Наближення нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці

• Main Author: Ковальська, Ірина Борисівна
• Format: Article
• Language: Ukrainian
• Published: Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2018
• Online Access: http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/140083

Оскільки будь-яка сумовна 2π-періодична функція розвивається в ряд Фур’є, то найбільш зручним апаратом наближення таких функцій є послідовності частинних сум цього ряду і послідовності лінійних операторів, що визначаються деякою трикутною матрицею Λ. Ця матриця задає метод побудови поліномів і визначає конкретний метод підсумовування рядів Фур’є. Одним з них є регулярний метод, який називається сумами Зігмунда.Суми Зігмунда були введені А. Зігмундом в 1945 році. Він же довів деякі твердження, які встановлювали точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень цих сум на класах r-дифе­рен­ційовних функцій для дробових r.Дослідження Зігмунда були продовжені Б. Надем, С. А. Теляковським, А. В. Єфимовим, О. І. Степанцем, Д. М. Бушевим та ін.У статті отримано точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень сум Зігмунда від нескінченно-диференційовних функ­цій в інтегральній метриці.Нехай N — деякий клас сумовних 2π-періодичних функцій. Тоді, якщо для f(x) існує (ψ; β)-похідна (в розумінні Степанця) і ця похідна належить класу N, то такі функції f(x) об’єднують в окремий клас L(ψ; β)N, що характеризується (ψ; β) диференціальними властивостями самої функції і умовами, накладеними на її (ψ; β) похідну.У статті класи L(ψ; β)N складаються з функцій, ряди Фур’є яких збігаються до нескінченно-диференційовних функцій, а їх (ψ; β)-похідні в інтегральній метриці належать одиничній кулі.Основним результатом роботи є наступне твердження.Теорема. Якщо дана функція f(t, n, r) — рівномірно обмежена, а функції f(x) належать згаданому класу L(ψ; β)N, то для довільних n Î N, для верхніх граней відхилень сум Зігмунда від функцій з класу L(ψ; β)N справедливі точні порядкові оцінки, де порядок визначається степенем — r методу Зігмунда.Із допоміжних тверджень доводиться 2 леми і для того, щоб показати непокращуваність порядкової оцінки будується екстремальна функція g(x) Î L(ψ; β)N.