Estimation of the Best Approximations for the Generalized Derivative in Banach Spaces
The main task of the theory of approximation is to establish the properties of the approximation characteristics of this function on the basis of its investigated properties. Functions with the same properties are grouped into classes, and then the facts established for a particular class apply to e...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2021
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251176 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Репозитарії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| id |
mcm-mathkpnueduua-article-251176 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| spelling |
mcm-mathkpnueduua-article-2511762022-01-13T13:38:10Z Estimation of the Best Approximations for the Generalized Derivative in Banach Spaces Оцінка найкращих наближень для узагальненої похідної в банахових просторах Радзієвська, Олена Ковальська, Ірина The main task of the theory of approximation is to establish the properties of the approximation characteristics of this function on the basis of its investigated properties. Functions with the same properties are grouped into classes, and then the facts established for a particular class apply to each of its representatives. This makes it possible to formulate new problems, in particular mathematical modeling problems for whole classes of functions that describe the studied processes. If the statements allow on the basis of information about the generalized derivative of the element f to draw a conclusion about the rate of approach to zero of the sequence of the best approximations of this element by polynomials of degree n, then in the theory of approximations they are called direct theorems. In the given article the inverse theorem is considered — per properties of sequence of the best approximations we draw a conclusion about properties of an element f of some Banach space B and its generalized derivatives. That is, according to a given sequence of the best approximations of the vector f by polynomials of degree n establish its differential characteristics. The first inverse theorems were considered at the beginning of the last century by S. N. Bernstein. The main point of their proof is the inequalities between the norms of polynomials and their derivatives. Such inequalities are called Bernstein inequalities. As a partial case, they can be obtained from the theorem considered in the article. Основна задача теорії наближень полягає в тому, щоб, грунтуючись на досліджуваних властивостях даної функції, встановити властивості її апроксимаційних характеристик. Функції з однаковими властивостями об’єднуються в класи, і тоді факти, встановлені для певного класу, відносяться і до кожного його представника. При цьому з'являється можливість формулювати нові задачі, зокрема, задачі математичного моделювання вже для цілих класів функцій, які описують досліджувані процеси. Якщо твердження дають можливість зробити висновок про швидкість прямування до нуля послідовності найкращих наближень елемента f поліномами степеня n за інформацією про узагальнену похідну цього елемента, то їх в теорії наближень прийнято називати прямими теоремами. У статті розглядається обернена теорема — за властивостями послідовності найкращих наближень робимо висновок про властивості самого елемента f деякого банахового простору B і його узагальнених похідних, тобто за заданою послідовністю найкращих наближень вектора f поліномами степеня n встановлюються його диференціально-різницеві характеристики. Перші обернені теореми були розглянуті ще на початку минулого століття С. Н. Бернштейном. Основним моментом їх доведення є нерівності між нормами поліномів і їх похідних. Такі нерівності називаються нерівностями Бернштейна. Як частковий випадок, вони можуть бути отримані з теореми, розглянутої в статті. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2021-10-20 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251176 10.32626/2308-5878.2021-22.90-96 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2021: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 22; 90-96 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2021: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 22; 90-96 2308-5878 10.32626/2308-5878.2021-22 en http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251176/248632 |
| institution |
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| collection |
OJS |
| language |
English |
| format |
Article |
| author |
Радзієвська, Олена Ковальська, Ірина |
| spellingShingle |
Радзієвська, Олена Ковальська, Ірина Estimation of the Best Approximations for the Generalized Derivative in Banach Spaces |
| author_facet |
Радзієвська, Олена Ковальська, Ірина |
| author_sort |
Радзієвська, Олена |
| title |
Estimation of the Best Approximations for the Generalized Derivative in Banach Spaces |
| title_short |
Estimation of the Best Approximations for the Generalized Derivative in Banach Spaces |
| title_full |
Estimation of the Best Approximations for the Generalized Derivative in Banach Spaces |
| title_fullStr |
Estimation of the Best Approximations for the Generalized Derivative in Banach Spaces |
| title_full_unstemmed |
Estimation of the Best Approximations for the Generalized Derivative in Banach Spaces |
| title_sort |
estimation of the best approximations for the generalized derivative in banach spaces |
| title_alt |
Оцінка найкращих наближень для узагальненої похідної в банахових просторах |
| description |
The main task of the theory of approximation is to establish the properties of the approximation characteristics of this function on the basis of its investigated properties. Functions with the same properties are grouped into classes, and then the facts established for a particular class apply to each of its representatives. This makes it possible to formulate new problems, in particular mathematical modeling problems for whole classes of functions that describe the studied processes.
If the statements allow on the basis of information about the generalized derivative of the element f to draw a conclusion about the rate of approach to zero of the sequence of the best approximations of this element by polynomials of degree n, then in the theory of approximations they are called direct theorems.
In the given article the inverse theorem is considered — per properties of sequence of the best approximations we draw a conclusion about properties of an element f of some Banach space B and its generalized derivatives. That is, according to a given sequence of the best approximations of the vector f by polynomials of degree n establish its differential characteristics.
The first inverse theorems were considered at the beginning of the last century by S. N. Bernstein. The main point of their proof is the inequalities between the norms of polynomials and their derivatives. Such inequalities are called Bernstein inequalities. As a partial case, they can be obtained from the theorem considered in the article. |
| publisher |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| publishDate |
2021 |
| url |
http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/251176 |
| work_keys_str_mv |
AT radzíêvsʹkaolena estimationofthebestapproximationsforthegeneralizedderivativeinbanachspaces AT kovalʹsʹkaírina estimationofthebestapproximationsforthegeneralizedderivativeinbanachspaces AT radzíêvsʹkaolena ocínkanajkraŝihnabliženʹdlâuzagalʹnenoípohídnoívbanahovihprostorah AT kovalʹsʹkaírina ocínkanajkraŝihnabliženʹdlâuzagalʹnenoípohídnoívbanahovihprostorah |
| first_indexed |
2024-04-21T19:24:48Z |
| last_indexed |
2024-04-21T19:24:48Z |
| _version_ |
1796973515290705920 |