Standing Waves with Periodic Amplitude in the Discrete Nonlinear Schrödinger Type Equation with Saturable Nonlinearity on 2D-Lattice

Standing Waves with Periodic Amplitude in the Discrete Nonlinear Schrödinger Type Equation with Saturable Nonlinearity on 2D-Lattice

This paper is devoted to the study of a discrete nonlinear Schrödinger equation on a two-dimensional lattice. This type of equations with saturable nonlinearity is studied. We first consider the Schrödinger type equation with a more general nonlinearity, which has the same properties as saturable no...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2018
Автори: Бак, Сергій Миколайович, Ковтонюк, Галина Миколаївна, Печериця, Іван Володимирович
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2018
Онлайн доступ:http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159248
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences

Репозитарії

Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences
id mcm-mathkpnueduua-article-159248
record_format ojs
institution Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences
collection OJS
language Ukrainian
format Article
author Бак, Сергій Миколайович
Ковтонюк, Галина Миколаївна
Печериця, Іван Володимирович
spellingShingle Бак, Сергій Миколайович
Ковтонюк, Галина Миколаївна
Печериця, Іван Володимирович
Standing Waves with Periodic Amplitude in the Discrete Nonlinear Schrödinger Type Equation with Saturable Nonlinearity on 2D-Lattice
author_facet Бак, Сергій Миколайович
Ковтонюк, Галина Миколаївна
Печериця, Іван Володимирович
author_sort Бак, Сергій Миколайович
title Standing Waves with Periodic Amplitude in the Discrete Nonlinear Schrödinger Type Equation with Saturable Nonlinearity on 2D-Lattice
title_short Standing Waves with Periodic Amplitude in the Discrete Nonlinear Schrödinger Type Equation with Saturable Nonlinearity on 2D-Lattice
title_full Standing Waves with Periodic Amplitude in the Discrete Nonlinear Schrödinger Type Equation with Saturable Nonlinearity on 2D-Lattice
title_fullStr Standing Waves with Periodic Amplitude in the Discrete Nonlinear Schrödinger Type Equation with Saturable Nonlinearity on 2D-Lattice
title_full_unstemmed Standing Waves with Periodic Amplitude in the Discrete Nonlinear Schrödinger Type Equation with Saturable Nonlinearity on 2D-Lattice
title_sort standing waves with periodic amplitude in the discrete nonlinear schrödinger type equation with saturable nonlinearity on 2d-lattice
title_alt Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці
description This paper is devoted to the study of a discrete nonlinear Schrödinger equation on a two-dimensional lattice. This type of equations with saturable nonlinearity is studied. We first consider the Schrödinger type equation with a more general nonlinearity, which has the same properties as saturable nonlinearity. For such equations, we obtain the result of the existence of solutions in the form of standing waves with periodic amplitude (note that such solutions are often called breathers). To do this, the given equation is presented by operator form in the space of two-sided sequences. It is assumed that the coefficients of the corresponding linear operator form k-periodic sequences. This operator is bounded and self-adjoint in the space of all k-periodic sequences. Then a special functional was constructed, the critical points of which in this space are solutions of the original equation. A Gateaux derivative of this functional is found. Next we consider the Nehari manifold for a given variational problem, which is a set of nontrivial critical points of a constructed functional in the space of k-periodic sequences. It is shown that this manifold is a non-empty and closed subset of a given space. In addition, the corresponding minimization problem is considered and it is shown that this problem has a solution in the Nehari manifold. Consequently, under these conditions the original equation has nontrivial periodic solutions. Finally, due to the fact that saturable nonlinearity satisfies these conditions, the existence of two nontrivial standing waves with k-periodic amplitude for a discrete nonlinear Schrödinger equation with saturable nonlinearity on a two-dimensional lattice is established. The results of this paper are the distribution of already known results for discrete nonlinear Schrödinger equations on 1D and 2D-lattices.
publisher Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
publishDate 2018
url http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159248
work_keys_str_mv AT baksergíjmikolajovič standingwaveswithperiodicamplitudeinthediscretenonlinearschrodingertypeequationwithsaturablenonlinearityon2dlattice
AT kovtonûkgalinamikolaívna standingwaveswithperiodicamplitudeinthediscretenonlinearschrodingertypeequationwithsaturablenonlinearityon2dlattice
AT pečericâívanvolodimirovič standingwaveswithperiodicamplitudeinthediscretenonlinearschrodingertypeequationwithsaturablenonlinearityon2dlattice
AT baksergíjmikolajovič stoâčíhvilízperíodičnoûamplítudoûvdiskretnomunelíníjnomurívnânnítipušredíngeraíznasičuvanoûnelíníjnístûnadvovimírníjgratcí
AT kovtonûkgalinamikolaívna stoâčíhvilízperíodičnoûamplítudoûvdiskretnomunelíníjnomurívnânnítipušredíngeraíznasičuvanoûnelíníjnístûnadvovimírníjgratcí
AT pečericâívanvolodimirovič stoâčíhvilízperíodičnoûamplítudoûvdiskretnomunelíníjnomurívnânnítipušredíngeraíznasičuvanoûnelíníjnístûnadvovimírníjgratcí
first_indexed 2024-04-21T19:24:25Z
last_indexed 2024-04-21T19:24:25Z
_version_ 1796973490928091136
spelling mcm-mathkpnueduua-article-1592482019-03-13T10:33:12Z Standing Waves with Periodic Amplitude in the Discrete Nonlinear Schrödinger Type Equation with Saturable Nonlinearity on 2D-Lattice Стоячі хвилі з періодичною амплітудою в дискретному нелінійному рівнянні типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці Бак, Сергій Миколайович Ковтонюк, Галина Миколаївна Печериця, Іван Володимирович This paper is devoted to the study of a discrete nonlinear Schrödinger equation on a two-dimensional lattice. This type of equations with saturable nonlinearity is studied. We first consider the Schrödinger type equation with a more general nonlinearity, which has the same properties as saturable nonlinearity. For such equations, we obtain the result of the existence of solutions in the form of standing waves with periodic amplitude (note that such solutions are often called breathers). To do this, the given equation is presented by operator form in the space of two-sided sequences. It is assumed that the coefficients of the corresponding linear operator form k-periodic sequences. This operator is bounded and self-adjoint in the space of all k-periodic sequences. Then a special functional was constructed, the critical points of which in this space are solutions of the original equation. A Gateaux derivative of this functional is found. Next we consider the Nehari manifold for a given variational problem, which is a set of nontrivial critical points of a constructed functional in the space of k-periodic sequences. It is shown that this manifold is a non-empty and closed subset of a given space. In addition, the corresponding minimization problem is considered and it is shown that this problem has a solution in the Nehari manifold. Consequently, under these conditions the original equation has nontrivial periodic solutions. Finally, due to the fact that saturable nonlinearity satisfies these conditions, the existence of two nontrivial standing waves with k-periodic amplitude for a discrete nonlinear Schrödinger equation with saturable nonlinearity on a two-dimensional lattice is established. The results of this paper are the distribution of already known results for discrete nonlinear Schrödinger equations on 1D and 2D-lattices. Стаття присвячена вивченню дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера на двовимірній ґратці. Вивчаються такого типу рівняння із насичуваною нелінійністю. Спочатку розглянуто рівняння типу Шредінгера з більш загальною нелінійністю, яка має такі ж властивості, як і насичувана нелінійність. Для таких рівнянь одержано результат про існування розв’язків у вигляді стоячих хвиль з періодичною амплітудою (зауважимо, що такі розв’язки часто називають бризерами). Для цього дане рівняння подано в операторному вигляді в просторі двохсторонніх послідовностей. Припущено, що коефіцієнти відповідного лінійного оператора утворюють k-періодичні послідовності. Цей оператор є обмеженим і самоспряженим у просторі всіх k-періодичних послідовностей. Потім побудовано спеціальний функціонал, критичні точки якого в цьому просторі є розв’язками вихідного рівняння. Знайдено похідну Гато цього функціоналу. Далі розглянуто многовид Нехарі для заданої варіаційної задачі, який представляє собою множину нетривіальних критичних точок побудованого функціоналу в просторі k-періодичних послідовностей. Показано, що цей многовид Нехарі непорожній і замкнений підмноговид даного простору. Крім того, розглянуто відповідну задачу мінімізації і показано, що на розглянутому многовиді Нехарі ця задача за певних умов має розв’язок. А отже, за цих умов вихідне рівняння має нетривіальні періодичні розв’язки. І остаточно, в силу того, що насичувана нелінійність задовольняє вказані умови, в статті встановлено існування двох нетривіальних стоячих хвиль з k-періодичною амплітудою для дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю на двовимірній ґратці. Одержані в статті результати є поширенням вже відомих результатів для дискретних нелінійних рівнянь типу Шредінгера на одновимірних та двовимірних ґратках. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2018-11-14 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159248 10.32626/2308-5878.2018-18.5-14 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2018: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 18; 5-14 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2018: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18; 5-14 2308-5878 10.32626/2308-5878.2018-18 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159248/158542 Авторське право (c) 2021 Сергій Миколайович Бак, Галина Миколаївна Ковтонюк, Іван Володимирович Печериця

Схожі ресурси