The Existence Conditions of the Extremal Element for the Generalized Problem of Steiner in Polynormated Space in which the Deviation Between the Elements is Determined with the Help of Sublinear Functionals
An important place among extremal problems is occupied by the classic Steiner problem, which consists in finding in a given set of linear normed space such a point (Steiner point) to which the sum of the distances from several fixed points of this space will not exceed the sum of the distances from...
Збережено в:
| Видавець: | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
|---|---|
| Дата: | 2023 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2023
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/296428 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Репозиторії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| id |
mcm-mathkpnueduua-article-296428 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| collection |
OJS |
| language |
Ukrainian |
| format |
Article |
| author |
Гудима, Уляна Гнатюк, Василь |
| spellingShingle |
Гудима, Уляна Гнатюк, Василь The Existence Conditions of the Extremal Element for the Generalized Problem of Steiner in Polynormated Space in which the Deviation Between the Elements is Determined with the Help of Sublinear Functionals |
| author_facet |
Гудима, Уляна Гнатюк, Василь |
| author_sort |
Гудима, Уляна |
| title |
The Existence Conditions of the Extremal Element for the Generalized Problem of Steiner in Polynormated Space in which the Deviation Between the Elements is Determined with the Help of Sublinear Functionals |
| title_short |
The Existence Conditions of the Extremal Element for the Generalized Problem of Steiner in Polynormated Space in which the Deviation Between the Elements is Determined with the Help of Sublinear Functionals |
| title_full |
The Existence Conditions of the Extremal Element for the Generalized Problem of Steiner in Polynormated Space in which the Deviation Between the Elements is Determined with the Help of Sublinear Functionals |
| title_fullStr |
The Existence Conditions of the Extremal Element for the Generalized Problem of Steiner in Polynormated Space in which the Deviation Between the Elements is Determined with the Help of Sublinear Functionals |
| title_full_unstemmed |
The Existence Conditions of the Extremal Element for the Generalized Problem of Steiner in Polynormated Space in which the Deviation Between the Elements is Determined with the Help of Sublinear Functionals |
| title_sort |
existence conditions of the extremal element for the generalized problem of steiner in polynormated space in which the deviation between the elements is determined with the help of sublinear functionals |
| title_alt |
Умови існування екстремального елемента узагальненої задачі Штейнера в полінормованому просторі, в якій відхилення між елемен-тами визначаються з допомогою сублінійних функціоналів |
| description |
An important place among extremal problems is occupied by the classic Steiner problem, which consists in finding in a given set of linear normed space such a point (Steiner point) to which the sum of the distances from several fixed points of this space will not exceed the sum of the distances from them to any – some other point of the admissible set (will be minimal) [1, p. 314].
In the classic Steiner problem, it is assumed that all segments of the linear normed space are «homogeneous». However, in practice, different «weight» characteristics are attributed to their lengths. As a result, we arrive at the so-called «weighted» Steiner problem [2, p. 468; 3, 4], which, in turn, is a partial case for the problem in which the sum of the distances between fixed points of linear space and points of its set, which were de-termined by weighted norms, were replaced by sums of distances between these points, which, generally speaking, are determined by different norms set on the considered linear space. As a result of this substitution, we ob-tain the generalized Steiner problem in a polynormed space [5].
As you know, there are problems, in particular approximation problems, in which the measure of deviation between fixed elements and elements of a given set is the so-called «distorted metric».
The problem considered in the article is obtained as a result of replacing in the generalized Steiner problem in the polynormed space the sum of the distances between fixed points of the linear space and the points of the set of admissible elements, which are determined by various norms given on the linear space, by the sum of the deviations between the specified points, which are determined by by non-negative continuous sublinear functionals defined on the corresponding linear normed spaces. The article establishes some sufficient conditions for the existence of an extremal element (Steiner point) for this problem, which generalize the relevant results obtained, in particular, in [6] for the problem of the best approximation of an element of a linear normed spase by a convex set of this space. |
| publisher |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| publishDate |
2023 |
| url |
http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/296428 |
| work_keys_str_mv |
AT gudimaulâna theexistenceconditionsoftheextremalelementforthegeneralizedproblemofsteinerinpolynormatedspaceinwhichthedeviationbetweentheelementsisdeterminedwiththehelpofsublinearfunctionals AT gnatûkvasilʹ theexistenceconditionsoftheextremalelementforthegeneralizedproblemofsteinerinpolynormatedspaceinwhichthedeviationbetweentheelementsisdeterminedwiththehelpofsublinearfunctionals AT gudimaulâna umoviísnuvannâekstremalʹnogoelementauzagalʹnenoízadačíštejneravpolínormovanomuprostorívâkíjvídhilennâmíželementamiviznačaûtʹsâzdopomogoûsublíníjnihfunkcíonalív AT gnatûkvasilʹ umoviísnuvannâekstremalʹnogoelementauzagalʹnenoízadačíštejneravpolínormovanomuprostorívâkíjvídhilennâmíželementamiviznačaûtʹsâzdopomogoûsublíníjnihfunkcíonalív AT gudimaulâna existenceconditionsoftheextremalelementforthegeneralizedproblemofsteinerinpolynormatedspaceinwhichthedeviationbetweentheelementsisdeterminedwiththehelpofsublinearfunctionals AT gnatûkvasilʹ existenceconditionsoftheextremalelementforthegeneralizedproblemofsteinerinpolynormatedspaceinwhichthedeviationbetweentheelementsisdeterminedwiththehelpofsublinearfunctionals |
| first_indexed |
2024-04-21T19:24:53Z |
| last_indexed |
2024-04-21T19:24:53Z |
| _version_ |
1796973520382590976 |
| spelling |
mcm-mathkpnueduua-article-2964282024-01-09T10:23:34Z The Existence Conditions of the Extremal Element for the Generalized Problem of Steiner in Polynormated Space in which the Deviation Between the Elements is Determined with the Help of Sublinear Functionals Умови існування екстремального елемента узагальненої задачі Штейнера в полінормованому просторі, в якій відхилення між елемен-тами визначаються з допомогою сублінійних функціоналів Гудима, Уляна Гнатюк, Василь An important place among extremal problems is occupied by the classic Steiner problem, which consists in finding in a given set of linear normed space such a point (Steiner point) to which the sum of the distances from several fixed points of this space will not exceed the sum of the distances from them to any – some other point of the admissible set (will be minimal) [1, p. 314]. In the classic Steiner problem, it is assumed that all segments of the linear normed space are «homogeneous». However, in practice, different «weight» characteristics are attributed to their lengths. As a result, we arrive at the so-called «weighted» Steiner problem [2, p. 468; 3, 4], which, in turn, is a partial case for the problem in which the sum of the distances between fixed points of linear space and points of its set, which were de-termined by weighted norms, were replaced by sums of distances between these points, which, generally speaking, are determined by different norms set on the considered linear space. As a result of this substitution, we ob-tain the generalized Steiner problem in a polynormed space [5]. As you know, there are problems, in particular approximation problems, in which the measure of deviation between fixed elements and elements of a given set is the so-called «distorted metric». The problem considered in the article is obtained as a result of replacing in the generalized Steiner problem in the polynormed space the sum of the distances between fixed points of the linear space and the points of the set of admissible elements, which are determined by various norms given on the linear space, by the sum of the deviations between the specified points, which are determined by by non-negative continuous sublinear functionals defined on the corresponding linear normed spaces. The article establishes some sufficient conditions for the existence of an extremal element (Steiner point) for this problem, which generalize the relevant results obtained, in particular, in [6] for the problem of the best approximation of an element of a linear normed spase by a convex set of this space. Важливе місце серед екстремальних задач займає класична задача Штейнера, яка полягає у відшуканні в заданій множині лінійного нормованого простору такої точки (точки Штейнера), сума відстаней до якої від кількох фіксованих точок цього простору не буде перевищувати суми відстаней від них до будь-якої іншої точки допустимої множини (буде мінімальною) (див., наприклад, [1, с. 314]). У класичній задачі Штейнера приймається, що всі відрізки лінійного нормованого простору є «однорідними». Проте на практиці їх довжинам приписують різні «вагові» характеристики. В результаті приходять до, так званої, «зваженої» задачі Штейнера (див., наприклад, [2, с. 468; 3, 4]), яка, в свою чергу, є частковим випадком задачі, в якій суми відстаней між фіксованими точками лінійного простору і точками його множини, що визначалися зваженими нормами, замінено на суми відстаней між цими точками, які, взагалі кажучи, визначаються різними нормами, заданими на розглядуваному лінійному просторі. Внаслідок такої заміни отримаємо узагальнену задачу Штейнера в полінормованому просторі [5]. Як відомо, виникають задачі, зокрема задачі наближення, в яких міра відхилення між фіксованими елементами та елементами заданої множини є, так званою «викривленою метрикою». Задача, що розглядається в статті, отримується внаслідок заміни в узагальненій задачі Штейнера в полінормованому просторі суми відстаней між фіксованими точками лінійного простору і точками множини допустимих елементів, які визначаються різними нормами, заданими на лінійному просторі, сумою відхилень між зазначеними точками, які визначаються невід’ємними неперервними сублінійними функціоналами, заданими на відповідних лінійних нормованих просторах. У статті для цієї задачі встановлено деякі умови існування екстремального елемента (точки Штейнера), які узагальнюють відповідні результати, отримані, зокрема, у праці [6] для задачі найкращої апроксимації елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2023-11-16 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/296428 10.32626/2308-5878.2023-24.45-63 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2023: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 24; 45-63 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2023: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 24; 45-63 2308-5878 10.32626/2308-5878.2023-24 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/296428/289432 |