Дослідження задач знаходження оптимального розподілу між підприємствами
The problem of the allocation of resources among enterprises from different industries as parts of the economic conglomerate is considered. The different ways of stating the problem and inputting the data, taking into account the possibility of building their own functions of return, control action,...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/75176 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334276689690624 |
|---|---|
| author | Iakovleva, Alla P. Kurdup, Ivan O. |
| author_facet | Iakovleva, Alla P. Kurdup, Ivan O. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Alla P. Iakovleva",
"institution": "Кафедра математичних методів системного аналізу Навчально-наукового комплексу \"Інститут\nприкладного системного аналізу\" НТУУ \"КПІ\", Київ"
},
{
"author": "Ivan O. Kurdup",
"institution": "Навчально-науковий комплекс \"Інститут прикладного системного аналізу\" НТУУ \"КПІ\", Київ"
}
] |
| author_sort | Iakovleva, Alla P. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:27:05Z |
| description | The problem of the allocation of resources among enterprises from different industries as parts of the economic conglomerate is considered. The different ways of stating the problem and inputting the data, taking into account the possibility of building their own functions of return, control action, and time are presented. The key method of solving the problem is the dynamic programming [1]. Also, we investigated an alternative formalization of the problem in which the phase and control variables may take an infinite number of values, which made it impossible to use standard tables for dynamic programming and lead to analytical calculations. In the latter case, we provide a number of limitations, which convert the function of return to the form that satisfies the conditions of production functions. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.2.07 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:20:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.П. Яковлева, І.О. Курдуп, 2016
74 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 519.85
DOI : 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.2.07
ДОСЛІДЖЕННЯ ЗАДАЧ ЗНАХОДЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНОГО
РОЗПОДІЛУ РЕСУРСІВ МІЖ ПІДПРИЄМСТВАМИ
А.П. ЯКОВЛЕВА, І.О. КУРДУП
Розглянуто задачу розподiлу ресурсiв мiж пiдприємствами різних галузей
у складі одного економічного конгломерату. Наведено різні способи постано-
вки задачі та введення вихідних даних з урахуванням можливості побудови
власних функцiй вiддачi, керувальної дії та часу. Ключовим методом
розв’язання задачі є апарат динамiчного програмування Беллмана [1]. Дослі-
джено альтернативну формалізацію задачі, у якій фазові і керувальні змінні
можуть набувати нескінченної кількості значень, що унеможливлюють засто-
сування стандартних для динамічного програмування таблиць, що призводить
до необхідності аналітичних розрахунків. Запропоновано обмеження, які зво-
дять функції віддачі до вигляду, що задовольняє умови виробничих функцій.
ВСТУП
Апарат динамічного програмування Беллмана був створений для доповнен-
ня класичного аналізу та варіаційного числення в умовах широкого викори-
стання комп’ютерів. Він дозволяв отримувати оптимальну стратегію дій,
а не тактичний розв’язок статичних задач, хоча широкі класи динамічних
задач можна звести до однокрокових досить великої розмірності. Задача
розподілу ресурсів, як і будь-яка інша задача динамічного програмування,
є багатоетапною. Тобто вона поділяється на ряд послідовно розв’язуваних
задач з меншою кількістю змінних. Отримані розв’язки підзадач використо-
вуються для побудови розв’язку основної задачі. Для задач цього типу важ-
ливим є виконання умов відсутності післядії та адитивності цільової функ-
ції. Оптимальна стратегія за принципом оптимальності Беллмана полягає
в тому, що якими б не були початкові умови і початковий стан, подальші
розв’язки повинні становити оптимальну поведінку щодо стану, отриманого
в результаті першочергового розв’язку [1]. Математично цей принцип опи-
сується таким чином:
]()),([optimum)( 1)1(11
1
++−++− +=
+
llNlll
U
llN SBUSRSB
l
, )1,0( −= Nl , (1)
де lU — керування, обране на l -му кроці; lS — стан системи на l -му кроці;
lR — безпосередній ефект, досягнутий на l -му кроці; lNB − — оптимальне
Дослідження задач знаходження оптимального розподілу ресурсів між підприємствами
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 75
значення ефекту, що досягається за lN − кроків; N — загальна кількість
кроків.
Мета роботи — розроблення ефективного розподілу ресурсів між еко-
номічними підприємствами, який ґрунтується на застосуванні апарату ди-
намічного програмування до задачі оптимізації за умов різних способів за-
дання вихідних даних.
ЗАДАЧА РОЗПОДІЛУ РЕСУРСІВ. ТАБЛИЧНА ПОСТАНОВКА
Нехай у складі певного конгломерату є 4=N підприємств, які використо-
вують один ресурс деякими цілими порціями ,..., 21 vv , а початкова сума ста-
новить 100=V 000. По закінченні робочого терміну вони повертають при-
буток за певним правилом )(xPn , відображеним у табл. 1. Потрібно знайти
оптимальну стратегію розподілу ресурсів, тобто визначити кількість ресур-
сів, яку необхідно виділити кожному підприємству для отримання максима-
льного сумарного прибутку.
Т а б л и ц я 1 . Умова задачі
Ресурси )(1 xP )(2 xP )(3 xP )(4 xP
20 10 12 11 16
40 31 26 36 37
60 42 36 45 46
80 62 54 60 63
100 76 78 77 80
У такій формалізації на n -му кроці розв’язання задачі для n -го підпри-
ємства і кожного можливого виділеного йому обсягу ресурсів v визначаєть-
ся його прибуток )(vPn . Функціональне рівняння Беллмана має вигляд
)]()([max)( 1
0
xcBxPcB nn
cx
n −+= −
≤≤
,
де с — кількість ресурсів, яка розподіляється між усіма підприємствами,
що розглядаються на поточному кроці; x — поточна змінна, у якій зберіга-
ються можливі значення наданих підприємствам ресурсів.
Розраховуємо максимальний прибуток для кожної кількості виділених
підприємству ресурсів (табл. 2–4). Причому в табл. 2 кількість ресурсів с
розподіляється між двома підприємствами, у табл. 3 — між трьома, а
в табл. 4 — результуюча. Часто можливу кількість ресурсів подають дис-
кретною вибіркою, що робить можливим використання таблиць для
розв’язання задачі. На відміну від більшості задач динамічного програму-
вання послідовність етапів розв’язання в цьому випадку установлюємо спо-
чатку для першого підприємства, тому )()( 11 xPxB = . По завершенні остан-
нього етапу значення функції Беллмана дорівнюватиме максимальному
прибутку об’єднання підприємств. Обраний розподіл ресурсів буде опти-
мальним керуванням.
А.П. Яковлева, І.О. Курдуп
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 76
Т а б л и ц я 2 . Результати першого кроку
x
c
0 20 40 60 80 100 )(2 cf )(2 cx
20 0+10 12+0 12 20
40 0+31 12+10 26+0 31 0
60 0+42 12+31 26+10 36+0 43 20
80 0+62 12+42 26+31 36+10 54+0 62 0
100 0+76 12+62 26+42 36+31 54+10 78+0 78 100
Т а б л и ц я 3 . Результати другого кроку
x
c
0 20 40 60 80 100 )(3 cf )(3 cx
20 0+12 11+0 12 0
40 0+31 11+12 36+0 36 40
60 0+43 11+31 23+12 45+0 48 40
80 0+62 11+43 36+31 45+12 60+0 67 40
100 0+78 11+62 36+43 45+31 60+12 77+0 79 40
Т а б л и ц я 4 . Результуюча таблиця
с )(1 cx )(1 cf )(2 cx )(2 cf )(3 cx )(3 cf )(4 cx )(4 cf
0 0 0 0 0 0 0 0 0
20 20 10 20 12 0 12 20 16
40 40 31 0 31 40 36 40 37
60 60 42 20 43 40 48 20 52
80 80 62 0 62 40 67 40 73
100 100 76 100 78 40 79 40 85
Тобто оптимальний прибуток становить 85)100(4 =B , що відповідає
керуванню 0)0(,20)20(,40)60(,40)100( 1234 ==== xxxx .
Функції )(vPn можуть бути різної природи, тобто виражатися не лише
дискретною вибіркою залежно від керувальної функції v , а й набувати лі-
нійних, експоненційних, тригонометричних чи інших залежностей. Керува-
льний вплив діяння v може набувати більш складних форм. Зокрема, його
можна подати у вигляді btasv += , де s — грошові ресурси; t — час;
ba, — нормувальні коефіцієнти. Подібна функція потрібна у випадку, як-
що час виконання роботи підприємством є важливим, проте весь процес
відбувається лише за один часовий етап.
ДВОЕТАПНА ЗАДАЧА РОЗПОДІЛУ РЕСУРСІВ
Створювати часові етапи роботи підприємств і оптимізувати розподіл ре-
сурсів можна на кожному етапі. У цьому випадку на кожному етапі із
загальної суми ресурсів виділяється частина і розподіляється між
підприємствами. Проте необхідно виконувати для кожного етапу умовну
Дослідження задач знаходження оптимального розподілу ресурсів між підприємствами
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 77
оптимізацію [2], у процесі якої обчислюються функції Беллмана та умовно-
оптимальні керування.
Для спрощення формалізації введемо такі припущення. Будемо розгля-
дати виробниче об’єднання, у яке входять два підприємства і яке планує ро-
боту на період два роки. У процесі діяльності підприємства отримують при-
буток, затрачуючи певні ресурси, які виділяються їм на початку кожного
року. Наприкінці року невитрачені ресурси перерозподіляються між підпри-
ємствами. Вважатимемо, що початковий обсяг ресурсів об’єднання дорів-
нює V і він повністю розподілений між підприємствами. Якщо надані під-
приємствам ресурси v , вони повертають прибуток у розмірі 0)(1 ≥vP
і 0)(2 ≥vP , витрачаючи при цьому ресурси в обсязі vvQ ≤≤ )(0 1
і vvQ ≤≤ )(0 2 . Сумарний обсяг ресурсів, що залишається у виробничому
об’єднанні по закінченні першого і другого років роботи позначимо від-
повідно через 1x і 2x , які є фазовими змінними. Початковий стан системи
характеризується значенням Vx =0 . Керувальною змінною iu вважатимемо
обсяг ресурсів, що виділяється першому підприємству на i -му кроці проце-
су. Тобто на початку першого року першому підприємству дістанеться 1u
ресурсів, а другому — 10 ux − . Відповідно на початку другого року підприєм-
ства матимуть 2u і 21 ux − . Функція процесу ),( 1 iiii uxfx −= , що визначає
закон зміни стану виробничого об’єднання, набуває вигляду
))()(( 1211 iiiii uxQuQxx −+−= −− і має такий сенс: щороку сумарний обсяг
ресурсів зменшується на величину їх затрат на обох підприємствах. А оскіль-
ки затрати невід’ємні, він постійно зменшується. Економічний ефект на
кроці i визначається у такий спосіб: )()( 121 iiii uxPuPz −+= − . За такої фор-
малізації задачі фазові і керувальні змінні можуть набувати нескінченної
кількості значень, що робить неможливим використання таблиць, як і в біль-
шості задач динамічного керування Беллмана, зумовлюючи необхідність
аналітичних розрахунків [3].
На етапі умовної оптимізації для 1,2=i , використовуючи принцип оп-
тимальності (1), виконуємо розрахунок функцій Беллмана )( ii xB і умовно-
оптимальних керувань )( 1−ii xu [4]. Розрахунки почнемо з умови 0)( 22 =xB .
На початку кроку 2=i загальний обсяг ресурсів виробничого
об’єднання становить ще невідоме значення 01 ≥x . Для цього кроку основ-
не функціональне рівняння Беллмана набуває вигляду
)},(|)(),({max)( 21222221211
2
uxfxxBuxzxB
u
=+= де 120 xu ≤≤ .
Ураховуючи умову 0)( 22 =xB , явний вигляд функції ),( 212 uxz і об-
ласть значень змінної 2u , отримуємо: )}()({max)( 21221
0
11
12
uxPuPxB
xu
−+=
≤≤
.
Конкретизуємо вигляд функцій прибутку: vKvP 11 )( = , vKvP 22 )( = ,
де 21, KK — деякі додатні коефіцієнти продуктивності. Функцію квадрат-
ного кореня вибрано не випадково — вона задовольняє властивості вироб-
ничих функцій:
А.П. Яковлева, І.О. Курдуп
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 78
– v визначена на 0≥v , тобто обсяги ресурсів не можуть набувати
від’ємних значень;
– v додатна і дорівнює 0 при 0=v . Підприємство не дає прибутку за
відсутності ресурсів і забезпечує певну віддачу за їх наявності;
– v монотонно зростає;
– похідна
v
v
2
1)( =′ монотонно спадає. Ця властивість в економічній
теорії називається законом спадної ефективності і добре підтверджується на
практиці.
Розглянемо функцію 2122122 )( uxKuKuG −+= . Розв’язком рівнян-
ня 0)( 22 =′ uG є 12
2
2
1
2
1
12 )( x
KK
Kxu
+
= , тоді функція Беллмана
1
2
2
2
111 )()( xKKxB += . Варто зазначити, що функція Беллмана не залежить
від затрат ресурсів на підприємствах, що логічно для останнього кроку [5],
а виділення всіх ресурсів матиме гірший результат, ніж розподілення ре-
сурсів.
Крок 1=i . На початку цього кроку обсяг ресурсів об’єднання Vx =0 .
На підставі функцій ),( 101 uxf і ),( 101 uxz побудуємо основне функціональне
рівняння Беллмана:
)()()},()()({max)( 10211011110211
0
00
01
uxQuQxxxBuxPuPxB
xu
−−−=+−+=
≤≤
.
Конкретизуємо функції: vavQ 11 )( = , vavQ 22 )( = , де коефіцієнти
21, aa — певні коефіцієнти використання ресурсів з інтервалу )1,0( . У ре-
зультаті
+−+=
≤≤
10211
0
00 {max)(
01
uxKuKxB
xu
}))()1)((( 11202
2
2
2
1 uaaxaKK −+−++ .
Пошук максимуму цієї функції можна звести до знаходження коренів
багаточлена 4-го степеня, проте через його громіздкість і складність будемо
вважати, що на першому кроці ресурси поділено порівну між підприємства-
ми, тобто рівняння 0)( 11 =′ uG має корінь
2
0
1
xu = , що породжує умову
)(2 21
21
2
2
2
1
21
aa
aa
KK
KK
+−
−
=
+
− , (2)
а функція Беллмана набуває вигляду
2
))2)((()( 0
12
2
2
2
12100
xaaKKKKxB −−+++= .
Важливим є той факт, що на кожному етапі функція Беллмана стає де-
далі складнішою, що потребує обчислень за допомогою комп’ютерів.
Дослідження задач знаходження оптимального розподілу ресурсів між підприємствами
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 2 79
Подальший етап безумовної оптимізації за відомих коефіцієнтів K та a
поверне необхідне керування на кожному кроці та отриманий результат. Не-
хай ,31 =K .6,0,4,0,4 212 === aaK Ці значення задовольняють умову (2).
Тепер задачу можна звести до числового розв’язку: першого року першому
підприємству виділено половину ресурсів, а другого — 0,36 від залишку
ресурсів. Усіх ресурсів після першого року залишилась половина, а після
другого — 0,236 від початкової їх кількості .V Розмір оптимального
прибутку виражається функцією Беллмана .26)(0 VVB =
ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК І ПОРІВНЯННЯ МОДЕЛЕЙ
Розглянемо тепер задачу розподілу ресурсів у табличній та двоетапній по-
становках і порівняємо їх, визначаючи можливі похибки та складність пере-
ходу з однієї моделі до іншої. З цією метою створено програмний продукт,
який дозволяє проводити обчислювальні експерименти і отримувати точні
дані для порівняння у випадку зведення двоетапної задачі до табличного
вигляду.
Для цього функції віддачі підприємств дискретизуються на певну, за-
дану користувачем, кількість дискрет, і задача розв’язується в табличному
вигляді. Залежність похибок від їх кількості між отриманою функцією
Беллмана експериментально і точною для трьох наборів вхідних даних
,, 21 KK 21, aa (відображених у табл. 5) наведено в табл. 6 і 7.
Т а б л и ц я 5 . Тестові набори
Набори 1K 2K 1a 2a
Набір 1 3 4 0,4 0,6
Набір 2 2 1 0,9 0,576
Набір 3 6 5 0,532 0,4
Т а б л и ц я 6 . Залежність похибок від кількості дискрет при 1000000=V
Кількість дискрет Набір 1 Набір 2 Набір 3
10 3,002 1,064 0,286
30 0,429 0,143 0,038
50 0,065 0,061 0,017
100 0,016 0,003 7,93E-05
1000 0,0001 3,547E-05 7,959E-07
Результат 8485,281374 3265,872658 13485,53826
Т а б л и ц я 7 . Залежність похибок від кількості дискрет при 1000=V
Кількість дискрет Набір 1 Набір 2 Набір 3
10 0,095 0,033 0,032
30 0,002 0,0045 0,009
50 0,00175 0,0017 0,00335
100 0,000456 0,000438 0,000347
1000 4,74E‐06 4,51E‐06 1,10E‐05
Результат 268,3281573 103,2759615 426,4501637
А.П. Яковлева, І.О. Курдуп
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 2 80
Як бачимо, похибка обчислень дуже залежить від набору вхідних да-
них, проте стрімко зменшується зі збільшенням кількості дискрет. Подальше
дослідження ускладнюється тим, що комп’ютери уже при 10000 дискретах
не в змозі розв’язувати задачу за прийнятний час.
У разі зворотного переходу апроксимація табличних даних поліномами
старших порядків не забезпечує потрібної точності. Похибка результуючої
функції Беллмана виявляється того ж порядку, що і сама функція незалежно
від кількості дискрет, тому цей випадок тут не розглядається.
ВИСНОВКИ
У роботі подано постановки економічної задачі та основні ідеї підходів за-
стосування до її розв’язання методом динамічного програмування.
Розглянуто задачу розподілу ресурсів між підприємствами та побудо-
вано різні варіанти формалізації: табличне задання дискретних функцій від-
дачі підприємств залежно від наданих їм ресурсів, створення функціональ-
ної залежності віддачі підприємств об’єднання залежно від наданих їм
ресурсів за можливості двокритеріальної оптимізації в межах даної задачі
з урахуванням часу. Побудовано модель її розв’язання за деяких припущень.
Подано перехід дворічної моделі до табличної форми та розглянуто ви-
никаючі при цьому похибки.
У випадку більш широкого розгляду задачі, зняття обмежень з цільових
функцій та застосування більш ефективних виробничих функцій значно під-
вищується складність їх обчислення і це може стати предметом подальших
досліджень.
ЛІТЕРАТУРА
1. Беллман Річард. Динамічне програмування / Річард Беллман. — М.: Иностр.
лит-ра, 1960. — 400 с.
2. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология /
Е.С. Вентцель. — М.: Наука, 1980. — 208 с.
3. Таха Х.А. Введение в исследование операций / Х.А. Таха. — 7-е изд.; пер.
с англ. — М., 2005. — 912 с.
4. King Ian. A Simple Introduction to Dynamic Programming in Macroeconomic
Models / Ian King // The University of Auckland, 2002. — 30 p.
5. Giegerich R. A Discipline of Dynamic Programming over Sequence Data /
R. Giegerich, C. Meyer, P. Steffen // Faculty of Technology. — Bielefeld Uni-
versity, 2004. — 53 p.
6. Альсевич В.В. Методы оптимизации: упражнения и задания / В.В. Альсевич,
В.В. Крахотко. — Мн.: БГУ, 2005. — 405 с.
7. Кормен Т. Алгоритмы: построение и анализ / Т. Кормен, Ч. Лейзерсон,
Р. Ривест, К. Штайн; под ред. И.В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс,
2005. — 1296 с.
Надійшла 01. 12. 2015
|
| id | journaliasakpiua-article-75176 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:20:47Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/7b/ee324a2742e6dab519d40bb4a856be7b.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-751762018-03-30T15:27:05Z Investigation of the problems of the allocation of resources among enterprises Исследование задач нахождения оптимального распределения между предприятиями Дослідження задач знаходження оптимального розподілу між підприємствами Iakovleva, Alla P. Kurdup, Ivan O. dynamic programming equation multistage process optimal resources allocation production function динамическое программирование беллмана многоэтапные процессы оптимальное распределение ресурсов производственные функции динамічне програмування беллмана багатоетапні процеси оптимальний розподіл ресурсів виробничі функції The problem of the allocation of resources among enterprises from different industries as parts of the economic conglomerate is considered. The different ways of stating the problem and inputting the data, taking into account the possibility of building their own functions of return, control action, and time are presented. The key method of solving the problem is the dynamic programming [1]. Also, we investigated an alternative formalization of the problem in which the phase and control variables may take an infinite number of values, which made it impossible to use standard tables for dynamic programming and lead to analytical calculations. In the latter case, we provide a number of limitations, which convert the function of return to the form that satisfies the conditions of production functions. Рассмотрена задача о распределении ресурсов между предприятиями разных отраслей в составе одного экономического конгломерата. Приведены различные способы постановки задачи и ввода исходных данных с учетом возможности построения собственных функций отдачи, управляющего действия и времени. Ключевым методом решения задачи является апарат динамического программирования Беллмана [1]. Исследована альтернативная формализация задачи, в которой фазовые и управляющие переменные могут принимать бесконечное количество значений, что делает невозможным применение стандартных для динамического программирования таблиц и приводит к необходимости аналитических расчетов. Предложен ряд ограничений, что сводят функции отдачи к виду, который удовлетворяет условиям производственных функций. Розглянуто задачу розподiлу ресурсiв мiж пiдприємствами різних галузей у складі одного економічного конгломерату. Наведено різні способи постановки задачі та введення вихідних даних з урахуванням можливості побудови власних функцiй вiддачi, керувальної дії та часу. Ключовим методом розв’язання задачі є апарат динамiчного програмування Беллмана [1]. Досліджено альтернативну фор-малізацію задачі, у якій фазові і керувальні змінні можуть набувати нескінченної кількості значень, що унеможливлюють застосування стандартних для динамічного програмування таблиць, що призводить до необхідності аналітичних розрахунків. Запропоновано обмеження, які зводять функції віддачі до вигляду, що задовольняє умови виробничих функцій. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2016-06-21 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/75176 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.2.07 System research and information technologies; No. 2 (2016); 74-80 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2016); 74-80 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2016); 74-80 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/75176/70647 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | динамічне програмування беллмана багатоетапні процеси оптимальний розподіл ресурсів виробничі функції Iakovleva, Alla P. Kurdup, Ivan O. Дослідження задач знаходження оптимального розподілу між підприємствами |
| title | Дослідження задач знаходження оптимального розподілу між підприємствами |
| title_alt | Investigation of the problems of the allocation of resources among enterprises Исследование задач нахождения оптимального распределения между предприятиями |
| title_full | Дослідження задач знаходження оптимального розподілу між підприємствами |
| title_fullStr | Дослідження задач знаходження оптимального розподілу між підприємствами |
| title_full_unstemmed | Дослідження задач знаходження оптимального розподілу між підприємствами |
| title_short | Дослідження задач знаходження оптимального розподілу між підприємствами |
| title_sort | дослідження задач знаходження оптимального розподілу між підприємствами |
| topic | динамічне програмування беллмана багатоетапні процеси оптимальний розподіл ресурсів виробничі функції |
| topic_facet | dynamic programming equation multistage process optimal resources allocation production function динамическое программирование беллмана многоэтапные процессы оптимальное распределение ресурсов производственные функции динамічне програмування беллмана багатоетапні процеси оптимальний розподіл ресурсів виробничі функції |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/75176 |
| work_keys_str_mv | AT iakovlevaallap investigationoftheproblemsoftheallocationofresourcesamongenterprises AT kurdupivano investigationoftheproblemsoftheallocationofresourcesamongenterprises AT iakovlevaallap issledovaniezadačnahoždeniâoptimalʹnogoraspredeleniâmeždupredpriâtiâmi AT kurdupivano issledovaniezadačnahoždeniâoptimalʹnogoraspredeleniâmeždupredpriâtiâmi AT iakovlevaallap doslídžennâzadačznahodžennâoptimalʹnogorozpodílumížpídpriêmstvami AT kurdupivano doslídžennâzadačznahodžennâoptimalʹnogorozpodílumížpídpriêmstvami |