Numerical Analysis of Filtration Flows in Inhomogeneous Media Using the R-Functions Method
The problem of the stationary porous media flow theory in an isotropic inhomogeneous media is considered in the assumption that the Darcy law is fulfilled. The mathematical model of this problem is the elliptic equation for the stream function, supplemented by second kind boundary conditions at the...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2018
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159390 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Репозитарії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| id |
mcm-mathkpnueduua-article-159390 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| collection |
OJS |
| language |
Ukrainian |
| format |
Article |
| author |
Подгорний, Олексій Русланович |
| spellingShingle |
Подгорний, Олексій Русланович Numerical Analysis of Filtration Flows in Inhomogeneous Media Using the R-Functions Method |
| author_facet |
Подгорний, Олексій Русланович |
| author_sort |
Подгорний, Олексій Русланович |
| title |
Numerical Analysis of Filtration Flows in Inhomogeneous Media Using the R-Functions Method |
| title_short |
Numerical Analysis of Filtration Flows in Inhomogeneous Media Using the R-Functions Method |
| title_full |
Numerical Analysis of Filtration Flows in Inhomogeneous Media Using the R-Functions Method |
| title_fullStr |
Numerical Analysis of Filtration Flows in Inhomogeneous Media Using the R-Functions Method |
| title_full_unstemmed |
Numerical Analysis of Filtration Flows in Inhomogeneous Media Using the R-Functions Method |
| title_sort |
numerical analysis of filtration flows in inhomogeneous media using the r-functions method |
| title_alt |
Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті |
| description |
The problem of the stationary porous media flow theory in an isotropic inhomogeneous media is considered in the assumption that the Darcy law is fulfilled. The mathematical model of this problem is the elliptic equation for the stream function, supplemented by second kind boundary conditions at the reservoir boundaries, and the first kind boundary conditions in regions that are impenetrable to the liquid. At the same time, the unknown value of the full liquid flow enters the problem statement and for its finding an additional integral ratio was formulated. The structural-variational method (the R-functions method) is proposed to be used for numerical analysis and that will allow taking into account all the geometric and analytical information from the problem statement most fully. The transition from the original problem to a boundary value problem with known boundary conditions was made. According to the R-functions method for the constructed solution structure, which accurately takes into account all boundary conditions of the obtained problem, the use of the variational Ritz method for the approximation of an indefinite component is substantiated. After that, an approximate solution of the initial problem was found from an additional integral relation. A computational experiment was conducted for different values of filtration coefficients in an area that has the form of the lower half of the ring. Also, the coordinate functions were constructed on the bases of Legendre polynomials. The approximate solution of the problem was compared with the exact solution in the case of a stable filtration coefficient. It is found that the error of determining the full liquid flow and the approximate solution of the problem decreases with the increasing number of coordinate functions. Also, the cases, where the filtration coefficient increases with depth, were considered. It is established that with the increase in the number of coordinate functions, the value of total costs tends to converge. Consequently, the proposed method of numerical analysis proved its effectiveness and can be used for practical problems solving. The advantages of the developed method are obtaining a solution of the boundary value problem in the form of the single analytical expression and the exact satisfaction of all boundary conditions of the problem. |
| publisher |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159390 |
| work_keys_str_mv |
AT podgornijoleksíjruslanovič numericalanalysisoffiltrationflowsininhomogeneousmediausingtherfunctionsmethod AT podgornijoleksíjruslanovič čiselʹnijanalízmetodomrfunkcíjfílʹtracíjnihtečíjuneodnorídnomugruntí |
| first_indexed |
2024-04-21T19:24:28Z |
| last_indexed |
2024-04-21T19:24:28Z |
| _version_ |
1796973494041313280 |
| spelling |
mcm-mathkpnueduua-article-1593902019-03-13T10:33:12Z Numerical Analysis of Filtration Flows in Inhomogeneous Media Using the R-Functions Method Чисельний аналіз методом R-функцій фільтраційних течій у неоднорідному ґрунті Подгорний, Олексій Русланович The problem of the stationary porous media flow theory in an isotropic inhomogeneous media is considered in the assumption that the Darcy law is fulfilled. The mathematical model of this problem is the elliptic equation for the stream function, supplemented by second kind boundary conditions at the reservoir boundaries, and the first kind boundary conditions in regions that are impenetrable to the liquid. At the same time, the unknown value of the full liquid flow enters the problem statement and for its finding an additional integral ratio was formulated. The structural-variational method (the R-functions method) is proposed to be used for numerical analysis and that will allow taking into account all the geometric and analytical information from the problem statement most fully. The transition from the original problem to a boundary value problem with known boundary conditions was made. According to the R-functions method for the constructed solution structure, which accurately takes into account all boundary conditions of the obtained problem, the use of the variational Ritz method for the approximation of an indefinite component is substantiated. After that, an approximate solution of the initial problem was found from an additional integral relation. A computational experiment was conducted for different values of filtration coefficients in an area that has the form of the lower half of the ring. Also, the coordinate functions were constructed on the bases of Legendre polynomials. The approximate solution of the problem was compared with the exact solution in the case of a stable filtration coefficient. It is found that the error of determining the full liquid flow and the approximate solution of the problem decreases with the increasing number of coordinate functions. Also, the cases, where the filtration coefficient increases with depth, were considered. It is established that with the increase in the number of coordinate functions, the value of total costs tends to converge. Consequently, the proposed method of numerical analysis proved its effectiveness and can be used for practical problems solving. The advantages of the developed method are obtaining a solution of the boundary value problem in the form of the single analytical expression and the exact satisfaction of all boundary conditions of the problem. Розглядається задача теорії стаціонарної фільтрації в ізотропному неоднорідному ґрунті у припущенні, що виконується закон Дарсі. Математичною моделлю цієї задачі є еліптичне рівняння для функції течії, доповнене крайовими умовами другого роду на ділянках межі водойми, і крайовими умовами першого роду на ділянках межі, що є непроникними для рідини. При цьому, в постановку задачі входить невідоме значення повних витрат рідини, для знаходження котрого формулюється додаткове інтегральне співвідношення. Для її чисельного аналізу пропонується використати структурно-варіаційний метод (метод R-функцій), що дозволить найбільш повно урахувати в обчислювальному алгоритмі всю геометричну та аналітичну інформацію, яка входить у постановку задачі. Від вихідної задачі здійснено перехід до крайової задачі з відомими крайовими умовами. Згідно з методом R-функцій для побудованої структури розв’язку, яка точно враховує всі крайові умови отриманої задачі, обґрунтовано використання варіаційного методу Рітца для апроксимації невизначеної компоненти. Після цього, з додаткового інтегрального співвідношення знайдено наближене значення невідомих витрат рідини і наближений розв’язок вихідної задачі. Було проведено обчислювальний експеримент для різних значень коефіцієнтів фільтрації в області, яка має вигляд нижньої половини кільця, з умовою, що координатні функції були побудовані на основі поліномів Лежандра. У випадку сталого коефіцієнта фільтрації наближений розв’язок задачі було порівняно з точним розв’язком. Виявлено, що похибка визначення повних витрат рідини та наближеного розв’язку задачі зменшується зі збільшенням кількості координатних функцій. Також було розглянуто випадки, де коефіцієнт фільтрації збільшується з глибиною. Встановлено, що зі збільшенням кількості координатних функцій значення повних витрат має тенденцію до збігу. Отже, запропонований метод чисельного аналізу довів свою ефективність і може бути використаний для розв’язку практичних задач. Перевагами розробленого методу є отримання розв’язку крайової задачі у вигляді єдиного аналітичного виразу і точне задоволення всіх крайових умов задачі. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2018-11-14 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159390 10.32626/2308-5878.2018-18.113-125 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2018: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 18; 113-125 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2018: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18; 113-125 2308-5878 10.32626/2308-5878.2018-18 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159390/158660 Авторське право (c) 2021 Олексій Русланович Подгорний |