Algorithm for Decomposition of Integers and Smooth Approximation of Functions
The problem of expansion in powers is generalized into decomposition of positive integers in the sequence of degrees of different orders, the conditions of decomposition are determined, and the algorithm for decomposition is constructed. The algorithm is based on two procedures: 1) achievement a min...
Gespeichert in:
| Datum: | 2022 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2022
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/274029 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543262764957696 |
|---|---|
| author | Абрамчук, Василь Абрамчук, Ігор |
| author_facet | Абрамчук, Василь Абрамчук, Ігор |
| author_sort | Абрамчук, Василь |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-02-16T12:06:29Z |
| description | The problem of expansion in powers is generalized into decomposition of positive integers in the sequence of degrees of different orders, the conditions of decomposition are determined, and the algorithm for decomposition is constructed. The algorithm is based on two procedures: 1) achievement a minimum of residual at each algorithm step; 2) speeding of decomposition through expanding the local base by reducing decomposition index, which ensures finiteness of algorithm. The algorithm has such efficiency factors as high rate of decomposition, ease of implementation, availability of different options for the decomposition of numbers as in extended, narrowed, sparse bases, which protects the encoded information from external influences. The algorithm can be used to encode large amounts of digital information under basic systems of small dimensions.
Decomposition of positive integers into a sequence of powers is optimal and correct. Optimality of decomposition follows from the condition that at each step of algorithm the minimum value of disjunction in the space of mixed parameters x ∈ N, y ∈ R is achieved. Correctness of algorithm is due to the fact that when the disjunction is reduced, the algorithm expands the basis of decomposition by reducing the degree indicators by one. By switching from a discrete model to a continuous model by replacing the degrees with power functions, we obtain a smooth approximation of the ill-conditioned function in the neighborhood of decomposition. The construction of posinomial polynomials on the basis of smooth polynomials is one of the promising directions of integration of ill-conditioned nondifferentiable functions and smooth replacement of variables in the catastrophe theory.
Posinomials (functions with a variable exponent) predict the step of splitting the integration interval into parts, since they determine the logarithmic rate of change of an arbitrary monotonic function. The method of decomposition of positive integers provides an optimal decomposition into the sum of powers, and therefore the transition from a discrete model to a continuous model in the neighborhood of decomposition by replacing powers with power functions as well as allows to achieve the high accuracy of approximation. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:43:46Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-274029 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:43:46Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-2740292023-02-16T12:06:29Z Algorithm for Decomposition of Integers and Smooth Approximation of Functions Алгоритм розкладу цілих чисел і гладкого наближення функцій Абрамчук, Василь Абрамчук, Ігор The problem of expansion in powers is generalized into decomposition of positive integers in the sequence of degrees of different orders, the conditions of decomposition are determined, and the algorithm for decomposition is constructed. The algorithm is based on two procedures: 1) achievement a minimum of residual at each algorithm step; 2) speeding of decomposition through expanding the local base by reducing decomposition index, which ensures finiteness of algorithm. The algorithm has such efficiency factors as high rate of decomposition, ease of implementation, availability of different options for the decomposition of numbers as in extended, narrowed, sparse bases, which protects the encoded information from external influences. The algorithm can be used to encode large amounts of digital information under basic systems of small dimensions. Decomposition of positive integers into a sequence of powers is optimal and correct. Optimality of decomposition follows from the condition that at each step of algorithm the minimum value of disjunction in the space of mixed parameters x ∈ N, y ∈ R is achieved. Correctness of algorithm is due to the fact that when the disjunction is reduced, the algorithm expands the basis of decomposition by reducing the degree indicators by one. By switching from a discrete model to a continuous model by replacing the degrees with power functions, we obtain a smooth approximation of the ill-conditioned function in the neighborhood of decomposition. The construction of posinomial polynomials on the basis of smooth polynomials is one of the promising directions of integration of ill-conditioned nondifferentiable functions and smooth replacement of variables in the catastrophe theory. Posinomials (functions with a variable exponent) predict the step of splitting the integration interval into parts, since they determine the logarithmic rate of change of an arbitrary monotonic function. The method of decomposition of positive integers provides an optimal decomposition into the sum of powers, and therefore the transition from a discrete model to a continuous model in the neighborhood of decomposition by replacing powers with power functions as well as allows to achieve the high accuracy of approximation. Узагальнено задачу про розклад степенів на розклад цілих додатних чисел за послідовністю степенів різних порядків, виведені умови розкладу, побудовано алгоритм розкладу. Алгоритм заснований на двох процедурах: 1) досягнення мінімуму нев’язки на кожному кроці алгоритму, 2) прискорення швидкості розкладу шляхом розширення локального базису за рахунок пониження показника степенів розкладу, що забезпечує скінченність алгоритму. Алгоритм володіє такими факторами ефективності, як висока швидкість розкладу, простота реалізації, можливість різних варіантів розкладу чисел у розширеному, звуженому, розрідженому базисах, що захищає закодовану інформацію від зовнішніх впливів. Алгоритм можна застосувати для кодування цифрової інформації великих об’ємів за базисними системами малих розмірностей. Розклад додатних чисел за послідовністю степенів є оптимальним і коректним. Оптимальність розкладу випливає з умови, що на кожному кроці алгоритму досягається мінімальне значення нев'язки у просторі змішаних параметрів x Î N, y Î R. Коректність алгоритму є наслідком того, що при зменшенні нев'язки алгоритм розширює базис розкладу за рахунок зменшення показників степеня на одиницю. Перейшовши від дискретної моделі до неперервної шляхом заміни степенів на степеневі функції, дістанемо гладке наближення погано зумовленої функції в околі розкладу. Побудова позіномиальних многочленів на базі гладких многочленів є одним з перспективних напрямів інтегрування погано зумовлених недиференційовних функцій, гладкої заміни змінних в теорії катастроф. Позіноми (функції із змінним показником степеня) прогнозують крок розбиття проміжка інтегрування на частини, оскільки визначають логарифмічну швидкість зміни довільної монотонної функції. Метод розкладу цілих чисел забезпечує оптимальний розклад на суму степенів, і, тому перехід від дискретної моделі до неперервної в околі розкладу шляхом заміни степенів на степеневі функції, дозволяє отримати високу точність наближення. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2022-10-18 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/274029 10.32626/2308-5878.2022-23.5-13 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2022: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 23; 5-13 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2022: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 23; 5-13 2308-5878 10.32626/2308-5878.2022-23 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/274029/269263 |
| spellingShingle | Абрамчук, Василь Абрамчук, Ігор Algorithm for Decomposition of Integers and Smooth Approximation of Functions |
| title | Algorithm for Decomposition of Integers and Smooth Approximation of Functions |
| title_alt | Алгоритм розкладу цілих чисел і гладкого наближення функцій |
| title_full | Algorithm for Decomposition of Integers and Smooth Approximation of Functions |
| title_fullStr | Algorithm for Decomposition of Integers and Smooth Approximation of Functions |
| title_full_unstemmed | Algorithm for Decomposition of Integers and Smooth Approximation of Functions |
| title_short | Algorithm for Decomposition of Integers and Smooth Approximation of Functions |
| title_sort | algorithm for decomposition of integers and smooth approximation of functions |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/274029 |
| work_keys_str_mv | AT abramčukvasilʹ algorithmfordecompositionofintegersandsmoothapproximationoffunctions AT abramčukígor algorithmfordecompositionofintegersandsmoothapproximationoffunctions AT abramčukvasilʹ algoritmrozkladucílihčiselígladkogonabližennâfunkcíj AT abramčukígor algoritmrozkladucílihčiselígladkogonabližennâfunkcíj |