Properties of acoustic axes in triclinic media
We developed a method of obtaining relationships that describe the position of the acoustic axes in a triclinic medium and the dependencies between them. It is proved that these relations are linearly independent in real number system. However, any relationship algebraically depends on other two rel...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
S. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine
2019
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/172417 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Geofizicheskiy Zhurnal |
Institution
Geofizicheskiy Zhurnal| _version_ | 1856543407213641728 |
|---|---|
| author | Roganov, Yu. V. Stovas, A. Roganov, V. Yu. |
| author_facet | Roganov, Yu. V. Stovas, A. Roganov, V. Yu. |
| author_sort | Roganov, Yu. V. |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-10-07T11:09:26Z |
| description | We developed a method of obtaining relationships that describe the position of the acoustic axes in a triclinic medium and the dependencies between them. It is proved that these relations are linearly independent in real number system. However, any relationship algebraically depends on other two relationships. The relation between derived relationships and those obtained in earlier papers is also investigated. The formulae defining the change of these relationships when rotating around the axes of the coordinate system are derived. It is proved that the fulfillment of five relations is necessary and sufficient for the definition of all acoustic axes in a given coordinate system. It is shown that the acoustic axis in a given phase direction exists if and only if the specified two vectors of dimension five are collinear. For an orthorhombic medium, these relations are represented in an explicit form by homogeneous polynomials of the sixth degree in the components of the phase direction vector and the third degree in the stiffness coefficients. It is shown that in symmetry planes, only two of these relations are not identically equal to zero. The theory is illustrated in two numerical examples of anisotropic media. In the first example, for a triclinic medium, the positions of the sixteen acoustic axes are shown as the intersection points of the graphs of three relationships on the plane (phase polar and azimuth angles). In this case, six points corres-pond to the intersections of P and S1 phase velocities sheets, and ten points correspond to the intersections of S1 and S2 phase velocities sheets. The second example demonstrates the definition of all acoustic axes in an orthorhombic medium based on the derived relationships. To illustrate this example, we consider only one quadrant due to symmetry with respect to symmetry planes. |
| first_indexed | 2025-07-17T11:10:37Z |
| format | Article |
| id | journalsuranua-geofizicheskiy-article-172417 |
| institution | Geofizicheskiy Zhurnal |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T11:10:37Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | S. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| spelling | journalsuranua-geofizicheskiy-article-1724172020-10-07T11:09:26Z Properties of acoustic axes in triclinic media Свойства акустических осей в триклинных средах Властивості акустичних осей в трикліних середовищах Roganov, Yu. V. Stovas, A. Roganov, V. Yu. triclinic medium acoustic axis singular direction slowness surface триклінне середовище акустична вісь сингулярний напрямок поверхня повільності We developed a method of obtaining relationships that describe the position of the acoustic axes in a triclinic medium and the dependencies between them. It is proved that these relations are linearly independent in real number system. However, any relationship algebraically depends on other two relationships. The relation between derived relationships and those obtained in earlier papers is also investigated. The formulae defining the change of these relationships when rotating around the axes of the coordinate system are derived. It is proved that the fulfillment of five relations is necessary and sufficient for the definition of all acoustic axes in a given coordinate system. It is shown that the acoustic axis in a given phase direction exists if and only if the specified two vectors of dimension five are collinear. For an orthorhombic medium, these relations are represented in an explicit form by homogeneous polynomials of the sixth degree in the components of the phase direction vector and the third degree in the stiffness coefficients. It is shown that in symmetry planes, only two of these relations are not identically equal to zero. The theory is illustrated in two numerical examples of anisotropic media. In the first example, for a triclinic medium, the positions of the sixteen acoustic axes are shown as the intersection points of the graphs of three relationships on the plane (phase polar and azimuth angles). In this case, six points corres-pond to the intersections of P and S1 phase velocities sheets, and ten points correspond to the intersections of S1 and S2 phase velocities sheets. The second example demonstrates the definition of all acoustic axes in an orthorhombic medium based on the derived relationships. To illustrate this example, we consider only one quadrant due to symmetry with respect to symmetry planes. Предложен метод получения соотношений для определения положения акустических осей в триклинному среде и зависимостей между ними. Доказано, что эти соотношения линейно независимы над полем действительных чисел. Однако любое соотношение алгебраических зависит от любых двух других соотношений. Исследована также взаимосвязь полученных соотношений с соотношениями, выведенными вболее ранних работах. Выведены формулы определяют, как изменяются эти соотношения при поворотах вокруг осей системы координат. Доказано, что выполнение пяти соотношений необходимо и достаточно для определения всех акустических осей в заданныхней системе координат. Показано, что акустическая ось в заданном фазовом направлении существует тогда и только тогда, когда два специальных векторы размерности пять коллинеарны. Для орторомбической среды эти соотношения представлены в явном виде однородными многочленами шестого степени от компонент вектора фазового направлении и третьей степени от коэффициентов упругости. В плоскостях симметрии только два соотношение не равны тождественно нулю. Теорию продемонстрировано на двух примерах анизотропных сред. В первом примере, для триклинного среды, показано положение 16 акустических осей как точки пересечения графиков трехсоотношений на плоскости (угол с вертикалью, азимут). В этом случае 6 точек соответствуют пересечению писем фазовых скоростей P и S1 волн, а 10 точек - пересечению писем S1 и S2 волн. Второй пример демонстрирует определение всех акустических осей в орторомбической среде на основании выведенных соотношений.Для второго примера графики соотношений приведены только в первом квадранте, поскольку они симметричны относительно координатных плоскостей. Запропоновано метод отримання співвідношень для визначення положення акустичних осей у триклінному середовищі і залежностей між ними. Доведено, що ці співвідношення лінійно незалежні над полем дійсних чисел. Однак будь-яке співвідношення алгебрично залежить від будь-яких двох інших співвідношень. Досліджено також взаємозв’язок отриманих співвідношень зі співвідношеннями, виведеними у раніших роботах. Виведені формули визначають, як змінюються ці співвідношення при поворотах навколо осей системи координат. Доведено, що виконання п’яти співвідношень необхідно і достатньо для визначення всіх акустичних осей у заданій системі координат. Показано, що акустична вісь у заданому фазовому напрямку існує тоді і тільки тоді, якщо два спеціальні вектори розмірності п’ять колінеарні. Для орторомбічного середовища ці співвідношення подано у явному вигляді однорідними многочленами шостого степеня від компонент вектора фазового напрямку і третього степеня від коефіцієнтів пружності. У площинах симетрії тільки два співвідношення не дорівнюють тотожно нулю. Теорію продемонстровано на двох прикладах анізотропних середовищ. У першому прикладі, для триклінного середовища, показано положення 16 акустичних осей як точки перетину графіків трьох співвідношень на площині (кут з вертикаллю, азимут). У цьому випадку 6 точок відповідають перетинанню листів фазових швидкостей P і S1 хвиль, а 10 точок — перетинанню листів S1 і S2 хвиль. Другий приклад демонструє визначення всіх акустичних осей в орторомбічному середовищі на підставі виведених співвідношень.Для другого прикладу графіки співвідношень наведено тільки в першому квадранті, оскільки вони симетричні відносно координатних площин. S. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine 2019-07-15 Article Article application/pdf https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/172417 10.24028/gzh.0203-3100.v41i3.2019.172417 Geofizicheskiy Zhurnal; Vol. 41 No. 3 (2019); 3-17 Геофизический журнал; Том 41 № 3 (2019); 3-17 Геофізичний журнал; Том 41 № 3 (2019); 3-17 2524-1052 0203-3100 ru https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/172417/195519 Copyright (c) 2020 Geofizicheskiy Zhurnal https://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | triclinic medium acoustic axis singular direction slowness surface Roganov, Yu. V. Stovas, A. Roganov, V. Yu. Properties of acoustic axes in triclinic media |
| title | Properties of acoustic axes in triclinic media |
| title_alt | Свойства акустических осей в триклинных средах Властивості акустичних осей в трикліних середовищах |
| title_full | Properties of acoustic axes in triclinic media |
| title_fullStr | Properties of acoustic axes in triclinic media |
| title_full_unstemmed | Properties of acoustic axes in triclinic media |
| title_short | Properties of acoustic axes in triclinic media |
| title_sort | properties of acoustic axes in triclinic media |
| topic | triclinic medium acoustic axis singular direction slowness surface |
| topic_facet | triclinic medium acoustic axis singular direction slowness surface триклінне середовище акустична вісь сингулярний напрямок поверхня повільності |
| url | https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/172417 |
| work_keys_str_mv | AT roganovyuv propertiesofacousticaxesintriclinicmedia AT stovasa propertiesofacousticaxesintriclinicmedia AT roganovvyu propertiesofacousticaxesintriclinicmedia AT roganovyuv svojstvaakustičeskihosejvtriklinnyhsredah AT stovasa svojstvaakustičeskihosejvtriklinnyhsredah AT roganovvyu svojstvaakustičeskihosejvtriklinnyhsredah AT roganovyuv vlastivostíakustičnihosejvtriklínihseredoviŝah AT stovasa vlastivostíakustičnihosejvtriklínihseredoviŝah AT roganovvyu vlastivostíakustičnihosejvtriklínihseredoviŝah |