Знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння другого порядку із запізненням
The work suggests an approach to finding of periodic solutions of the nonlinear delayed second order differential equations. There exists a numerical-analytical method that is generalized for delayed equations and whose idea is to reduce the equation to the system of the first order. The suggested a...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2016
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/88257 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334299805548544 |
|---|---|
| author | Bokhonov, Yuriy I. |
| author_facet | Bokhonov, Yuriy I. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Yuriy I. Bokhonov",
"institution": "ННК \"Інститут Прикладного Системного Аналізу\" НТУУ \"Київський Політехнічний Інститут\", Київ, Україна"
}
] |
| author_sort | Bokhonov, Yuriy I. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:25:41Z |
| description | The work suggests an approach to finding of periodic solutions of the nonlinear delayed second order differential equations. There exists a numerical-analytical method that is generalized for delayed equations and whose idea is to reduce the equation to the system of the first order. The suggested approach explores the equation itself without its reduction to the system of the first order. The Green function for the self-adjoint differential operator of the second derivative is built, that is defined on functions that satisfy periodic boundary conditions. The necessary and sufficient existence conditions of the periodic equation solutions are given. The estimation for the rate of convergence of the method of approximate calculations is obtained. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.4.13 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:22:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ю.Є. Бохонов, 2016
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 133
УДК 517.94
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.4.13
ЗНАХОДЖЕННЯ ПЕРІОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ
ЗВИЧАЙНОГО НЕЛІНІЙНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО
РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Ю.Є. БОХОНОВ
Анотація. Запропоновано підхід до знаходження періодичних розв’язків нелі-
нійного диференціального рівняння другого порядку із запізненням. Відомо
числово-аналітичний метод знаходження періодичних розв’язків для звичай-
них рівнянь другого порядку, що узагальнюється для рівнянь із запізненням, у
якому рівняння зводиться до системи першого порядку. У пропонованому ме-
тоді досліджено саме рівняння без зведення його до системи. Побудовано
функцію Гріна для самоспряженого диференціального оператора другої похід-
ної, що визначений на функціях, які задовольняють періодичні крайові умови.
Наведено необхідні і достатні умови існування періодичних розв’язків рівнян-
ня. Отримано оцінку швидкості збіжності наближених обчислень.
Ключові слова: періодичні розв’язки, нелінійне диференціальне рівняння
з запізненням, періодична крайова задача, функція Гріна, самоспряжений ди-
ференціальний оператор.
ВСТУП
Широко відомо числово-аналітичний методі знаходження періодичних
розв’язків системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку
[1]–[3]. Його використовують також для знаходження періодичних
розв’язків рівняння другого порядку шляхом зведення його до системи пер-
шого порядку. Узагальнення цього методу застосовують для розв’язання
такої ж задачі для рівнянь та систем рівнянь із запізненням [4], [5]. У пропо-
нованій роботі шукаються періодичні розв’язки для рівняння із запізненням
другого порядку без зведення його до системи першого порядку. Таку мето-
дику запропоновано для звичайного рівняння другого порядку [6]. Періоди-
чний розв’язок інтерпретується як розв’язок крайової задачі з періодичними
умовами.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Знаходження періодичного розв’язку диференціального рівняння другого
порядку із запізненням можна звести до розв’язання періодичної крайової
задачі для цього рівняння на відрізку, довжина якого дорівнює періоду. Та-
кий підхід не потребує зведення рівняння другого порядку до системи рів-
нянь першого порядку.
Отже, будемо шукати періодичні за t з періодом T розв’язки рівняння
))(),(),(),(,( txtxtxtxtfx (1)
(зазвичай, T0 ).
Ю.Є. Бохонов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 134
Нехай функція ),,,,( vyuxtf задовольняє такі умови:
а) неперервність і обмеженість на ]`,][,[],[],[),( dcdcbabaD ,
Позначимо
;),,,,(sup vyuxtfM
D
(2)
б) періодичність за t з періодом T ,
в) виконання умови Ліпшиця:
),,,,(),,,,( 22221111 vyuxtfvyuxtf
211211210210
~~
vvKyyKuuKxxK . (3)
Будемо шукати розв’язок (1), який задовольняє крайові умови
)()0(),()0( TxxTxx (4)
Зрозуміло, що його та його похідну можна періодично продовжити на
всю вісь.
РОЗВ’ЯЗАННЯ ПЕРІОДИЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ
Пропонується розглянути самоспряжений диференціальний оператор
)())(( txtLx у гільбертовому просторі ),,0(2 TLH область визначення
якого – функції, що мають абсолютно неперервну першу похідну, які задо-
вольняють крайові умови (4). Задача знаходження періодичних розв’язків
зводиться до задачі обернення оператора L . Треба, утім, зауважити, що цей
оператор не має оберненого, оскільки, як легко бачити, 0 є його власним
числом з одновимірним власним підпростором 1H , натягнутим на функцію
1)( tx . Із самоспряженості оператора випливає, що підпростір H̀ , ортого-
нальний до одиниці, є інваріантним відносно L . При цьому HHH `1 .
Підпростір ,H очевидно, складається із функцій, середнє яких за [0, T]
0)(
1
0
T
dtth
T
h Hh ` дорівнює нулю. Слід зауважити, що функція
в правій частині рівняння (1) не належить до ,H̀ тому далі будемо розгля-
дати допоміжне рівняння
.))(),(,)(),(,( ftxtxtxtxtfx (5)
Для побудови вказаного оберненого оператора використаємо авторську
методику із праці [1], за допомогою якої знаходимо функцію Гріна:
.0,
;0,
2
1
)2(
2
1
),( 2
Ttt
Ttt
t
T
tG (6)
Тоді .)(),()(
0
T
dhtGtx Звідси маємо: ,)(),()(
0
T
t dhtGtx де
Знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 135
.0;
2
1
;0;
2
1
),(
Tt
T
Tt
TtG (7)
Завдяки розкладу в пряму ортогональну суму HHH `1 кожен
розв’язок крайової задачі для рівняння (5) можна подати у вигляді
),()( 10 txxtx де ,0, 10 xxx тобто
.)))(),(),(),(,((),()(
0
0
T
dfxxxxftGxtx (8)
Разом з рівнянням (8) розглядається рівняння для похідної:
.)))(),(),(),(,((),()(
0
T
t dfxxxxftGtx (9)
Система (8)–(9) розв’язується методом послідовних наближень. Якщо
процес збігається, отримуємо розв’язок ),,( 0xtx який при підстановці в
рівняння (8) перетворює його в тотожність. Для того, щоб цей розв’язок був
також розв’язком (1), очевидно необхідно і разом з виконанням умов (4)
достатньо, щоб виконувалась умова
,0)),(),,(),,(),,(,(
0
0000
T
dxxxxf (10)
тобто щоб число 0x (яке є середнім від )(tx , розв’язку задачі) було коренем
цього рівняння.
Використовуючи формули (6), (7), перетворимо систему (8)–(9).
Інтеграл у правій частині формули (8):
T
dfxxxxftG
0
)))(),(),(),(,((),(
dtxxxxftG
T
))(),(),(),(,(),(
0
TT
dtG
T
dxxxxf
00
),(
1
))(),(),(),(,(
dxxftGtG
T
))(),(,())(),((
0
dxxf
T
t
T
T
t
))(),(,(
2122
1
0
22
.))(),(,(
212
22
T
t
dxxf
T
t
T
Ю.Є. Бохонов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 136
Отже, рівняння (8) набуде вигляду
dxxxxf
T
t
T
T
xtx
t
))(),(),(),(,(
2122
1
)(
0
22
0
.))(),(),(),(,(
212
22
dxxxxf
T
t
TT
t
(11)
Аналогічно перетворимо праву частину рівняння (9):
dxxxxf
T
t
T
tx
t
0
))(),(),(),(,()
2
(
1
)(
.))(),(),(),(,()
2
(
T
t
dxxxxf
T
t (12)
Цілком зрозуміло, що нерухома точка цього оператора є розв’язком си-
стеми інтегральних рівнянь (8)–(9).
Уведемо в просторі 2 псевдонорму: 2121 ,col),(col xxxx , а та-
кож для вектора-функції ))(),((col 21 txtx :
.)(max,)(maxcol,col),(col
],0[
2
],0[
12121
TtTt
txtxxxxx
Простір з такою псевдонормою буде частково впорядкованим, і для ве-
кторів ),(col),,(col yx при виконанні умов yx , використовувати-
мемо позначення ).,(col),(col yx
Шукати розв’язок системи (11)–(12) будемо методом послідовних на-
ближень:
dxxf
T
t
T
T
xtx
t
)0,0,,,(
2122
1
)( 00
0
22
01
dxxf
T
t
T
T
T
t
)0,0,,,(
2122
1
00
22
;
dxxf
T
tdxxf
T
t
T
tx
T
t
t
)0,0,,,(
2
)0,0,,,(
2
1
)( 0000
0
1 ,
……………………………………………………………………
0)( xtxm
dxxxxf
T
t
T
T mmmm
t
))(),(),(),(,(
2122
1
1111
0
22
dxxxxf
T
t
T
T mmmm
T
t
))(),(),(),(,(
2122
1
1111
22
;
Знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 137
dxxxxf
T
t
T
tx mmmm
t
m ))(),(),(),(,(
2
1
)( 1111
0
dxxxxf
T
t
T mmmm
T
t
))(),(),(),(,(
2
1
1111 .
Дослідимо цю послідовність на збіжність. Спочатку оцінимо відхилен-
ня першого наближення від нульового. Для більшої зручності зробимо це
для кожної координати окремо:
dxxf
T
t
T
T
xtx
t
)0,0,,,(
2122
1
)( 00
0
22
01
dxxf
T
t
T
T
t
)0,0,,,(
212 00
22
dxxf
T
t
T
T
t
)0,0,,,(
2122
1
00
0
22
dxxf
T
t
T
T
t
)0,0,,,(
212 00
22
M
T
d
T
t
T
d
T
t
T
T
M
T
t
t
3182122122
222
0
22
;
T
t
t
dxxf
T
tdxxf
T
t
T
tx )0,0,,,(
2
)0,0,,,(
2
1
)( 0000
0
1
422
0
MT
d
T
td
T
t
T
M
T
t
t
.
Очевидно, що такі самі оцінки справедливі для норм 01 )( xtx і
)(1 tx . Тому
M
T
M
T
xxx
4
,
318
col),(col
2
101 . (13)
Аналогічно оцінимо псевдонорму різниці ),(col 11 mmmm xxxx .
T
mmmmmm xxxxftGtxtx
0
1 ))(),(,)(),(,(),()()(
dxxxxf mmmm ))(),(),(),(,(
Ю.Є. Бохонов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 138
1100 1
~
1
~
318
2
mmmm xxKKxxKK
T
.
Тут використано факт, що для періодичної з періодом T функції
)()( txtx :
T
mmmmmm xxxxfttGtxtx
0
1 ))(),(,)(),(,(),()()(
dxxxxf mmmm ))(),(),(),(,(
111100 )
~
()(
4
~
mmmm xxKKxxK
T
K .
Перепишемо цю оцінку, використовуючи впроваджені раніше позна-
чення:
1
1
1100
1100
1
1
)
~
(
2
1
)
~
(
2
1
)
~
(
39
)
~
(
39
2
mm
mm
mm
mm
xx
xx
KKKK
KK
T
KK
T
T
xx
xx
.
Нехай )
~
,
~
(max 1100 KKKKK . Тоді, очевидно,
1
1
1
1
2
1
2
1
3939
2
mm
mm
mm
mm
xx
xx
TT
TK
xx
xx
. (14)
Далі будемо позначати матрицю в лівій частині через Q.
Звідси, з урахуванням рівнянь (13), (14), можна отримати оцінку
2
1
39
2
1
2
1
3939
221
1
TTT
TKMT
xx
xx
m
m
mm
mm
.
Стандартні міркування приводять до оцінки відхилення m-го набли-
ження розв’язку від pm -го за будь-якого натурального p :
.
2
1
39
2
1
2
1
3939
222
1
0
TTT
TKTKMT
xx
xx p
k
k
km
mpm
mpm
(15)
Для вектора ),...,(col 1 nxxx і матриці n
jijiaA 1,, )( розглянемо відомі
норми
n
i
ji
nj
n
j
j aAxx
1
,
11
1
1
max; .
Вони узгоджені в тому розумінні, що
1111
xAAxx .
Знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 139
Відомо, що якщо njia ji ,...,1,,0, і суми елементів в стовпцях мат-
риці однакові, то її норма збігається із спектральним радіусом ([7]). Такі
властивості має матриця Q. З іншого боку, спектральний радіус
k k
k
AA
lim)( дорівнює найбільшому з модулів власних чисел матриці
([7]). Знаходячи найбільше власне число матриці ,Q маємо її спектральний
радіус:
2
1
39
)(
1
T
QQ .
Із виразу (15) випливає оцінка
m
p
k
k
m
m
mpm
mpm
Q
TK
Q
TKTMT
xx
xx
1
1
0
1
1
222
1
392
(16)
Якщо
1
2
1
392
TTK
q , (17)
виконується умова критерію Коші, отже послідовність ),(col mm xx збіга-
ється, причому до розв’язку системи (11)–(12). Користуючись стандартними
міркуваннями, легко довести, що цей розв’язок єдиний. Переходячи в рів-
нянні (16) до границі при p , маємо похибку між розв’язком системи
і її m-м наближенням:
1
1
10
0
222
1
392),(
),(
TK
IQ
TKTMT
xxt
xxt m
m
m
m
.
Або остаточно
11
10
0
22
1
3922),(
),(
TK
I
TTKMT
xxt
xxt mm
m
m
. (18)
Границя послідовних наближень, яка є розв’язком системи інтеграль-
них рівнянь, повинна належати області D. Із стандартних міркувань випли-
ває, що для цього від константи M досить вимагати виконання умови:
)(
4
),(
318
min
2
dc
T
ab
T
M (19)
Також зрозумілим чином можна отримати оцінку можливих значень
величини 0x :
M
T
bM
T
ax
318
,
318
22
0 (20)
Сформулюємо остаточні результати.
Теорема 1. Нехай функція ),,,,( vyuxtf неперервна на ],[],0[ baT
],[],[],[ dcdcba , періодична за t з періодом T задовольняє умови а), б),
в), причому, константи Ліпшиця та стала M задовольняють умови (17), (19).
Ю.Є. Бохонов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 140
Тоді для існування періодичного з періодом T розв’язку ),( 0xtx рівнян-
ня (1) необхідно і достатньо існування такого значення 0x , яке задовольняє
рівняння (10), де ),( 0xt знаходиться методом послідовних наближень. При
цьому 0x є середнім значенням ),( 0xt на ],0[ T і знаходиться на проміжку,
який задовольняє умови (20). Похибка між розв’язком задачі (1)–(4) і її m-м
наближенням визначається умовою (18).
ВИСНОВКИ
Традиційно для знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійно-
го диференціального рівняння другого порядку або рівняння із запізненням
його зводять до системи першого порядку. Логічно досліджувати саме рів-
няння безпосередньо. У такому разі періодичний розв’язок інтерпретується
як розв’язок періодичної крайової задачі. Оператор другої похідної в лівій
частині рівняння, визначений на функціях, що задовольняють періодичні
граничні умови є самоспряженим, і для нього будується функція Гріна. Не-
стандартна ситуація при її побудові полягає в тому, що оператор, оберне-
ний до оператора другої похідної, не є визначеним на всьому просторі 2L ,
а лише на підпросторі корозмірності одиниця, ортогональному до підпрос-
тору констант. Отримано оцінку функції Гріна крайової задачі, констант
в умові Ліпшиця, яку задовольняє функція в правій частині рівняння, а та-
кож її супремуму на області визначення. Визначено умову збіжності ітера-
ційного процесу і оцінено швидкість збіжності методу.
ЛІТЕРАТУРА
1. Самойленко А.М. О периодических решениях нелинейных уравнений второго
порядка / А.М. Самойленко // Дифференциальные уравнения. — 1967. — 3,
№ 11. — С. 1903–1912.
2. Ронто Н.И. Теория численно-аналитического метода, достижения и новые на-
правления развития / Н.И. Ронто, А.М. Самойленко, С.И. Трофимчук // Укр.
мат. журн. — 1998. — 50, № 2. — С. 225–243.
3. Самойленко А.М. Численно-аналитические методы в теории краевых задач
обыкновенных дифференциальных уравнений / А.М. Самойленко, Н.И. Ронто.
— К.: Наук. думка, 1992. — 280 с.
4. Митропольский Ю.А. Периодические и квазипериодические колебания систем
с запаздыванием / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. — К.: Вища шк.,
1979. — 248 с.
5. Митропольский Ю.А. Системы эволюционных уравнений с периодическими
и условно-периодическими коэффициентами / Ю.А. Митропольский,
А.М. Самойленко, Д.И. Мартынюк. — К.: Наук. думка, 1984. — 213 с.
6. Бохонов Ю.Є. Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків неліній-
ного звичайного диференціального рівняння другого порядку. // Системні до-
слідження та інформаційні технології. —2012. — № 2. — С. 138–143.
7. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. — М.: Мир, 1989. — 655 с.
Надійшла 01.06.2016
|
| id | journaliasakpiua-article-88257 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:22:08Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/bf/2c9fabea2798aa9df2486d7740c597bf.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-882572018-03-30T15:25:41Z Finding of periodic solutions of the ordinary nonlinear second order differential equation with the delay Нахождение периодических решений обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием Знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння другого порядку із запізненням Bokhonov, Yuriy I. periodic solutions nonlinear delayed differential equations periodic boundary problem the Green function self-adjoint differential operator периодические решения нелинейное дифференциальное уравнение с запаздыванием периодическая краевая задача функция Грина самосопряженный дифференциальный оператор періодичні розв’язки нелінійне диференціальне рівняння з запізненням періодична крайова задача функція Гріна самоспряжений диференціальний оператор The work suggests an approach to finding of periodic solutions of the nonlinear delayed second order differential equations. There exists a numerical-analytical method that is generalized for delayed equations and whose idea is to reduce the equation to the system of the first order. The suggested approach explores the equation itself without its reduction to the system of the first order. The Green function for the self-adjoint differential operator of the second derivative is built, that is defined on functions that satisfy periodic boundary conditions. The necessary and sufficient existence conditions of the periodic equation solutions are given. The estimation for the rate of convergence of the method of approximate calculations is obtained. Предложен подход к нахождению периодических решений нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием. Известен численно-аналитический метод нахождения периодических решений для обыкновенных уравнений, обобщающийся на уравнения с запаздыванием, в котором уравнение второго порядка сводится к системе первого порядка. В предлагаемом методе исследовано само уравнение без сведения его к системе. Построена функция Грина для самосопряженного дифференциального оператора второй производной, определенного на функциях, удовлетворяющих периодическим краевым условиям. Приведены необходимые и достаточные условия существования периодических решений уравнения. Получена оценка скорости сходимости приближенных вычислений. Запропоновано підхід до знаходження періодичних розв’язків нелінійного диференціального рівняння другого порядку із запізненням. Відомо числово-аналітичний метод знаходження періодичних розв’язків для звичайних рівнянь другого порядку, що узагальнюється для рівнянь із запізненням, у якому рівняння зводиться до системи першого порядку. У пропонованому методі досліджено саме рівняння без зведення його до системи. Побудовано функцію Гріна для самоспряженого диференціального оператора другої похідної, що визначений на функціях, які задовольняють періодичні крайові умови. Наведено необхідні і достатні умови існування періодичних розв’язків рівняння. Отримано оцінку швидкості збіжності наближених обчислень. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2016-12-15 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/88257 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.4.13 System research and information technologies; No. 4 (2016); 133-140 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2016); 133-140 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2016); 133-140 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/88257/84095 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | періодичні розв’язки нелінійне диференціальне рівняння з запізненням періодична крайова задача функція Гріна самоспряжений диференціальний оператор Bokhonov, Yuriy I. Знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння другого порядку із запізненням |
| title | Знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння другого порядку із запізненням |
| title_alt | Finding of periodic solutions of the ordinary nonlinear second order differential equation with the delay Нахождение периодических решений обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием |
| title_full | Знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння другого порядку із запізненням |
| title_fullStr | Знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння другого порядку із запізненням |
| title_full_unstemmed | Знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння другого порядку із запізненням |
| title_short | Знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння другого порядку із запізненням |
| title_sort | знаходження періодичних розв’язків звичайного нелінійного диференціального рівняння другого порядку із запізненням |
| topic | періодичні розв’язки нелінійне диференціальне рівняння з запізненням періодична крайова задача функція Гріна самоспряжений диференціальний оператор |
| topic_facet | periodic solutions nonlinear delayed differential equations periodic boundary problem the Green function self-adjoint differential operator периодические решения нелинейное дифференциальное уравнение с запаздыванием периодическая краевая задача функция Грина самосопряженный дифференциальный оператор періодичні розв’язки нелінійне диференціальне рівняння з запізненням періодична крайова задача функція Гріна самоспряжений диференціальний оператор |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/88257 |
| work_keys_str_mv | AT bokhonovyuriyi findingofperiodicsolutionsoftheordinarynonlinearsecondorderdifferentialequationwiththedelay AT bokhonovyuriyi nahoždenieperiodičeskihrešenijobyknovennogonelinejnogodifferencialʹnogouravneniâvtorogoporâdkaszapazdyvaniem AT bokhonovyuriyi znahodžennâperíodičnihrozvâzkívzvičajnogonelíníjnogodiferencíalʹnogorívnânnâdrugogoporâdkuízzapíznennâm |