The Relation of Duality and the Criterion of the Extremality of an Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Convex Sets of Linear Normed Space
P. L. Chebyshov started the conception of the best approximation of a continuous function on a segment using algebraic polynomials of some order at the middle of the XIX century. Later, the notion of the best approximation was considered for the case of general linear normed spaces. Over time, it be...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2018
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159385 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543222182969344 |
|---|---|
| author | Гудима, Уляна Василівна Гнатюк, Василь Олексійович |
| author_facet | Гудима, Уляна Василівна Гнатюк, Василь Олексійович |
| author_sort | Гудима, Уляна Василівна |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-03-13T10:33:12Z |
| description | P. L. Chebyshov started the conception of the best approximation of a continuous function on a segment using algebraic polynomials of some order at the middle of the XIX century. Later, the notion of the best approximation was considered for the case of general linear normed spaces. Over time, it became clear that a many tasks of best approximation are partial consequence of the problem of the best approximation of an element of a linear normed space by a convex set. This task is called the problem of finding the distance from the given element of the linear normed space to the convex plurality of this space as well. Important questions of the study of this problem are the establishment of the relation of duality and the criterion of the extremality of its element, the specification of this relation and the criterion for some partial cases and their application.M. P. Korniichuk and V. M. Tikhomirov established the general relation of duality and criterion of the extremality of an element for the problem of the best approximation of an element of a linear normed space by a convex set based on the dual interrelation.An important problem, the partial case of which is the problem of the best approximation of an element of a linear normed space by a convex set of this space, is the problem of finding the distance between two convex sets of linear normed space, which is considered in this paper. In the article establishes the relation of duality for this problem, which reduces this problem to the problem of evaluationing the upper bound in the conjugate space. The obtained relation is used to obtain the criterion of the extremality of an element. Thes results are used to find the distance between two bullets and between the bullet and the hyperplane of the linear normed space. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:43:01Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-159385 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:43:01Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-1593852019-03-13T10:33:12Z The Relation of Duality and the Criterion of the Extremality of an Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Convex Sets of Linear Normed Space Співвідношення двоїстості та критерії екстремальності елемента для задачі відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору Гудима, Уляна Василівна Гнатюк, Василь Олексійович P. L. Chebyshov started the conception of the best approximation of a continuous function on a segment using algebraic polynomials of some order at the middle of the XIX century. Later, the notion of the best approximation was considered for the case of general linear normed spaces. Over time, it became clear that a many tasks of best approximation are partial consequence of the problem of the best approximation of an element of a linear normed space by a convex set. This task is called the problem of finding the distance from the given element of the linear normed space to the convex plurality of this space as well. Important questions of the study of this problem are the establishment of the relation of duality and the criterion of the extremality of its element, the specification of this relation and the criterion for some partial cases and their application.M. P. Korniichuk and V. M. Tikhomirov established the general relation of duality and criterion of the extremality of an element for the problem of the best approximation of an element of a linear normed space by a convex set based on the dual interrelation.An important problem, the partial case of which is the problem of the best approximation of an element of a linear normed space by a convex set of this space, is the problem of finding the distance between two convex sets of linear normed space, which is considered in this paper. In the article establishes the relation of duality for this problem, which reduces this problem to the problem of evaluationing the upper bound in the conjugate space. The obtained relation is used to obtain the criterion of the extremality of an element. Thes results are used to find the distance between two bullets and between the bullet and the hyperplane of the linear normed space. В середині XIX століття П. Л. Чебишов ввів у математичну науку поняття найкращого у розумінні рівномірної норми наближення неперервної на сегменті дійснозначної функції множиною алгебраїчних поліномів степеня, що не перевищує заданого натурального числа.Згодом поняття найкращого наближення було перенесено на випадок загальних лінійних нормованих просторів. Виявилось, що низка задач найкращого наближення є частинними випадками задачі найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору, яку ще називають задачею відшукання відстані від заданого елемента лінійного нормованого простору до опуклої множини цього простору.Важливими питаннями дослідження цієї задачі є питання встановлення співвідношення двоїстості та критерію екстремальності її елемента, конкретизація цього співвідношення та критерію на окремі частинні випадки та їх застосування.Загальні співвідношення двоїстості та критерії екстремальності елемента для задачі відшукання відстані від заданої точки лінійного нормованого простору до його опуклої множини та їх конкретизації встановлено М. П. Корнєйчуком та В. М. Тихомировим.Важливою задачею, частинним випадком якої є задача найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору, є задача відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору, яка розглядається у даній роботі.У статті для задачі відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору встановлено співвідношення двоїстості, яке зводить розглядувану задачу до задачі на обчислення верхньої межі в спряженому до лінійного нормованого простору просторі.Вищеназване співвідношення покладене в основу доведення критерію екстремальності елемента для розглядуваної задачі.Отримані результати конкретизовано на окремі випадки, застосовано для встановлення відстані між двома кулями та між кулею і гіперплощиною лінійного нормованого простору. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2018-11-14 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159385 10.32626/2308-5878.2018-18.65-77 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2018: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 18; 65-77 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2018: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18; 65-77 2308-5878 10.32626/2308-5878.2018-18 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159385/158655 Авторське право (c) 2021 Уляна Василівна Гудима, Василь Олексійович Гнатюк |
| spellingShingle | Гудима, Уляна Василівна Гнатюк, Василь Олексійович The Relation of Duality and the Criterion of the Extremality of an Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Convex Sets of Linear Normed Space |
| title | The Relation of Duality and the Criterion of the Extremality of an Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Convex Sets of Linear Normed Space |
| title_alt | Співвідношення двоїстості та критерії екстремальності елемента для задачі відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору |
| title_full | The Relation of Duality and the Criterion of the Extremality of an Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Convex Sets of Linear Normed Space |
| title_fullStr | The Relation of Duality and the Criterion of the Extremality of an Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Convex Sets of Linear Normed Space |
| title_full_unstemmed | The Relation of Duality and the Criterion of the Extremality of an Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Convex Sets of Linear Normed Space |
| title_short | The Relation of Duality and the Criterion of the Extremality of an Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Convex Sets of Linear Normed Space |
| title_sort | relation of duality and the criterion of the extremality of an element for the problem of finding the distance between two convex sets of linear normed space |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159385 |
| work_keys_str_mv | AT gudimaulânavasilívna therelationofdualityandthecriterionoftheextremalityofanelementfortheproblemoffindingthedistancebetweentwoconvexsetsoflinearnormedspace AT gnatûkvasilʹoleksíjovič therelationofdualityandthecriterionoftheextremalityofanelementfortheproblemoffindingthedistancebetweentwoconvexsetsoflinearnormedspace AT gudimaulânavasilívna spívvídnošennâdvoístostítakriterííekstremalʹnostíelementadlâzadačívídšukannâvídstanímíždvomaopuklimimnožinamilíníjnogonormovanogoprostoru AT gnatûkvasilʹoleksíjovič spívvídnošennâdvoístostítakriterííekstremalʹnostíelementadlâzadačívídšukannâvídstanímíždvomaopuklimimnožinamilíníjnogonormovanogoprostoru AT gudimaulânavasilívna relationofdualityandthecriterionoftheextremalityofanelementfortheproblemoffindingthedistancebetweentwoconvexsetsoflinearnormedspace AT gnatûkvasilʹoleksíjovič relationofdualityandthecriterionoftheextremalityofanelementfortheproblemoffindingthedistancebetweentwoconvexsetsoflinearnormedspace |