Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів в багатозв’язних криволінійних LEF-пластах
The constructive systematic approach to mathematical modeling of filtration processes for the three- and four-connected curvilinear LEF-domains bounded equipotential lines was developed on the basis of synthesis of methods of complex analysis and numerical-analytical methods of summary representatio...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2016
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/74950 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866301810696781824 |
|---|---|
| author | Hladka, Olena M. |
| author_facet | Hladka, Olena M. |
| author_sort | Hladka, Olena M. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:27:05Z |
| description | The constructive systematic approach to mathematical modeling of filtration processes for the three- and four-connected curvilinear LEF-domains bounded equipotential lines was developed on the basis of synthesis of methods of complex analysis and numerical-analytical methods of summary representations. The problem of ambiguity of constructing the domain of the complex quasi-potential for multiply-connected LEF-domains that model the interaction of injection and production wells in oil and gas reservoirs was solved. The classification of cases of the flow forming, that allows to unify the formulation of problems of inversion of quasiconformal mappings and their difference analogues. The algorithm for solving the problem was constructed that auto-matically constructs the dynamic grids, finds unknown separation lines and points of "suspension" of the flow, calculates the total flow, and so on. The numerical calculations for one of the variants of the flow formation are presented. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.2.06 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:20:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О.М. Гладка, 2016
58 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2
УДК 519.63.001.57
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.2.06
СИСТЕМНИЙ ПІДХІД ДО МАТЕМАТИЧНОГО
МОДЕЛЮВАННЯ ФІЛЬТРАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ
У БАГАТОЗВ'ЯЗНИХ КРИВОЛІНІЙНИХ LEF-ПЛАСТАХ
О.М. ГЛАДКА
На основі синтезу методів комплексного аналізу і числово-аналітичних мето-
дів сумарних зображень розроблено конструктивний системний підхід до ма-
тематичного моделювання фільтраційних процесів для три- та чотиризв’язних
криволінійних LEF-областей, обмежених еквіпотенціальними лініями. Вирі-
шено проблему неоднозначності побудови області комплексного квазіпотенці-
алу для багатозв’язних LEF-областей, що моделюють взаємодію нагнітальних
та експлуатаційних свердловин у нафтогазових пластах. Запропоновано таку
класифікацію випадків формування течії, що дозволяє уніфікувати формулю-
вання задач на обернення квазіконформних відображень і їх різницеві аналоги.
Побудовано алгоритм розв'язання задачі, за яким автоматично будуються ди-
намічні сітки, знаходяться невідомі лінії розділу течії і точки «призупинення»
потоку, обчислюються фільтраційні витрати тощо. Наведено числові розраху-
нки для одного з варіантів формування течії.
ВСТУП
У працях [1–4] на основі синтезу числових методів комплексного аналізу
(конформних і квазіконформних відображень) [5], числово-аналітичних ме-
тодів сумарних зображень Г.М. Положого [6] і декомпозиції області за аль-
тернувальним методом Шварца розроблено конструктивний підхід до мате-
матичного опису складних фільтраційних процесів, зокрема процесів
витіснення у техногенно-деформованих нафтогазових чи сланцевих пластах,
що моделюються спеціальними структурами — LEF-пластами [7]. Проте
у випадках багатозв’язних криволінійних LEF-пластів, що моделюють взає-
модію кількох нагнітальних та експлуатаційних свердловин у продуктивно-
му пласті, складність застосування цього підходу полягає у неповній визна-
ченості вигляду області комплексного квазіпотенціалу, що залежить від
впливу багатьох чинників: конфігурації фізичної області, зокрема, взаємно-
го розміщення свердловин, способів проведення умовних розрізів з метою
зведення багатозв’язної області до однозв’язної, співвідношення між зна-
ченнями граничних потенціалів тощо.
У працях А.Я. Бомби та його учнів [8–9] запропоновано методику мо-
делювання фільтраційних процесів для тризв’язних областей, обмежених
еквіпотенціальними лініями (двома свердловинами та зовнішнім контуром
живлення), а також для чотиризв’язних областей, обмежених еквіпотенціа-
льними лініями (три свердловини у горизонтальному пласті) та лініями течії
(які визначаються шуканими точками «призупинення» на зовнішньому не-
проникному контурі), з використанням математичного апарату комплексно-
го аналізу. Також у цих працях на підставі евристичних міркувань з наступ-
ним логічним обґрунтуванням установлено можливі випадки формування
течії залежно від співвідношення значень граничних потенціалів і розробле-
Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів у …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 59
но процедури автоматизованого вибору відповідного випадку. Запропоно-
вано алгоритм розв’язання таких задач, що дають змогу будувати динамічні
сітки, знаходити лінії розділу течії і обчислювати значення швидкості та
величини різного роду перетікань, який апробовано для окремих проміжних
та ключових випадків. Такий підхід зумовлює необхідність для кожного
з випадків окремо будувати алгоритм числового розв’язання відповідної за-
дачі, виконавши перед тим «алгоритм вибору випадку», що полягає
у розв’язанні двох допоміжних задач.
У роботі пропонується така класифікація випадків формування течії,
що дозволяє уніфікувати формулювання задач на обернення квазіконформ-
них відображень, їх різницеві аналоги і алгоритми розв’язання, а також ви-
користати поєднання методів квазіконформних відображень з методами су-
марних зображень. Не зважаючи на неоднозначність квазіконформних
відображень багатозв’язних LEF-областей, у більшості випадків формуван-
ня течії область комплексного квазіпотенціалу шляхом спеціального прове-
дення умовних розрізів фізичної області може бути зведена до багатокутни-
ка, сторони якого паралельні осям координат і який розглядається як
сукупність певним чином «склеєних» між собою прямокутників. Це дозво-
ляє повною мірою використати переваги числово-аналітичного методу су-
марних зображень для знаходження розв'язків відповідних підзадач і, зок-
рема, розпаралелити обчислювальний процес.
Якщо сформулювати цю задачу як задачу математичної фізики, то
отримаємо істотно нелінійну інтегро-диференціальну крайову задачу (адже
функція течії, що характеризує локальні витрати, визначається через квазі-
потенціал за допомогою криволінійних інтегралів). Натомість перехід до
оберненого квазіконформного відображення і використання теорії комплек-
сного потенціалу дозволяють локалізувати нелінійність.
ЗАГАЛЬНА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
У роботі методика математичного моделювання квазіідеальних полів, що
базується на синтезі числових методів комплексного аналізу і сумарних
зображень [1, 4], поширена на випадки три- та чотиризв’язної криволінійної
LEF-області, що моделюють роботу відповідно двох чи трьох свердловин
у пласті. Нелінійна крайова задача, що виникає при цьому, зводиться до
обернення квазіконформного відображення даної області з умовними розрі-
зами вздовж деяких ліній течії (ліній розділу течії, які знаходяться у процесі
розв’язання задачі) на відповідну область комплексного квазіпотенціалу,
побудова якої, загалом, є неоднозначною. Цю проблему вирішено спеціаль-
ним проведенням умовних розрізів і поданням області комплексного квазі-
потенціалу як об’єднання чотирьох суміжних прямокутників.
Розглядається криволінійна LEF-область zG ( iyxz += ), яка є три-
зв’язною, обмеженою замкнутими еквіпотенціальними лініями — двома
внутрішніми контурами свердловин 1L , 2L і зовнішнім контуром живлення
3L (випадок тризв’язної області), чи чотиризв’язною, обмеженою трьо-
ма еквіпотенціальними лініями (контурами свердловин) sL , 3,2,1=s
( }0),(:{ == yxfzL ss ) та непроникним контуром }0),(:{ == yxfzL (випа-
док чотиризв’язної області), із заданими на еквіпотенціалях відповідними
граничними потенціалами: sLs
Φ=ϕ , 3,2,1=s . Процес витіснення опису-
О.М. Гладка
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 60
ється рівняннями [2–4]: ϕκ=υ gradf
r
і 0div =υ
r , де +υ=υ ),( yxx
r
),(i yxyυ+ — швидкість фільтрації; нμκ=κ f —коефіцієнт фільтрації; κ —
коефіцієнт проникності пласта; нμ — динамічна в’язкість нафти у пласто-
вих умовах.
Якщо у випадках одно- чи двозв’язної LEF-області відповідна область
комплексного квазіпотенціалу є прямокутником з невідомою висотою і од-
нозначно визначається шуканим значенням повної фільтраційної витрати
(потоку через відповідну еквіпотенціальну лінію *L ) ∫ υ+υ−=
*L xy dydxQ ,
то для заданої криволінійної області з трьома еквіпотенціалами відповідна
область комплексного квазіпотенціалу набуває різної геометричної конфігу-
рації залежно від співвідношення між граничними потенціалами 3,1, =Φ ss .
Проте у всіх цих випадках існує квазіконформне відображення, за якого від-
повідна область комплексного квазіпотенціалу являє собою багатокутник,
«складений» з прямокутників, набір варіантів формування потоку є аналогі-
чним і однозначний вибір такого варіанта (а отже, і єдиність відповідного
квазіконформного відображення) визначається значеннями витрат (потоків
чи перетікань) через еквіпотенціали sL : ∫ υ+υ−=
sL xys dydxQ ( 3,1=s ) і не-
відомий потенціал Hϕ точки H , через яку проходять лінії розділу течії
(випадок тризв’язної області, рис. 1), додатково потенціали **
,
HH ϕϕ точок
a' a'' a
б' б'' б
в' в'' в
Рис. 1. Схеми формування течії для тризв’язної LEF-області у випадках:
1) 00
* =Q (а, a', a''), 2) 0*
0 =Q (б, б', б''), 3) 00
* >Q , 0*
0 >Q (в, в', в'')
Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів у …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 61
«призупинення» потоку *H і *H відповідно на контурі L (випадок чотири-
вз’язної області).
Виконавши умовний розріз U
3
1
ГГ
=
=
i i уздовж невідомих ліній розділу
течії, що проходять через шукану точку H (випадок тризв’язної області) та
точки *H , *H (випадок чотиризв’язної області), і отримавши однозв’язну
область Г\z
Г
z GG = та ввівши аналогічно праці [5] функцію течiї
),( yxψ=ψ , квазіконформно спряжену до ϕ , приходимо до задачі квазікон-
формного відображення +ϕ=ω=ω ),()( yxz + ),( yxiψ області Г
zG на відпо-
відну область комплексного квазіпотенціалу. При цьому вигляд області
комплексного квазіпотенціалу відрізняється для різних випадків формуван-
ня течії, що залежать від співвідношень між граничними потенціалами (на-
приклад, у праці [9] наведено 9 таких випадків за умов, що 321 Φ≤Φ≤Φ ;
у праці [8] — 23 випадки за умов 31 Φ<Φ , а 2Φ — довільний і т.д.). Проте,
якщо «перепозначити» граничні потенціали, упорядкувавши їх, і подати об-
ласть комплексного квазіпотенціалу як об'єднання чотирьох суміжних пря-
мокутників, то всі випадки формування течії зводяться до трьох ситуацій-
них станів, що принципово відрізняються між собою і не обмежуються
співвідношенням між граничними потенціалами.
а б
в в'
Рис. 2. Конфігурації області комплексного квазіпотенціалу для тризв’язної
LEF-області у випадках: 1) 00
* =Q (а), 2) 0*
0 =Q (б), 3) 00
* >Q , 0*
0 >Q (в, в')
О.М. Гладка
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 62
Позначимо: s
s
Φ=ϕ min* , s
s
Φ=ϕ max* ( 3,1=s ), −Φ=ϕ ∑ =
3
10 s s
)( *
* ϕ+ϕ− ; 0
*
* ,, LLL — відповідні цим потенціалам контури sL ; *
*Q , 0
*Q ,
*
0Q — величини потоків sQ через контури 0
*
* ,, LLL відповідно. Тоді маємо
три різні конфігурації області комплексного квазіпотенціалу, що відповіда-
ють таким випадкам: 1) 00
* =Q , 0*
* >Q , 0*
0 >Q — відсутність перетікань
між контурами 0*, LL (рис. 2, а, 3, а'); 2) 0*
0 =Q , 00
* >Q , 0*
* >Q — відсут-
ність перетікань між контурами 0
*, LL (рис. 2, б, 3, б'); 3) 00
* >Q , 0*
* >Q ,
0*
0 >Q — наявність перетікань між усіма контурами (рис. 2, в, в', 3, в', в'').
При цьому єдиність розв’язань відповідних задач забезпечується визначен-
ням для тризв’язної області трьох невідомих параметрів: двох значень ви-
трат і значення потенціалу Hϕ точки розділу течії (для випадків 1 і 3) або
трьох значень витрат (для випадку 2), а для чотиризв’язної області — додат-
ково ще двох значень потенціалів **
,
HH ϕϕ точок «призупинення» потоку
*H і *H на контурі L .
На рис. 1 показано схеми формування течії, що відповідають цим випад-
кам (1 — рис. 1, а, a', a''; 2 — рис. 1, б, б', б''; 3 — рис. 1, в, в', в'') і моделю-
ють ситуації, коли є дві нагнітальні свердловини (рис. 1, а, б), дві експлуа-
таційні свердловини (рис. 1, б', в') і нагнітальна та експлуатаційна
свердловини (рис. 1, а', a'', б'', в, в'').
Такий підхід до класифікації способів формування течії та задання об-
ласті комплексного потенціалу є істотно іншим, ніж у працях [8–9], і дозво-
ляє уніфікувати постановки задач, їх різницеві аналоги і алгоритми
розв’язання.
Загалом область комплексного квазіпотенціалу має вигляд:
U
4
1= ωω =
k
kGG , }0:{ )()*()(
*
kkkk QiG ≤ψ≤ϕ≤ϕ≤ϕψ+ϕ=ω=ω ,
де
Hϕ=ϕ=ϕ=ϕ=ϕ )4(
*
)3*()2(
*
)1*( , *
)3(
* ϕ=ϕ , *)4*( ϕ=ϕ ,
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=ϕ
≠ϕ
=ϕ
,0,
,0,
0
*0
0
**)1(
* Q
Q
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=ϕ
≠ϕ
=ϕ
,0,
,0,
*
00
*
0
*
)2(*
Q
Q
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
,0,
,0,
0
*
*
0
0
*
0
*)1(
QQ
QQQ
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
,0,
,0,
*
0
0
*
*
0
*
0)2(
QQ
QQQ
*
*
)4()3( QQQ == (рис. 2, рис. 3, a', б', в', в'').
Такий опис області комплексного квазіпотенціалу є неоднозначним,
оскільки не відомі величини потоків *
*Q , 0
*Q , *
0Q , але, враховуючи монотон-
но-зростаючу залежність sQ від потенціалів sΦ і знаючи граничні потенціа-
Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів у …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 63
ли, можна припустити у більшості випадків, яким буде співвідношення пе-
ретікань між контурами ще до числового розв’язання задач.
Відповідні задачі у підобластях kGω ( 4,1=k ) на обернене квазіконфор-
мне відображення області ωG на Г
zG зводяться до розв’язання крайових за-
дач для системи рівнянь [2–3]:
,01
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ψ∂
∂
κ
ψ∂
∂
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ϕ∂
∂
κϕ∂
∂ xx
f
f
,0),()0,(),()0,( ****
=ϕΞ=ϕΞ=ϕΞ=ϕΞ QQ
HHHH
Рис. 3. Конфігурації області комплексного квазіпотенціалу для тризв’язної LEF-
області у випадках: 1) 00
* =Q (а), 2) 0*
0 =Q (б), 3) 00
* >Q , 0*
0 >Q (в, в')
б'б
а'а
в в' в''
( ) ,,,01 k
f
f
Gyy
ω∈ψϕ=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ψ∂
∂
κ
ψ∂
∂
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ϕ∂
∂
κϕ∂
∂
О.М. Гладка
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 64
,
),(0
22
∫ ψ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ψ∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ψ∂
∂
ψϕ
κ
=
Q
f dyx
J
Q
де
22
),(
),( ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ψ∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ψ∂
∂
ψϕ
κ
=ψϕΞ
yx
J
f ;
ϕ∂
∂
ψ∂
∂
−
ψ∂
∂
ϕ∂
∂
=ψϕ
yxyxJ ),( — якобіан
переходу.
Крайові умови, умови ортогональності ліній динамічної сітки до межі
(що забезпечують комплексну спряженість шуканих гармонічних функцій
[5]) та умови «роздвоєння» і періодичності на розрізах мають вигляд:
,0,0)),(),,(( )3()3(
*
)3(
** Qyxf ≤ψ≤=ψϕψϕ
,0,0)),(),,(( )4()4*()4*(* Qyxf ≤ψ≤=ψϕψϕ
3,1,0 ==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
ϕ∂
∂
−
∂
∂
ϕ∂
∂
ϕ=ϕ
s
x
fy
y
fx
s
ss ;
у випадку 1 ( 00
* =Q , 0*
* >Q , 0*
0 >Q ):
,0,0)),(),,(( )1()1(
*
)1(
*0 Qyxf ≤ψ≤=ψϕψϕ
,0,0)),(),,(( )2()2*()2*(* Qyxf ≤ψ≤=ψϕψϕ
,),,()0,(),,()0,( )1*()1(
*
)1()1( ϕ≤ϕ≤ϕϕ=ϕϕ=ϕ QyyQxx
,`),(),( )2()1( 0
)2(
*0
)1(*
QQ
xx
≤ψ≤≤ψ≤
ψϕ=ψϕ
,),(),( )2()1( 0
)2(
*0
)1(*
QQ
yy
≤ψ≤≤ψ≤
ψϕ=ψϕ
,)0,()0,(,)0,()0,( )4*()4(
*
)2*()2(
*
)4*()4(
*
)2*()2(
* ϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕ
ϕ=ϕϕ=ϕ yyxx
,),(),( )4(*)4(
*
)2(*)2(
*
)4()2(
ϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕ
ϕ=ϕ QxQx
,),,()0,(),,()0,( )3*()3(
*
)3()3( ϕ≤ϕ≤ϕϕ=ϕϕ=ϕ QyyQxx
,),(),( )4()3( 0
)4(
*0
)3(*
QQ
xx
≤ψ≤≤ψ≤
ψϕ=ψϕ
;),(),( )4()3( 0
)4(
*0
)3(*
QQ
yy
≤ψ≤≤ψ≤
ψϕ=ψϕ
у випадку 2 ( 0*
0 =Q , 00
* >Q , 0*
* >Q ):
,0,0)),(),,(( )1()1(
*
)1(
** Qyxf ≤ψ≤=ψϕψϕ
Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів у …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 65
,0,0)),(),,(( )2()2*()2*(
0 Qyxf ≤ψ≤=ψϕψϕ
,),(),( )2()1( 0
)2(
*0
)1(*
QQ
xx
≤ψ≤≤ψ≤
ψϕ=ψϕ
,),(),( )2()1( 0
)2(
*0
)1(*
QQ
yy
≤ψ≤≤ψ≤
ψϕ=ψϕ
,)0,()0,(,)0,()0,( )3*()3(
*
)1*()1(
*
)3*()3(
*
)1*()1(
* ϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕ
ϕ=ϕϕ=ϕ yyxx
,),(),( )3*()3(
*
)1*()1(
*
)3()1(
ϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕ
ϕ=ϕ QxQx
,),(),( )3(*)3(
*
)1(*)1(
*
)3()1(
ϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕ
ϕ=ϕ QyQy
,),(),( )4()3( 0
)4(
*0
)3(*
QQ
xx
≤ψ≤≤ψ≤
ψϕ=ψϕ
,),(),( )4()3( 0
)4(
*0
)3(*
QQ
yy
≤ψ≤≤ψ≤
ψϕ=ψϕ
,),,()0,(),,()0,( )2*()2(
*
)2()2( ϕ≤ϕ≤ϕϕ=ϕϕ=ϕ QyyQxx
;),,()0,(),,()0,( )4*()4(
*
)4()4( ϕ≤ϕ≤ϕϕ=ϕϕ=ϕ QyyQxx
у випадку 3 ( 00
* >Q , 00
* >Q , 0*
* >Q ):
,0,0)),(),,((,0)),(),,(( )1()1*()1*(
0
)1(
*
)1(
** Qyxfyxf ≤ψ≤=ψϕψϕ=ψϕψϕ
,0,0)),(),,((,0)),(),,(( )2()2*()2*(*)2(
*
)2(
*0 Qyxfyxf ≤ψ≤=ψϕψϕ=ψϕψϕ
,)0,()0,(,)0,()0,( )3(*)3(
*
)1(*)1(
*
)3(*)3(
*
)1(*)1(
* ϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕ
ϕ=ϕϕ=ϕ yyxx
,),(),( )3*()3(
*
)1*()1(
*
)3()1(
ϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕ
ϕ=ϕ QxQx
,),(),( )3*()3(
*
)1*()1(
*
)3()1(
ϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕ
ϕ=ϕ QyQy
,)0,()0,( )4(*)4(
*
)2(*)2(
* ϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕ
ϕ=ϕ xx
,)0,()0,( )4*()4(
*
)2*()2(
* ϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕ
ϕ=ϕ yy
,),(),( )4*()4(
*
)2*()2(
*
)4()2(
ϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕ
ϕ=ϕ QxQx
О.М. Гладка
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 66
,),(),( )4*()4(
*
)2*()2(
*
)4()2(
ϕ≤ϕ≤ϕϕ≤ϕ≤ϕ
ϕ=ϕ QyQy
,),(),( )4()3( 0
)4(
*0
)3(*
QQ
xx
≤ψ≤≤ψ≤
ψϕ=ψϕ
.),(),( )4()3( 0
)4(
*0
)3(*
QQ
yy
≤ψ≤≤ψ≤
ψϕ=ψϕ
Тут ssff ϕ=ϕ= ** якщо, , ssff ϕ=ϕ= ** якщо, , ssff ϕ=ϕ= 00 якщо,
( 3,2,1=s ).
РІЗНИЦЕВИЙ АНАЛОГ
В області ωG визначимо ортогональну сітку )},{( jiG ψϕ=γ
ω , де
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++Δ−+ϕ
Δ+ϕ
++Δ−+ϕ
Δ+ϕ
=ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
,11,=,)(
,,0=,
,11,=,)(
,,0=,
342
)4(
*
33
)3(
*
121
)2(
*
11
)1(
*
mmimi
mii
mmimi
mii
i
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+Δ
+Δ
+Δ
+Δ
=ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
,1,0=,
,1,0=,
,1,0=,
,1,0=,
44
33
22
11
njj
njj
njj
njj
j
12 mmm −= , 34 mmm −= , 43212 nnnnn +++= ,
1
)(
*
)*(
+
ϕ−ϕ
=Δϕ
k
kk
k m
,
,
1
)(
+
=Δψ
k
k
k n
Q
k
k
k
ψ
ϕ
Δ
Δ
=γ , N∈32131 ,,,,,, nnnnmmm , 4,1=k .
Різницеві аналоги диференціальних рівнянь при const=κ f запишемо
аналогічно [1, 4]:
,0)()1(2 1,1,
2
,1,
2
,1, =+γ++γ+−≡ −+−+γ jijikjijikjiji xxxxxx
4,1,,1=,,1=,0, ==γ knjmiy kkji
( ),(),,( ,, jijijiji yyxx ψϕ=ψϕ= ), а їх розв’язки подано формулами сумар-
них зображень [4, 6]:
,)(
1 1
1,,0,,1
2
,, ∑ ∑
= =
+
−
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
+
ν−μ
ν
γ+ν+μ=
n
l
m
t
ntlntl
ll
ti
l
kl
i
ll
i
lljji
k
kk
xpxpbapx
,)(
1 1
1,,0,,1
2
,, ∑ ∑
= =
+
−
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
+
ν−μ
ν
γ+ν+μ=
n
l
m
t
ntlntl
ll
ti
l
kl
i
ll
i
lljji
k
kk
ypypdcpy (1)
,4,1,,1= ,,1 == knjmi kk
Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів у …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 67
де елементи матриці Р-трансформацій kn
ljijpP 1,, ][ == обчислюємо як
1
sin
12
2
, +
π
+
=
kk
lj n
jl
n
p , елементи діагональних матриць kn
j
i
j
i
1][ =μ=μ ,
kn
j
i
j
i
1][ =ν=ν визначаємо за формулами: 121 −η+η=ν=μ −
jjjj ,
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
π
−γ+=η
1
cos11 2
k
j n
j , а сталі jjjj dcba ,,, знаходимо із систем рівнянь
(що розв’язуються явно):
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
ν−μ
ν
γ−=ν+μ
+
ν−μ
ν
γ−=+
+
=
−+
=
+
++
+
==
∑∑
∑∑
;))(
, )(
1,
)1(
,0,
)1(
,1
1
1
2
1
,1
*
,
11
1,,0,,1
1
2
,0
1
*
,
kk
k kk
k
kk
kk
kk
ntjntj
m
t jj
tm
j
k
n
l
lmjlj
m
jj
m
j
ntjntj
m
t jj
t
j
kl
n
l
jljj
xpxpxpba
xpxpxpba
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
ν−μ
ν
γ−=ν+μ
+
ν−μ
ν
γ−=+
+
=
−+
=
+
++
+
==
∑∑
∑∑
)(
, )(
1,,0,,1
1
1
2
1
,1
*
,
11
1,,0,,1
1
2
,0
1
*
,
kk
k kk
k
kk
kk
kk
ntjntj
m
t jj
tm
j
k
n
l
lmjlj
m
jj
m
j
ntjntj
m
t jj
t
j
kl
n
l
jljj
ypypypdc
ypypypdc
( *
,ljp ,— елементи матриці, оберненої до Р, knlj ,1, = ).
Різницеві аналоги крайових умов, умов ортогональності ліній
динамічної сітки до межі та умов «роздвоєння» і періодичності на розрізах
мають вигляд у випадку 1 ( 00
* =Q , 0*
* >Q , 0*
0 >Q ):
−−′= ))(,(,0),( )1(
,0
)1(
,1
)1(
,0
)1(
,00
)1(
,0
)1(
,00 jjjjxjj yyyxfyxf
,,1,0))(,( 1
)1(
,0
)1(
,1
)1(
,0
)1(
,00 njxxyxf jjjjy ==−′−
,),(min,1,, 21
)2(
,1
)1(
,1
)2(
,1
)1(
,1 1111
nnjyyxx jmjmjmjm === ++++
,,1,, 1
)1(
1,
)1(
0,
)1(
1,
)1(
0, 11
miyyxx niinii === ++
,0))(,())(,( )2(
,1
)2(
,
)2(
,1
)2(
,1
*)2(
,1
)2(
,
)2(
,1
)2(
,1
* =−
′
−−
′
++++++ jmjmjmjmyjmjmjmjmx xxyxfyyyxf
,,1,0),( 2
)2(
,1
)2(
,1
* njyxf jmjm ==++
,,1),(max,,,, 31
)4(
,
)2(
,
)4(
,
)2(
,
)4(
0,
)2(
0,
)4(
0,
)2(
0, 4242
mmmiyyxxyyxx ninininiiiii +=====
−−′= ))(,(,0),( )3(
,0
)3(
,1
)3(
,0
)3(
,0*
)3(
,0
)3(
,0* jjjjxjj yyyxfyxf
О.М. Гладка
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 68
,,1,0))(,( 3
)3(
,0
)3(
,1
)3(
,0
)3(
,0* njyyyxf jjjjy ==−′−
,),(min,1,, 43
)4(
,1
)3(
,1
)4(
,1
)3(
,1 3333
nnjyyxx jmjmjmjm === ++++
,,1,, 3
)3(
1,
)3(
0,
)3(
1,
)3(
0, 33
miyyxx niinii === ++
,0))(,())(,( )2(
,1
)2(
,
)2(
,1
)2(
,1
*)2(
,1
)2(
,
)2(
,1
)2(
,1
* =−
′
−−
′
++++++ jmjmjmjmyjmjmjmjmx xxyxfyyyxf
,,1,0),( 2
)2(
,1
)2(
,1
* njyxf jmjm ==++
,,1),(max,,,, 31
)4(
,
)2(
,
)4(
,
)2(
,
)4(
0,
)2(
0,
)4(
0,
)2(
0, 4242
mmmiyyxxyyxx ninininiiiii +=====
−−′= ))(,(,0),( )3(
,0
)3(
,1
)3(
,0
)3(
,0*
)3(
,0
)3(
,0* jjjjxjj yyyxfyxf
,,1,0))(,( 3
)3(
,0
)3(
,1
)3(
,0
)3(
,0* njyyyxf jjjjy ==−′−
,),(min,1,, 43
)4(
,1
)3(
,1
)4(
,1
)3(
,1 3333
nnjyyxx jmjmjmjm === ++++
,,1,, 3
)3(
1,
)3(
0,
)3(
1,
)3(
0, 33
miyyxx niinii === ++
,0))(,())(,( )4(
,1
)4(
,
)4(
,1
)4(
,1
*)4(
,1
)4(
,
)4(
,1
)4(
,1
* =−′−−′
++++++ jmjmjmjmyjmjmjmjmx xxyxfyyyxf
;,1,0),( 4
)4(
,1
)4(
,1
* njyxf jmjm ==++
у випадку 2 ( 0*
0 =Q , 00
* >Q , 0*
* >Q ):
,,1,0))(,())(,(,0),( 1
)1(
,0
)1(
,1
)1(
,0
)1(
,0*
)1(
,0
)1(
,1
)1(
,0
)1(
,0*
)1(
,0
)1(
,0* njxxyxfyyyxfyxf jjjjyjjjjxjj ==−′−−′=
,),(min,1,, 21
)2(
,1
)1(
,1
)2(
,1
)1(
,1 1111
nnjyyxx jmjmjmjm === ++++
,),(min,1,,,, 31
)3(
,
)3(
,
)3(
,
)1(
,
)3(
0,
)1(
0,
)3(
0,
)1(
0, 3131
mmiyyxxyyxx ninininiiiii =====
,0))(,())(,( )2(
,1
)2(
,
)2(
,1
)2(
,10
)2(
,1
)2(
,
)2(
,1
)2(
,10 =−′−−′ ++++++ jmjmjmjmyjmjmjmjmx xxyxfyyyxf
,,1,0),( 2
)2(
,1
)2(
,10 njyxf jmjm ==++
,,1,, 1
)2(
1,
)2(
0,
)2(
1,
)2(
0, 22
mmiyyxx niinii +=== ++
,,1,0))(,())(,(,0),( 3
)3(
,0
)3(
,1
)3(
,0
)3(
,0*
)3(
,0
)3(
,1
)3(
,0
)3(
,0*
)3(
,0
)3(
,0* njxxyxfyyyxfyxf jjjjyjjjjxjj ==−′−−′=
,),(min,1,, 43
)4(
,1
)3(
,1
)4(
,1
)3(
,1 3333
nnjyyxx jmjmjmjm === ++++
Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів у …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 69
,,1,, 3
)4(
1,
)4(
0,
)4(
1,
)4(
0, 44
mmiyyxx niinii +=== ++
,0))(,())(,( )4(
,1
)4(
,
)4(
,1
)4(
,1
*)4(
,1
)4(
,
)4(
,1
)4(
,1
* =−
′
−−
′
++++++ jmjmjmjmyjmjmjmjmx xxyxfyyyxf
;,1,0),( 4
)4(
,1
)4(
,1
* njyxf jmjm ==++
у випадку 3 ( 00
* >Q , 00
* >Q , 0*
* >Q ):
,0))(,())(,(,0),( )1(
,0
)1(
,1
)1(
,0
)1(
,0*
)1(
,0
)1(
,1
)1(
,0
)1(
,0*
)1(
,0
)1(
,0* =−′−−′= jjjjyjjjjxjj xxyxfyyyxfyxf
,0))(,())(,( )1(
,1
)1(
,
)1(
,1
)1(
,10
)1(
,1
)1(
,
)1(
,1
)1(
,10 11111111
=−′−−′ ++++++ jmjmjmjmyjmjmjmjmx xxyxfyyyxf
,,1,0),( 1
)1(
,1
)1(
,10 11
njyxf jmjm ==++
,),min(,1,,,, 31
)3(
,
)1(
,
)3(
,
)1(
,
)3(
0,
)1(
0,
)3(
0,
)1(
0, 3131
mmiyyxxyyxx ninininiiiii =====
,0))(,())(,( )2(
,1
)2(
,
)2(
,1
)2(
,10
)2(
,1
)2(
,
)2(
,1
)2(
,10 11111111
=−′−−′ ++++++ jmjmjmjmyjmjmjmjmx xxyxfyyyxf
,0))(,())(,( )2(
,1
)2(
,
)2(
,1
)2(
,1
*)2(
,1
)2(
,
)2(
,1
)2(
,1
* =−
′
−−
′
++++++ jmjmjmjmyjmjmjmjmx xxyxfyyyxf
,,1,0),(,0),( 2
)2(
,1
)2(
,1
*)2(
,1
)2(
,10 11
njyxfyxf jmjmjmjm === ++++
,,1),(max,,,, 31
)4(
,
)2(
,
)4(
,
)2(
,
)4(
0,
)2(
0,
)4(
0,
)2(
0, 4242
mmmiyyxxyyxx ninininiiiii +=====
−−′= ))(,(,0),( )3(
,0
)3(
,1
)3(
,0
)3(
,0*
)3(
,0
)3(
,0* jjjjxjj yyyxfyxf
,,1,0))(,( 3
)3(
,0
)3(
,1
)3(
,0
)3(
,0* njxxyxf jjjjy ==−′−
,),(min,1,, 43
)4(
,1
)3(
,1
)4(
,1
)3(
,1 3333
nnjyyxx jmjmjmjm === ++++
,0))(,())(,( )4(
,1
)4(
,
)4(
,1
)4(
,1
*)4(
,1
)4(
,
)4(
,1
)4(
,1
* =−
′
−−
′
++++++ jmjmjmjmyjmjmjmjmx xxyxfyyyxf
,,1,0),( 4
)4(
,1
)4(
,1
* njyxf jmjm ==++ (2)
де ),(),,( )(
,
)(
, ji
k
jiji
k
ji yyxx ψϕ=ψϕ= , ,),( )(k
ji G γ
ω∈ψϕ 4,1=k .
Формули для знаходження невідомих величин kγ , )(kQ , 4,1=k та Hϕ
отримуємо на підставі умов «конформної подібності в малому» елементар-
них сіткових чотирикутників фізичної області та відповідних їм в області
комплексного квазіпотенціалу [5]:
∑
=
γ
++
=γ
kk nm
ji
k
ji
kk
k nm
,
0,
)(
,)1)(1(
1 ,
k
k
k
k nQ
γ
+
Δ= ϕ
1)( , 11* )1( ϕΔ++ϕ=ϕ mH ,(3)
О.М. Гладка
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 70
=γ )(
,
k
ji
2)(
,1
)(
1,1
2)(
,1
)(
1,1
2)(
,
)(
1,
2)(
,
)(
1,
2)(
1,
)(
1,1
2)(
1,
)(
1,1
2)(
,
)(
,1
2)(
,
)(
,1
)()()()(
)()()()(
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
yyxxyyxx
yyxxyyxx
++++++++
++++++++
−+−+−+−
−+−+−+−
= .
АЛГОРИТМ ЧИСЛОВОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ
Алгоритм розв’язування ґрунтується на ідеї почергової параметризації ко-
ординат межових та внутрішніх вузлів динамічної сітки, параметрів
конформності [1] і в загальному вигляді може бути описаний таким чином.
Задаємо геометричну конфігурацію фізичної області zG , значення
граничних потенціалів sΦ , 3,1=s і визначаємо *ϕ , *ϕ , 0ϕ . Далі за
співвідношеннями між граничними потенціалами слід визначити характер
формування течії і вигляд (конфігурацію) області комплексного
квазіпотенціалу. Таких варіантів (алгоритмічно різних) три: 1) 00
* =Q , що
означає відсутність перетікань між контурами *L і 0L ; 2) 00
* >Q , 0*
0 >Q
і 0*
* >Q ; 3) 0*
0 =Q — відсутність потоку від 0L до *L . У працях [8, 9]
з цією метою запропоновано «алгоритм вибору», що передбачав розв’язання
двох допоміжних ключових задач (обернених задач з ідентифікації «керу-
вального» потенціалу) для визначення двох критичних потенціалів, що ма-
жорують 0ϕ . Тут пропонується, не встановлюючи точно на початковому
етапі варіанта формування потоків (перетікань), відразу розв’язувати задачі
за уніфікованим для всіх варіантів алгоритмом.
У більшості випадків за співвідношеннями між граничними
потенціалами чи з деяких інших (технічних) міркувань можна досить
достовірно зробити припущення про можливий спосіб формування потоку
і співвідношення між величинами потоків. У комп’ютерній програмі, яка
реалізовує відповідні розрахунки, для таких очевидних випадків передбаче-
но модуль-перемикач, що дозволяє «вручну» вибрати потрібний варіант, що
відразу значно оптимізує обчислення.
Задаємо кількість вузлів 432131 ,,,,,, nnnnmmm розбиття сіткової
області γ
ωG , параметри ε , Qε , що характеризують точність наближення
розв’язку відповідної різницевої задачі, та бажаний рівень конформності
відображення *δ [1]. Задаємо також нульове наближення невідомих вели-
чин kγ , 4,1=k (або шуканих витрат )(kQ ) та початкові наближення значень
функцій x і y у межових вузлах (координати межових вузлів динамічної
сітки) так, щоб виконувались умови (2).
Обчислюємо за формулами сумарних зображень (1) початкові набли-
ження значень функцій x і y у внутрішніх вузлах (координати внутрішніх
вузлів динамічної сітки), знаходимо значення kγ , )(kQ , 4,1=k , та Hϕ за
Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів у …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 71
формулами (3). Перевіряємо виконання умов Q
kQ ε<)( , 2,1=k і коригуємо,
у разі потреби, випадок формування потоку.
Далі уточнюємо координати межових вузлів за формулами ортогональ-
ності ліній течії до межі області та належності вузла до межі з урахуванням
періодичності (2) і обчислюємо нове наближення координат внутрішніх вуз-
лів за формулами (1); знаходимо kγ , )(kQ , 4,1=k , та Hϕ за формулою (3).
Наприкінці кожної загальної ітерації перевіряємо виконання умов ста-
білізації координат межових вузлів [1] і оцінюємо ступінь конформності
отриманого відображення області комплексного квазіпотенціалу на фізичну
область [1, 5] та приймаємо рішення про продовження чи припинення робо-
ти алгоритму [1, 5].
Розроблений алгоритм виглядає дещо громіздким, а відповідні
комп’ютерні процедури є більш складними, ніж з використанням,
наприклад, методу скінченних елементів, але саме застосування числово-
аналітичного підходу дозволяє уникнути розв’язання систем лінійних
алгебричних рівнянь з погано обумовленими матрицями великої
розмірності, скоротити час роботи комп’ютера і за прийнятний час отримати
задовільний результат.
ПРИКЛАД ЧИСЛОВИХ РОЗРАХУНКІВ
Для ілюстрації роботи описаного алгоритму виконано обчислення для одно-
го з варіантів формування потоку у тризв’язній LEF-області (рис. 4), що об-
межена трьома еквіпотенціалями — двома контурами експлуатаційних сверд-
ловин *L , 0L з потенціалами *ϕ , 0ϕ і еліптичним контуром їх живлення
:{* iyxL += }π<≤== 20),sin(6),cos(8 ttytx з потенціалом 1* =ϕ .
а б в
г д е
Рис. 4. Розраховані динамічні сітки
О.М. Гладка
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 72
На рис. 4, а, б зображено розраховані динамічні сітки за наявності двох
симетрично розміщених свердловин =−=+= ytxiyxL ,3)cos(3,0:{*
)sin(3,0 t= , }20 π<≤ t , :{0 iyxL += )(sin3,0,3)(cos3,0 tytx =+= , }20 π<≤ t
у випадках з однаковими потенціалами 00* =ϕ=ϕ (рис. 4, а) і різними по-
тенціалами 0* =ϕ , 2,00 =ϕ (рис. 4, б). Розраховані витрати свердловин
становлять 90504,1*
0
*
* ==QQ і 94942,1*
* =Q , 08008,1*
0 =Q відповідно. На
рис. 4, в зображено динамічну сітку для свердловин
5,1)(sin3,0,3)(cos3,0:{* −=−=+= tytxiyxL , }20 π<≤ t , :{0 iyxL +=
5,1)(sin3,0,3)(cos3,0 +=+= tytx , }20 π<≤ t з потенціалами 00* =ϕ=ϕ
(отримано 99013,1*
0
*
* == QQ ), на рис. 4, г — динамічну сітку для свердловин
5,2)(cos3,0:{* −=+= txiyxL , }20,1)(sin3,0 π<≤−= tty , =+= xiyxL :{0
}20,1)(sin3,0,5,2)(cos3,0 π<≤+=+= ttyt з потенціалами 3,0* =ϕ , 00 =ϕ
(отримано 59339,0*
* =Q , 7718,1*
0 =Q ). На рис. 4 г, е маємо випадки неси-
метричного розміщення свердловин різних діаметрів: :{* iyxL +=
5,2)(cos2,0 −= tx , 2)(sin2,0 += ty , }20 π<≤ t , +=+= )(cos3,0:{0 txiyxL ,
}20,5,0)(sin3,05,3 π<≤+=+ tty з потенціалами 00* =ϕ=ϕ (рис. 4, г)
і 0* =ϕ , 2,00 =ϕ (рис. 4, е). Отримані витрати становлять 84901,1*
0
*
* == QQ
і 98889,1*
* =Q , 98397,0*
0 =Q відповідно.
ВИСНОВКИ
Розвинуто методику моделювання фільтраційних процесів для багато-
зв’язних криволінійних LEF-областей на основі синтезу числових методів
комплексного аналізу та сумарних зображень і запропоновано підхід до ви-
рішення проблеми неоднозначності побудови відповідної області комплексного
квазіпотенціалу. Використання методів сумарних зображень як компонентів
методики на базі комплексного аналізу дозволило істотно удосконалити існую-
чі підходи до розв’язання такого класу задач, підвищити ефективність (швид-
кість збіжності) відповідного ітераційного процесу, оскільки уможливило від-
шукання необхідної точності початкового наближення шуканих функцій, дало
змогу в комплексі (сумарно) на кожному ітераційному кроці враховувати вплив
не лише навколишніх, а й усіх крайових та внутрішніх вузлів динамічної сітки,
а тому значно пришвидшило досягнення спряженості шуканих гармонічних
функцій [1].
ЛІТЕРАТУРА
1. Бомба А.Я. Синтез числових методів конформних відображень та сумарних
зображень при моделюванні ідеальних полів для криволінійних областей /
А.Я. Бомба, А.П. Кузьменко, О.М. Гладка // Вісн. Київ. нац. ун-ту
ім. Т. Шевченка. Серія: Фіз.-мат. науки. — 2012. — № 2. — С. 87–94.
2. Hladka О.The complex analysis method of numerical identification of parameters of
quasiideals processes in doubly-connected nonlinear-layered curvilinear domains
Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів у …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 73
/ О. Hladka, A. Bomba // Journal of Mathematics and System Science (USA). —
2014. — 4, № 7 (Ser. N. 29). — P. 514–521.
3. Бомба А.Я. Математичне моделювання нелінійних фільтраційних процесів у
сланцевих пластах / А.Я. Бомба, О.М. Гладка // Фізико-математичне
моделювання та інформаційні технології. — Львів, 2013. — № 18. —
С. 32–42.
4. Бомба А.Я. Синтез числових методів квазіконформних відображень, сумарних
зображень та декомпозиції області для розв'язання нелінійних крайових задач у
шаруватих середовищах / А.Я. Бомба, О.М. Гладка // Обчислювальна та
прикладна математика. — № 1 (111). — К., 2013. — С. 35–45.
5. Бомба А.Я. Методи комплексного аналізу: моногр. / А.Я. Бомба, С.С. Каштан,
Д.О. Пригорницький, С.В. Ярощак. — Рівне: НУВГП, 2013. — 415 с.
6. Ляшко И.И. Численно-аналитическое решение краевых задач теории фильтра-
ции / И.И. Ляшко, И.М. Великоиваненко. — К.: Наук. думка, 1973. —
264 с.
7. Гладка О.М. Моделювання нелінійних фільтраційних процесів у техногенно-
деформованих пластах методами комплексного аналізу та сумарних
зображень: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук; ТНТУ
ім. І. Пулюя / О.М. Гладка. — Тернопіль, 2015. — 20 с.
8. Бомба А.Я. Крайові задачі на конформні відображення для тризв’язних
областей з потенціалом керування / А.Я. Бомба, Д.О Пригорницький //
Доповіді НАН України. — 2004. — № 4. — С. 57–63.
9. Бомба А.Я. Системный анализ фильтрационных процессов в многосвязных
криволинейных областях / А.Я. Бомба, В.В. Скопецкий, С.В. Ярощак //
Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 4. — С. 64–72.
Надійшла 26.11.2015
Примітка. Рисунки подано у виконанні автора.
|
| id | journaliasakpiua-article-74950 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:20:46Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/2a/475d0e996be98e52bc98ea850db2862a.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-749502018-03-30T15:27:05Z Systematic approach to mathematical modeling of filtration processes in multiply-connected curvilinear LEF-layers Системный подход к математическому моделированию фильтрационных процессов в многосвязных криволинейных LEF-пластах Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів в багатозв’язних криволінійних LEF-пластах Hladka, Olena M. mathematical modeling filtration processes multiply-connected domains summary representations methods numerical methods of complex analysis domain decomposition LEF-layer математическое моделирование процессы фильтрации многосвязные области методы суммарных представлений численные методы комплексного анализа декомпозиция области LEF-пласт математичне моделювання процеси фільтрації багатозв'язні області методи сумарних зображень числові методи комплексного аналізу декомпозиція області LEF-пласт The constructive systematic approach to mathematical modeling of filtration processes for the three- and four-connected curvilinear LEF-domains bounded equipotential lines was developed on the basis of synthesis of methods of complex analysis and numerical-analytical methods of summary representations. The problem of ambiguity of constructing the domain of the complex quasi-potential for multiply-connected LEF-domains that model the interaction of injection and production wells in oil and gas reservoirs was solved. The classification of cases of the flow forming, that allows to unify the formulation of problems of inversion of quasiconformal mappings and their difference analogues. The algorithm for solving the problem was constructed that auto-matically constructs the dynamic grids, finds unknown separation lines and points of "suspension" of the flow, calculates the total flow, and so on. The numerical calculations for one of the variants of the flow formation are presented. На основе синтеза методов комплексного анализа и численно-аналитических методов суммарных представлений разработан конструктивный системный подход к математическому моделированию фильтрационных процессов для трех- и четырех-связных криволинейных LEF-областей, ограниченных эквипотенциальными линиями. Решена проблема неоднозначности построения области комплексного квазипотенциала для многосвязных LEF-областей, моделирующих взаимодействие нагнетательных и эксплуатационных скважин в нефтегазовых пластах. Предложена классификация вариантов формирования течения, позволяющая унифицировать постановки задач на обращение квазиконформных отображений и их разностные аналоги. Построен алгоритм решения задачи, по которому автоматически строятся динамические сетки, находятся неизвестные линий раздела течения и точки "приостановки" потока, исчисляются фильтрационные расходы и т. д. Приведены числовые расчеты для од-ного из вариантов формирования течения. На основі синтезу методів комплексного аналізу і числово-аналітичних методів сумарних зображень розроблено конструктивний системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів для три- та чотиризв’язних криволі-нійних LEF-областей, обмежених еквіпотенціальними лініями. Вирішено проблему неоднозначності побудови області комплексного квазіпотенціалу для багатозв’язних LEF-областей, що моделюють взаємодію нагнітальних та експлуатаційних свердловин у нафтогазових пластах. Запропоновано таку класифікацію випадків формування течії, що дозволяє уніфікувати формулювання задач на обернення квазіконформних відображень і їх різницеві аналоги. Побудовано алгоритм розв'язання задачі, за яким автоматично будуються динамічні сітки, знаходяться невідомі лінії розділу течії і точки "призупинення" потоку, обчислюються фільтраційні витрати тощо. Наведено числові розрахунки для одного з варіантів формування течії. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2016-06-21 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/74950 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.2.06 System research and information technologies; No. 2 (2016); 58-73 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2016); 58-73 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2016); 58-73 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/74950/70374 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | математичне моделювання процеси фільтрації багатозв'язні області методи сумарних зображень числові методи комплексного аналізу декомпозиція області LEF-пласт Hladka, Olena M. Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів в багатозв’язних криволінійних LEF-пластах |
| title | Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів в багатозв’язних криволінійних LEF-пластах |
| title_alt | Systematic approach to mathematical modeling of filtration processes in multiply-connected curvilinear LEF-layers Системный подход к математическому моделированию фильтрационных процессов в многосвязных криволинейных LEF-пластах |
| title_full | Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів в багатозв’язних криволінійних LEF-пластах |
| title_fullStr | Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів в багатозв’язних криволінійних LEF-пластах |
| title_full_unstemmed | Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів в багатозв’язних криволінійних LEF-пластах |
| title_short | Системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів в багатозв’язних криволінійних LEF-пластах |
| title_sort | системний підхід до математичного моделювання фільтраційних процесів в багатозв’язних криволінійних lef-пластах |
| topic | математичне моделювання процеси фільтрації багатозв'язні області методи сумарних зображень числові методи комплексного аналізу декомпозиція області LEF-пласт |
| topic_facet | mathematical modeling filtration processes multiply-connected domains summary representations methods numerical methods of complex analysis domain decomposition LEF-layer математическое моделирование процессы фильтрации многосвязные области методы суммарных представлений численные методы комплексного анализа декомпозиция области LEF-пласт математичне моделювання процеси фільтрації багатозв'язні області методи сумарних зображень числові методи комплексного аналізу декомпозиція області LEF-пласт |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/74950 |
| work_keys_str_mv | AT hladkaolenam systematicapproachtomathematicalmodelingoffiltrationprocessesinmultiplyconnectedcurvilinearleflayers AT hladkaolenam sistemnyjpodhodkmatematičeskomumodelirovaniûfilʹtracionnyhprocessovvmnogosvâznyhkrivolinejnyhlefplastah AT hladkaolenam sistemnijpídhíddomatematičnogomodelûvannâfílʹtracíjnihprocesívvbagatozvâznihkrivolíníjnihlefplastah |