уровня подавления стохастических возмущений (табл. 3)
в системе возьмем отношения СКО
значений продольной и вертикальной
составляющих ускорений ветра соот-
ветственно: 2м/c808,7=
guaσ , =
gvaσ
2м/c753,9= к СКО значений выходных
сигналов для ускорений по осям верто-
лета yx aa , .
Для оценки уровня подавления детерминированных возмущений в сис-
теме возьмем отношения максимальных по модулю значений ускорений на
входе системы к максимальным значениям выходных ускорений. Для ЛМН-
и ∞H -регулятора соответственно: 1404,1)(ЛМН =∆ xa , 219,6)(ЛМН =∆ ya ,
1834,1)( =∆
∞ xH a , 9907,7)( =∆
∞ yH a .
На рис. 5. приведены графики СЧ для замкнутой системы с ЛМН-
и ∞H -регулятором.
Максимальные значения СЧ соответствуют ∞)(sTzw и согласно рис. 5
для системы с ЛМН- и ∞H -регулятором принимают соответствующие значения:
0,68155 и 0,31096.
Отметим, что основное сходство между рассмотренными алгоритмами
синтеза СУУУ методом ЛМН и ∞H -оптимизации состоит в оценивании
качества подавления ограниченных по модулю внешних возмущений с по-
мощью соответствующей ∞H -нормы. Последняя является обобщенным ко-
эффициентом усиления системы и может интерпретироваться как энергети-
ческая оценка усиления, минимизирующая наиболее плохие случаи
среднеквадратичного отклонения регулируемой переменной, когда возму-
щение носит неизвестный характер (спектр).
Подавление действующих на объект возмущений для двух рассмотрен-
ных методов является задачей субоптимальной стабилизации и состоит
Т а б л и ц а 3 . Оценка подавле-
ния стохастических возмущений
Система xgua aσσ
ygva aσσ
1 14,392 11,539
2 25,398 34,142
10-2 10-1 100 101 1020
0.2
0.4
0.6
0.8
ω, рад/с
С
ин
гу
ля
рн
ы
е
чи
сл
а
0,8
0,5
0,4
0,2
Рис. 5. Сингулярные числа замкнутой системы с ЛМН-регулятором (пунктирная) и
∞H -регулятором (сплошная)
О.Д. Горбатюк, К.В. Мельник
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 140
в выборе такого регулятора, при котором ∞H -норма матрицы ПФ замкну-
той системы была бы минимальной.
ВЫВОДЫ
На основе анализа и сравнения результатов синтеза СУУУ для вертолета
в режиме висения, полученных с использованием алгоритма ЛМН и ∞H -
оптимизации, отметим следующее:
1. В данной работе применение алгоритма синтеза системы стабилиза-
ции, основанного на ∞H -оптимизации, свидетельствует о более высоком
уровне подавления внешних возмущений по сравнению с методом ЛМН.
С одной стороны, это достигается введением весовых ПФ )(sWu , )(sWp , а
с другой стороны, структурой регулятора, который в отличии от метода
ЛМН является не просто матрицей коэффициентов усиления, а отдельной
динамической системой.
2. Поскольку алгоритм ЛМН является более формализованным, его ис-
пользование инженером-проектировщиком СУУУ предпочтительнее в от-
личие от метода ∞H -оптимизации, где выбор весовых ПФ зачастую сводит-
ся к методу «проб и ошибок» и во многом зависит от опыта исследователя.
3. Не смотря на то, что ∞)(sTzw , полученная в результате синтеза ме-
тодом H∞-оптимизации практически в два раза меньше по сравнению с ре-
зультатами применения алгоритма ЛМН, последний позволяет достичь еще
меньшей величины ∞)(sTzw путем введения соответствующего значения
скаляра γ. Единственным ограничением является то, что величина данного
скаляра не должна быть меньше спектральной нормы zwD , а именно 0,1572.
4. С точки зрения практической реализации синтезированная методом
ЛМН СУУУ является более применимой, в связи с упрощенной структурой
регулятора.
5. Синтезированный методом ЛМН стабилизирующий регулятор обла-
дает меньшей спектральной нормой по сравнению с ∞H -регулятором (рис. 4).
Для практической реализации системы уменьшение спектральной нормы
регулятора является важным аспектом, позволяющим ограничить значения
коэффициентов усиления регулятора и тем самым снизить вероятность на-
сыщения ИМ [8].
Не смотря на недостатки, свойственные двум рассмотренным методам,
результаты синтеза и моделирования СУУУ демонстрируют достаточно вы-
сокий уровень подавления внешних возмущений для неустойчивого ОУ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Boyd S., El Ghaou L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in Sys-
tems and Control Theory // SIAM books. — Philadelphia. — 1994. — 193 p.
2. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., Chilali M. LMI Control Toolbox User’s
Guide. The Math Works Inc. — Natick. — 1995. — 310 p.
3. Larin V.B. Compensation of External Perturbations under Uncertainty // Interna-
tional Applied Mechanics. — 38, № 9. — 2002. — P. 1145–1151.
4. Larin V.B. Stabilization of System by Static Output Feedback // Applied and
Сomputational Mathematics. — 2, № 1. — 2003. — P. 2–12.
Сравнительный обзор методов линейных матричных неравенств и H∞-оптимизации …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 141
5. Горбатюк О.Д., Ларин В.Б., Туник А.А. Подавление возмущений, действующих
на вертолет в режиме висения, с помощью статической обратной связи по
выходу // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 3. — С. 87–97.
6. Ларин В.Б., Туник А.А. О компенсации внешних возмущений динамической об-
ратной связью по выходной переменной // Прикладная механика. — 42,
№ 5. — 2006. — С. 132–144.
7. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез оптимальных линейно-квадратичных зако-
нов управления на основе линейных матричных неравенств // Автоматика и
телемеханика. — 2007. — № 3. — С. 3–18.
8. Davidson E.I., Ferguson I.J. The Design of Controllers for the Multivariable Robust
Servomechanism Problem Using Parameter Optimization Methods // IEEE
Transaction on Automatic Control. — AC–26, № 1. — 1981. — P. 93–110.
9. Hess R.A. Rotorcraft Handling Qualities in Turbulence // Journal Of Guidance, Con-
trol and Dynamics. — 18, № 1. — 1995. — P. 39–45.
10. McLean D. Automatic Flight Control Systems. — Englewood Cliffs, NJ: Prentice
Hall, 1990. — 593 p.
11. Francis B.A. A course in H∞ control theory. — Berlin: Springer-Verlag, 1987. — 141 p.
12. Первозванский А.А., Барабанов А.Е. Оптимизация по равномерно частотным
показателям (H∞-теория) // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 9. —
С. 3–32.
13. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. — NJ: Prentice Hall, 1996. —
403 p.
14. Тунік A.А., Галкін Є.В., Мельник К.В. H∞-оптимізація системи керування
польотом // Електроніка та системи управління. — 2006. — № 2(8). —
С. 107–117.
15. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Нау-
ка, 2002. — 303 с.
16. Skogestad S., Postlethwaite I. Multivariable Feedback Control. Analysis and Design.
— John Wiley & Sons. — 1997. — 559 p.
17. Doyle J.C. Synthesis of robust, controllers and filters // In Proceedings of the 12-nd
IEEE Conference on Decision and Control. — 1983. — P. 109–114.
18. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State space solution to stan-
dard H2 and H∞, control problems // IEEE Transactions on Automatic Control. —
1989. — 34, №. 8. — P. 831–847.
19. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М.:
Мир, 1977. — 464 с.
20. Lancaster P., Rodman L. Algebraic Riccati equations. — Oxford: Oxford University
Press. — 1995. — 504 p.
21. Athans M. The Role and Use of the Stochastic Linear-Quadratic-Gaussian Problem
in Control System Design // IEEE Transactions on Automatic Control. —
1971. — 16. — P. 529–552.
22. Doyle J.C., Francis B.A., Tarmenbaum A.R. Feedback control theory. — NJ: Engle
wood Cliffs: MacMillan. — 1992. — 489 p.
23. Chiang R.Y., Safonov M.G., Packard A. Robust Control Toolbox, 3-rd ed. — Natick,
MA: The MathWorks, Inc. — 2007. — 228 p.
24. Тунік А.А., Мельник К.В. Проектування багатовимірних систем керування
польотом в умовах невизначеності за допомогою технології µ-синтезу //
Вісн. НАУ. — 2008. — № 3. — С. 73–84.
25. Green M., Limebeer D.J. Robust linear control. — NJ: PrenticeHall. — 1995. — 538 p.
26. Simulink® User’s Guide. The MathWorks, Inc. — Natick. — 2010. — 1616 p.
Поступила 26.04.2010
|
| id | journaliasakpiua-article-73344 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:20:35Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/31/9896b46cc42c6faf46c13dc089c96631.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-733442018-03-30T15:30:58Z A comparative review of linear matrix inequalities method and H∞-optimization with regard to the problem of external disturbance suppression for the unstable object stabilization Сравнительный обзор методов линейных матричных неравенств и H∞-оптимизации применительно к задаче подавления внешних возмущений для стабилизации неустойчивого объекта Порівняльний огляд методів лінійних матричних нерівностей і H∞-оптимізації щодо задачі пригнічення зовнішніх збурень для стабілізації нестійкого об’єкта Gorbatyuk, O. D. Melnik, K. V. The problem of limited modulo external disturbances suppression for the stabilization of the helicopter hovering is considered. The solution of the assigned problem is implemented by linear matrix inequalities (LMI) method and H∞-optimization. The Analysis of the obtained results of synthesis is carried out both analytically and with the help of stabilization system modeling in Simulink environment. Interpretation of the obtained results is presented. Рассматривается задача подавления ограниченных по модулю внешних возмущений для стабилизации вертолета в режиме висения. Решения поставленной задачи осуществляется методом линейных матричных неравенств (ЛМН) и H∞-оптимизации. Анализ полученных результатов синтеза выполнен аналитически, а также путем моделирования системы стабилизации в среде Simulink. Дана интерпретация полученных результатов. Розглянуто задачу пригнічення обмежених за модулем зовнішніх збурень для стабілізації гелікоптера в режимі висіння. Вирішення поставленої задачі здійснюється методом лінійних матричних нерівностей (ЛМН) і H∞-оптимізації. Аналіз отриманих результатів синтезу виконано аналітично, а також шляхом моделювання системи стабілізації в середовищі Simulink. Подано інтерпретацію отриманих результатів. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2012-03-15 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/73344 System research and information technologies; No. 1 (2012); 129-141 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2012); 129-141 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2012); 129-141 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/73344/68659 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Gorbatyuk, O. D. Melnik, K. V. Порівняльний огляд методів лінійних матричних нерівностей і H∞-оптимізації щодо задачі пригнічення зовнішніх збурень для стабілізації нестійкого об’єкта |
| title | Порівняльний огляд методів лінійних матричних нерівностей і H∞-оптимізації щодо задачі пригнічення зовнішніх збурень для стабілізації нестійкого об’єкта |
| title_alt | A comparative review of linear matrix inequalities method and H∞-optimization with regard to the problem of external disturbance suppression for the unstable object stabilization Сравнительный обзор методов линейных матричных неравенств и H∞-оптимизации применительно к задаче подавления внешних возмущений для стабилизации неустойчивого объекта |
| title_full | Порівняльний огляд методів лінійних матричних нерівностей і H∞-оптимізації щодо задачі пригнічення зовнішніх збурень для стабілізації нестійкого об’єкта |
| title_fullStr | Порівняльний огляд методів лінійних матричних нерівностей і H∞-оптимізації щодо задачі пригнічення зовнішніх збурень для стабілізації нестійкого об’єкта |
| title_full_unstemmed | Порівняльний огляд методів лінійних матричних нерівностей і H∞-оптимізації щодо задачі пригнічення зовнішніх збурень для стабілізації нестійкого об’єкта |
| title_short | Порівняльний огляд методів лінійних матричних нерівностей і H∞-оптимізації щодо задачі пригнічення зовнішніх збурень для стабілізації нестійкого об’єкта |
| title_sort | порівняльний огляд методів лінійних матричних нерівностей і h∞-оптимізації щодо задачі пригнічення зовнішніх збурень для стабілізації нестійкого об’єкта |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/73344 |
| work_keys_str_mv | AT gorbatyukod acomparativereviewoflinearmatrixinequalitiesmethodandhoptimizationwithregardtotheproblemofexternaldisturbancesuppressionfortheunstableobjectstabilization AT melnikkv acomparativereviewoflinearmatrixinequalitiesmethodandhoptimizationwithregardtotheproblemofexternaldisturbancesuppressionfortheunstableobjectstabilization AT gorbatyukod sravnitelʹnyjobzormetodovlinejnyhmatričnyhneravenstvihoptimizaciiprimenitelʹnokzadačepodavleniâvnešnihvozmuŝenijdlâstabilizaciineustojčivogoobʺekta AT melnikkv sravnitelʹnyjobzormetodovlinejnyhmatričnyhneravenstvihoptimizaciiprimenitelʹnokzadačepodavleniâvnešnihvozmuŝenijdlâstabilizaciineustojčivogoobʺekta AT gorbatyukod porívnâlʹnijoglâdmetodívlíníjnihmatričnihnerívnostejíhoptimízacííŝodozadačíprigníčennâzovníšníhzburenʹdlâstabílízacíínestíjkogoobêkta AT melnikkv porívnâlʹnijoglâdmetodívlíníjnihmatričnihnerívnostejíhoptimízacííŝodozadačíprigníčennâzovníšníhzburenʹdlâstabílízacíínestíjkogoobêkta AT gorbatyukod comparativereviewoflinearmatrixinequalitiesmethodandhoptimizationwithregardtotheproblemofexternaldisturbancesuppressionfortheunstableobjectstabilization AT melnikkv comparativereviewoflinearmatrixinequalitiesmethodandhoptimizationwithregardtotheproblemofexternaldisturbancesuppressionfortheunstableobjectstabilization |