Properties of singular points in a special case of orthorhombic media
The position of singular lines for orthorhombic (ORT) media with fixed diagonal elements of the elasticity matrix cij, i=1…6 is studied under the condition that c11, c22, c33>c66>c44>c55. In this case, the off-diagonal coefficients of the elasticity matrix c12, c13, c23 are chos...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine
2023
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/278334 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Geofizicheskiy Zhurnal |
Репозитарії
Geofizicheskiy Zhurnal| id |
journalsuranua-geofizicheskiy-article-278334 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Geofizicheskiy Zhurnal |
| collection |
OJS |
| language |
English |
| topic |
сингулярна точка фазова швидкість матриця Крістофеля орторомбічне середовище singular point phase velocity Christoffel matrix orthorhombic medium |
| spellingShingle |
сингулярна точка фазова швидкість матриця Крістофеля орторомбічне середовище singular point phase velocity Christoffel matrix orthorhombic medium Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. Properties of singular points in a special case of orthorhombic media |
| topic_facet |
сингулярна точка фазова швидкість матриця Крістофеля орторомбічне середовище singular point phase velocity Christoffel matrix orthorhombic medium |
| format |
Article |
| author |
Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. |
| author_facet |
Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. |
| author_sort |
Roganov, Yu.V. |
| title |
Properties of singular points in a special case of orthorhombic media |
| title_short |
Properties of singular points in a special case of orthorhombic media |
| title_full |
Properties of singular points in a special case of orthorhombic media |
| title_fullStr |
Properties of singular points in a special case of orthorhombic media |
| title_full_unstemmed |
Properties of singular points in a special case of orthorhombic media |
| title_sort |
properties of singular points in a special case of orthorhombic media |
| title_alt |
Властивості сингулярних точок в особливому випадку орторомбічних середовищ |
| description |
The position of singular lines for orthorhombic (ORT) media with fixed diagonal elements of the elasticity matrix cij, i=1…6 is studied under the condition that c11, c22, c33>c66>c44>c55. In this case, the off-diagonal coefficients of the elasticity matrix c12, c13, c23 are chosen so that some of the values of d12=c12+c66, d13=c13+c55, d23=c23+c44 are zero. For orthorhombic medium, where the only one of d12, d13, d23 is zero, contains only singular points in the planes of symmetry. If two or all three dij are zero, then the ORT medium contains singular lines and discrete singular points. We call such media pathological. A degenerate ORT medium with positive d12, d13, d23 has at most two singular lines, which are the intersection of a quadratic cone with a sphere. The pathological media may have up to 6 singular lines on the surface of the slowness. Singular lines for pathological media are described by more complex equations than conventional degenerate ORT models. The article proposes to using squares x, y, z of the components of the slowness vector in the equations. In a new coordinate system, equations defining singular lines for pathological media become linear or quadratic. Intersecting with the plane x+y+z =1, they define the straight lines, ellipses, or hyperbolas. If non-zero values d12, d13, d23 increase, the singular lines pass through four fixed points on the plane x+y+z =1, which makes it possible to describe the evolution of their change. Conditions are derived under which the singular curves of pathological ORT models are limiting the singular curves for degenerate ORT models with positive values of d12, d13, d23. Formulas are derived for transforming surfaces of slowness and singular lines of pathological media into the region of group velocities. The results are demonstrated with examples of pathological models obtained from the standard model of the ORT medium by changing the elasticity coefficients c12, c13, c23 so that some of the values d12, d13, d23 are zero |
| publisher |
Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine |
| publishDate |
2023 |
| url |
https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/278334 |
| work_keys_str_mv |
AT roganovyuv propertiesofsingularpointsinaspecialcaseoforthorhombicmedia AT stovasa propertiesofsingularpointsinaspecialcaseoforthorhombicmedia AT roganovvyu propertiesofsingularpointsinaspecialcaseoforthorhombicmedia AT roganovyuv vlastivostísingulârnihtočokvosoblivomuvipadkuortorombíčnihseredoviŝ AT stovasa vlastivostísingulârnihtočokvosoblivomuvipadkuortorombíčnihseredoviŝ AT roganovvyu vlastivostísingulârnihtočokvosoblivomuvipadkuortorombíčnihseredoviŝ |
| first_indexed |
2024-04-21T19:43:58Z |
| last_indexed |
2024-04-21T19:43:58Z |
| _version_ |
1796974721334509568 |
| spelling |
journalsuranua-geofizicheskiy-article-2783342023-05-14T11:00:06Z Properties of singular points in a special case of orthorhombic media Властивості сингулярних точок в особливому випадку орторомбічних середовищ Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. сингулярна точка фазова швидкість матриця Крістофеля орторомбічне середовище singular point phase velocity Christoffel matrix orthorhombic medium The position of singular lines for orthorhombic (ORT) media with fixed diagonal elements of the elasticity matrix cij, i=1…6 is studied under the condition that c11, c22, c33>c66>c44>c55. In this case, the off-diagonal coefficients of the elasticity matrix c12, c13, c23 are chosen so that some of the values of d12=c12+c66, d13=c13+c55, d23=c23+c44 are zero. For orthorhombic medium, where the only one of d12, d13, d23 is zero, contains only singular points in the planes of symmetry. If two or all three dij are zero, then the ORT medium contains singular lines and discrete singular points. We call such media pathological. A degenerate ORT medium with positive d12, d13, d23 has at most two singular lines, which are the intersection of a quadratic cone with a sphere. The pathological media may have up to 6 singular lines on the surface of the slowness. Singular lines for pathological media are described by more complex equations than conventional degenerate ORT models. The article proposes to using squares x, y, z of the components of the slowness vector in the equations. In a new coordinate system, equations defining singular lines for pathological media become linear or quadratic. Intersecting with the plane x+y+z =1, they define the straight lines, ellipses, or hyperbolas. If non-zero values d12, d13, d23 increase, the singular lines pass through four fixed points on the plane x+y+z =1, which makes it possible to describe the evolution of their change. Conditions are derived under which the singular curves of pathological ORT models are limiting the singular curves for degenerate ORT models with positive values of d12, d13, d23. Formulas are derived for transforming surfaces of slowness and singular lines of pathological media into the region of group velocities. The results are demonstrated with examples of pathological models obtained from the standard model of the ORT medium by changing the elasticity coefficients c12, c13, c23 so that some of the values d12, d13, d23 are zero Вивчено розташування сингулярних ліній для орторомбічних (ОРТ) середовищ із фіксованими діагональними елементами матриці пружності cij, i=1…6 за умови, що c11, c22, c33>c66>c44>c55. При цьому недіагональні коефіцієнти матриці пружності c12, c13, c23 вибрано так, що деякі значення d12=c12+c66, d13=c13+c55, d23=c23+c44 дорівнюють нулю. Орторомбічне середовище, у якого тільки одне із значень d12, d13, d23 дорівнює нулю, містить лише сингулярні точки в площинах симетрії. Якщо два чи всі три значення dij дорівнюють нулю, то це означає, що середовище містить сингулярні лінії і дискретні сингулярні точки. Такі середовища ми називаємо патологічними. Вироджене ОРТ-середовище з позитивними d12, d13, d23 має щонайбільше дві сингулярні лінії, які є перетином квадратичного конуса зі сферою. Патологічне середовище може мати до шести сингулярних ліній на поверхні повільності. Сингулярні лінії для патологічних середовищ описують складнішими рівняннями порівняно із звичайними виродженими ОРТ-середовищами. Запропоновано використовувати в рівняннях замість компонентів вектора повільності їхні квадрати x, y, z. У новій системі координат рівняння, що задають сингулярні лінії, стають лінійними чи квадратичними. Перетинаючись із площиною x+y+z =1, вони визначають прямі лінії, еліпси чи гіперболи. У разі зростання ненульових значень d12, d13, d23, ці лінії проходять через чотири фіксовані точки на площині x+y+z =1, що дає змогу описати еволюцію їх зміни. Виведено умови, за яких сингулярні криві патологічних ОРТ-середовищ є граничними сингулярними кривими для вироджених ОРТ-середовищ з додатними значеннями d12, d13, d23. Виведено формули для перетворення поверхонь повільності та сингулярних ліній патологічних середовищ у область групових швидкостей. Результати продемонстровані на прикладах патологічних середовищ, отриманих з моделі стандартного ОРТ-середовища зміною коефіцієнтів пружності c12, c13, c23 так, щоб деякі значення d12, d13, d23 дорівнювали нулю. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine 2023-05-14 Article Article application/pdf https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/278334 10.24028/gj.v45i2.278334 Geofizicheskiy Zhurnal; Vol. 45 No. 2 (2023) Геофизический журнал; Том 45 № 2 (2023) Геофізичний журнал; Том 45 № 2 (2023) 2524-1052 0203-3100 en https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/278334/284253 Copyright (c) 2023 Yu.V. Roganov, A. Stovas, V.Yu. Roganov https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0 |