Тестування схем методу скінченних елементів з використанням B-сплайнів для пластини-смуги в межах гіпотез Кірхгофа–Лява та Тимошенка
The bending of a plate-strip subjected to a constant transverse load is considered as a test problem for the finite element method with the use of B-splines. For a thin plate-strip, the differential equations with boundary conditions and the equivalent variational formulations are presented within t...
Saved in:
| Date: | 2022 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NAS of Ukraine
2022
|
| Subjects: | |
| Online Access: | http://journals.iapmm.lviv.ua/ojs/index.php/APMM/article/view/apmm2022.20.61-76 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Prykladni Problemy Mekhaniky i Matematyky |
Institution
Prykladni Problemy Mekhaniky i Matematyky| _version_ | 1859471989928886272 |
|---|---|
| author | Khomyak, M. M.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Львівський національний університет ім. Івана Франка, Львів |
| author_facet | Khomyak, M. M.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Львівський національний університет ім. Івана Франка, Львів |
| author_sort | Khomyak, M. M.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Львівський національний університет ім. Івана Франка, Львів |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-11-06T16:46:35Z |
| description | The bending of a plate-strip subjected to a constant transverse load is considered as a test problem for the finite element method with the use of B-splines. For a thin plate-strip, the differential equations with boundary conditions and the equivalent variational formulations are presented within the framework of the classical plate theory (Kirchhoff–Love hypothesis) and in consideration of transverse shear (S. P. Tymoshenko's hypothesis). In plane strain case one-dimensional B-spline basis functions are considered which have higher order of smoothness than the standard FEM approximations (based on Lagrange polynomials). In order to take into account homogeneous boundary conditions, some basis B-splines with the supports lying outside the given domain need modification, which is performed using the multiple knot technique, and due to this open B-splines are obtained. Contributions from the integrals of the basis functions and their derivatives to the finite element stiffness matrix in the case of a single-step mesh are calculated. The procedure for assembling elements to form a global system of linear algebraic equations is demonstrated. The comparison of the obtained results with analytical solutions shows their good agreement. As testing artifacts, they can be applied during the TDD (Test Driven Development) process for rapid implementation of more general-purpose software, in particular, for two-dimensional models. Cite as: M. M. Khomyak, “Testing of the finite element method schemes using B-splines for a plate-strip within the hypotheses of Kirchhoff–Love and Tymoshenko,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., Issue 20, 61–76 (2022) (in Ukrainian), https://doi.org/10.15407/apmm2022.20.61-76 |
| first_indexed | 2025-07-22T19:23:24Z |
| format | Article |
| id | journalsiapmmlvivua-article-3491 |
| institution | Prykladni Problemy Mekhaniky i Matematyky |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-22T19:23:24Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| spelling | journalsiapmmlvivua-article-34912023-11-06T16:46:35Z Testing of the finite element method schemes using B-splines for a plate-strip within the hypotheses of Kirchhoff–Love and Tymoshenko Тестування схем методу скінченних елементів з використанням B-сплайнів для пластини-смуги в межах гіпотез Кірхгофа–Лява та Тимошенка Khomyak, M. M.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Львівський національний університет ім. Івана Франка, Львів plate-strip, finite element method, B-splines, software testing UDC 539.3 пластина-смуга, метод скінченних елементів, B-сплайни, тестування програмного забезпечення УДК 539.3 The bending of a plate-strip subjected to a constant transverse load is considered as a test problem for the finite element method with the use of B-splines. For a thin plate-strip, the differential equations with boundary conditions and the equivalent variational formulations are presented within the framework of the classical plate theory (Kirchhoff–Love hypothesis) and in consideration of transverse shear (S. P. Tymoshenko's hypothesis). In plane strain case one-dimensional B-spline basis functions are considered which have higher order of smoothness than the standard FEM approximations (based on Lagrange polynomials). In order to take into account homogeneous boundary conditions, some basis B-splines with the supports lying outside the given domain need modification, which is performed using the multiple knot technique, and due to this open B-splines are obtained. Contributions from the integrals of the basis functions and their derivatives to the finite element stiffness matrix in the case of a single-step mesh are calculated. The procedure for assembling elements to form a global system of linear algebraic equations is demonstrated. The comparison of the obtained results with analytical solutions shows their good agreement. As testing artifacts, they can be applied during the TDD (Test Driven Development) process for rapid implementation of more general-purpose software, in particular, for two-dimensional models. Cite as: M. M. Khomyak, “Testing of the finite element method schemes using B-splines for a plate-strip within the hypotheses of Kirchhoff–Love and Tymoshenko,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., Issue 20, 61–76 (2022) (in Ukrainian), https://doi.org/10.15407/apmm2022.20.61-76 Згинання пластини-смуги поперечним постійним навантаженням розглянуто як тестову задачу для методу скінченних елементів (МСЕ) з використанням B-сплайнів. Диференціальні рівняння з крайовими умовами та відповідні варіаційні формулювання наведено для тонкої пластини-смуги в межах класичної теорії (гіпотези Кірхгофа–Лява) та для податливих до поперечного зсуву пластин (гіпотези С. П. Тимошенка). За плоского деформованого стану розглянуто B-сплайни як одновимірні базисні функції, які мають вищий порядок гладкості, ніж стандартні апроксимації МСЕ (на основі поліномів Лагранжа). Для врахування однорідних крайових умов декілька базисних B-сплайнів, носії яких виходять за межі заданої області, потребують модифікації, яку виконано за допомогою техніки кратних вуз-лів, за якою отримуємо відкриті B-сплайни. Обчислено внески в матрицю жорсткості одиничного елемента розбиття від інтегралів базисних функцій та їхніх похідних. Продемонстровано процедуру асемблювання елементів для формування глобальної системи лінійних алгебричних рівнянь. Отримані результати порівняно з аналітичними розв’язками й зауважено їхнє добре узгодження. Ці аналітичні й методологічні напрацювання перспективні для застосування в TDD (Test Driven Development) методології створення програмного забезпечення, зокрема, й для двовимірних моделей. Зразок для цитування: М. М. Хом’як, “Тестування схем методу скінченних елементів з використанням B-сплайнів для пластини-смуги в межах гіпотез Кірхгофа–Лява та Тимошенка,” Прикл. проблеми механіки і математики, Вип. 20, 61–76 (2022), https://doi.org/10.15407/apmm2022.20.61-76 Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NAS of Ukraine 2022-12-27 Article Article application/pdf http://journals.iapmm.lviv.ua/ojs/index.php/APMM/article/view/apmm2022.20.61-76 10.15407/apmm2022.20.61-76 Prykladni Problemy Mekhaniky i Matematyky; Том 20 (2022); 61-76 Прикладні проблеми механіки і математики; Том 20 (2022); 61-76 uk http://journals.iapmm.lviv.ua/ojs/index.php/APMM/article/view/apmm2022.20.61-76/3594 |
| spellingShingle | пластина-смуга метод скінченних елементів B-сплайни тестування програмного забезпечення УДК 539.3 Khomyak, M. M.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Львівський національний університет ім. Івана Франка, Львів Тестування схем методу скінченних елементів з використанням B-сплайнів для пластини-смуги в межах гіпотез Кірхгофа–Лява та Тимошенка |
| title | Тестування схем методу скінченних елементів з використанням B-сплайнів для пластини-смуги в межах гіпотез Кірхгофа–Лява та Тимошенка |
| title_alt | Testing of the finite element method schemes using B-splines for a plate-strip within the hypotheses of Kirchhoff–Love and Tymoshenko |
| title_full | Тестування схем методу скінченних елементів з використанням B-сплайнів для пластини-смуги в межах гіпотез Кірхгофа–Лява та Тимошенка |
| title_fullStr | Тестування схем методу скінченних елементів з використанням B-сплайнів для пластини-смуги в межах гіпотез Кірхгофа–Лява та Тимошенка |
| title_full_unstemmed | Тестування схем методу скінченних елементів з використанням B-сплайнів для пластини-смуги в межах гіпотез Кірхгофа–Лява та Тимошенка |
| title_short | Тестування схем методу скінченних елементів з використанням B-сплайнів для пластини-смуги в межах гіпотез Кірхгофа–Лява та Тимошенка |
| title_sort | тестування схем методу скінченних елементів з використанням b-сплайнів для пластини-смуги в межах гіпотез кірхгофа–лява та тимошенка |
| topic | пластина-смуга метод скінченних елементів B-сплайни тестування програмного забезпечення УДК 539.3 |
| topic_facet | plate-strip finite element method B-splines software testing UDC 539.3 пластина-смуга метод скінченних елементів B-сплайни тестування програмного забезпечення УДК 539.3 |
| url | http://journals.iapmm.lviv.ua/ojs/index.php/APMM/article/view/apmm2022.20.61-76 |
| work_keys_str_mv | AT khomyakmmínstitutprikladnihproblemmehaníkiímatematikiímâspídstrigačananukraínilʹvívlʹvívsʹkijnacíonalʹnijuníversitetímívanafrankalʹvív testingofthefiniteelementmethodschemesusingbsplinesforaplatestripwithinthehypothesesofkirchhoffloveandtymoshenko AT khomyakmmínstitutprikladnihproblemmehaníkiímatematikiímâspídstrigačananukraínilʹvívlʹvívsʹkijnacíonalʹnijuníversitetímívanafrankalʹvív testuvannâshemmetoduskínčennihelementívzvikoristannâmbsplajnívdlâplastinismugivmežahgípotezkírhgofalâvatatimošenka |