Substantiation of the Averaging Method for a Nonlocal m-Frequency Problem with Linearly Transformed Arguments
The system of differential equations with delay on a finite interval with slow and fast variables is investigated. The delay in the system is characterized by linearly transformed arguments in slow and fast variables. Integral conditions are given for slow and fast variables. A characteristic featur...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2020
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/224957 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Репозитарії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| id |
mcm-mathkpnueduua-article-224957 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| collection |
OJS |
| language |
Ukrainian |
| format |
Article |
| author |
Скутар, Ігор Бігун, Ярослав |
| spellingShingle |
Скутар, Ігор Бігун, Ярослав Substantiation of the Averaging Method for a Nonlocal m-Frequency Problem with Linearly Transformed Arguments |
| author_facet |
Скутар, Ігор Бігун, Ярослав |
| author_sort |
Скутар, Ігор |
| title |
Substantiation of the Averaging Method for a Nonlocal m-Frequency Problem with Linearly Transformed Arguments |
| title_short |
Substantiation of the Averaging Method for a Nonlocal m-Frequency Problem with Linearly Transformed Arguments |
| title_full |
Substantiation of the Averaging Method for a Nonlocal m-Frequency Problem with Linearly Transformed Arguments |
| title_fullStr |
Substantiation of the Averaging Method for a Nonlocal m-Frequency Problem with Linearly Transformed Arguments |
| title_full_unstemmed |
Substantiation of the Averaging Method for a Nonlocal m-Frequency Problem with Linearly Transformed Arguments |
| title_sort |
substantiation of the averaging method for a nonlocal m-frequency problem with linearly transformed arguments |
| title_alt |
Обґрунтування методу усереднення для нелокальної m-частотної задачі із лінійно перетвореними аргументами |
| description |
The system of differential equations with delay on a finite interval with slow and fast variables is investigated. The delay in the system is characterized by linearly transformed arguments in slow and fast variables. Integral conditions are given for slow and fast variables. A characteristic feature of such systems is the appearance of resonances in the process of evolution. The condition for the resonance in the system contains a dependence on the delays in fast variables.
An effective method for the research of multi-frequency systems is the method of averaging, the substantiation of which for systems without delay of the argument is obtained in the works of V. I. Arnold, E. O. Grebenikov, M. M. Khapaiev, А. М. Samoilenko, R. I. Petryshyn. This paper uses the method proposed by A. M. Samoilenko which is based on the estimation of oscillating integrals. In this paper, the procedure of averaging over fast variables is carried out both in the system of equations and in integral conditions. In the average problem, the variables are separated and the problem for slow variables is solved independently of the fast variables. Finding fast variables is reduced to the problem of integration.
The existence of a unique solution for the problem in the class of continuously differentiated functions is proved. The accuracy estimation of the averaging method is obtained, which clearly depends on the small parameter and the number of fast variables and linearly transformed arguments in them. An estimate of the value of the small parameter was also found. The condition of passing resonant zones is reduced to checking the difference from zero of the Vronsky determinant, constructed by the frequency system taking into account the number of linearly transformed arguments.
An example of a single-frequency system with integral conditions is constructed, on which the obtained result is illustrated; accuracy estimation and values of the small parameter are obtained. |
| publisher |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| publishDate |
2020 |
| url |
http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/224957 |
| work_keys_str_mv |
AT skutarígor substantiationoftheaveragingmethodforanonlocalmfrequencyproblemwithlinearlytransformedarguments AT bígunâroslav substantiationoftheaveragingmethodforanonlocalmfrequencyproblemwithlinearlytransformedarguments AT skutarígor obgruntuvannâmetoduuserednennâdlânelokalʹnoímčastotnoízadačíízlíníjnoperetvorenimiargumentami AT bígunâroslav obgruntuvannâmetoduuserednennâdlânelokalʹnoímčastotnoízadačíízlíníjnoperetvorenimiargumentami |
| first_indexed |
2024-04-21T19:24:45Z |
| last_indexed |
2024-04-21T19:24:45Z |
| _version_ |
1796973511668924416 |
| spelling |
mcm-mathkpnueduua-article-2249572021-02-17T12:24:17Z Substantiation of the Averaging Method for a Nonlocal m-Frequency Problem with Linearly Transformed Arguments Обґрунтування методу усереднення для нелокальної m-частотної задачі із лінійно перетвореними аргументами Скутар, Ігор Бігун, Ярослав The system of differential equations with delay on a finite interval with slow and fast variables is investigated. The delay in the system is characterized by linearly transformed arguments in slow and fast variables. Integral conditions are given for slow and fast variables. A characteristic feature of such systems is the appearance of resonances in the process of evolution. The condition for the resonance in the system contains a dependence on the delays in fast variables. An effective method for the research of multi-frequency systems is the method of averaging, the substantiation of which for systems without delay of the argument is obtained in the works of V. I. Arnold, E. O. Grebenikov, M. M. Khapaiev, А. М. Samoilenko, R. I. Petryshyn. This paper uses the method proposed by A. M. Samoilenko which is based on the estimation of oscillating integrals. In this paper, the procedure of averaging over fast variables is carried out both in the system of equations and in integral conditions. In the average problem, the variables are separated and the problem for slow variables is solved independently of the fast variables. Finding fast variables is reduced to the problem of integration. The existence of a unique solution for the problem in the class of continuously differentiated functions is proved. The accuracy estimation of the averaging method is obtained, which clearly depends on the small parameter and the number of fast variables and linearly transformed arguments in them. An estimate of the value of the small parameter was also found. The condition of passing resonant zones is reduced to checking the difference from zero of the Vronsky determinant, constructed by the frequency system taking into account the number of linearly transformed arguments. An example of a single-frequency system with integral conditions is constructed, on which the obtained result is illustrated; accuracy estimation and values of the small parameter are obtained. Досліджено систему диференціальних рівнянь із запізненням на скінченному проміжку із повільними та швидкими змінними. Запізнення в системі характеризується лінійно перетвореними аргументами у повільних і в швидких змінних. Для повільних і швидких змінних задано інтегральні умови. Характерною особливістю таких систем є поява резонансів у процесі еволюції. Умова резонансу в системі містить залежність від запізнень у швидких змінних. Ефективним методом дослідження багаточастотних систем є метод усереднення, обґрунтування якого для систем без запізнення аргументу отримано в працях В.І. Арнольда, Є. О. Гребенікова, М. М. Хапаєва, А. М. Самойленка, Р. І. Петришина. У даній роботі використано методику, запропоновану А. М. Самойленком, яка ґрунтується на оцінці осциляційних інтегралів. У даній роботі процедура усереднення за швидкими змінними здійснена як у системі рівнянь, так і в інтегральних умовах. В усередненій задачі змінні відокремлені й задача для повільних змінних розв’язується незалежно від швидких змінних. Знаходження швидких змінних зводиться до задачі інтегрування. Побудовано приклад одночастотної системи з інтегральними умовами, на якому проілюстровано отриманий результат, одержано оцінки похибки та величини малого параметра.Доведено існування єдиного розвитку задачі в класі неперервно-диференційованих функцій. Отримано оцінку похибки методу усереднення, яка явно залежить від малого параметра та кількості швидких змінних і лінійно перетворених аргументів у них. Також знайдено оцінку величини малого параметра. Умова проходження резонансних зон зводиться до перевірки відмінності від нуля визначника Вронського, побудованого системою частот із врахуванням кількості лінійно перетворених аргументів. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2020-10-08 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/224957 10.32626/2308-5878.2020-21.127-137 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2020: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 21; 127-137 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2020: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 21; 127-137 2308-5878 10.32626/2308-5878.2020-21 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/224957/224995 |