2025-02-22T17:00:59-05:00 DEBUG: VuFindSearch\Backend\Solr\Connector: Query fl=%2A&wt=json&json.nl=arrarr&q=id%3A%22journalsuranua-geofizicheskiy-article-236381%22&qt=morelikethis&rows=5
2025-02-22T17:00:59-05:00 DEBUG: VuFindSearch\Backend\Solr\Connector: => GET http://localhost:8983/solr/biblio/select?fl=%2A&wt=json&json.nl=arrarr&q=id%3A%22journalsuranua-geofizicheskiy-article-236381%22&qt=morelikethis&rows=5
2025-02-22T17:00:59-05:00 DEBUG: VuFindSearch\Backend\Solr\Connector: <= 200 OK
2025-02-22T17:00:59-05:00 DEBUG: Deserialized SOLR response
Computation of velocities and polarization vectors in weakly anisotropic media

Computation of velocities and polarization vectors in weakly anisotropic media

To compute the phase velocities in the weakly anisotropic media, we propose to transform the Christoffel matrix K into an adapted coordinate system, and, then, apply the perturbation theory to the resulting matrix X. For a weakly anisotropic medium, the off-diagonal elements of the matrix X are smal...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Main Authors: Roganov, Yu. V., Stovas, A., Roganov, V. Yu.
Format: Article
Language:rus
Published: Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine 2021
Subjects:
phase velocity
group velocity
polarization vector
Christoffel equation
perturbation theory
фазова швидкість
групова швидкість
вектор поляризації
рівняння Крістофеля
теорія збурень
фазовая скорость
групповая скорость
вектор поляризации
уравнение Кристоффеля
теория возмущений
Online Access:https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/236381
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
id journalsuranua-geofizicheskiy-article-236381
record_format ojs
institution Geofizicheskiy Zhurnal
collection OJS
language rus
topic phase velocity
group velocity
polarization vector
Christoffel equation
perturbation theory
фазова швидкість
групова швидкість
вектор поляризації
рівняння Крістофеля
теорія збурень
фазовая скорость
групповая скорость
вектор поляризации
уравнение Кристоффеля
теория возмущений
spellingShingle phase velocity
group velocity
polarization vector
Christoffel equation
perturbation theory
фазова швидкість
групова швидкість
вектор поляризації
рівняння Крістофеля
теорія збурень
фазовая скорость
групповая скорость
вектор поляризации
уравнение Кристоффеля
теория возмущений
Roganov, Yu. V.
Stovas, A.
Roganov, V. Yu.
Computation of velocities and polarization vectors in weakly anisotropic media
topic_facet phase velocity
group velocity
polarization vector
Christoffel equation
perturbation theory
фазова швидкість
групова швидкість
вектор поляризації
рівняння Крістофеля
теорія збурень
фазовая скорость
групповая скорость
вектор поляризации
уравнение Кристоффеля
теория возмущений
format Article
author Roganov, Yu. V.
Stovas, A.
Roganov, V. Yu.
author_facet Roganov, Yu. V.
Stovas, A.
Roganov, V. Yu.
author_sort Roganov, Yu. V.
title Computation of velocities and polarization vectors in weakly anisotropic media
title_short Computation of velocities and polarization vectors in weakly anisotropic media
title_full Computation of velocities and polarization vectors in weakly anisotropic media
title_fullStr Computation of velocities and polarization vectors in weakly anisotropic media
title_full_unstemmed Computation of velocities and polarization vectors in weakly anisotropic media
title_sort computation of velocities and polarization vectors in weakly anisotropic media
title_alt Вычисление скоростей и векторов поляризации в слабоанизотропных средах
Обчислення швидкостей і векторів поляризації в слабоанізотропних середовищах
description To compute the phase velocities in the weakly anisotropic media, we propose to transform the Christoffel matrix K into an adapted coordinate system, and, then, apply the perturbation theory to the resulting matrix X. For a weakly anisotropic medium, the off-diagonal elements of the matrix X are small compared to the diagonal ones, and two of them are equal to 0. The diagonal elements of the matrix X are initial approximations of the phase velocities squared. To refine them, it is proposed to use either iterative schemes or Taylor series expansions. The initial terms of the series and the formulas of iterative schemes are expressed through the elements of the matrix X and have a compact analytical representation. The odd-order terms in the series are equal to 0. To approximate the phase velocities of the S1 and S2 waves, a stable method is proposed based on solving a quadratic equation with the coefficients being expressed in terms of the matrix elements and the precomputed value of the qP wave phase velocity squared. For all iterative schemes and series, the convergence conditions are derived. The polarization vector of the wave with the square of the phase velocity  is defined as the column with maximum modulus of cofactor of the matrix K-I. The group velocities vectors are computed based on the known components of the polarization vector, the directional vector, and the density-normalized stiffness coefficients. The computational accuracy is demonstrated for the standard orthorhombic model. It is shown how the perturbation theory can be applied to media with strong anisotropy. To do this, first we need to apply several QR transforms or Jacobi rotations of the Christoffel matrix, and then use the perturbation theory. This method with four Jacobi rotations is applied to the calculation of the phase velocities squared for a triclinic medium with a maximum number (32) of singularity points. In this case, the phase velocities are computed with a relative error less than 0,004 %.
publisher Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine
publishDate 2021
url https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/236381
work_keys_str_mv AT roganovyuv computationofvelocitiesandpolarizationvectorsinweaklyanisotropicmedia
AT stovasa computationofvelocitiesandpolarizationvectorsinweaklyanisotropicmedia
AT roganovvyu computationofvelocitiesandpolarizationvectorsinweaklyanisotropicmedia
AT roganovyuv vyčislenieskorostejivektorovpolârizaciivslaboanizotropnyhsredah
AT stovasa vyčislenieskorostejivektorovpolârizaciivslaboanizotropnyhsredah
AT roganovvyu vyčislenieskorostejivektorovpolârizaciivslaboanizotropnyhsredah
AT roganovyuv občislennâšvidkostejívektorívpolârizacíívslaboanízotropnihseredoviŝah
AT stovasa občislennâšvidkostejívektorívpolârizacíívslaboanízotropnihseredoviŝah
AT roganovvyu občislennâšvidkostejívektorívpolârizacíívslaboanízotropnihseredoviŝah
first_indexed 2024-04-21T19:43:22Z
last_indexed 2024-04-21T19:43:22Z
_version_ 1796974683140128768
spelling journalsuranua-geofizicheskiy-article-2363812021-10-05T12:25:44Z Computation of velocities and polarization vectors in weakly anisotropic media Вычисление скоростей и векторов поляризации в слабоанизотропных средах Обчислення швидкостей і векторів поляризації в слабоанізотропних середовищах Roganov, Yu. V. Stovas, A. Roganov, V. Yu. phase velocity, group velocity, polarization vector, Christoffel equation, perturbation theory фазова швидкість, групова швидкість, вектор поляризації, рівняння Крістофеля, теорія збурень фазовая скорость, групповая скорость, вектор поляризации, уравнение Кристоффеля, теория возмущений To compute the phase velocities in the weakly anisotropic media, we propose to transform the Christoffel matrix K into an adapted coordinate system, and, then, apply the perturbation theory to the resulting matrix X. For a weakly anisotropic medium, the off-diagonal elements of the matrix X are small compared to the diagonal ones, and two of them are equal to 0. The diagonal elements of the matrix X are initial approximations of the phase velocities squared. To refine them, it is proposed to use either iterative schemes or Taylor series expansions. The initial terms of the series and the formulas of iterative schemes are expressed through the elements of the matrix X and have a compact analytical representation. The odd-order terms in the series are equal to 0. To approximate the phase velocities of the S1 and S2 waves, a stable method is proposed based on solving a quadratic equation with the coefficients being expressed in terms of the matrix elements and the precomputed value of the qP wave phase velocity squared. For all iterative schemes and series, the convergence conditions are derived. The polarization vector of the wave with the square of the phase velocity  is defined as the column with maximum modulus of cofactor of the matrix K-I. The group velocities vectors are computed based on the known components of the polarization vector, the directional vector, and the density-normalized stiffness coefficients. The computational accuracy is demonstrated for the standard orthorhombic model. It is shown how the perturbation theory can be applied to media with strong anisotropy. To do this, first we need to apply several QR transforms or Jacobi rotations of the Christoffel matrix, and then use the perturbation theory. This method with four Jacobi rotations is applied to the calculation of the phase velocities squared for a triclinic medium with a maximum number (32) of singularity points. In this case, the phase velocities are computed with a relative error less than 0,004 %. Для вычисления квадратов фазовых скоростей в слабоанизотропных средах в статье предлагается преобразовать матрицу Кристоффеля К в приспособленную систему координат, а затем к полученной матрице X применить теорию возмущений. Для слабоанизотропной среды внедиагональные элементы матрицы X малы по сравнению с диагональными элементами и два из них равны нулю. Диагональные элементы матрицы X являются начальными приближениями квадратов фазовых скоростей. Для их уточнения предлагается использовать либо итерационные схемы, либо разложения в ряды Тейлора. Начальные члены рядов и формулы итерационных схем, выраженные через элементы матрицы X, имеют компактное аналитическое представление. Нечетные члены рядов равны нулю. Для аппроксимации фазовых скоростей S1- и S2-волн предложен устойчивый метод, основанный на решении квадратного уравнения, коэффициенты которого выражены через элементы матрицы X и предварительно вычисленное значение квадрата фазовой скорости qP-волны. Для всех итерационных схем и рядов выведены условия сходимости. Вектор поляризации волны с квадратом фазовой скорости λ определяется как столбец с максимальным модулем матрицы, присоединенной к К-λI. Векторы групповых скоростей рассчитаны на основе известных компонент векторов поляризации и направляющего вектора, а также приведенных коэффициентов упругости. Точность вычислений продемонстрирована на стандартной модели орторомбической среды. Показано, как теорию возмущений можно применить для сред, которые не являются слабоанизотропными. Для этого к матрице Кристоффеля вначале необходимо применить несколько QR-преобразований или поворотов Якоби, а затем использовать формулы теории возмущений. Данный способ с четырьмя поворотами Якоби применен к вычислению квадратов фазовых скоростей для триклинной среды с максимальным количеством сингулярных точек — 32. Фазовые скорости вычислены этим методом с относительной погрешностью менее 0,004 %. Для обчислення квадратів фазових швидкостей у слабоанізотропних середовищах запропоновано перетворити матрицю Крістофеля K у пристосовану систему координат, а потім до отриманої матриці X застосувати теорію збурень. Для слабоанізотропного середовища недіагональні елементи матриці X малі порівняно з діагональними і два з них дорівнюють нулю. Діагональні елементи матриці X є початковими наближеннями квадратів фазових швидкостей. Для їх уточнення запропоновано використовувати ітераційні схеми або розкладання в ряди Тейлора. Початкові члени рядів і формули ітераційних схем, які виражені через елементи матриці X, мають компактний аналітичний вигляд. Непарні члени рядів дорівнюють нулю. Для апроксимації фазових швидкостей S1- і S2-хвиль запропоновано стійкий метод, заснований на розв’язанні квадратного рівняння, коефіцієнти якого виражають через елементи матриці X і попередньо розраховане значення квадрата фазової швидкості qP-хвилі. Для всіх ітераційних схем і рядів виведено умови збіжності. Вектор поляризації хвилі з квадратом фазової швидкості λ визначено як стовпчик з максимальним модулем приєднаної матриці до K-λΙ. Вектори групових швидкостей розраховуються на основі відомих компонент векторів поляризації, напрямного вектора, а також нормалізованих коефіцієнтів пружності. Точність обчислень продемонстровано на стандартній моделі орторомбічного середовища. Показано, як теорію збурень можна застосувати для середовищ, які не є слабоанізотропними. Для цього до матриці Крістофеля спочатку потрібно застосувати декілька QR-перетворень або поворотів Якобі, а потім використати формули теорії збурень. Цей спосіб з чотирма поворотами Якобі застосований до обчислення квадратів фазових швидкостей для триклинного середовища з максимальною кількістю сингулярних точок  32. Фазові швидкості обчислені з відносною похибкою менш як 0,004 %. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine 2021-10-05 Article Article application/pdf https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/236381 10.24028/gzh.v43i3.236381 Geofizicheskiy Zhurnal; Vol. 43 No. 3 (2021); 64-81 Геофизический журнал; Том 43 № 3 (2021); 64-81 Геофізичний журнал; Том 43 № 3 (2021); 64-81 2524-1052 0203-3100 rus https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/236381/235339 http://creativecommons.org/licenses/by/4.0

Similar Items