Standing Waves in Discrete Klein-Gordon Type Equations with Saturable Nonlinearities
This article is devoted to the study of discrete Klein-Gordon type equations that describe the dynamics of infinite chains of linearly coupled nonlinear oscillators. Such equations are infinite systems of ordinary differential equations. Equations of this type with saturable nonlinearities are studi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2021
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251135 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543258819166208 |
|---|---|
| author | Бак, Сергій |
| author_facet | Бак, Сергій |
| author_sort | Бак, Сергій |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-01-13T10:26:41Z |
| description | This article is devoted to the study of discrete Klein-Gordon type equations that describe the dynamics of infinite chains of linearly coupled nonlinear oscillators. Such equations are infinite systems of ordinary differential equations. Equations of this type with saturable nonlinearities are studied. For such equations, results on the existence of solutions in the form of standing waves are obtained. After substituting the ansatz in the form of a standing wave into this system, a system of algebraic equations for the amplitude of a standing wave is obtained. Two types of solutions are studied: periodic (with a period k) and localized (converging to zero at infinity). These equations have a variational structure. Therefore, it is shown that k-periodic and localized solutions can be constructed as critical points of some two functionals in the corresponding spaces of two-sided sequences. Next, we consider the Nehari manifolds for the corresponding variational problems. These manifolds contain nontrivial critical points of these functionals. It is shown that the Nehari manifolds are non-empty and closed submanifolds of the corresponding spaces of two-sided sequences. In addition, the corresponding problems of minimizing these functionals are considered. It is shown that on the Nehari manifold for the first functional the corresponding minimization problem has a solution under certain conditions. Therefore, under these conditions, the original equation has nontrivial k-periodic solutions. In the case of localized solutions, it is difficult to prove that the corresponding minimization problem has a solution on the corresponding Nehari manifold. Therefore, in this case, the method of periodic approximations is used, i.e., the critical points of the functional that corresponds to localized solutions are constructed using the passage to the limit (with a period k tending to infinity) at the critical points of the functional that corresponds to k-periodic solutions. The obtained localized solutions are the solutions of the corresponding minimization problem. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:43:39Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-251135 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:43:39Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-2511352022-01-13T10:26:41Z Standing Waves in Discrete Klein-Gordon Type Equations with Saturable Nonlinearities Стоячі хвилі в дискретних рівняннях типу Клейна-Ґордона із насичуваними нелінійностями Бак, Сергій This article is devoted to the study of discrete Klein-Gordon type equations that describe the dynamics of infinite chains of linearly coupled nonlinear oscillators. Such equations are infinite systems of ordinary differential equations. Equations of this type with saturable nonlinearities are studied. For such equations, results on the existence of solutions in the form of standing waves are obtained. After substituting the ansatz in the form of a standing wave into this system, a system of algebraic equations for the amplitude of a standing wave is obtained. Two types of solutions are studied: periodic (with a period k) and localized (converging to zero at infinity). These equations have a variational structure. Therefore, it is shown that k-periodic and localized solutions can be constructed as critical points of some two functionals in the corresponding spaces of two-sided sequences. Next, we consider the Nehari manifolds for the corresponding variational problems. These manifolds contain nontrivial critical points of these functionals. It is shown that the Nehari manifolds are non-empty and closed submanifolds of the corresponding spaces of two-sided sequences. In addition, the corresponding problems of minimizing these functionals are considered. It is shown that on the Nehari manifold for the first functional the corresponding minimization problem has a solution under certain conditions. Therefore, under these conditions, the original equation has nontrivial k-periodic solutions. In the case of localized solutions, it is difficult to prove that the corresponding minimization problem has a solution on the corresponding Nehari manifold. Therefore, in this case, the method of periodic approximations is used, i.e., the critical points of the functional that corresponds to localized solutions are constructed using the passage to the limit (with a period k tending to infinity) at the critical points of the functional that corresponds to k-periodic solutions. The obtained localized solutions are the solutions of the corresponding minimization problem. Стаття присвячена вивченню дискретних рівнянь типу Клейна-Ґордона, які описують динаміку нескінченних ланцюгів лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів. Такі рівняння представляють собою нескінченні системи звичайних диференціальних рівнянь. Вивчаються такого типу рівняння із насичуваними нелінійностями. Для таких рівнянь одержано результати про існування розв’язків у вигляді стоячих хвиль. Після підстановки в дану систему анзаца у вигляді стоячої хвилі одержуться система алгебраїчних рівнянь для амплітуди стоячої хвилі. Вивчаються два види розв’язків: періодичні (з періодом k) і локалізовані (збігаються до нуля на нескінченності). Дані рівняння мають варіаційну структуру. Тому показано, що k-періодичні і локалізовані розв’язки можна побудувати як критичні точки двох деяких функціоналів у відповідних просторах двохсторонніх послідовностей. Далі розглянуто многовиди Нехарі для відповідних варіаційних задач. Ці многовиди містять нетривіальні критичні точки даних функціоналів. Показано, що многовиди Нехарі непорожні і замкнені підмноговиди відповідних просторів двохсторонніх послідовностей. Крім того, розглянуто відповідні задачі мінімізації даних функціоналів. Показано, що на многовиді Нехарі для першого функціоналу відповідна задача мінімізації за певних умов має розв’язок. А отже, за цих умов вихідне рівняння має нетривіальні k-періодичні розв’язки. У випадку локалізованих розв’язків довести, що відповідна задача мінімізації має розв’язок на відповідному многовиді Нехарі складно. Тому у цьому випадку використано метод періодичних апроксимацій, тобто критичні точки функціоналу, який відповідає локалізованим розв’язкам, будуються за допомогою граничного переходу (при періоді k прямуючому до нескінченності) в критичних точках функціоналу, який відповідає k-періодичним розв’язкам. Одержані локалізовані розв’язки і є розв’язками відповідної задачі мінімізації. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2021-10-19 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251135 10.32626/2308-5878.2021-22.5-19 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2021: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 22; 5-19 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2021: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 22; 5-19 2308-5878 10.32626/2308-5878.2021-22 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251135/248603 |
| spellingShingle | Бак, Сергій Standing Waves in Discrete Klein-Gordon Type Equations with Saturable Nonlinearities |
| title | Standing Waves in Discrete Klein-Gordon Type Equations with Saturable Nonlinearities |
| title_alt | Стоячі хвилі в дискретних рівняннях типу Клейна-Ґордона із насичуваними нелінійностями |
| title_full | Standing Waves in Discrete Klein-Gordon Type Equations with Saturable Nonlinearities |
| title_fullStr | Standing Waves in Discrete Klein-Gordon Type Equations with Saturable Nonlinearities |
| title_full_unstemmed | Standing Waves in Discrete Klein-Gordon Type Equations with Saturable Nonlinearities |
| title_short | Standing Waves in Discrete Klein-Gordon Type Equations with Saturable Nonlinearities |
| title_sort | standing waves in discrete klein-gordon type equations with saturable nonlinearities |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251135 |
| work_keys_str_mv | AT baksergíj standingwavesindiscretekleingordontypeequationswithsaturablenonlinearities AT baksergíj stoâčíhvilívdiskretnihrívnânnâhtipuklejnagordonaíznasičuvaniminelíníjnostâmi |