Дослідження Т-періодичних розв’язків рівнянь гіперболічного типу
Як показано в багатьох класичних підручниках з теорії звичайних диференціальних рівнянь, щоб існував Т-періодичний розв’язок рівняння Lu = f (x, t, u), потрібно, щоб права частина рівняння f (x, t, u) була Т-періодичною по t, тобто f (x, t+Т, u) = f (x, t, u). Зауважимо, що не кожне рівняння при та...
Збережено в:
Видавець: | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
---|---|
Дата: | 2018 |
Автори: | , |
Формат: | Стаття |
Мова: | Ukrainian |
Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2018
|
Онлайн доступ: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/140091 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Репозиторії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciencesРезюме: | Як показано в багатьох класичних підручниках з теорії звичайних диференціальних рівнянь, щоб існував Т-періодичний розв’язок рівняння Lu = f (x, t, u), потрібно, щоб права частина рівняння f (x, t, u) була Т-періодичною по t, тобто f (x, t+Т, u) = f (x, t, u). Зауважимо, що не кожне рівняння при такій умові може мати Т-періодичний розв’язок. Прикладом такого твердження є звичайне диференціальне рівняння dx / dt = sin2t, розв’язок якого не є періодичним. Для дослідження існування Т-періодичних розв’язків звичайних диференціальних рівнянь та їх систем А. М. Самойленком був розроблений чисельно-аналітичний метод побудови Т-періодичних розв’язків звичайних диференціальних рівнянь і систем. Результати, одержані А. М. Самойленко, були використані для дослідження Т-періодичних розв’язків багатьох нових класів звичайних диференціальних рівнянь і навіть захопили задачу Гурса для рівнянь у частинних похідних. Зазначимо, що крайові Т-періодичні задачі для більш загального диференціального рівняння у частинних похідних не були досліджені аналітичним методом. Вперше у даній роботі нами показано методику дослідження Т-періодичних розв’язків крайової Т-періодичної задачі для більш загального диференціального рівняння у частинних похідних ¶2u / ¶t2 – a2¶2u /¶x2 = f (x, t, u, ut, ux). Використано таке просте твердження: функція К (x, t), визначена через інтеграл з межами від t – b до t + b, для кожної Т-періодичної по τ функції g (x, τ), тобто g (x, τ + Т) = g (x, τ), є також Т-періодична по t. Знайдена формула автоматично задовольняє крайові та Т-періодичні умови: u (0, t) = u (π, t) = 0, u (x, t + Т) = u (x, t), 0 ≤ х ≤ π, t Î R. Одержані в даній роботі результати можна використовувати для дослідження багатьох класів диференціальних рівнянь у частинних похідних гіперболічного типу. |
---|