Довгострокові прогнози функцій стану квазілінійних гіперболічних систем в Rn
The quasilinear hyperbolic system in Rn with non-linear in general case interaction function is considered. The asymptotic behaviour of weak solutions for considered problem is investigated. The existing of trajection and global attractors for all weak solutions of investigated problem is proved. It...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2011
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/74208 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334276522967040 |
|---|---|
| author | Gorban, N. V. |
| author_facet | Gorban, N. V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "N. V. Gorban",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Gorban, N. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:08:52Z |
| description | The quasilinear hyperbolic system in Rn with non-linear in general case interaction function is considered. The asymptotic behaviour of weak solutions for considered problem is investigated. The existing of trajection and global attractors for all weak solutions of investigated problem is proved. It is proved that the trajectories of all weak solutions passing to the stationary states. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:20:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.В. Горбань, 2011
134 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 4
УДК 517.9
ДОВГОСТРОКОВІ ПРОГНОЗИ ФУНКЦІЙ СТАНУ
КВАЗІЛІНІЙНИХ ГІПЕРБОЛІЧНИХ СИСТЕМ В nR
Н.В. ГОРБАНЬ
Розглянуто квазілінійну гіперболічну систему в просторі nR з нелінійною, у
загальному випадку, функцією взаємодії. Досліджено асимптотичну поведінку
слабких розв’язків поставленої задачі. Доведено існування траєкторного та
глобального атракторів для всіх слабких розв’язків вихідної задачі. Доведено,
що потраєкторно всі слабкі розв’язки прямують до стаціонарних станів.
ВСТУП
Інтенсивні дослідження керованих п’єзоелектричних процесів і полів обу-
мовлюють необхідність вивчення їх математичних моделей, які містять
у собі квазілінійні диференціальні рівняння з частинними похідними гіпербо-
лічного типу. Більшої складності такі задачі набувають у випадках необме-
жених областей. У цій роботі ми зосередимось на дослідженні довгостроко-
вих прогнозів функцій стану таких задач із використанням теорії глобальних
і траєкторних атракторів для м-напівпотоків, розроблених у роботах [1–10].
Зазначимо, що багатозначна динаміка розв’язків квазілінійних гіперболіч-
них рівнянь в обмежених областях досліджувалась у роботах [1, 2, 3, 6, 9].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розглядається рівняння
),(),( xhuxfuuu ttt =+∆−+ γ ,),( nxt RR ×∈ + (1)
де ,0>γ ,3≥n RR →+1: nf — вимірна по x та неперервна по t функція,
яка задовольняє умовам:
:00,>0,),()(,),( 1
21
21
2 ≥∃∃≥∩∈∃∈ cCLLCCLh nnn αRRR
,),(||)(|),(| 1
1
+∈∀+≤ nuxucxCuxf R
).(),(),( 2
21 xCuuuxfux n −≥∈∀ + αR (2)
Надалі γ , 1C , 2C , c , α називатимемо константами задачі (1).
Покладемо
.),(,),(:=),( 1
0
+∈∀∫ n
u
uxdssxfuxF R
Оскільки f задовольняє умовам Каратеодорі, то 1),( +∈∀ nux R :
Довгострокові прогнози функцій стану квазілінійних гіперболічних систем в nR
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 4 135
.||)(
2
),(,||
2
||)(|),(| 2
22
1 uxCuuxFucuxCuxF −≥+≤
α (3)
Позначатимемио через ),(|,| ⋅⋅⋅ та ⋅ )),(( ⋅⋅ норму і скалярний добуток
у )(2 nL R та )(1 nH R відповідно. Зауважимо, що )(, 1 nHvu R∈∀
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+∑
ii
n
i x
v
x
uvuvu ,),(
4
=)),((
1=
α .
Фазовим простором задачі (1) є простір )()(= 21 nn LHE RR × .
Розв’язок задачі (1) розумітимемо в сенсі такого означення.
Означення 1. Функція );,())(),((=)( ETLuu T
t τϕ ∞∈⋅⋅⋅ називається слаб-
ким розв’язком задачі (1) на ),( Tτ , якщо )(1
0
nH R∈∀ψ , ),(0 Tτη ∞∈∀ C :
.0=)),()),,(()),((),((),( ηψψψψγηψ
ττ
huxfuuu t
T
tt
T
−+++− ∫∫ (4)
Ставиться задача дослідження асимптотичної поведінки всіх слабких
розв’язків задачі (1).
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ
Розглянемо клас функцій )];,([= ETW T ττ C . Із умов (2), (3) для довільної
функції TT
t Wuu τϕ ∈⋅⋅⋅ ))(),((=)( коректно визначений такий функціонал:
].,[)),(,()),1)(,(()(
2
1|)(|
2
1=))(( 22 TttuhtuFtututV t τϕ ∈+⋅++
Лема 1. Для довільного TT
t Wuu τϕ ∈⋅⋅⋅ ))(),((=)( — слабкого розв’язку
(1) на ),( Tτ функція ))(( ⋅ϕV є абсолютно неперервною на ],[ Tτ і для майже
всіх ],[ Tt τ∈
.|)(|=))(( 2tutV
dt
d
tγϕ −
Більше того, st ≥∀ , ],[, Tst τ∈ : ))(())(( sVtV ϕϕ ≤ .
Доведення. Нехай TT
t Wuu τϕ ∈⋅⋅⋅ ))(),((=)( — довільний слабкий
розв’язок задачі (1) на .),( Tτ Тоді, внаслідок (2), ))(;,(),( 22 nLTLuxf Rτ∈ .
Отже, із [1] функція 2 2| ( ) | ( )tt u t u t+ є абсолютно неперервною на
[ , ]Tτ i майже скрізь.
).,()),,((||=}|||||{|
2
1 222
tttt uhuuxfuuu
dt
d
+−−+ γ (5)
Для того, щоб довести, що функція )),1)(,(( tuxFt є абсолютно не-
перервною на [ , ]Tτ i майже скрізь на [ , ]Tτ виконується рівність
)),,((=),1),(( tuuxfuxF
dt
d . (6)
Н.В. Горбань
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 4 136
Внаслідок [1] достатньо показати її неперервність на ],[ Tτ і виконання (6)
у сенсі скалярних розподілів на ),( Tτ . Доведення аналогічне [2, 3]. Таким
чином, твердження леми стає очевидним.
Лему доведено.
Зауваження 1. Із твердження леми 1 випливає, що V — функція Ляпу-
нова для задачі (1).
Оскільки )(1 nH R неперервно вкладається в )(2 nL R , то з умов (2) для
))(;,( 1 nHTLu Rτ∞∈ маємо вкладення ))(;,(),( 22 nLTLuxf Rτ∈ . Отже,
згідно з [1], для кожного слабкого розв’язку задачі (1) )(⋅ϕ на ),( Tτ має-
мо .)];,([)( ETC τϕ ∈⋅ Це зумовлює вибір класу .TWτ Вкладення ∈⋅)(ϕ
)];,([ ETC τ∈ дозволяє для (1) ставити задачу Коші з початковими умовами
).(=|),(=| 2
00=
1
00=
n
tt
n
t LvuHuu RR ∈∈ (7)
і шукати розв’язок лише в класі );,( ETL τ∞ .
Теорема 1. Для довільних Evu T ∈),(= 000ϕ , 0>T задача Коші (1),
(7) за виконання умов (2), має принаймні один слабкий розв’язок у класі
TW0 .
Доведення. З певними технічними модифікаціями повторює доведення
теореми 1 із [4].
Поєднуючи результати теореми 1 та леми 1, одержимо, що для довіль-
них Evu T∈),(= 000ϕ задача Коші (1), (7) за умов (2), має принаймні один
розв’язок у класі .));((0;));((0, loc
loc ELEC ∞+∩∞+ ∞ Покладемо =∞
0W
.));((0,loc EC ∞+= Для довільного E∈0ϕ нехай )( 0ϕD — сукупність усіх
слабких розв’язків (визначених на [0, )+∞ ) задачі (1) з початковими данни-
ми 0(0) =ϕ ϕ . Тепер для довільних 0t ≥ , 0 Eϕ ∈ розглянемо множину
.)}()(|)({=),( 00 EttG ⊂∈⋅ ϕϕϕϕ D
Для непорожніх ,A B E⊂ :
)},,(dist),,(dist{max=),(dist,||||infsup=),(dist ABBABAyxBA HE
ByAx
−
∈∈
},,0)(|{=},<),(dist|{=)( rxExBAxExAO r ≤∈∈ ρδδ
AA Ecl= — замикання A у ,E )(EP — сукупність усіх непорожніх під-
множин ,E )(Eβ — сукупність усіх непорожніх обмежених підмножин E ,
( )C E — сукупність усіх непорожніх замкнених підмножин в ,E )(EK —
сукупність усіх непорожніх компактних підмножин E .
Зазначимо, що відображення )(: EPEG ×+R — строгий м-напів-
потік на E , тобто
• EIG =)(0,⋅ — тотожне відображення E ;
Довгострокові прогнози функцій стану квазілінійних гіперболічних систем в nR
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 4 137
• )),(,(=),( xsGtGxstG + +∈∀ Rst, , Ex∈∀ .
Означення 2. Множина EA ⊂ називається притягуючою множиною
для м-напівпотока ,G якщо для довільного )(EB β∈ і довільного околу
)(AN множини A в E існує +∈R)),((= BANTT така, що Tt ≥∀
TtANBtG ≥∀⊂ )(),( [5].
Означення 3. Множина E⊂Θ називається глобальним атрактором
для м-напівпотока ,G якщо:
• Θ притягуюча множина;
• для довільної притягуючої множини Y YEcl⊂Θ (мінімальність);
• ),( Θ⊂Θ tG , для всіх 0≥t (півінваріантність) [5].
Означення 4. M-напівпотік G називається асимптотично компактним,
якщо для довільного )(EB β∈ існує )()( EKBA ∈ таке, що
∞+→→ tBABtG 0,))(),,((dist [6].
Теорема 2. Нехай для задачі (1) виконано мови (2). Тоді відображення
G є м-напівпотоком, для якого у фазовому просторі 1 2= ( ) ( )n nE H L×R R
існує компактний, інваріантний глобальний атрактор.
Доведення. Для доведення виконання твердження цієї теореми, беручи
до уваги [6], твердження леми 1 та теореми 1, достатньо перевірити такі
властивості:
• Нехай Tn Wτϕ ⊂}{ — послідовність розв’язків задачі (1), причому
τϕτϕ →)(n слабо в E . Нехай задана послідовність ],[}{ Ttn τ⊂ така, що
],[0 Tttn τ∈→ . Тоді існує TWτϕ ∈ — розв’язок (1) такий, що τϕτϕ =)(
i принаймні з точністю до підпослідовності )()( 0ttn
n ϕϕ → слабо в E .
Якщо ж τϕτϕ →)(n сильно в E , то принаймні з точністю до підпослідов-
ності )()( 0ttn
n ϕϕ → сильно в E .
• M-напівпотік G асимптотично компактний.
Ці твердження перевіряються (із певними технічними модифікаціями)
за допомогою техніки, поданої в роботах [4, 7].
Теорему доведено.
Відповідно до [6], позначимо сукупність стаціонарних станів G через
).(GZ Зазначимо, що
)}(),(=)),,(()),((|)0,{(=)( 1 nHhzxfzEzGZ R∈∀+∈ ψψψψ
є обмеженою множиною в E .
Розглянемо сімейство )(= 00
yK Hy D∈+ ∪ усіх слабких розв’язків рів-
няння (1), визначених на )[0, ∞+ . Зазначимо, що +K є трансляційно інва-
ріантним, тобто +∈⋅∀ Ku )( , 0≥∀h +∈⋅ Kuh )( , де )(=)( shusuh + , 0≥s .
Задамо на +K напівгрупу трансляцій 0)}({ ≥hhT , )(=)()( ⋅⋅ huuhT , 0≥h ,
+∈Ku . Внаслідок трансляційної інваріантності +K отримуємо, що
++ ⊂ KKhT )( при 0≥h .
Н.В. Горбань
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 4 138
Побудуємо атрактор трансляційної напівгрупи 0)}({ ≥hhT , що діє на
+K . На +K розглядатимемо топологію, індуковану з простору Фреше
);(loc EC +R . Зауважимо, що
),];([0,в)()(:0>);(в)()( loc EMCffMECff MnMn ⋅Π→⋅Π∀⇔⋅→⋅ +R
де MΠ — оператор обмеження на відрізку ][0, M [8]. Позначимо через +Π
оператор обмеження на )[0, ∞+ .
Нагадаємо, що множину );();(loc ELECP +∞+ ∩⊂ RR називають
притягуючою для простору траєкторій +K рівняння (1) в топології
);(loc EC +R , якщо для довільної обмеженої в );( EL +∞ R множини +⊂ KB
та довільного числа 0≥M виконується співвідношення
.0,),)((dist )];([0, +∞→→ΠΠ tPBtT MMEMC
Множина +⊂ KU називається траєкторним атрактором у просторі
траєкторій +K відносно топології );(loc EC +R [8], якщо:
• U — компактна в );(loc EC +R та обмежена в );( EL +∞ R ;
• U — строго інваріантна відносно 0)}({ ≥hhT , тобто UUhT =)(
0h∀ ≥ ;
• U є притягуючою множиною для простору траєкторій +K у тополо-
гії );(loc EC +R .
Розглянемо рівняння (1) на всій числовій прямій. Аналогічно простору
);(loc EC +R простір );(loc EC R оснащується топологією локальної рів-
номірної збіжності на кожному відрізку R⊂− ],[ MM [8]. Функція
);();(loc ELECu RR ∞∩∈ називається повною траєкторією рівняння (1),
якщо R∈∀h ++ ∈⋅Π Kuh )( [8]. Нехай K — сукупність усіх повних траєк-
торій рівняння (1). Зазначимо, що
.)(:)(, KuKuh h ∈⋅∈⋅∀∈∀ R
Теорема 3. Нехай A — глобальний атрактор з теореми 2. Тоді в прос-
торі +K існує траєкторний атрактор +⊂ KP . При цьому істинна формула
}.)(|{== R∈∀∈∈ΠΠ ++ tAtyKyKP
Доведення. Твердження теореми є прямим наслідком теореми 3.9 з [9].
Теорема 4. Для довільної повної траекторії K∈ψ граничні множини
ztEz j →∈ )(|{=)( ψψα для деякої послідовності },∞−→jt
ztEz j →∈ )(|{=)( ψψω для деякої послідовності }∞+→jt
є зв’язними підмножинами )(GZ на яких функція Ляпунова V стала.
Доведення. Твердження теореми є прямим наслідком теореми 2.7 з [6],
леми 1 та теореми 2.
Довгострокові прогнози функцій стану квазілінійних гіперболічних систем в nR
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 4 139
ВИСНОВКИ
Для квазілінійного гіперболічного рівняння (1) у необмеженій області з не-
лінійною, у загальному випадку, неперервною функцією взаємодії доведено
існування глобального та траєкторного атракторів у природному фазовому
та, відповідно, природному розширеному фазовому просторі. Перевірено
також, що потраєкторно всі слабкі розв’язки прямують до стаціонарних по-
ложень. Результати можуть знайти своє застосування в задачах керування
п’єзоелектричними процесами у формі оберненого зв’язку.
ЛІТЕРАТУРА
1. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. —
Berlin: Springer, 1988. — 500 p.
2. Капустян О.В., Іоване Ж. Глобальний атрактор для неавтономного хвильового
рівняння без єдиності розв’язку // Системні дослідження та інформаційні
технології. — 2006. — № 2. — С. 107–120.
3. Капустян О.В. Властивість Кнезера для неавтономного хвильового рівняння
без єдиності розв’язку // Наук. вісті НТУУ «КПІ». — 2007. — № 2. —
С. 107–120.
4. Stanzhyts’kyi O.M., Horban’ N.V. Global attractor for the autonomous wave equa-
tion in with continious nonlinearity // Ukrainian Mathematical Journal. — 2008.
— 60, № 2. — P. 299–309.
5. Melnik V.S., Valero J. On attractors of multivalued semi-flows and differential inclu-
sions // Set-Valued Analysis. — 1998. — 6, № 1. — P. 83–111.
6. Ball J.M. Global attractors for damped semilinear wave equations // Discrete and
Continuous Dynamical System. — 2004. — 10. — P. 31–52.
7. Stanzhitsky A.N., Gorban N.V. On the dynamics of solutions for autonomous
reaction-diffusion equation in with multivalued nonlinearity // Український ма-
тематичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 235–251.
8. Вишик М.И., Чепыжов В.В. Траекторный и глобальный аттракторы 3D систе-
мы Навье-Стокса // Математические заметки. — 2002. — Т. 71, № 2. —
С. 194–213.
9. Kapustyan O.V., Valero J. Comparison between trajectory and global attractors for
evolution systems without uniqueness of solutions // International Journal of
Bifurcation and Chaos. — 2010. — 20, Issue 9. — P. 2723–2734.
10. Zgurovsky M.Z., Mel’nik V.S., Kasyanov P.O. Evolution Inclusions and Variation
Inequalities of Earth Data Processing II. — Heidelberg: Springer, 2011. — 274 p.
Надійшла 07.06.2011
|
| id | journaliasakpiua-article-74208 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:20:45Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/29/78767c641c09375b3f417038949f0429.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-742082018-03-30T15:08:52Z Long-time forecasts for state functions of quasilinear hyperbolic systems in Rn Долгосрочные прогнозы функций состояния квазилинейных гиперболических систем в Rn Довгострокові прогнози функцій стану квазілінійних гіперболічних систем в Rn Gorban, N. V. The quasilinear hyperbolic system in Rn with non-linear in general case interaction function is considered. The asymptotic behaviour of weak solutions for considered problem is investigated. The existing of trajection and global attractors for all weak solutions of investigated problem is proved. It is proved that the trajectories of all weak solutions passing to the stationary states. Рассматрена квазилинейная гиперболическая система в пространстве Rn с нелинейной, в общем случае, функцией взаимодействия. Исследовано асимптотическое поведение слабых решений поставленной задачи. Доказано существование траекторного и глобального аттракторов рассматриваемой задачи. Доказано, что потраекторно все слабые решения стремятся к стационарным состояниям. Розглянуто квазілінійну гіперболічну систему в просторі Rn з нелінійною, у загальному випадку, функцією взаємодії. Досліджено асимптотичну поведінку слабких розв’язків поставленої задачі. Доведено існування траєкторного та глобального атракторів для всіх слабких розв’язків вихідної задачі. Доведено, що потраєкторно всі слабкі розв’язки прямують до стаціонарних станів. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2011-12-15 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/74208 System research and information technologies; No. 4 (2011); 134-139 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2011); 134-139 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2011); 134-139 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/74208/69670 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Gorban, N. V. Довгострокові прогнози функцій стану квазілінійних гіперболічних систем в Rn |
| title | Довгострокові прогнози функцій стану квазілінійних гіперболічних систем в Rn |
| title_alt | Long-time forecasts for state functions of quasilinear hyperbolic systems in Rn Долгосрочные прогнозы функций состояния квазилинейных гиперболических систем в Rn |
| title_full | Довгострокові прогнози функцій стану квазілінійних гіперболічних систем в Rn |
| title_fullStr | Довгострокові прогнози функцій стану квазілінійних гіперболічних систем в Rn |
| title_full_unstemmed | Довгострокові прогнози функцій стану квазілінійних гіперболічних систем в Rn |
| title_short | Довгострокові прогнози функцій стану квазілінійних гіперболічних систем в Rn |
| title_sort | довгострокові прогнози функцій стану квазілінійних гіперболічних систем в rn |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/74208 |
| work_keys_str_mv | AT gorbannv longtimeforecastsforstatefunctionsofquasilinearhyperbolicsystemsinrn AT gorbannv dolgosročnyeprognozyfunkcijsostoâniâkvazilinejnyhgiperboličeskihsistemvrn AT gorbannv dovgostrokovíprognozifunkcíjstanukvazílíníjnihgíperbolíčnihsistemvrn |