On the Boundedness of the Global Solution of Cauchy Problem for Infinite System of Nonlinear Oscillators on 2D-lattice
This article is devoted to the study of an infinite-dimensional Hamiltonian system, which describes an infinite system of linearly coupled nonlinear oscillators on a two-dimensional lattice. This system is a counteble system of ordinary differential equations. It is convenient to consider this syste...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2019
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/188960 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Репозитарії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| id |
mcm-mathkpnueduua-article-188960 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| collection |
OJS |
| language |
Ukrainian |
| format |
Article |
| author |
Бак, Сергій Миколайович |
| spellingShingle |
Бак, Сергій Миколайович On the Boundedness of the Global Solution of Cauchy Problem for Infinite System of Nonlinear Oscillators on 2D-lattice |
| author_facet |
Бак, Сергій Миколайович |
| author_sort |
Бак, Сергій Миколайович |
| title |
On the Boundedness of the Global Solution of Cauchy Problem for Infinite System of Nonlinear Oscillators on 2D-lattice |
| title_short |
On the Boundedness of the Global Solution of Cauchy Problem for Infinite System of Nonlinear Oscillators on 2D-lattice |
| title_full |
On the Boundedness of the Global Solution of Cauchy Problem for Infinite System of Nonlinear Oscillators on 2D-lattice |
| title_fullStr |
On the Boundedness of the Global Solution of Cauchy Problem for Infinite System of Nonlinear Oscillators on 2D-lattice |
| title_full_unstemmed |
On the Boundedness of the Global Solution of Cauchy Problem for Infinite System of Nonlinear Oscillators on 2D-lattice |
| title_sort |
on the boundedness of the global solution of cauchy problem for infinite system of nonlinear oscillators on 2d-lattice |
| title_alt |
Про обмеженість глобального розв’язку задачі Коші для нескінченної системи нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці |
| description |
This article is devoted to the study of an infinite-dimensional Hamiltonian system, which describes an infinite system of linearly coupled nonlinear oscillators on a two-dimensional lattice. This system is a counteble system of ordinary differential equations. It is convenient to consider this system as a differential-operator equation in Hilbert space of two-way sequences. The Cauchy problem for such equations in this space is considered. Previously, it has been proven that under certain circumstances this problem has a unique local and global solution. Local resolution follows from the standard results for differential equations in Banach spaces. The basic conditions here are the spatial periodicity of coefficients of the operator of linear interaction of oscillators and the Cauchy continuity of nonlinearity (which is defined as a derivative of the on-site potential of the oscillator system). This system, in Hamilton view, was used to establish global resolution. Recall that from a physical point of view the Hamiltonian represents the total energy of the system, i.e. the sum of kinetic and potential energy. The basic conditions, in addition to those mentioned above, are the non-positivity of the operator of linearly interact between the oscillators and the half-boundary below their potentials. However, the question remains whether the global solution is bounded. In this article it is established that under the same conditions of existence of a global solution, if the linear interaction operator is non-positive and the on-site potential at infinity is infinitely large (uniformly over both spatial variables), or the linear interaction operator is negatively defined, then this solution is bounded to any initial data from a given sequence space. To prove this, the fact that the Hamiltonian of the system retains a constant value on the initial data was used |
| publisher |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| publishDate |
2019 |
| url |
http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/188960 |
| work_keys_str_mv |
AT baksergíjmikolajovič ontheboundednessoftheglobalsolutionofcauchyproblemforinfinitesystemofnonlinearoscillatorson2dlattice AT baksergíjmikolajovič proobmeženístʹglobalʹnogorozvâzkuzadačíkošídlâneskínčennoísisteminelíníjnihoscilâtorívnadvovimírníjgratcí |
| first_indexed |
2024-04-21T19:24:39Z |
| last_indexed |
2024-04-21T19:24:39Z |
| _version_ |
1796973505416265728 |
| spelling |
mcm-mathkpnueduua-article-1889602019-12-23T09:53:47Z On the Boundedness of the Global Solution of Cauchy Problem for Infinite System of Nonlinear Oscillators on 2D-lattice Про обмеженість глобального розв’язку задачі Коші для нескінченної системи нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці Бак, Сергій Миколайович This article is devoted to the study of an infinite-dimensional Hamiltonian system, which describes an infinite system of linearly coupled nonlinear oscillators on a two-dimensional lattice. This system is a counteble system of ordinary differential equations. It is convenient to consider this system as a differential-operator equation in Hilbert space of two-way sequences. The Cauchy problem for such equations in this space is considered. Previously, it has been proven that under certain circumstances this problem has a unique local and global solution. Local resolution follows from the standard results for differential equations in Banach spaces. The basic conditions here are the spatial periodicity of coefficients of the operator of linear interaction of oscillators and the Cauchy continuity of nonlinearity (which is defined as a derivative of the on-site potential of the oscillator system). This system, in Hamilton view, was used to establish global resolution. Recall that from a physical point of view the Hamiltonian represents the total energy of the system, i.e. the sum of kinetic and potential energy. The basic conditions, in addition to those mentioned above, are the non-positivity of the operator of linearly interact between the oscillators and the half-boundary below their potentials. However, the question remains whether the global solution is bounded. In this article it is established that under the same conditions of existence of a global solution, if the linear interaction operator is non-positive and the on-site potential at infinity is infinitely large (uniformly over both spatial variables), or the linear interaction operator is negatively defined, then this solution is bounded to any initial data from a given sequence space. To prove this, the fact that the Hamiltonian of the system retains a constant value on the initial data was used Стаття присвячена вивченню нескінченновимірної гамільтонової системи, яка описує нескінченну систему лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. Ця система представляє собою зчисленну систему звичайних диференціальних рівнянь. Цю систему зручно розглядати як диференціально-операторне рівняння у гільбертовому просторі двохсторонніх послідовностей. Розглядається задача Коші для таких рівнянь у даному просторі. Раніше було доведено, що ця задача за певних умов має єдиний локальний і глобальний розв’язки. Локальна розв’язність випливає зі стандартних результатів для диференціальних рівнянь у банахових просторах. Основними умовами тут є просторова періодичність коефіцієнтів оператора лінійної взаємодії осциляторів та неперервність за Коші нелінійності (яка визначається як похідна зовнішнього потенціалу системи осциляторів). Для встановлення глобальної розв’язності було використано подання даної системи у гамільтоновому вигляді. Нагадаємо, що з фізичної точки зору гамільтоніан представляє собою повну енергію системи, тобто суму кінетичної і потенціальної енергії. Основними умовами, крім згаданих вище, тут є недодатність оператора лінійної взаємодії між осциляторами та напівобмеженість знизу їх потенціалів. Однак, залишилось відкритим питання, чи є глобальний розв’язок обмеженим. У цій статті встановлено, що за тих самих умов існування глобального розв’язку, якщо оператор лінійної взаємодії недодатний, а зовнішній потенціал на нескінченності є нескінченно великим (рівномірно за обома просторовими змінними), або ж оператор лінійної взаємодії є від’ємно визначеним, то цей розв’язок обмежений для будь-яких початкових даних з даного простору послідовностей. Для доведення було використано той факт, що гамільтоніан системи на початкових даних зберігає стале значення. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2019-08-13 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/188960 10.32626/2308-5878.2019-20.5-12 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2019: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 20; 5-12 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2019: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 20; 5-12 2308-5878 10.32626/2308-5878.2019-20 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/188960/188361 Авторське право (c) 2021 Сергій Миколайович Бак |