Calculation of Gaussian curvature of the slowness surface in monoclinic media
In this paper, we obtain formulas that determine the type of the slowness surface in the vicinity of a given point (regular or singular) on the vertical axis in a monoclinic medium with a horizontal plane of symmetry. The study uses a method based on a cylindrical coordinate system with the origin a...
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Englisch |
| Veröffentlicht: |
S. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine
2025
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/322834 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Geofizicheskiy Zhurnal |
Institution
Geofizicheskiy Zhurnal| _version_ | 1856543653372100608 |
|---|---|
| author | Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. |
| author_facet | Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. |
| author_sort | Roganov, Yu.V. |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-08-19T07:25:09Z |
| description | In this paper, we obtain formulas that determine the type of the slowness surface in the vicinity of a given point (regular or singular) on the vertical axis in a monoclinic medium with a horizontal plane of symmetry. The study uses a method based on a cylindrical coordinate system with the origin at a selected point. In this coordinate system, at a fixed azimuth, the polynomial defining the equation of the slowness surface is expanded into a Taylor series with respect to the distance from the given point. Then, vertical projections of the slowness for different types of waves are found in the form of Taylor series with respect to the distance from the given point. The leading terms of these series determine the shape of the slowness surface in the vicinity of the given point. Gaussians, mean, and principal curvatures are also presented as Taylor series. In this paper, we investigate the leading terms of the Taylor series of Gaussians, mean, and principal curvatures, for regular, double, and triple singular points. It is shown that a double singular point is always a point of the tangential type, i.e., at the double singular point, the slowness surface has a horizontal tangent plane. However, at the singular point, the Gaussian curvature does not exist, and in the vicinity of this point, it depends on the azimuth. Cases with a double singular point, when the leading term of the Gaussian curvature is locally independent of the azimuth, are investigated. The cases are also investigated for which in the vicinity of the singular point or at certain azimuths, the slowness surfaces of S1 and S2 waves are located close to each other. The presented results are demonstrated on two examples of monoclinic media. The analysis can be used to identify the amplitude anomalies in the modelled wavefield in anisotropic media with singularity points, as well as in ray tracing, and solving inverse seismic problems for monoclinic media. |
| first_indexed | 2025-09-17T09:26:51Z |
| format | Article |
| id | journalsuranua-geofizicheskiy-article-322834 |
| institution | Geofizicheskiy Zhurnal |
| language | English |
| last_indexed | 2025-09-17T09:26:51Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | S. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| spelling | journalsuranua-geofizicheskiy-article-3228342025-08-19T07:25:09Z Calculation of Gaussian curvature of the slowness surface in monoclinic media Обчислення кривизни Гауса поверхні повільності для моноклінних середовищ Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. monoclinic media Gaussian curvature singular point slowness surface phase velocity Christoffel matrix кривизна Гаусса особлива точка поверхня повільності фазова швидкість матриця Крістоффеля моноклінне середовище In this paper, we obtain formulas that determine the type of the slowness surface in the vicinity of a given point (regular or singular) on the vertical axis in a monoclinic medium with a horizontal plane of symmetry. The study uses a method based on a cylindrical coordinate system with the origin at a selected point. In this coordinate system, at a fixed azimuth, the polynomial defining the equation of the slowness surface is expanded into a Taylor series with respect to the distance from the given point. Then, vertical projections of the slowness for different types of waves are found in the form of Taylor series with respect to the distance from the given point. The leading terms of these series determine the shape of the slowness surface in the vicinity of the given point. Gaussians, mean, and principal curvatures are also presented as Taylor series. In this paper, we investigate the leading terms of the Taylor series of Gaussians, mean, and principal curvatures, for regular, double, and triple singular points. It is shown that a double singular point is always a point of the tangential type, i.e., at the double singular point, the slowness surface has a horizontal tangent plane. However, at the singular point, the Gaussian curvature does not exist, and in the vicinity of this point, it depends on the azimuth. Cases with a double singular point, when the leading term of the Gaussian curvature is locally independent of the azimuth, are investigated. The cases are also investigated for which in the vicinity of the singular point or at certain azimuths, the slowness surfaces of S1 and S2 waves are located close to each other. The presented results are demonstrated on two examples of monoclinic media. The analysis can be used to identify the amplitude anomalies in the modelled wavefield in anisotropic media with singularity points, as well as in ray tracing, and solving inverse seismic problems for monoclinic media. Отримано формули, що визначають тип поверхні повільності в околі заданої точки (регулярної чи сингулярної) на вертикальній осі в моноклінному середовищі з горизонтальною площиною симетрії. У дослідженні використано метод, заснований на використанні циліндричної системи координат з початком координат у вибраній точці. У цій системі координат при фіксованому азимуті поліном, що визначає рівняння поверхні повільності, розкладається в ряд Тейлора за відстанню від даної точки. Потім знаходяться вертикальні проєкції повільності для різних типів хвиль у вигляді рядів Тейлора за відстанню від даної точки. Початкові члени цих рядів визначають форму поверхні повільності в околі даної точки. Кривизни Гауса, середня та головна, також представлені рядами Тейлора. У цій статті досліджено початкові члени рядів Тейлора кривизн Гауса, середньої та головної, для регулярних, подвійних і потрійних особливих точок. Показано, що подвійна особлива точка завжди є точкою дотичного типу, тобто в подвійній особливій точці поверхня повільності має горизонтальну дотичну площину. Однак в особливій точці кривизни Гауса не існує, а в околі цієї точки вона залежить від азимута. Досліджено випадки з подвійною особливою точкою, коли початковий член кривизни Гауса локально не залежить від азимута, а також випадки, коли в околі особливої точки або на певних азимутах поверхні повільності S1 і S2 хвиль розташовані близько одна до одної. Представлені результати продемонстровано на двох прикладах моноклінних середовищ. Аналіз, виконаний у цій статті, може бути використаний для ідентифікації аномалій амплітуди, викликаних моделюванням хвильового поля в анізотропному середовищі з особливими точками, а також при трасуванні променів і розв’язанні зворотних сейсмічних задач для моноклінних середовищ. S. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine 2025-08-19 Article Article application/pdf https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/322834 10.24028/gj.v47i4.322834 Geofizicheskiy Zhurnal; Vol. 47 No. 4 (2025) Геофизический журнал; Том 47 № 4 (2025) Геофізичний журнал; Том 47 № 4 (2025) 2524-1052 0203-3100 en https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/322834/326058 Copyright (c) 2025 Юрій Роганов, Alexey Stovas, В'ячеслав Роганов https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0 |
| spellingShingle | monoclinic media Gaussian curvature singular point slowness surface phase velocity Christoffel matrix Roganov, Yu.V. Stovas, A. Roganov, V.Yu. Calculation of Gaussian curvature of the slowness surface in monoclinic media |
| title | Calculation of Gaussian curvature of the slowness surface in monoclinic media |
| title_alt | Обчислення кривизни Гауса поверхні повільності для моноклінних середовищ |
| title_full | Calculation of Gaussian curvature of the slowness surface in monoclinic media |
| title_fullStr | Calculation of Gaussian curvature of the slowness surface in monoclinic media |
| title_full_unstemmed | Calculation of Gaussian curvature of the slowness surface in monoclinic media |
| title_short | Calculation of Gaussian curvature of the slowness surface in monoclinic media |
| title_sort | calculation of gaussian curvature of the slowness surface in monoclinic media |
| topic | monoclinic media Gaussian curvature singular point slowness surface phase velocity Christoffel matrix |
| topic_facet | monoclinic media Gaussian curvature singular point slowness surface phase velocity Christoffel matrix кривизна Гаусса особлива точка поверхня повільності фазова швидкість матриця Крістоффеля моноклінне середовище |
| url | https://journals.uran.ua/geofizicheskiy/article/view/322834 |
| work_keys_str_mv | AT roganovyuv calculationofgaussiancurvatureoftheslownesssurfaceinmonoclinicmedia AT stovasa calculationofgaussiancurvatureoftheslownesssurfaceinmonoclinicmedia AT roganovvyu calculationofgaussiancurvatureoftheslownesssurfaceinmonoclinicmedia AT roganovyuv občislennâkriviznigausapoverhnípovílʹnostídlâmonoklínnihseredoviŝ AT stovasa občislennâkriviznigausapoverhnípovílʹnostídlâmonoklínnihseredoviŝ AT roganovvyu občislennâkriviznigausapoverhnípovílʹnostídlâmonoklínnihseredoviŝ |