Matrix Algebra В as Euclidean Space
Representation of information by means of hypercomplex numerical systems is used in various problems of science and technology: in classical mechanics, solid body mechanics, electrodynamics, radio electronics, computer animation, and others [1]. Often a hypercomplex system (that is, a system whose e...
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2023
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/296418 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Репозитарії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| id |
mcm-mathkpnueduua-article-296418 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| collection |
OJS |
| language |
Ukrainian |
| format |
Article |
| author |
Вотякова, Леся Боденчук, Вікторія |
| spellingShingle |
Вотякова, Леся Боденчук, Вікторія Matrix Algebra В as Euclidean Space |
| author_facet |
Вотякова, Леся Боденчук, Вікторія |
| author_sort |
Вотякова, Леся |
| title |
Matrix Algebra В as Euclidean Space |
| title_short |
Matrix Algebra В as Euclidean Space |
| title_full |
Matrix Algebra В as Euclidean Space |
| title_fullStr |
Matrix Algebra В as Euclidean Space |
| title_full_unstemmed |
Matrix Algebra В as Euclidean Space |
| title_sort |
matrix algebra в as euclidean space |
| title_alt |
Матрична алгебра В як евклідовий простір |
| description |
Representation of information by means of hypercomplex numerical systems is used in various problems of science and technology: in classical mechanics, solid body mechanics, electrodynamics, radio electronics, computer animation, and others [1].
Often a hypercomplex system (that is, a system whose elements are considered to be hypercomplex numbers) is understood as any finite-dimensional algebra over a field. An important place among such algebraic structures is occupied by matrix algebras.
The impossibility of constructing algebras with division does not at all mean the impossibility of constructing algebras without division, but their properties are close to the first ones (use of defined division).
Since each algebra of finite rank can be monomorphically immersed in some complete matrix algebra, this caused, so to speak, an inverse approach to the construction of new algebras. A certain subalgebra stands out from a complete matrix algebra, which is a matrix representation of an algebra of finite rank. It is the implementation of such an approach that makes it possible to endow elements of algebra of finite rank with matrix characteristics, in particular, a canonical representation of algebra elements is constructed through the spectral representation of a matrix, and the algebra itself is endowed with a topological structure through one of the matrix norms. At the same time, an additional condition is often imposed, that it be an algebra over the field of real or complex numbers.
The article constructs a real algebra of finite rank, the elements of which are matrices of the second order with the same sum of rows and columns. We endowed it with a norm and a scalar product, demonstrating that it is a Euclidean space. This algebra is a matrix representation of the algebra of hypercomplex numbers, which we called binary in our research [4]. |
| publisher |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| publishDate |
2023 |
| url |
http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/296418 |
| work_keys_str_mv |
AT votâkovalesâ matrixalgebravaseuclideanspace AT bodenčukvíktoríâ matrixalgebravaseuclideanspace AT votâkovalesâ matričnaalgebravâkevklídovijprostír AT bodenčukvíktoríâ matričnaalgebravâkevklídovijprostír |
| first_indexed |
2024-04-21T19:24:51Z |
| last_indexed |
2024-04-21T19:24:51Z |
| _version_ |
1796973518601060352 |
| spelling |
mcm-mathkpnueduua-article-2964182024-01-09T08:39:23Z Matrix Algebra В as Euclidean Space Матрична алгебра В як евклідовий простір Вотякова, Леся Боденчук, Вікторія Representation of information by means of hypercomplex numerical systems is used in various problems of science and technology: in classical mechanics, solid body mechanics, electrodynamics, radio electronics, computer animation, and others [1]. Often a hypercomplex system (that is, a system whose elements are considered to be hypercomplex numbers) is understood as any finite-dimensional algebra over a field. An important place among such algebraic structures is occupied by matrix algebras. The impossibility of constructing algebras with division does not at all mean the impossibility of constructing algebras without division, but their properties are close to the first ones (use of defined division). Since each algebra of finite rank can be monomorphically immersed in some complete matrix algebra, this caused, so to speak, an inverse approach to the construction of new algebras. A certain subalgebra stands out from a complete matrix algebra, which is a matrix representation of an algebra of finite rank. It is the implementation of such an approach that makes it possible to endow elements of algebra of finite rank with matrix characteristics, in particular, a canonical representation of algebra elements is constructed through the spectral representation of a matrix, and the algebra itself is endowed with a topological structure through one of the matrix norms. At the same time, an additional condition is often imposed, that it be an algebra over the field of real or complex numbers. The article constructs a real algebra of finite rank, the elements of which are matrices of the second order with the same sum of rows and columns. We endowed it with a norm and a scalar product, demonstrating that it is a Euclidean space. This algebra is a matrix representation of the algebra of hypercomplex numbers, which we called binary in our research [4]. Представлення інформації за допомогою гіперкомплексних числових систем використовується в різних задачах науки і техніки: у класичній механіці, механіці твердого тіла, електродинаміці, радіоелектроніці, комп’ютерній анімації та інших [1]. Часто під гіперкомплексною системою (тобто системою, елементи якої вважаються гіперкомплексними числами) розуміють будь-яку скінченновимірну алгебру над полем. Важливе місце серед таких алгебраїчних структур займають матричні алгебри. Неможливість побудови алгебр з діленням зовсім не означає неможливість побудови алгебр без ділення, але за своїми властивостями близьких до перших (використання доозначеного ділення). Оскільки кожна алгебра скінченного рангу може бути мономорфно занурена у деяку повну матричну алгебру, то це спричинило, так би мовити, інверсний підхід до побудови нових алгебр. З повної матричної алгебри виділяється деяка підалгебра, яка є матричним поданням алгебри скінченного рангу. Саме реалізація такого підходу дає можливість наділяти елементи алгебри скінченного рангу матричними характеристиками, зокрема будується канонічне подання елементів алгебри через спектральне подання матриці, а сама алгебра наділяється топологічною структурою через одну із матричних норм. При цьому часто накладають іще додаткову умову, щоб це була алгебра над полем дійсних або комплексних чисел; у першому випадку кажуть про «дійсну» гіперкомплексну систему, у другому – про «комплексну». У статті побудовано дійсну алгебру скінченного рангу, елементами якої є матриці другого порядку з однаковою сумою рядків і стовпців. Ми наділили її нормою і скалярним добутком, продемонструвавши, що вона є евклідовим простором. Ця алгебра є матричним поданням алгебри гіперкомплексних чисел, які ми назвали у своїх дослідженнях бінарними [4]. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2023-10-25 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/296418 10.32626/2308-5878.2023-24.5-13 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2023: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 24; 5-13 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2023: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 24; 5-13 2308-5878 10.32626/2308-5878.2023-24 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/296418/289421 |