The Application of the Green-Rvachev Quasifunction Method for Constructing Two-Sided Approximations to the Solution of the Dirichlet Problem for a Nonlinear Heat Equation

The Application of the Green-Rvachev Quasifunction Method for Constructing Two-Sided Approximations to the Solution of the Dirichlet Problem for a Nonlinear Heat Equation

The problem of mathematical modeling of nonlinear stationary heat conduction processes leads to the necessity for an effective solution of boundary value problems for an elliptic equation with a coefficient that is nonlinearly dependent on temperature. In this paper, the Dirichlet problem for the he...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2018
Автор: Сидоров, Максим Вікторович
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2018
Онлайн доступ:http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159393
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences

Репозитарії

Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences
id mcm-mathkpnueduua-article-159393
record_format ojs
institution Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences
collection OJS
language Ukrainian
format Article
author Сидоров, Максим Вікторович
spellingShingle Сидоров, Максим Вікторович
The Application of the Green-Rvachev Quasifunction Method for Constructing Two-Sided Approximations to the Solution of the Dirichlet Problem for a Nonlinear Heat Equation
author_facet Сидоров, Максим Вікторович
author_sort Сидоров, Максим Вікторович
title The Application of the Green-Rvachev Quasifunction Method for Constructing Two-Sided Approximations to the Solution of the Dirichlet Problem for a Nonlinear Heat Equation
title_short The Application of the Green-Rvachev Quasifunction Method for Constructing Two-Sided Approximations to the Solution of the Dirichlet Problem for a Nonlinear Heat Equation
title_full The Application of the Green-Rvachev Quasifunction Method for Constructing Two-Sided Approximations to the Solution of the Dirichlet Problem for a Nonlinear Heat Equation
title_fullStr The Application of the Green-Rvachev Quasifunction Method for Constructing Two-Sided Approximations to the Solution of the Dirichlet Problem for a Nonlinear Heat Equation
title_full_unstemmed The Application of the Green-Rvachev Quasifunction Method for Constructing Two-Sided Approximations to the Solution of the Dirichlet Problem for a Nonlinear Heat Equation
title_sort application of the green-rvachev quasifunction method for constructing two-sided approximations to the solution of the dirichlet problem for a nonlinear heat equation
title_alt Застосування методу квазіфункцій Гріна-Рвачова для побудови двобічних наближень до розв’язку задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності
description The problem of mathematical modeling of nonlinear stationary heat conduction processes leads to the necessity for an effective solution of boundary value problems for an elliptic equation with a coefficient that is nonlinearly dependent on temperature. In this paper, the Dirichlet problem for the heat equation with a nonlinear function of power of heat sources and a heat conductivity coefficient with power law dependence on temperature, is considered. To find a positive solution of the problem under consideration it is proposed the using of the two-sided approximations method, constructed on the basis of the application of the Green-Rvachev’s quasi-function method. For this, the unknown function was replaced in order to obtain a nonlinear problem for the equation with the Laplace operator. This problem was replaced by the equivalent Uryson integral equation using the Green-Rvachev’s quasi-function. The investigation of this equation was carried out by methods of nonlinear analysis in semi-ordered spaces, in particular, using the theory of heterotone operators by V.I. Opoǐcev. An integral operator entering the Uryson equation is considered as a heterotone operator acting in the space of continuous functions, which is semi-ordered by a cone of non-negative functions. This made it possible to find out the conditions for the existence of a unique positive solution of the problem under consideration and to construct a two-sided iterative process to search out it. This process begins at the ends of a strongly invariant for a heterotone operator cone segment and allows one to build two sequences of functions that approximate the desired solution from below and above. The advantage of the constructed two-sided iterative process is the availability of a convenient a posteriori error estimate for the approximate solution at each iteration. The efficiency of the developed method was illustrated by a computational experiment in a unit square for the case of the exponential dependence of the power of thermal sources on temperature. The results of the experiment are presented in the form of graphical (contour lines and the surface of an approximate solution) and numerical (values of an approximate solution at some points in the area) information.
publisher Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
publishDate 2018
url http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159393
work_keys_str_mv AT sidorovmaksimvíktorovič theapplicationofthegreenrvachevquasifunctionmethodforconstructingtwosidedapproximationstothesolutionofthedirichletproblemforanonlinearheatequation
AT sidorovmaksimvíktorovič zastosuvannâmetodukvazífunkcíjgrínarvačovadlâpobudovidvobíčnihnabliženʹdorozvâzkuzadačídíríhledlânelíníjnogorívnânnâteploprovídností
AT sidorovmaksimvíktorovič applicationofthegreenrvachevquasifunctionmethodforconstructingtwosidedapproximationstothesolutionofthedirichletproblemforanonlinearheatequation
first_indexed 2024-04-21T19:24:29Z
last_indexed 2024-04-21T19:24:29Z
_version_ 1796973494954622976
spelling mcm-mathkpnueduua-article-1593932019-03-13T10:33:12Z The Application of the Green-Rvachev Quasifunction Method for Constructing Two-Sided Approximations to the Solution of the Dirichlet Problem for a Nonlinear Heat Equation Застосування методу квазіфункцій Гріна-Рвачова для побудови двобічних наближень до розв’язку задачі Діріхле для нелінійного рівняння теплопровідності Сидоров, Максим Вікторович The problem of mathematical modeling of nonlinear stationary heat conduction processes leads to the necessity for an effective solution of boundary value problems for an elliptic equation with a coefficient that is nonlinearly dependent on temperature. In this paper, the Dirichlet problem for the heat equation with a nonlinear function of power of heat sources and a heat conductivity coefficient with power law dependence on temperature, is considered. To find a positive solution of the problem under consideration it is proposed the using of the two-sided approximations method, constructed on the basis of the application of the Green-Rvachev’s quasi-function method. For this, the unknown function was replaced in order to obtain a nonlinear problem for the equation with the Laplace operator. This problem was replaced by the equivalent Uryson integral equation using the Green-Rvachev’s quasi-function. The investigation of this equation was carried out by methods of nonlinear analysis in semi-ordered spaces, in particular, using the theory of heterotone operators by V.I. Opoǐcev. An integral operator entering the Uryson equation is considered as a heterotone operator acting in the space of continuous functions, which is semi-ordered by a cone of non-negative functions. This made it possible to find out the conditions for the existence of a unique positive solution of the problem under consideration and to construct a two-sided iterative process to search out it. This process begins at the ends of a strongly invariant for a heterotone operator cone segment and allows one to build two sequences of functions that approximate the desired solution from below and above. The advantage of the constructed two-sided iterative process is the availability of a convenient a posteriori error estimate for the approximate solution at each iteration. The efficiency of the developed method was illustrated by a computational experiment in a unit square for the case of the exponential dependence of the power of thermal sources on temperature. The results of the experiment are presented in the form of graphical (contour lines and the surface of an approximate solution) and numerical (values of an approximate solution at some points in the area) information. Проблема математичного моделювання нелінійних стаціонарних процесів теплопровідності приводить до необхідності ефективного розв’язання крайових задач для еліптичного рівняння з коефіцієнтом, нелінійно залежним від температури. У роботі розглянуто задачу Діріхле для рівняння теплопровідності зі степенево залежним від температури коефіцієнтом теплопровідності та нелінійною функцією потужності теплових джерел. Додатний розв’язок розглядуваної задачі запропоновано знаходити, використовуючи метод двобічних наближень, побудований на основі застосування методу квазіфункцій Гріна-Рвачова. Для цього було зроблено заміну невідомої функції з метою отримати нелінійну задачу для рівняння з оператором Лапласа. Ця задача за допомогою квазіфункції Гріна-Рвачова була замінена еквівалентним інтегральним рівняння Урисона. Дослідження цього рівняння було проведено методами нелінійного аналізу у напівупорядкованих просторах, зокрема, використовуючи теорію гетеротонних операторів В. І. Опойцева. Інтегральний оператор, що входить у рівняння Урисона, розглянуто як гетеротонний оператор, що діє у просторі неперервних функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних функцій. Це дозволило з’ясувати умови існування єдиного додатного розв’язку розглядуваної задачі та побудувати для його знаходження двобічний ітераційний процес. Цей процес розпочинається з кінців сильно інваріантного для гетеротонного оператора конусного відрізку і дозволяє будувати дві послідовності функцій, які наближають шуканий розв’язок знизу та зверху. Перевагою побудованого двобічного ітераційного процесу є наявність зручної апостеріорної оцінки похибки наближеного розв’язку на кожній ітерації. Ефективність розробленого методу було проілюстровано обчислювальним експериментом у одиничному квадраті для випадку експоненціальної залежності потужності теплових джерел від температури. Результати експерименту наведено у вигляді графічної (лінії рівня та поверхня наближеного розв’язку) та числової (значення наближеного розв’язку у деяких точках області) інформації. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2018-11-14 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159393 10.32626/2308-5878.2018-18.146-161 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2018: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 18; 146-161 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2018: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18; 146-161 2308-5878 10.32626/2308-5878.2018-18 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/159393/158663 Авторське право (c) 2021 Максим Вікторович Сидоров

Схожі ресурси