Метод скінченних елементів на базі B-сплайнів для уточненої теорії пластин, що враховує всі поперечні деформації
A displacement-based finite element method employing quadratic B-splines is developed within the framework of a refined plate theory of minimal differential order that explicitly accounts for transverse shear and compression strains. For simplicity, the cylindrical bending of an elongated plate stri...
Saved in:
| Date: | 2026 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Published: |
Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NAS of Ukraine
2026
|
| Subjects: | |
| Online Access: | http://journals.iapmm.lviv.ua/ojs/index.php/APMM/article/view/3655 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Prykladni Problemy Mekhaniky i Matematyky |
Institution
Prykladni Problemy Mekhaniky i Matematyky| _version_ | 1866482483763085312 |
|---|---|
| author | Marchuk, M. V.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Національний університет «Львівська політехніка», Львів Pakosh, V. S.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Національний університет «Львівська політехніка», Львів Khomyak, M. M.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів |
| author_facet | Marchuk, M. V.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Національний університет «Львівська політехніка», Львів Pakosh, V. S.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Національний університет «Львівська політехніка», Львів Khomyak, M. M.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів |
| author_sort | Marchuk, M. V.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Національний університет «Львівська політехніка», Львів |
| baseUrl_str | http://journals.iapmm.lviv.ua/ojs/index.php/APMM/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-05-28T11:57:31Z |
| description | A displacement-based finite element method employing quadratic B-splines is developed within the framework of a refined plate theory of minimal differential order that explicitly accounts for transverse shear and compression strains. For simplicity, the cylindrical bending of an elongated plate strip is examined, assuming the deformation depends on only one coordinate. Using the known equilibrium equations together with kinematic and elastic relationships, an equivalent variational Lagrange equation is formulated. The structure of the stiffness matrices and the specific contributions to the load vectors (separately for bending and in-plane stress states) are analyzed. By analogy with standard Lagrangian finite elements, a set of basic B-splines defined on a unit mesh is introduced to approximate the generalized displacements. Under constant transverse loading with simple supported edges, analytical and numerical solutions are obtained for several stages of mesh refinement. Comparison of the results shows that both displacements and forces converge rapidly. Through-the-thickness stress distributions are also investigated, and edge effects are characterised, enabling prediction of the full three-dimensional stress state. Cite as: M. V. Marchuk, V. S. Pakosh, M. M. Khomyak, “The finite element method based on B-splines for the refined plate theory taking into account all transverse strains,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., Issue 23, 34–43 (2025) (in Ukrainian), https://doi.org/10.15407/apmm2025.23.34-43 |
| doi_str_mv | 10.15407/3655 |
| first_indexed | 2026-05-29T01:00:06Z |
| format | Article |
| id | journalsiapmmlvivua-article-3655 |
| institution | Prykladni Problemy Mekhaniky i Matematyky |
| keywords_txt_mv | keywords |
| last_indexed | 2026-05-29T01:00:06Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| spelling | journalsiapmmlvivua-article-36552026-05-28T11:57:31Z The finite element method based on B-splines for the refined plate theory taking into account all transverse strains Метод скінченних елементів на базі B-сплайнів для уточненої теорії пластин, що враховує всі поперечні деформації Marchuk, M. V.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Національний університет «Львівська політехніка», Львів Pakosh, V. S.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Національний університет «Львівська політехніка», Львів Khomyak, M. M.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів refined plate theory, finite element method, B-splines, transverse shear and compression strains UDC 539.3 уточнена теорія пластин, метод скінченних елементів, B-сплайни, трансверсальні деформації зсуву та стиску УДК 539.3 A displacement-based finite element method employing quadratic B-splines is developed within the framework of a refined plate theory of minimal differential order that explicitly accounts for transverse shear and compression strains. For simplicity, the cylindrical bending of an elongated plate strip is examined, assuming the deformation depends on only one coordinate. Using the known equilibrium equations together with kinematic and elastic relationships, an equivalent variational Lagrange equation is formulated. The structure of the stiffness matrices and the specific contributions to the load vectors (separately for bending and in-plane stress states) are analyzed. By analogy with standard Lagrangian finite elements, a set of basic B-splines defined on a unit mesh is introduced to approximate the generalized displacements. Under constant transverse loading with simple supported edges, analytical and numerical solutions are obtained for several stages of mesh refinement. Comparison of the results shows that both displacements and forces converge rapidly. Through-the-thickness stress distributions are also investigated, and edge effects are characterised, enabling prediction of the full three-dimensional stress state. Cite as: M. V. Marchuk, V. S. Pakosh, M. M. Khomyak, “The finite element method based on B-splines for the refined plate theory taking into account all transverse strains,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., Issue 23, 34–43 (2025) (in Ukrainian), https://doi.org/10.15407/apmm2025.23.34-43 Побудовано схему методу скінченних елементів у переміщеннях на базі B‑сплайнів для уточненої теорії пластин мінімального порядку, яка явно враховує поперечні деформації зсуву та стиску. Для простоти розглянуто циліндричний згин видовженої пластини-смуги, що описують залежностями тільки від однієї координати. З використанням відомих диференціальних рівнянь рівноваги, кінематичних відношень і рівнянь пружності отримано еквівалентне варіаційне рівняння Лагранжа. Досліджено структуру матриці жорсткості і специфічних для цього підходу внесків у вектор навантаження (окремо згинний і безмоментний напружений стани). За аналогією зі стандартним скінченним елементом лагранжевого типу введено базисні B‑сплайни “стандартного набору” для одиничного інтервалу розбиття, що використовують для апроксимації узагальнених переміщень. Для постійного поперечного навантаження і шарнірного підкріплення країв отримано аналітичний та числові розв’язки задачі для декількох кроків згущення сітки. Порівняння з аналітичними результатами дає змогу зробити висновок про швидку збіжність переміщень і зусиль. Проаналізовано розподіли напружень по товщині пластини-смуги і виявлено крайові ефекти, які є ключовими для прогнозування просторового напруженого стану. Зразок для цитування: М. В. Марчук, В. С. Пакош, М. М. Хом’як, “Метод скінченних елементів на базі B-сплайнів для уточненої теорії пластин, що враховує всі поперечні деформації”, Прикл. проблеми механіки і математики, Вип. 23, 34–43 (2025), https://doi.org/10.15407/apmm2025.23.34-43 Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NAS of Ukraine 2026-05-28 Article Article http://journals.iapmm.lviv.ua/ojs/index.php/APMM/article/view/3655 10.15407/3655 Prykladni Problemy Mekhaniky i Matematyky; Том 23 (2025); 34-43 Прикладні проблеми механіки і математики; Том 23 (2025); 34-43 |
| spellingShingle | уточнена теорія пластин метод скінченних елементів B-сплайни трансверсальні деформації зсуву та стиску УДК 539.3 Marchuk, M. V.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Національний університет «Львівська політехніка», Львів Pakosh, V. S.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів; Національний університет «Львівська політехніка», Львів Khomyak, M. M.; Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів Метод скінченних елементів на базі B-сплайнів для уточненої теорії пластин, що враховує всі поперечні деформації |
| title | Метод скінченних елементів на базі B-сплайнів для уточненої теорії пластин, що враховує всі поперечні деформації |
| title_alt | The finite element method based on B-splines for the refined plate theory taking into account all transverse strains |
| title_full | Метод скінченних елементів на базі B-сплайнів для уточненої теорії пластин, що враховує всі поперечні деформації |
| title_fullStr | Метод скінченних елементів на базі B-сплайнів для уточненої теорії пластин, що враховує всі поперечні деформації |
| title_full_unstemmed | Метод скінченних елементів на базі B-сплайнів для уточненої теорії пластин, що враховує всі поперечні деформації |
| title_short | Метод скінченних елементів на базі B-сплайнів для уточненої теорії пластин, що враховує всі поперечні деформації |
| title_sort | метод скінченних елементів на базі b-сплайнів для уточненої теорії пластин, що враховує всі поперечні деформації |
| topic | уточнена теорія пластин метод скінченних елементів B-сплайни трансверсальні деформації зсуву та стиску УДК 539.3 |
| topic_facet | refined plate theory finite element method B-splines transverse shear and compression strains UDC 539.3 уточнена теорія пластин метод скінченних елементів B-сплайни трансверсальні деформації зсуву та стиску УДК 539.3 |
| url | http://journals.iapmm.lviv.ua/ojs/index.php/APMM/article/view/3655 |
| work_keys_str_mv | AT marchukmvínstitutprikladnihproblemmehaníkiímatematikiímâspídstrigačananukraínilʹvívnacíonalʹnijuníversitetlʹvívsʹkapolítehníkalʹvív thefiniteelementmethodbasedonbsplinesfortherefinedplatetheorytakingintoaccountalltransversestrains AT pakoshvsínstitutprikladnihproblemmehaníkiímatematikiímâspídstrigačananukraínilʹvívnacíonalʹnijuníversitetlʹvívsʹkapolítehníkalʹvív thefiniteelementmethodbasedonbsplinesfortherefinedplatetheorytakingintoaccountalltransversestrains AT khomyakmmínstitutprikladnihproblemmehaníkiímatematikiímâspídstrigačananukraínilʹvív thefiniteelementmethodbasedonbsplinesfortherefinedplatetheorytakingintoaccountalltransversestrains AT marchukmvínstitutprikladnihproblemmehaníkiímatematikiímâspídstrigačananukraínilʹvívnacíonalʹnijuníversitetlʹvívsʹkapolítehníkalʹvív metodskínčennihelementívnabazíbsplajnívdlâutočnenoíteorííplastinŝovrahovuêvsípoperečnídeformacíí AT pakoshvsínstitutprikladnihproblemmehaníkiímatematikiímâspídstrigačananukraínilʹvívnacíonalʹnijuníversitetlʹvívsʹkapolítehníkalʹvív metodskínčennihelementívnabazíbsplajnívdlâutočnenoíteorííplastinŝovrahovuêvsípoperečnídeformacíí AT khomyakmmínstitutprikladnihproblemmehaníkiímatematikiímâspídstrigačananukraínilʹvív metodskínčennihelementívnabazíbsplajnívdlâutočnenoíteorííplastinŝovrahovuêvsípoperečnídeformacíí AT marchukmvínstitutprikladnihproblemmehaníkiímatematikiímâspídstrigačananukraínilʹvívnacíonalʹnijuníversitetlʹvívsʹkapolítehníkalʹvív finiteelementmethodbasedonbsplinesfortherefinedplatetheorytakingintoaccountalltransversestrains AT pakoshvsínstitutprikladnihproblemmehaníkiímatematikiímâspídstrigačananukraínilʹvívnacíonalʹnijuníversitetlʹvívsʹkapolítehníkalʹvív finiteelementmethodbasedonbsplinesfortherefinedplatetheorytakingintoaccountalltransversestrains AT khomyakmmínstitutprikladnihproblemmehaníkiímatematikiímâspídstrigačananukraínilʹvív finiteelementmethodbasedonbsplinesfortherefinedplatetheorytakingintoaccountalltransversestrains |