Numerical Method of Simultaneous Solution the Problem of Finding the Distance (Best) Between a Convex Polyhedron and a Finite-Dimensional Subspace of a Linear Normed Space and Dual Task
One of the most developing areas of mathematics is theory of approximations, including the theory of approxi-mations of functions. It is begins from of task of P. L. Chebyshev on the uniform (Chebyshev) approximation of a continuous on a segment of a real-valued function by a set of algebraic polyno...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2021
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251160 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543259717795840 |
|---|---|
| author | Гудима, Уляна Гнатюк, Василь |
| author_facet | Гудима, Уляна Гнатюк, Василь |
| author_sort | Гудима, Уляна |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-01-13T12:29:30Z |
| description | One of the most developing areas of mathematics is theory of approximations, including the theory of approxi-mations of functions. It is begins from of task of P. L. Chebyshev on the uniform (Chebyshev) approximation of a continuous on a segment of a real-valued function by a set of algebraic polynomials of degree not exceeding n.
Later, a number of other formulations of problems on the best approximation of functions were considered, one of which is the problem of uniform approximation of a function continuous on a compact set by a finite-dimensional subspace generated by other functions continuous on this compact set.
An important place in the theory of approximation is occupied by the problem of approximation of an element of linear normed space by the elements of its finite-dimensional subspace, partial cases of which are the problems discussed above.
An important questionі of this problem are general theorems of existence of an extremal element, duality theorems and criteria of an extremal element, construction of numerical methods for finding this element and the magnitude of the best approximation, which have been studied by many mathematicians.
The paper considers the problem of finding the distance (best) between a convex polyhedron and a finite-dimensional subspace of a linear normalized space, a partial case of which is the problem of the best approximation of an element of a linear normed space by its finitedimensional subspace.
For this problem the existence of an extremal element, the ratio of duality, the criterion of an extremal element are established. A convergent numerical method of simultaneous solution of direct and dual problems is constructed, bilateral estimates of convergence are obtained, which allow to find corresponding values with predetermined accuracy. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:43:41Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-251160 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:43:41Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-2511602022-01-13T12:29:30Z Numerical Method of Simultaneous Solution the Problem of Finding the Distance (Best) Between a Convex Polyhedron and a Finite-Dimensional Subspace of a Linear Normed Space and Dual Task Чисельний метод одночасного розв’язування задачі відшукання відстані між опуклим многогранником і скінченновимірним підпростором лінійного нормованого простору та двоїстої до неї задачі Гудима, Уляна Гнатюк, Василь One of the most developing areas of mathematics is theory of approximations, including the theory of approxi-mations of functions. It is begins from of task of P. L. Chebyshev on the uniform (Chebyshev) approximation of a continuous on a segment of a real-valued function by a set of algebraic polynomials of degree not exceeding n. Later, a number of other formulations of problems on the best approximation of functions were considered, one of which is the problem of uniform approximation of a function continuous on a compact set by a finite-dimensional subspace generated by other functions continuous on this compact set. An important place in the theory of approximation is occupied by the problem of approximation of an element of linear normed space by the elements of its finite-dimensional subspace, partial cases of which are the problems discussed above. An important questionі of this problem are general theorems of existence of an extremal element, duality theorems and criteria of an extremal element, construction of numerical methods for finding this element and the magnitude of the best approximation, which have been studied by many mathematicians. The paper considers the problem of finding the distance (best) between a convex polyhedron and a finite-dimensional subspace of a linear normalized space, a partial case of which is the problem of the best approximation of an element of a linear normed space by its finitedimensional subspace. For this problem the existence of an extremal element, the ratio of duality, the criterion of an extremal element are established. A convergent numerical method of simultaneous solution of direct and dual problems is constructed, bilateral estimates of convergence are obtained, which allow to find corresponding values with predetermined accuracy. Відомо, що одним із напрямів математики, який найбільш інтенсивно розвивається в даний час, є теорія наближень, у тому числі теорія наближень функцій, яка має своїм початком задачу П. Л. Чебишова про рівномірне (чебишовське) наближення неперервної на відрізку дійснозначної функції множиною алгебраїчних многочленів степеня, що не перевищує n. Пізніше розглядалась низка й інших постановок задач про найкраще наближення функцій, однією з яких є задача про рівномірне наближення неперервної на компакті функції скінченновимірним підпростором, породженим іншими неперервними на цьому компакті функціями. Важливе місце в теорії наближення займає задача апроксимації фіксованого елемента лінійного нормованого простору елементами його скінченновимірного підпростору, частинними випадками якої є задачі, про які йшла мова вище. Задачу апроксимації фіксованого елемента лінійного нормованого простору елементами його скінченновимірного підпростору можна розглядати як задачу відшукання найкращої відстані між фіксованою точкою та скінченновимірним підпростором. Важливими питаннями розгляду цієї задачі є питання існування її екстремального елемента, встановлення співвідношення двоїстості та критерію екстремальності елемента, побудови чисельних методів відшукання цього елемента та величини найкращого наближення, які досліджувались багатьма математиками. У статті розглядається задача відшукання відстані (найкращої) між опуклим многогранником і скінченновимірним підпростором лінійного нормованого простору, частинним випадком якої є задача найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору його скінченновимірним підпростором. Для цієї задачі встановлено існування екстремального елемента, співвідношення двоїстості, критерій екстремальності елемента, побудовано збіжний чисельний метод одночасного розв’язування прямої та двоїстої задач, отримано двосторонні оцінки збіжності, які дозволяють знаходити відповідні величини з наперед заданою точністю. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2021-10-18 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251160 10.32626/2308-5878.2021-22.38-54 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2021: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 22; 38-54 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2021: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 22; 38-54 2308-5878 10.32626/2308-5878.2021-22 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251160/248618 |
| spellingShingle | Гудима, Уляна Гнатюк, Василь Numerical Method of Simultaneous Solution the Problem of Finding the Distance (Best) Between a Convex Polyhedron and a Finite-Dimensional Subspace of a Linear Normed Space and Dual Task |
| title | Numerical Method of Simultaneous Solution the Problem of Finding the Distance (Best) Between a Convex Polyhedron and a Finite-Dimensional Subspace of a Linear Normed Space and Dual Task |
| title_alt | Чисельний метод одночасного розв’язування задачі відшукання відстані між опуклим многогранником і скінченновимірним підпростором лінійного нормованого простору та двоїстої до неї задачі |
| title_full | Numerical Method of Simultaneous Solution the Problem of Finding the Distance (Best) Between a Convex Polyhedron and a Finite-Dimensional Subspace of a Linear Normed Space and Dual Task |
| title_fullStr | Numerical Method of Simultaneous Solution the Problem of Finding the Distance (Best) Between a Convex Polyhedron and a Finite-Dimensional Subspace of a Linear Normed Space and Dual Task |
| title_full_unstemmed | Numerical Method of Simultaneous Solution the Problem of Finding the Distance (Best) Between a Convex Polyhedron and a Finite-Dimensional Subspace of a Linear Normed Space and Dual Task |
| title_short | Numerical Method of Simultaneous Solution the Problem of Finding the Distance (Best) Between a Convex Polyhedron and a Finite-Dimensional Subspace of a Linear Normed Space and Dual Task |
| title_sort | numerical method of simultaneous solution the problem of finding the distance (best) between a convex polyhedron and a finite-dimensional subspace of a linear normed space and dual task |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251160 |
| work_keys_str_mv | AT gudimaulâna numericalmethodofsimultaneoussolutiontheproblemoffindingthedistancebestbetweenaconvexpolyhedronandafinitedimensionalsubspaceofalinearnormedspaceanddualtask AT gnatûkvasilʹ numericalmethodofsimultaneoussolutiontheproblemoffindingthedistancebestbetweenaconvexpolyhedronandafinitedimensionalsubspaceofalinearnormedspaceanddualtask AT gudimaulâna čiselʹnijmetododnočasnogorozvâzuvannâzadačívídšukannâvídstanímížopuklimmnogogrannikomískínčennovimírnimpídprostoromlíníjnogonormovanogoprostorutadvoístoídoneízadačí AT gnatûkvasilʹ čiselʹnijmetododnočasnogorozvâzuvannâzadačívídšukannâvídstanímížopuklimmnogogrannikomískínčennovimírnimpídprostoromlíníjnogonormovanogoprostorutadvoístoídoneízadačí |