The Conditions of Existence of the Extremal Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Sets, the Unity of an Extremal Element for its Equivalent Problem, the Properties of the Function of the Distance
The theory of approximation of a function is a direction of mathematics which is intensively developing. The work of P. L. Chebyshev in 1857 is considered the beginning of the modern theory of approximations. It is devoted to polynomials that deviate the least from zero. In this work, the concept of...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2020
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/224866 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543253555314688 |
|---|---|
| author | Гудима, Уляна Гнатюк, Василь |
| author_facet | Гудима, Уляна Гнатюк, Василь |
| author_sort | Гудима, Уляна |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2021-02-16T13:02:22Z |
| description | The theory of approximation of a function is a direction of mathematics which is intensively developing. The work of P. L. Chebyshev in 1857 is considered the beginning of the modern theory of approximations. It is devoted to polynomials that deviate the least from zero. In this work, the concept of the best approximation was introduced.
Later, problems were investigated in which individual functions approached with polynomials, trigonometric polynomials, rational functions, etc. in different metrics. These tasks are a partial case of the problem of the best approximation of an element of linear normed space by convex set of this space. General theorems of existence, uniqueness of an extremal element, properties of the best approximation functional, duality theorems and criteria of an extremal element for this problem are established [1].
The more general problem are problem of finding the distance between two sets of linear normalized space is also considered [2, 3]. In [4, 5] the relations of duality, criteria of extremal element and sequence are proved for this problem.
In this article established the conditions of the existence of an extremal element for the problem of finding the distance between two sets of linearly normalized space, the conditions of the unity of an extremal element for its equivalent problem, the properties of the function of the distance and formulas for finding an extremal element for the problem of finding the distance between two closed spheres of this space.
|
| first_indexed | 2025-07-17T10:43:35Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-224866 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:43:35Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-2248662021-02-16T13:02:22Z The Conditions of Existence of the Extremal Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Sets, the Unity of an Extremal Element for its Equivalent Problem, the Properties of the Function of the Distance Умови існування екстремального елемента для задачі відшукання відстані між двома множинами, єдиності екстремального елемента еквівалентної їй задачі, властивості функції відстані Гудима, Уляна Гнатюк, Василь The theory of approximation of a function is a direction of mathematics which is intensively developing. The work of P. L. Chebyshev in 1857 is considered the beginning of the modern theory of approximations. It is devoted to polynomials that deviate the least from zero. In this work, the concept of the best approximation was introduced. Later, problems were investigated in which individual functions approached with polynomials, trigonometric polynomials, rational functions, etc. in different metrics. These tasks are a partial case of the problem of the best approximation of an element of linear normed space by convex set of this space. General theorems of existence, uniqueness of an extremal element, properties of the best approximation functional, duality theorems and criteria of an extremal element for this problem are established [1]. The more general problem are problem of finding the distance between two sets of linear normalized space is also considered [2, 3]. In [4, 5] the relations of duality, criteria of extremal element and sequence are proved for this problem. In this article established the conditions of the existence of an extremal element for the problem of finding the distance between two sets of linearly normalized space, the conditions of the unity of an extremal element for its equivalent problem, the properties of the function of the distance and formulas for finding an extremal element for the problem of finding the distance between two closed spheres of this space. Відомо, що одним із напрямів математики, який найбільш інтенсивно розвивається в даний час, є теорія наближень, у тому числі теорія наближень функцій. Початком сучасної теорії наближень прийнято вважати працю П. Л. Чебишова 1857 року, присвячену поліномам, що найменше відхиляються від нуля. У цій праці П. Л. Чебишов вперше ввів поняття найкращого наближення. Згодом було досліджено низку подібних задач, в яких окремі функції наближались поліномами, тригонометричними поліномами, раціональними функціями тощо у різних метриках. Виявилось, що такі задачі вкладаються у схему задачі найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору, яку ще називають задачею відшукання відстані від елемента лінійного нормованого простору до опуклої множини цього простору. Загальні теореми існування, єдиності екстремального елемента для задачі відшукання відстані від елемента лінійного нормованого простору до опуклої множини цього простору, властивості функціонала найкращого наближення, теореми двоїстості та критерії екстремального елемента для цієї задачі встановлено, зокрема, М. П. Корнєйчуком у праці [1]. Зрозуміло, що задача відшукання відстані від елемента лінійного нормованого простору до опуклої множини цього простору є частковим випадком задачі відшукання відстані між двома множинами лінійного нормованого простору, що визначається як інфімум норм різниць всеможливих елементів цих множин (див., наприклад, [2, 3]). У цій статті встановлено умови існування екстремального елемента для задачі відшукання відстані між двома множинами лінійного нормованого простору, умови єдиності екстремального елемента для еквівалентної їй задачі, властивості функції відстані та одержано формули для відшукання екстремального елемента для задачі відшукання відстані між двома замкненими кулями цього просторуУ працях [4, 5] доведені співвідношення двоїстості, критерії екстремальності елемента та послідовності для задачі відшукання відстані між двома опуклими множинами лінійного нормованого простору. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2020-09-29 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/224866 10.32626/2308-5878.2020-21.84-99 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2020: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 21; 84-99 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2020: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 21; 84-99 2308-5878 10.32626/2308-5878.2020-21 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/224866/224973 |
| spellingShingle | Гудима, Уляна Гнатюк, Василь The Conditions of Existence of the Extremal Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Sets, the Unity of an Extremal Element for its Equivalent Problem, the Properties of the Function of the Distance |
| title | The Conditions of Existence of the Extremal Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Sets, the Unity of an Extremal Element for its Equivalent Problem, the Properties of the Function of the Distance |
| title_alt | Умови існування екстремального елемента для задачі відшукання відстані між двома множинами, єдиності екстремального елемента еквівалентної їй задачі, властивості функції відстані |
| title_full | The Conditions of Existence of the Extremal Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Sets, the Unity of an Extremal Element for its Equivalent Problem, the Properties of the Function of the Distance |
| title_fullStr | The Conditions of Existence of the Extremal Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Sets, the Unity of an Extremal Element for its Equivalent Problem, the Properties of the Function of the Distance |
| title_full_unstemmed | The Conditions of Existence of the Extremal Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Sets, the Unity of an Extremal Element for its Equivalent Problem, the Properties of the Function of the Distance |
| title_short | The Conditions of Existence of the Extremal Element for the Problem of Finding the Distance Between Two Sets, the Unity of an Extremal Element for its Equivalent Problem, the Properties of the Function of the Distance |
| title_sort | conditions of existence of the extremal element for the problem of finding the distance between two sets, the unity of an extremal element for its equivalent problem, the properties of the function of the distance |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/224866 |
| work_keys_str_mv | AT gudimaulâna theconditionsofexistenceoftheextremalelementfortheproblemoffindingthedistancebetweentwosetstheunityofanextremalelementforitsequivalentproblemthepropertiesofthefunctionofthedistance AT gnatûkvasilʹ theconditionsofexistenceoftheextremalelementfortheproblemoffindingthedistancebetweentwosetstheunityofanextremalelementforitsequivalentproblemthepropertiesofthefunctionofthedistance AT gudimaulâna umoviísnuvannâekstremalʹnogoelementadlâzadačívídšukannâvídstanímíždvomamnožinamiêdinostíekstremalʹnogoelementaekvívalentnoííjzadačívlastivostífunkcíívídstaní AT gnatûkvasilʹ umoviísnuvannâekstremalʹnogoelementadlâzadačívídšukannâvídstanímíždvomamnožinamiêdinostíekstremalʹnogoelementaekvívalentnoííjzadačívlastivostífunkcíívídstaní AT gudimaulâna conditionsofexistenceoftheextremalelementfortheproblemoffindingthedistancebetweentwosetstheunityofanextremalelementforitsequivalentproblemthepropertiesofthefunctionofthedistance AT gnatûkvasilʹ conditionsofexistenceoftheextremalelementfortheproblemoffindingthedistancebetweentwosetstheunityofanextremalelementforitsequivalentproblemthepropertiesofthefunctionofthedistance |