The Solution of the Inverse Problem of Identifying the Thermal Conductivity Tensor in Anisotropic Materials
On the basis of A. N. Tikhonov's regularization theory, a technique has been developed for solving inverse heat conduction problems of identifying the thermal conductivity tensor in a two-dimensional domain. Such problems are replaced by problems of identifying the principal h...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English Russian |
| Опубліковано: |
Journal of Mechanical Engineering
2021
|
| Онлайн доступ: | https://journals.uran.ua/jme/article/view/240554 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Journal of Mechanical Engineering |
Репозитарії
Journal of Mechanical Engineering| id |
journalsuranuajme-article-240554 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Journal of Mechanical Engineering |
| collection |
OJS |
| language |
English Russian |
| format |
Article |
| author |
Мацевитый, Ю. М. Ганчин, В. В. |
| spellingShingle |
Мацевитый, Ю. М. Ганчин, В. В. The Solution of the Inverse Problem of Identifying the Thermal Conductivity Tensor in Anisotropic Materials |
| author_facet |
Мацевитый, Ю. М. Ганчин, В. В. |
| author_sort |
Мацевитый, Ю. М. |
| title |
The Solution of the Inverse Problem of Identifying the Thermal Conductivity Tensor in Anisotropic Materials |
| title_short |
The Solution of the Inverse Problem of Identifying the Thermal Conductivity Tensor in Anisotropic Materials |
| title_full |
The Solution of the Inverse Problem of Identifying the Thermal Conductivity Tensor in Anisotropic Materials |
| title_fullStr |
The Solution of the Inverse Problem of Identifying the Thermal Conductivity Tensor in Anisotropic Materials |
| title_full_unstemmed |
The Solution of the Inverse Problem of Identifying the Thermal Conductivity Tensor in Anisotropic Materials |
| title_sort |
solution of the inverse problem of identifying the thermal conductivity tensor in anisotropic materials |
| title_alt |
Решение обратной задачи по идентификации тензора теплопроводности в анизотропных материалах Розв’язання оберненої задачі з ідентифікації тензора теплопровідності в анізотропних матеріалах |
| description |
On the basis of A. N. Tikhonov's regularization theory, a technique has been developed for solving inverse heat conduction problems of identifying the thermal conductivity tensor in a two-dimensional domain. Such problems are replaced by problems of identifying the principal heat conductivity coefficients and the orientation angle of the principal axes, with the principal coefficients being approximated by Schoenberg’s cubic splines. As a result, the problem is reduced to determining the unknown coefficients in these approximations and the orientation angle of the principal axes. With known boundary and initial conditions, the temperature in the domain will depend only on these coefficients and the orientation angle. If one expresses it by the Taylor formula for two terms of series and substitutes it into the Tikhonov functional, then the determination of the increments of the coefficients and the increment of the orientation angle can be reduced to solving a system of linear equations with respect to these increments. By choosing a certain regularization parameter as well as some functions for the principal thermal conductivity coefficients and the orientation angle as an initial approximation, one can implement an iterative process for determining these coefficients. After obtaining the vectors of the coefficients and the angle of orientation as a result of the converging iterative process, it is possible to determine the root-mean-square discrepancy between the temperature obtained and the temperature measured as a result of the experiment. It remains to choose the regularization parameter in such a way that this discrepancy is within the root-mean-square discrepancy of the measurement error. When checking the efficiency of using the proposed method, a number of two-dimensional test problems for bodies with known thermal conductivity tensors were solved. The influence of random measurement errors on the error in the identification of the thermal conductivity tensor was analyzed. |
| publisher |
Journal of Mechanical Engineering |
| publishDate |
2021 |
| url |
https://journals.uran.ua/jme/article/view/240554 |
| work_keys_str_mv |
AT macevityjûm thesolutionoftheinverseproblemofidentifyingthethermalconductivitytensorinanisotropicmaterials AT gančinvv thesolutionoftheinverseproblemofidentifyingthethermalconductivitytensorinanisotropicmaterials AT macevityjûm rešenieobratnojzadačipoidentifikaciitenzorateploprovodnostivanizotropnyhmaterialah AT gančinvv rešenieobratnojzadačipoidentifikaciitenzorateploprovodnostivanizotropnyhmaterialah AT macevityjûm rozvâzannâobernenoízadačízídentifíkacíítenzorateploprovídnostívanízotropnihmateríalah AT gančinvv rozvâzannâobernenoízadačízídentifíkacíítenzorateploprovídnostívanízotropnihmateríalah AT macevityjûm solutionoftheinverseproblemofidentifyingthethermalconductivitytensorinanisotropicmaterials AT gančinvv solutionoftheinverseproblemofidentifyingthethermalconductivitytensorinanisotropicmaterials |
| first_indexed |
2024-06-01T14:44:33Z |
| last_indexed |
2024-06-01T14:44:33Z |
| _version_ |
1800670359674945536 |
| spelling |
journalsuranuajme-article-2405542021-09-30T12:33:58Z The Solution of the Inverse Problem of Identifying the Thermal Conductivity Tensor in Anisotropic Materials Решение обратной задачи по идентификации тензора теплопроводности в анизотропных материалах Розв’язання оберненої задачі з ідентифікації тензора теплопровідності в анізотропних матеріалах Мацевитый, Ю. М. Ганчин, В. В. On the basis of A. N. Tikhonov's regularization theory, a technique has been developed for solving inverse heat conduction problems of identifying the thermal conductivity tensor in a two-dimensional domain. Such problems are replaced by problems of identifying the principal heat conductivity coefficients and the orientation angle of the principal axes, with the principal coefficients being approximated by Schoenberg’s cubic splines. As a result, the problem is reduced to determining the unknown coefficients in these approximations and the orientation angle of the principal axes. With known boundary and initial conditions, the temperature in the domain will depend only on these coefficients and the orientation angle. If one expresses it by the Taylor formula for two terms of series and substitutes it into the Tikhonov functional, then the determination of the increments of the coefficients and the increment of the orientation angle can be reduced to solving a system of linear equations with respect to these increments. By choosing a certain regularization parameter as well as some functions for the principal thermal conductivity coefficients and the orientation angle as an initial approximation, one can implement an iterative process for determining these coefficients. After obtaining the vectors of the coefficients and the angle of orientation as a result of the converging iterative process, it is possible to determine the root-mean-square discrepancy between the temperature obtained and the temperature measured as a result of the experiment. It remains to choose the regularization parameter in such a way that this discrepancy is within the root-mean-square discrepancy of the measurement error. When checking the efficiency of using the proposed method, a number of two-dimensional test problems for bodies with known thermal conductivity tensors were solved. The influence of random measurement errors on the error in the identification of the thermal conductivity tensor was analyzed. На основе теории регуляризации А. Н. Тихонова разработана методика решения обратных задач теплопроводности по идентификации тензора теплопроводности в двухмерной области. Такие задачи заменяются на задачи по идентификации главных коэффициентов теплопроводности и угла ориентации главных осей, а главные коэффициенты аппроксимируются кубическими сплайнами Шёнберга. В результате задача сводится к определению неизвестных коэффициентов в этих аппроксимациях и угла ориентации главных осей. При известных граничных и начальных условиях температура в области будет зависеть только от этих коэффициентов и угла ориентации. Если выразить её по формуле Тейлора для двух членов ряда и подставить в функционал Тихонова, то определение приращений коэффициентов и приращения угла ориентации можно свести к решению системы линейных уравнений относительно этих приращений. Выбрав некоторый параметр регуляризации и некоторые функции для главных коэффициентов теплопроводности и угла ориентации в качестве начального приближения, можно реализовать итерационный процесс определения этих коэффициентов. Получив векторы коэффициентов и угол ориентации в результате сходящегося итерационного процесса, можно определить среднеквадратическую невязку между получаемой температурой и температурой, измеренной в результате проведенного эксперимента. Остается подобрать параметр регуляризации таким образом, чтобы эта невязка была в пределах среднеквадратичной погрешности ошибки измерений. При проверке эффективности использования предложенного метода решен ряд двухмерных тестовых задач для тел с известными тензорами теплопроводности. Проанализировано влияние случайных погрешностей измерений на погрешность идентификации тензора теплопроводности. На основі теорії регуляризації А. М. Тихонова розроблено методику розв'язання обернених задач теплопровідності з ідентифікації тензора теплопровідності двовимірної області. Ці задачі замінюються на задачі з ідентифікациї головних коефіцієнтів та кута орієнтації головних осей, а головні коефіцієнти апроксимуються кубічними сплайнами Шьонберга. В результаті задача зводиться до визначення невідомих коефіцієнтів в цих апроксимаціях і кута орієнтації головних осей. За відомих граничних і початкових умов температура в області буде залежати тільки від цих коефіцієнтів і кута орієнтації. Якщо виразити її за формулою Тейлора для двох членів ряду і підставити в функціонал Тихонова, то визначення збільшень коефіцієнтів і збільшення кута орієнтації можна звести до розв’язання системи лінійних рівнянь щодо цих збільшень. Вибравши певний параметр регуляризації і деякі функції для головних коефіцієнтів теплопровідності і кута орієнтації як початкове наближення, можна реалізувати ітераційний процес визначення цих коефіцієнтів. Отримавши вектори коефіцієнтів і кут орієнтації в результаті збігального ітераційного процесу, можна визначити середньоквадратичну нев’язку між одержуваною температурою і температурою, яка вимірюється в результаті проведеного експерименту. Залишається підібрати параметр регуляризації таким чином, щоб ця нев’язка була в межах середньоквадратичної похибки помилки вимірювань. Під час перевірки ефективності використання запропонованого методу розв’язано ряд двомірних тестових задач для тіл з відомими тензорами теплопровідності. Проаналізовано вплив випадкових похибок вимірювань на похибка ідентифікації тензора теплопровідності. Journal of Mechanical Engineering Проблемы машиностроения Проблеми машинобудування 2021-09-30 Article Article application/pdf application/pdf https://journals.uran.ua/jme/article/view/240554 Journal of Mechanical Engineering; Vol. 24 No. 3 (2021): ; 6-13 Проблемы машиностроения; Том 24 № 3 (2021): ; 6-13 Проблеми машинобудування; Том 24 № 3 (2021): ; 6-13 2709-2992 2709-2984 en ru https://journals.uran.ua/jme/article/view/240554/238903 https://journals.uran.ua/jme/article/view/240554/238904 Copyright (c) 2021 Ю. М. Мацевитый, В. В. Ганчин http://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0 |